Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

	Загрузить архив:
	Файл: 240-1490.zip (53kb [zip], Скачиваний: 58) скачать

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò ïî âûñøåé øêîëå

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè è Ìàòåìàòèêè

(Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò)

ÐÅÔÅÐÀÒ ÍÀ  ÒÅÌÓ

ÐÀÇÂÈÒÈÅ È ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÂËÈßÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ, ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
 È
ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

                                                   Êàôåäðà êóëüòîðîëîãèè.

                                                   Ñòóäåíò: Ôåðåíåö Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷

                                                   Ãðóïïà: ÀÏ-41

                                                   Ïðåïîäàâàòåëü: Òåðåõîâ Àíàòîëèé Ñåðãååâè÷

Ìîñêâà, 1995

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Âîïðîñ î  âçàèìîñâÿçè  ìàòåìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà âïåðâûå áûë çàäàí äîâîëüíî äàâíî.  Àðèñòîòåëü, Áýêîí, Ëåîíàðäî äà Âèí÷è - ìíîãèå âåëè­êèå óìû ÷åëîâå÷åñòâà çàíèìàëèñü ýòèì âîïðîñîì è äîñòèãàëè âûäàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ. Ýòî íå óäèâèòåëüíî:  âåäü îñíîâó âçàèìîäåéñòâèÿ ôèëîñî­ôèè ñ  êàêîé-ëèáî èç íàóê ñîñòàâëÿåò ïîòðåáíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ àïïà­ðàòà ôèëîñîôèè äëÿ ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèé â äàííîé îáëàñòè; ìàòåìà­òèêà æå,  íåñîìíåííî,  áîëåå âñåãî ñðåäè òî÷íûõ íàóê ïîääàåòñÿ ôèëî­ñîôñêîìó àíàëèçó (â ñèëó ñâîåé àáñòðàêòíîñòè).  Íàðÿäó ñ ýòèì  ïðîã­ðåññèðóþùàÿ ìàòåìàòèçàöèÿ  íàóêè  îêàçûâàåò  àêòèâíîå âîçäåéñòâèå íà ôèëîñîôñêîå ìûøëåíèå. Èñêóññòâî æå, âî âñå âðåìåíà ñëóæèâøåå ÷åëîâå÷åñòâó êàê ïóòü íðàâñòâåííîãî, ýìîöèîíàëüíîãî ìèðîîùóùåíèÿ è ìèðîïîíèìàíèÿ, êîíå÷íî æå, îêàçûâàëî è ïðîäîëæàåò îêàçûâàòü íà ðàçâèòèå íàó÷íîé ìûñëè ñàìîå íåïîñðåäñòâåííîå âëèÿíèå. Âñïîìíèì, ê ïðèìåðó, òîãî æå âåëèêîãî õóäîæíèêà è ó÷åíîãî - Ëåîíàðäî äà Âèí÷è.

Ñîâìåñòíûé ïóòü  ìàòåìàòèêè  è ôèëîñîôèè íà÷àëñÿ â Äðåâíåé Ãðå­öèè îêîëî VI âåêà äî í.ý.  Íå ñòåñíåííîå ðàìêàìè äåñïîòèçìà, ãðå÷åñ­êîå îáùåñòâî òîé ïîðû áûëî ïîäîáíî ïèòàòåëüíîìó ðàñòâîðó, íà êîòîðîì âûðîñëî ìíîãîå,  ÷òî äîøëî äî íàñ â ñèëüíî èçìåíåííîì âðåìåíåì âèäå, îäíàêî ñîõðàíèâ îñíîâíóþ,  çàëîæåííóþ ãðåêàìè èäåþ:  òåàòð,  ïîýçèÿ, äðàìàòóðãèÿ, ìàòåìàòèêà,  ôèëîñîôèÿ.

 ýòîé ðàáîòå ÿ ïîïûòàëñÿ ïðîñ­ëåäèòü çà ïðîöåññîì ôîðìèðîâàíèÿ, ðàçâèòèÿ è âçàèìíîãî âëèÿíèÿ ìàòå­ìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà â èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà,  à òàêæå ïðèâåñòè ðàçëè÷íûå òî÷êè çðåíèÿ íà äâèæóùèå ñèëû è ðåçóëüòàòû ýòîãî ïðîöåññà.  òî æå âðåìÿ, íå ïûòàÿñü îáúÿòü íåîáúÿòíîå, ìíå ïîêàçàëîñü èíòåðåñíûì ðàññìîòðåòü ëèøü “êîðíè” è “âåðøèíû”: çàðîæäåíèå åñòåñòâåííî-ôèëîñîâñêîãî ìûøëåíèÿ â Äðåâíåé Ãðåöèè è ýñòåòè÷åñêèå è îáùåôèëîñîâñêèå âîïðîñû, âîçíèêàþùèå íà ïåðåäíåì êðàå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè - òåîðèè ôðàêòàëîâ è ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè.

×ÀÑÒÜ ÏÅÐÂÀß..

ÈÑÒÎÊÈ

Ãëàâà 1

ÇÀÐÎÆÄÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Èçâåñòíî, ÷òî ãðå÷åñêàÿ öèâèëèçàöèÿ íà íà÷àëüíîì  ýòàïå  ñâîåãî ðàçâèòèÿ îòòàëêèâàëîñü  îò  öèâèëèçàöèè äðåâíåãî Âîñòîêà.  Êàêîâî æå áûëî ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäñòâî, ïîëó÷åííîå ãðåêàìè?

