Исследовательская работа по математике Магические квадраты

Межрайонные соревнования юных исследователей
«Шаг в будущее. Юниор»

Исследовательская работа на тему:
«Магические квадраты»





Автор работы: Кудьяров Иван учащийся 8 класса МАОУ «СОШ№3»
Научный руководитель: учитель математики МАОУ «СОШ№3»
Дремухина Татьяна Александровна











г.Северобакальск.
декабрь 20016г

Магические квадраты
Содержание стр.
Введение 2
Что такое «магический квадрат» 3
История появления магических квадратов 3-4
Виды магических квадратов 4-5
Методы заполнения магических квадратов 6
Применение магических квадратов 7
Вывод по теме 8
Приложение 9-12
Список литературы и Интернет-ресурсов 13





















Введение.
«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими» - писал о них Пьер де Ферма.
Мне очень нравится разгадывать кроссворды «Судоку», но я и не догадывался что это, ни что иное - как магический квадрат!
Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать исследование.
Я постараюсь отразить самые впечатляющие, важные и интересные факты из теории и практики составления магических квадратов.
В ходе исследовательской работы я не только расширил свои знания по данной теме и повысил свои вычислительные навыки,  но и научился составлять различные М.К, в том числе зеркальный магический квадрат, а также магический квадрат Пифагора. С его помощью можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки. 
Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.
Цель: изучение магических квадратов: их видов, способов заполнения и применения на практике.
Задачи:
познакомиться с историей появления магических квадратов;
выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
выявить области применения  магических квадратов.
Актуальность В настоящее время очень актуальна тема - защита информации, магические квадраты используются как один из способов защиты. Так же я считаю, что магические квадраты являюстся одной из наиболее интересных головоломок. выдвинутые мной проблемы заключаются в умение составлять магические квадраты, повышать и развивать интерес к новым загадочным головоломкам, к предмету математики и истории ее развития, развивать любознательность и логическое мышление. Привлечение учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в Олимпиадных заданиях, в современных учебниках по математике.
Гипотеза:  Если существуют способы заполнения магических квадратов, то изучив их, я смогу составить магический квадрат любого порядка.
При выполнении работы я пользовался следующими методами:
поисковый метод
практический метод
исследовательский метод
анализ полученных в ходе исследования данных.
Объект исследования: магические квадраты.
Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, практическое применение.
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники, что такое магические квадраты, а так же Судоку. Я провел анкетирование. Было опрошено 25 человек об Магических квадратах. Опрос показал, что 6 человек знают что такое магические квадраты; 18 – слышали о магических квадратах; остальные 9 – ничего не известно о магических квадратах.
Относительно Судоку было опрошено так же 25 учеников: этот опрос показал, что 9 человек знают что такое Судоку и решают, 16 не знают, что такое Судоку и соответственно не решают, но хотели бы научиться. Этот опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Что такое «магический квадрат»?
Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной. (рис. 1)
”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них Пьер де Ферма.

История появления магических квадратов.
По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9  получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти. (рис. 2)

Жители Поднебесной считали таблицу Ло-Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
Магический квадрат «Ло-шу» 3*3.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.
Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций( слева направо(начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3)из этого следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90( или 180(.
Виды магических квадратов.
Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)
Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)
Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)
Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4Ч4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)
Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)
Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3,4,5 порядка несуществует.Мультимагический квадарат –обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.
Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)
Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)
Магический квадрат Пифагора
Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат, с индивидуальными числами.
Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере.. Итак, моя дата рождения 11.07.2002. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей):1+1+7+2+2=13. Далее складываем цифры результата:1+3=4. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 37-13-2=11. И вновь складываем цифры последнего числа: 1+1=2. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм:13+11=24, 4+2=6. Получили числа 11.07.2002, 13, 4, 11, 2, 24,6 и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом: (рис11.) То есть я: диктатор, обладаю сильным знаком экстрасенса, я точен, аккуратен, пунктуален. У меня крепкое здоровье. Я могу, заниматься точными науками и чем больше я буду работать, тем больше получу впоследствии.
Методы заполнения магических квадратов.
Магические квадраты нечетного порядка.
Метод достроения, на примере МГ 5*5.
Построим квадрат с 25 клетками и временно построим его до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры. Достроенные клеточки обозначим символом * (рис. 10)
В полученной фигуре расположим по порядку косыми рядами сверху-вниз-направо 25 целых чисел от 1 до 25.
Каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядов квадрата, в нашем примере – на пять.
1 - вниз под 13 5 - влево
2 - вниз под 14    4 – влево
6 - вниз под 18 10 - влево
21 - вправо за 13 25 - вверх
22 - вправо за 14 24 - вверх
16 - вправо за 8 20 – вверх
Таким образом, все ячейки квадрата заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65.

Магические квадраты четно-четного порядка.
Порядок 2n. Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8.
Исходный  квадрат  разделю  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. (рис. 13)
Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.
Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка.
Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64  квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. (рис. 15)
В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.
Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.
Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.
Магические квадраты четно-нечетного порядка.
Диагональный метод.   Для примера возьмем квадрат 10*10.
Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии.
В левом верхнем квадрате закрашу разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отмечу по две клетки из первой группы и по одной из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделю клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных.
Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрашу таким же цветом.
Число, стоящее в каждой из отмеченных в пункте 2 клеток, переставлю с числом из соответствующей центрально-симметричной клетки.
Содержимое каждой клетки второй группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки.
Содержимое каждой клетки третьей группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси клетки. Получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.
Применение магических квадратов.
1)Защита информации. Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, получится : «всем удачи».
2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата.
3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике. Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Например, на уроке информатики мы изучали тему кодирование. С помощью магических квадратов так же можно закодировать информацию. Криптография (тайнопись) это наука о шифровании информации.
Так же очень популярна японская головоломка судоку она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.
Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.
Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.
Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике.
9. Вывод по теме.
Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка
МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.
С помощью МГ можно кодировать информацию.
Существует много видом МГ.
Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения.

























Приложение
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПИФАГОРА
Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
1- законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.
11 – характер, близкий к эгоистическому.
111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.
1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.
11111 – диктатор, самодур.
111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.
Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.
Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.
2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.
22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.
222 – знак экстрасенса.
Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».
Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.
Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.
4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.
44 – здоровье крепкое.
444 и более – люди с очень крепким здоровьем.
Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.
Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.
5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.
55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.
555 – почти ясновидящие.
5555 – ясновидящие.
Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка
Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.
6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.
66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.
666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.
6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.
Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.
7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.
77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.
777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.
7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.
Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.
Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.
8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.
88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.
888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.
8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.
Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.
9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.
99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.
999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.
9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.
Я провел исследование, и выяснял насколько утверждение Пифагора верно. Для этого я составил магические квадраты на моих одноклассников. Всего 21 человек. Затем мы подсчитали, на сколько процентов качества, показанные в магическом квадрате, совпадают с представлениями каждого из них о себе. Результаты исследования представлены в таблице и диаграмме (рисунок 28-29-приложения).
Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа.На основании полученных результатов можно сделать вывод, что не следует слепо верить всему магическому. Может быть некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.
Приложение

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Рис.4 Рис. 5

Рис.6 Рис.7

Рис.8 Рис.9


11111
2222
3

44
--- 
6

 7
---
--- 

Рис.10

Рис.11

Используемая литература и интернет ресурсы:
Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999. 
Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4
Судоку №5 · 11.05.2016
Судоку №19 · 2.09.2016
Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]











13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115












Рисунок 113HP LaserJet P2035n