Èç äîøåäøèõ  äî  íàñ ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêóìåíòîâ ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â Äðåâíåì Åãèïòå áûëè ñèëüíî îòðàñëè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûå ñ ðå­øåíèåì ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷. Ïàïèðóñ Ðàéíäà (îê. 2000 ã. äî í.ý.) íà­÷èíàëñÿ ñ îáåùàíèÿ íàó÷èòü “ñîâåðøåííîìó è îñíîâàòåëüíîìó èññëåäîâà­íèþ âñåõ âåùåé,  ïîíèìàíèþ èõ ñóùíîñòåé, ïîçíàíèþ âñåõ òàéí”. Ôàêòè­÷åñêè èçëàãàåòñÿ èñêóññòâî âû÷èñëåíèÿ ñ öåëûìè ÷èñëàìè è äðîáÿìè,  â êîòîðîå ïîñâÿùàëèñü ãîñóäàðñòâåííûå ÷èíîâíèêè äëÿ òîãî,  ÷òîáû óìåòü ðåøàòü øèðîêèé êðóã ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, òàêèõ, êàê ðàñïðåäåëåíèå çà­ðàáîòíîé ïëàòû ìåæäó èçâåñòíûì ÷èñëîì ðàáî÷èõ, âû÷èñëåíèå êîëè÷åñòâà çåðíà äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ òàêîãî-òî êîëè÷åñòâà õëåáà,  âû÷èñëåíèå  ïî­âåðõíîñòåé è îáúåìîâ è ò.ä.  Äàëüøå óðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè è ïðîñ­òåéøèõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé åãèïòÿíå, ïî-âèäèìîìó, íå ïîøëè. Âñå ñî­äåðæàíèå èçâåñòíîé  íàì åãèïåòñêîé ìàòåìàòèêè óáåäèòåëüíî ñâèäåòåëü­ñòâóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ åãèïòÿí ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿ  óäîâ­ëåòâîðåíèÿ êîíêðåòíûõ  ïîòðåáíîñòåé  ìàòåðèàëüíîãî ïðîèçâîäñòâà è íå ìîãëè ñêîëüêî-íèáóäü ñåðüåçíî áûòü ñâÿçàííûìè ñ ôèëîñîôèåé.

Ìàòåìàòèêà Âàâèëîíà,  êàê  è  åãèïåòñêàÿ,  áûëà âûçâàíà ê æèçíè ïîòðåáíîñòÿìè ïðîèçâîäñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè,  ïîñêîëüêó ðåøàëèñü çà­äà÷è, ñâÿçàííûå  ñ íóæäàìè îðîøåíèÿ,  ñòðîèòåëüñòâà,  õîçÿéñòâåííîãî ó÷åòà, îòíîøåíèÿìè ñîáñòâåííîñòè, èñ÷èñëåíèåì âðåìåíè. Ñîõðàíèâøèåñÿ äîêóìåíòû ïîêàçûâàþò,  ÷òî, îñíîâûâàÿñü íà 60-ðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëå­íèÿ, âàâèëîíÿíå ìîãëè âûïîëíÿòü ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ, èìå­ëèñü òàáëèöû  êâàäðàòíûõ  êîðíåé,  êóáîâ  è êóáè÷åñêèõ êîðíåé,  ñóìì êâàäðàòîâ è êóáîâ,  ñòåïåíåé äàííîãî ÷èñëà,  áûëè  èçâåñòíû  ïðàâèëà ñóììèðîâàíèÿ ïðîãðåññèé.  Çàìå÷àòåëüíûå  ðåçóëüòàòû  áûëè ïîëó÷åíû â îáëàñòè ÷èñëîâîé àëãåáðû.  Õîòÿ âàâèëîíÿíå è íå çíàëè àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèêè, íî ðåøåíèå çàäà÷ ïðîâîäèëîñü ïî ïëàíó, çàäà÷è ñâîäèëèñü ê åäèíîìó “íîðìàëüíîìó” âèäó è çàòåì ðåøàëèñü ïî îáùèì ïðàâèëàì,  ïðè­÷åì èñòîëêîâàíèå  ïðåîáðàçîâàíèé  “óðàâíåíèÿ” íå ñâÿçûâàëîñü ñ êîíê­ðåòíîé ïðèðîäîé èñõîäíûõ äàííûõ.  Âñòðå÷àëèñü çàäà÷è,  ñâîäÿùèåñÿ  ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé  òðåòüåé  ñòåïåíè è îñîáûõ âèäîâ óðàâíåíèé ÷åòâåð­òîé, ïÿòîé è øåñòîé ñòåïåíè.

Åñëè æå  ñðàâíèâàòü  ìàòåìàòè÷åñêèå  íàóêè Åãèïòà è Âàâèëîíà ïî ñïîñîáó ìûøëåíèÿ,  òî íåòðóäíî áóäåò óñòàíîâèòü èõ îáùíîñòü ïî òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì, êàê  àâòîðèòàðíîñòü,  íåêðèòè÷íîñòü,  ñëåäîâàíèå çà òðàäèöèåé, êðàéíå ìåäëåííàÿ ýâîëþöèÿ çíàíèé.  Ýòè æå ÷åðòû îáíàðóæè­âàþòñÿ è â ôèëîñîôèè, ìèôîëîãèè, ðåëèãèè Âîñòîêà. Êàê ïèñàë ïî ýòîìó ïîâîäó Ý.Êîëüìàí, “â ýòîì ìåñòå, ãäå âîëÿ äåñïîòà ñ÷èòàëàñü çàêîíîì, íå áûëî ìåñòà äëÿ ìûøëåíèÿ,  äîèñêèâàþùåãîñÿ äî ïðè÷èí è îáîñíîâàíèé ÿâëåíèé, íè òåì áîëåå äëÿ ñâîáîäíîãî îáñóæäåíèÿ”.

Àíàëèç äðåâíåãðå÷åñêîé  ìàòåìàòèêè è ôèëîñîôèè ñëåäóåò íà÷àòü ñ ìèëåòñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû, çàëîæèâøåé îñíîâû ìàòåìàòèêè êàê äî­êàçàòåëüíîé íàóêè.

Ãëàâà 2

ÌÈËÅÒÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ìèëåòñêàÿ øêîëà - îäíà èç ïåðâûõ äðåâíåãðå÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, îêàçàâøàÿ ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ôèëîñîôñêèõ  ïðåäñ­òàâëåíèé òîãî  âðåìåíè.  Îíà ñóùåñòâîâàëà â Èîíèè â êîíöå V - IV ââ. äî í.ý.;  îñíîâíûìè äåÿòåëÿìè åå ÿâëÿëèñü Ôàëåñ (îê.  624-547 ãã. äî í.ý.), Àíàêñèìàíäð  (îê.  610-546  ãã.  äî  í.ý.)  è  Àíàêñèìåí (îê. 585-525 ãã. äî í.ý.). Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ìèëåòñêîé øêîëû îñíîâíûå îòëè÷èÿ ãðå÷åñêîé íàóêè îò äîãðå÷åñêîé è ïðîàíàëèçèðóåì èõ.

Åñëè ñîïîñòàâèòü èñõîäíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ ãðåêîâ ñ äîñòè­æåíèÿìè åãèïòÿí è âàâèëîíÿí, òî âðÿä ëè ìîæíî ñîìíåâàòüñÿ â òîì, ÷òî òàêèå ýëåìåíòàðíûå ïîëîæåíèÿ, êàê ðàâåíñòâî óãëîâ ó îñíîâàíèÿ ðàâíî­áåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà,  îòêðûòèå  êîòîðîãî  ïðèïèñûâàþò Ôàëåñó Ìè­ëåòñêîìó, íå áûëè èçâåñòíû äðåâíåé ìàòåìàòèêå. Òåì íå ìåíåå, ãðå÷åñ­êàÿ ìàòåìàòèêà  óæå â èñõîäíîì ñâîåì ïóíêòå èìåëà êà÷åñòâåííîå îòëè­÷èå îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.

Åå ñâîåîáðàçèå çàêëþ÷àåòñÿ ïðåæäå âñåãî â ïîïûòêå ñèñòåìàòè÷åñ­êè èñïîëüçîâàòü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà.  Ôàëåñ ñòðåìèòñÿ  äîêàçàòü  òî, ÷òî ýìïèðè÷åñêè áûëî ïîëó÷åíî è áåç äîëæíîãî îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçîâà­ëîñü â åãèïåòñêîé è âàâèëîíñêîé ìàòåìàòèêå.  Âîçìîæíî, â ïåðèîä íàè­áîëåå èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ äóõîâíîé æèçíè Âàâèëîíà è Åãèïòà,  â ïå­ðèîä ôîðìèðîâàíèÿ îñíîâ èõ çíàíèé èçëîæåíèå òåõ èëè  èíûõ  ìàòåìàòè­÷åñêèõ ïîëîæåíèé  ñîïðîâîæäàëîñü  îáîñíîâàíèåì â òîé èëè èíîé ôîðìå. Îäíàêî, êàê ïèøåò Âàí äåð Âàðäåí,  “âî âðåìåíà Ôàëåñà  åãèïåòñêàÿ  è âàâèëîíñêàÿ ìàòåìàòèêà äàâíî óæå áûëè ìåðòâûìè çíàíèÿìè.  Ìîæíî áûëî ïîêàçàòü Ôàëåñó,  êàê íàäî âû÷èñëÿòü, íî óæå íåèçâåñòåí áûë õîä ðàñ­ñóæäåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå ýòèõ ïðàâèë”.

Ãðåêè ââîäÿò ïðîöåññ îáîñíîâàíèÿ êàê íåîáõîäèìûé êîìïîíåíò  ìà­òåìàòè÷åñêîé äåéñòâèòåëüíîñòè, äîêàçàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåò­ñÿ îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé èõ ìàòåìàòèêè.  Òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà ðàí­íåé ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê â ãåîìåòðèè,  òàê è â àðèôìåòèêå ïåðâî­íà÷àëüíî ÿâëÿëàñü ïðîñòàÿ ïîïûòêà ïðèäàíèÿ íàãëÿäíîñòè.  Êîíêðåòíûìè ðàçíîâèäíîñòÿìè òàêîãî  äîêàçàòåëüñòâà â àðèôìåòèêå áûëî äîêàçàòåëü­ñòâî ïðè ïîìîùè êàìåøêîâ, â ãåîìåòðèè - ïóòåì íàëîæåíèÿ. Íî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ äîêàçàòåëüñòâà  ãîâîðèò  î  òîì,  ÷òî  ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ âîñïðèíèìàþòñÿ íå äîãìàòè÷åñêè,  à â ïðîöåññå  ðàçìûøëåíèÿ.  Ýòî,  â ñâîþ î÷åðåäü, îáíàðóæèâàåò êðèòè÷åñêèé ñêëàä óìà, óâåðåííîñòü (ìîæåò áûòü, íå âñåãäà îñîçíàííóþ),  ÷òî ðàçìûøëåíèåì ìîæíî óñòàíîâèòü ïðà­âèëüíîñòü èëè ëîæíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëîæåíèÿ, óâåðåííîñòü â ñè­ëå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ãðåêè â  òå÷åíèè îäíîãî-äâóõ ñòîëåòèÿ ñóìåëè îâëàäåòü ìàòåìàòè­÷åñêèì íàñëåäèåì ïðåäøåñòâåííèêîâ,  íàêîïëåííîãî â òå÷åíèè òûñÿ÷åëå­òèé, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá èíòåíñèâíîñòè, äèíàìèçìå èõ ìàòåìàòè÷åñ­êîãî ïîçíàíèÿ. Êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå èññëåäîâàíèé Ôàëåñà è åãî ïîñëå­äîâàòåëåé îò  äîãðå÷åñêîé  ìàòåìàòèêè ïðîÿâëÿåòñÿ íå ñòîëüêî â êîíê­ðåòíîì ñîäåðæàíèè èññëåäîâàííîé çàâèñèìîñòè, ñêîëüêî â íîâîì ñïîñîáå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ.  Èñõîäíûé ìàòåðèàë ãðåêè âçÿëè ó ïðåäøåñò­âåííèêîâ, íî ñïîñîá óñâîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà áûë íî­âûé. Îòëè÷èòåëüíûìè  îñîáåííîñòÿìè èõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ ÿâëÿ­þòñÿ ðàöèîíàëèçì, êðèòèöèçì, äèíàìèçì.

Ýòè æå  ÷åðòû õàðàêòåðíû è äëÿ ôèëîñîôñêèõ èññëåäîâàíèé ìèëåòñ­êîé øêîëû. Ôèëîñîôñêàÿ êîíöåïöèÿ è ñîâîêóïíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëî­æåíèé ôîðìèðóåòñÿ ïîñðåäñòâîì îäíîðîäíîãî ïî ñâîèì îáùèì õàðàêòåðèñ­òèêàì ìûñëèòåëüíîãî  ïðîöåññà,  êà÷åñòâåííî  îòëè÷íîãî  îò  ìûøëåíèÿ ïðåäøåñòâóþùåé ýïîõè. Êàê æå ñôîðìèðîâàëñÿ ýòîò íîâûé ñïîñîá âîñïðè­ÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè? Îòêóäà áåðåò ñâîå íà÷àëî ñòðåìëåíèå ê íàó÷íî­ìó çíàíèþ?

Ðÿä èññëåäîâàòåëåé  îáúÿâëÿåò  îòìå÷åííûå  âûøå  õàðàêòåðèñòèêè ìûñëèòåëüíîãî ïðîöåññà  “âðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè ãðå÷åñêîãî äóõà”. Îäíàêî ýòà ññûëêà íè÷åãî íå îáúÿñíÿåò, òàê êàê íåïîíÿòíî, ïî÷åìó òîò æå “ãðå÷åñêèé äóõ” ïî ïðîøåñòâèè ýïîõè ýëëèíèçìà òåðÿåò ñâîè êà÷åñò­âà. Ìîæíî ïîïðîáîâàòü ïîèñêàòü ïðè÷èíû òàêîãî ìèðîïîíèìàíèÿ â  ñîöè­àëüíî-ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðå.

Èîíèÿ, ãäå ïðîõîäèëà äåÿòåëüíîñòü ìèëåòñêîé øêîëû,  áûëà äîñòà­òî÷íî ðàçâèòîé  â  ýêîíîìè÷åñêîì îòíîøåíèè îáëàñòüþ.  Ïîýòîìó èìåííî îíà ïðåæäå ïðî÷èõ âñòóïèëà íà ïóòü íèçâåðæåíèÿ  ïåðâîáûòíî-îáùèííîãî ñòðîÿ è ôîðìèðîâàíèÿ ðàáîâëàäåëü÷åñêèõ îòíîøåíèé.   VIII-VI ââ.  äî í.ý. çåìëÿ âñå áîëüøå ñîñðåäîòà÷èâàëàñü â ðóêàõ êðóïíîé ðîäîâîé çíà­òè. Ðàçâèòèå ðåìåñëåííîãî ïðîèçâîäñòâà è òîðãîâëè åùå â áîëüøåé ìåðå óñêîðÿëî ïðîöåññ ñîöèàëüíî-èìóùåñòâåííîãî ðàññëîåíèÿ. Îòíîøåíèÿ ìåæ­äó àðèñòîêðàòèåé è äåìîñîì ñòàíîâÿòñÿ íàïðÿæåííûìè;  ñî âðåìåíåì ýòà íàïðÿæåííîñòü ïåðåðàñòàåò â îòêðûòóþ áîðüáó çà  âëàñòü.  Êàëåéäîñêîï ñîáûòèé âî âíóòðåííåé æèçíè,  íå ìåíåå èçìåí÷èâàÿ âíåøíÿÿ îáñòàíîâêà ôîðìèðóþò äèíàìèçì, æèâîñòü îáùåñòâåííîé ìûñëè.

Íàïðÿæåííîñòü â  ïîëèòè÷åñêîé è ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðàõ ïðèâîäèò ê ñòîëêíîâåíèÿì â îáëàñòè ðåëèãèè, ïîñêîëüêó äåìîñ , åùå íå ñîìíåâàÿñü â òîì,  ÷òî ðåëèãèîçíûå è ñâåòñêèå óñòàíîâëåíèÿ âå÷íû,  òàê êàê äàíû áîãàìè, òðåáóåò, ÷òîáû îíè áûëè çàïèñàíû è ñòàëè îáùåäîñòóïíûìè, èáî ïðàâèòåëè èñêàæàþò áîæåñòâåííóþ âîëþ è òîëêóþò åå ïî-ñâîåìó.  Îäíàêî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå ðåëèãèîçíûõ è ìèôîëî­ãè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé (ïîïûòêà òàêîãî èçëîæåíèÿ áûëà äàíà Ãåñèîäîì) íå ìîãëî íå íàíåñòè ñåðüåçíîãî óäàðà ðåëèãèè. Ïðè ïðîâåðêå ðåëèãèîç­íûõ èçìûøëåíèé ëîãèêîé ïåðâûå, íåñîìíåííî, ïîêàçàëèñü áû êîíãëîìåðà­òîì íåëåïîñòåé.

“Òàêèì îáðàçîì,  ìàòåðèàëèñòè÷åñêîå  ìèðîâîççðåíèå Ôàëåñà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé íå ÿâëÿåòñÿ êàêèì-òî çàãàäî÷íûì,  íå îò ìèðà ñåãî ïî­ðîæäåíèåì  “ãðå÷åñêîãî äóõà”.  Îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòîì âïîëíå îïðåäå­ëåííûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ óñëîâèé è âûðàæàåò  èíòåðåñû  èñòîðè­÷åñêè-êîíêðåòíûõ ñîöèàëüíûõ  ñèë,  ïðåæäå  âñåãî òîðãîâî-ðåìåñëåííûõ ñëîåâ îáùåñòâà” - ïèøåò Î.È.Êåäðîâñêèé.

Íà îñíîâàíèè âñåãî âûøåïåðå÷èñëåííîãî åùå íåëüçÿ ñ áîëüøîé óâå­ðåííîñòüþ óòâåðæäàòü,  ÷òî èìåííî âîçäåéñòâèå ìèðîâîççðåíèÿ  ÿâèëîñü ðåøàþùèì ôàêòîðîì  äëÿ  âîçíèêíîâåíèÿ  äîêàçàòåëüñòâà;  íå èñêëþ÷åíî âåäü, ÷òî ýòî ïðîèçîøëî â ñèëó äðóãèõ  ïðè÷èí:  ïîòðåáíîñòåé  ïðîèç­âîäñòâà, çàïðîñîâ ýëåìåíòîâ åñòåñòâîçíàíèÿ,  ñóáúåêòèâíûõ ïîáóæäåíèé èññëåäîâàòåëåé. Îäíàêî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ïðè÷èí íå èçìåíèëà ïðèíöèïèàëüíî  ñâîåãî  õàðàêòåðà ïî ñðàâíåíèþ ñ äîãðå÷åñêîé ýïîõîé íåïîñðåäñòâåííî íå ïðèâîäèò ê ïðåâðàùåíèþ ìàòåìàòèêè â  äîêà­çàòåëüíóþ íàóêó.  Íàïðèìåð,  äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïîòðåáíîñòåé òåõíèêè áûëî âïîëíå äîñòàòî÷íî ïðàêòè÷åñêîé íàóêè äðåâíåãî Âîñòîêà,  â ñïðà­âåäëèâîñòè ïîëîæåíèé  êîòîðîé ìîæíî áûëî óáåäèòüñÿ ýìïèðè÷åñêè.  Ñàì ïðîöåññ âûÿâëåíèÿ ýòèõ ïîëîæåíèé ïîêàçàë,  ÷òî îíè äàþò  äîñòàòî÷íóþ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ íóæä òî÷íîñòü.

Ìîæíî ñ÷èòàòü îäíèì èç ïîáóäèòåëüíûõ ìîòèâîâ âîçíèêíîâåíèÿ  äî­êàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòü  îñìûñëåíèÿ è îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðåä­øåñòâåííèêîâ. Îäíàêî è ýòîìó ôàêòîðó íå ïðèíàäëåæèò  ðåøàþùàÿ  ðîëü, òàê êàê,  íàïðèìåð,  ñóùåñòâóþò òåîðèè, âîñïðèíèìàåìûå íàìè êàê î÷å­âèäíûå, íî ïîëó÷èâøèå  ñòðîãîå  îáîñíîâàíèå  â  àíòè÷íîé  ìàòåìàòèêå (íàïðèìåð, òåîðèÿ äåëèìîñòè íà 2).

Ïîÿâëåíèå ïîòðåáíîñòè äîêàçàòåëüñòâà â ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêå ïî­ëó÷àåò óäîâëåòâîðèòåëüíîå îáúÿñíåíèå, åñëè ó÷åñòü âçàèìîäåéñòâèå ìè­ðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè.   ýòîì îòíîøåíèè ãðåêè  ñóùåñò­âåííî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.  èõ ôèëîñîôñêèõ è ìàòå­ìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ïðîÿâëÿþòñÿ âåðà â ñèëó ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçó­ìà, êðèòè÷åñêîå  îòíîøåíèå ê äîñòèæåíèÿì ïðåäøåñòâåííèêîâ,  äèíàìèçì ìûøëåíèÿ. Ó ãðåêîâ âëèÿíèå ìèðîâîççðåíèÿ ïðåâðàòèëîñü èç  ñäåðæèâàþ­ùåãî ôàêòîðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ â ñòèìóëèðóþùèé, â äåéñòâåííóþ ñèëó ïðîãðåññà ìàòåìàòèêè.

 òîì,  ÷òî îáîñíîâàíèå ïðèíÿëî èìåííî ôîðìó äîêàçàòåëüñòâà,  à íå îñòàíîâèëîñü íà ýìïèðè÷åñêîé ïðîâåðêå,  ðåøàþùèì ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëå­íèå íîâîé, ìèðîâîççðåí÷åñêîé ôóíêöèè íàóêè. Ôàëåñ è åãî ïîñëåäîâàòå­ëè âîñïðèíèìàþò ìàòåìàòè÷åñêèå  äîñòèæåíèÿ  ïðåäøåñòâåííèêîâ  ïðåæäå âñåãî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ òåõíè÷åñêèõ ïîòðåáíîñòåé,  íî íàóêà äëÿ íèõ - íå÷òî áîëüøåå, ÷åì àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Îò­äåëüíûå, íàèáîëåå  àáñòðàêòíûå  ýëåìåíòû ìàòåìàòèêè âïëåòàþòñÿ â íà­òóðôèëîñîôñêóþ ñèñòåìó è çäåñü âûïîëíÿþò ðîëü àíòèïîäà  ìèôîëîãè÷åñ­êèì è ðåëèãèîçíûì âåðîâàíèÿì. Ýìïèðè÷åñêàÿ ïîäòâåðæäàåìîñòü äëÿ ýëå­ìåíòîâ ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû áûëà íåäîñòàòî÷íîé â ñèëó îáùíîñòè èõ õà­ðàêòåðà è ñêóäíîñòè ïîäòâåðæäàþùèõ èõ ôàêòîâ.  Ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ æå ê òîìó âðåìåíè äîñòèãëè òàêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ, ÷òî ìåæäó îòäåëü­íûìè ïîëîæåíèÿìè ìîæíî áûëî óñòàíîâèòü ëîãè÷åñêèå ñâÿçè. Òàêàÿ ôîðìà îáîñíîâàíèé îêàçàëàñü îáúåêòèâíî ïðèåìëåìîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëî­æåíèé.

Ãëàâà 3

ÏÈÔÀÃÎÐÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Íà îñíîâàíèè  äàííîãî  âûøå  èññëåäîâàíèÿ ìèëåòñêîé øêîëû ìîæíî ëèøü óáåäèòüñÿ â àêòèâíîì âëèÿíèè ìèðîâîççðåíèÿ íà ïðîöåññ ìàòåìàòè­÷åñêîãî ïîçíàíèÿ òîëüêî ïðè ðàäèêàëüíîì èçìåíåíèè ñîöèàëüíî-ýêîíîìè­÷åñêèõ óñëîâèé æèçíè îáùåñòâà.  Îäíàêî îñòàþòñÿ îòêðûòûìè âîïðîñû  î òîì, âëèÿåò ëè èçìåíåíèå ôèëîñîôñêîé îñíîâû æèçíè îáùåñòâà íà ðàçâè­òèå ìàòåìàòèêè, çàâèñèò ëè ìàòåìàòè÷åñêîå ïîçíàíèå îò èçìåíåíèÿ èäå­îëîãè÷åñêîé  íàïðàâëåííîñòè  ìèðîâîççðåíèÿ,  èìååò ëè ìåñòî îáðàòíîå âîçäåéñòâèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé íà ôèëîñîôñêèå èäåè.  Ìîæíî  ïîïû­òàòüñÿ îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû,  îáðàòèâøèñü ê äåÿòåëüíîñòè ïèôàãîðåéñêîé øêîëû.

Ïèôàãîðåèçì êàê  íàïðàâëåíèå äóõîâíîé æèçíè ñóùåñòâîâàë íà ïðî­òÿæåíèè âñåé èñòîðèè Äðåâíåé Ãðåöèè,  íà÷èíàÿ ñ VI âåêà äî í.  ý.  è ïðîøåë  â ñâîåì ðàçâèòèè ðÿä ýòàïîâ.  Âîïðîñ î èõ âðåìåííîé äëèòåëü­íîñòè ñëîæåí è äî ñèõ ïîð íå ðåøåí îäíîçíà÷íî. Îñíîâîïîëîæíèêîì øêî­ëû áûë Ïèôàãîð Ñàìîññêèé (îê.  580-500 äî í.ý.). Íè îäíà ñòðîêà, íà­ïèñàííàÿ Ïèôàãîðîì,  íå ñîõðàíèëàñü;  âîîáùå íåèçâåñòíî, ïðèáåãàë ëè îí ê ïèñüìåííîé ïåðåäà÷å ñâîèõ ìûñëåé. ×òî áûëî ñäåëàíî ñàìèì Ïèôàãî­ðîì, à ÷òî åãî ó÷åíèêàìè,  óñòàíîâèòü î÷åíü òðóäíî.  Ñâèäåòåëüñòâà î íåì äðåâíåãðå÷åñêèõ àâòîðîâ ïðîòèâîðå÷èâû; â êàêîé-òî ìåðå ðàçëè÷íûå îöåíêè åãî äåÿòåëüíîñòè îòðàæàþò ìíîãîîáðàçèå åãî ó÷åíèÿ.

 ïèôàãîðåèçìå âûäåëÿþò äâå ñîñòàâëÿþùèå:  ïðàêòè÷åñêóþ (“ïèôà­ãîðåéñêèé îáðàç æèçíè”) è òåîðåòè÷åñêóþ  (îïðåäåëåííàÿ  ñîâîêóïíîñòü ó÷åíèé).  ðåëèãèîçíîì ó÷åíèè ïèôàãîðåéöåâ íàèáîëåå âàæíîé ñ÷èòàëàñü îáðÿäîâàÿ ñòîðîíà,  çàòåì èìåëîñü â âèäó ñîçäàòü îïðåäåëåííîå äóøåâ­íîå ñîñòîÿíèå è ëèøü ïîòîì ïî çíà÷èìîñòè øëè âåðîâàíèÿ,  â òðàêòîâêå êîòîðûõ äîïóñêàëèñü ðàçíûå âàðèàíòû.  Ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðåëèãè­îçíûìè òå÷åíèÿìè  ó  ïèôàãîðåéöåâ áûëè ñïåöèôè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå è ñóäüáå äóøè. Äóøà - ñóùåñòâî áîæåñòâåííîå, îíà çàêëþ÷åíà â òåëî â íàêàçàíèå çà ïðåãðåøåíèÿ. âûñøàÿ öåëü æèçíè - îñâîáîäèòü äóøó èç òåëåñíîé òåìíèöû,  íå äîïóñòèòü â äðóãîå òåëî,  êîòîðîå ÿêîáû ñî­âåðøàåòñÿ ïîñëå ñìåðòè.  Ïóòåì äëÿ äîñòèæåíèÿ ýòîé öåëè ÿâëÿåòñÿ âû­ïîëíåíèå îïðåäåëåííîãî ìîðàëüíîãî êîäåêñà, “ïèôàãîðåéñêèé îáðàç æèç­íè”.   ìíîãî÷èñëåííîé ñèñòåìå ïðåäïèñàíèé, ðåãëàìåíòèðîâàâøèõ ïî÷òè êàæäûé øàã æèçíè, âèäíîå ìåñòî îòâîäèëîñü çàíÿòèÿì ìóçûêîé è íàó÷íû­ìè èññëåäîâàíèÿìè.

Òåîðåòè÷åñêàÿ ñòîðîíà  ïèôàãîðåèçìà  òåñíî  ñâÿçàíà  ñ  ïðàêòè­÷åñêîé.    òåîðåòè÷åñêèõ   èçûñêàíèÿõ   ïèôàãîðåéöû  âèäåëè  ëó÷øåå ñðåäñòâî îñâîáîæäåíèÿ äóøè èç êðóãà ðîæäåíèé,  à èõ ðåçóëüòàòû ñòðå­ìèëèñü èñïîëüçîâàòü  äëÿ  ðàöèîíàëüíîãî  îáîñíîâàíèÿ  ïðåäïîëàãàåìîé äîêòðèíû. Âåðîÿòíî, â äåÿòåëüíîñòè Ïèôàãîðà è åãî áëèæàéøèõ ó÷åíèêîâ íàó÷íûå ïîëîæåíèÿ áûëè ïåðåìåøàíû ñ ìèñòèêîé, ðåëèãèîçíûìè è ìèôîëî­ãè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.  Âñÿ ýòà “ìóäðîñòü” èçëàãàëàñü â êà÷åñòâå èçðå÷åíèé îðàêóëà,  êîòîðûì  ïðèäàâàëñÿ  ñêðûòûé ñìûñë áîæåñòâåííîãî îòêðîâåíèÿ.

Îñíîâíûìè îáúåêòàìè íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ ó ïèôàãîðåéöåâ áûëè ìàòå­ìàòè÷åñêèå îáúåêòû, â ïåðâóþ î÷åðåäü ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà (âñïîì­íèì çíàìåíèòîå “×èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé”). Âèäíîå ìåñòî îòâî­äèëîñü èçó÷åíèþ ñâÿçåé ìåæäó ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè ÷èñëàìè.   îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ çíàíèé âíèìàíèå àêöåíòèðóåòñÿ íà íàèáîëåå àáñòðàêòíûõ çàâèñèìîñòÿõ. Ïèôàãîðåéöàìè áûëà ïîñòðîåíà çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïëàíè­ìåòðèè ïðÿìîóãîëüíûõ  ôèãóð;  âûñøèì  äîñòèæåíèåì â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà, ÷àñòíûå ñëó÷àè êîòîðîé çà 1200 ëåò äî ýòîãî ïðèâîäÿòñÿ â êëèíîïèñíûõ òåêñòàõ âàâèëîíÿí. Ãðåêè äîêà­çûâàþò åå îáùèì îáðàçîì.  Íåêîòîðûå èñòî÷íèêè ïðèïèñûâàþò ïèôàãîðåé­öàì äàæå òàêèå âûäàþùèåñÿ ðåçóëüòàòû, êàê ïîñòðîåíèå ïÿòè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.

×èñëà ó ïèôàãîðåéöåâ âûñòóïàþò îñíîâîïîëàãàþùèìè óíèâåðñàëüíûìè îáúåêòàìè, ê êîòîðûì ïðåäïîëàãàëîñü ñâåñòè íå òîëüêî  ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ, íî è âñå ìíîãîîáðàçèå äåéñòâèòåëüíîñòè. Ôèçè÷åñêèå, ýòè­÷åñêèå, ñîöèàëüíûå è ðåëèãèîçíûå ïîíÿòèÿ ïîëó÷èëè ìàòåìàòè÷åñêóþ îê­ðàñêó. Íàóêå î ÷èñëàõ è äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòàõ îòâîäèòñÿ îñ­íîâîïîëàãàþùåå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ, òî åñòü ôàêòè÷åñêè ìà­òåìàòèêà îáúÿâëÿåòñÿ ôèëîñîôèåé.  Êàê ïèñàë Àðèñòîòåëü,  “...ó ÷èñåë îíè óñìàòðèâàëè,  êàçàëîñü áû, ìíîãî ñõîäíûõ ÷åðò ñ òåì, ÷òî ñóùåñò­âóåò  è ïðîèñõîäèò,  - áîëüøå,  ÷åì ó îãíÿ,  çåìëè è âîäû...  Ó íèõ, ïî-âèäèìîìó, ÷èñëî ïðèíèìàåòñÿ çà íà÷àëî è â  êà÷åñòâå  ìàòåðèè  äëÿ âåùåé,  è â êà÷åñòâå âûðàæåíèÿ äëÿ èõ ñîñòîÿíèé è ñâîéñòâ...  Íàïðè­ìåð,  òàêîå-òî ñâîéñòâî ÷èñåë åñòü ñïðàâåäëèâîñòü, à òàêîå-òî - äóøà è óì, äðóãîå - óäà÷à, è ìîæíî ñêàçàòü - â êàæäîì èç îñòàëüíûõ ñëó÷à­åâ òî÷íî òàêæå. “

Åñëè ñðàâíèâàòü  ìàòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ðàííåé ïèôàãîðåéñ­êîé è ìèëåòñêîé øêîë,  òî ìîæíî âûÿâèòü ðÿä  ñóùåñòâåííûõ  ðàçëè÷èé. Òàê, ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ðàññìàòðèâàëèñü ïèôàãîðåéöàìè êàê ïåðâî­ñóùíîñòü ìèðà,  òî åñòü ðàäèêàëüíî èçìåíèëîñü ñàìî ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ.  Êðîìå òîãî,  ìàòåìàòèêà ïðåâðàùåíà ïèôàãî­ðåéöàìè â ñîñòàâëÿþùóþ ðåëèãèè, â ñðåäñòâî î÷èùåíèÿ äóøè, äîñòèæåíèÿ áåññìåðòèÿ. È íàêîíåö, ïèôàãîðåéöû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñ­êèõ îáúåêòîâ íàèáîëåå àáñòðàêòíûìè òèïàìè  ýëåìåíòîâ  è  ñîçíàòåëüíî èãíîðèðóþò ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Íî ÷åì æå îáóñëîâëåíû òàêèå ãëîáàëüíûå ðàñõîæäåíèÿ â ïîíèìàíèè  ïðè­ðîäû  ìàòåìàòè÷åñêèõ  îáúåêòîâ ó øêîë,  ñóùåñòâîâàâøèõ ïðàêòè÷åñêè â îäíî è òî æå âðåìÿ è ÷åðïàâøèõ ñâîþ ìóäðîñòü, ïî-âèäèìîìó, èç îäíîãî è  òîãî æå èñòî÷íèêà - êóëüòóðû Âîñòîêà?  Âïðî÷åì,  Ïèôàãîð,  ñêîðåå âñåãî, ïîëüçîâàëñÿ äîñòèæåíèÿìè ìèëåòñêîé øêîëû, òàê êàê ó íåãî, êàê è ó Ôàëåñà,  îáíàðóæèâàþòñÿ îñíîâíûå ïðèçíàêè óìñòâåííîé äåÿòåëüíîñ­òè, îòëè÷àþùèåñÿ îò äîãðå÷åñêîé ýïîõè;  îäíàêî  ìàòåìàòè÷åñêàÿ  äåÿ­òåëüíîñòü ýòèõ øêîë íîñèëà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé õàðàêòåð.

Àðèñòîòåëü áûë îäíèì èç ïåðâûõ, êòî ïîïûòàëñÿ îáúÿñíèòü ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè. Îí âèäåë èõ â ïðåäåëàõ ñàìîé ìàòåìàòèêè:  “Òàê íàçûâàåìûå ïèôàãîðåéöû,  çàíÿâøèñü ìàòåìàòè­÷åñêèìè íàóêàìè,  âïåðâûå äâèíóëè èõ âïåðåä è,  âîñïèòàâøèñü íà íèõ, ñòàëè ñ÷èòàòü èõ íà÷àëàìè âñåõ âåùåé.” Ïîäîáíà òî÷êà çðåíèÿ íå ëèøå­íà îñíîâàíèÿ  õîòÿ  áû  â ñèëó ïðèìåíèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé äëÿ âûðàæåíèÿ îòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ÿâëåíèÿìè.  Íà ýòîì îñíîâà­íèè ìîæíî,  íåïðàâîìåðíî ðàñøèðèâ äàííûé ìîìåíò ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîç­íàíèÿ, ïðèéòè ê óòâåðæäåíèþ î âûðàçèìîñòè âñåãî ñóùåãî ñ ïîìîùüþ ìà­òåìàòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé, à åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëîâûå îòíîøåíèÿ óíèâåð­ñàëüíûìè, òî “÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé”. Êðîìå òîãî, êî âðåìå­íè äåÿòåëüíîñòè  ïèôàãîðåéöåâ ìàòåìàòèêà ïðîøëà äëèííûé ïóòü èñòîðè­÷åñêîãî ðàçâèòèÿ; ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ åå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé òåðÿëñÿ âî ìðàêå âåêîâ.  Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿëîñü èñêóøåíèå ïðåíåáðå÷ü èì è îáúÿâèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ÷åì-òî ïåðâè÷íûì ïî îòíîøåíèþ ê  ñó­ùåñòâóþùåìó ìèðó. Èìåííî òàê è ïîñòóïèëè ïèôàãîðåéöû.

 ñîâåòñêîé ôèëîñîôñêîé íàóêå ïðîáëåìà ïîÿâëåíèÿ  ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè   ðàññìàòðèâàëàñü, åñòåñòâåííî,   ñ   ïîçèöèé ìàðêñèñòñêî-ëåíèíñêîé ôèëîñîôèè.  Òàê, Î.È.Êåäðîâñêèé ïèøåò: “...Âû­ðàáîòàííàÿ  èì (Ïèôàãîðîì) êîíöåïöèÿ îáúåêòèâíî îêàçàëàñü èäåîëîãèåé âïîëíå îïðåäåëåííûõ ñîöèàëüíûõ ñëîåâ îáùåñòâà.  Ýòî áûëè ...ïðåäñòà­âèòåëè àðèñòîêðàòèè, òåñíèìûå äåìîñîì... Äëÿ íèõ õàðàêòåðíî ñòðåìëå­íèå óéòè îò òÿãîò çåìíîé æèçíè,  îáðàùåíèå ê ðåëèãèè è ìèñòèêå”. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ,  êàê è ïåðâàÿ,  íå ëèøåíà ñìûñëà; èñòèíà æå, âåðîÿòíî, íàõîäèòñÿ ãäå-òî ïîñåðåäèíå. Îäíàêî, íà ìîé âçãëÿä, êðàõ ïèôàãîðåéñ­êîãî  ó÷åíèÿ  ñëåäóåò  ñâÿçûâàòü  â  ïåðâóþ î÷åðåäü íå ñ âûðîæäåíèåì àðèñòîêðàòèè êàê êëàññà,  à ñ ïîïûòêîé ïèôàãîðåéöåâ  èçâðàòèòü  ñàìó ïðèðîäó  ïðîöåññà  ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ,  ëèøèâ ìàòåìàòèêó òàêèõ âàæíûõ èñòî÷íèêîâ ïðîãðåññà, êàê ïðèëîæåíèÿ ê ïðîèçâîäñòâó, îòêðûòîå îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé,  êîëëåêòèâíîå òâîð÷åñòâî, óäåð­æàòü ïðîãðåññ ìàòåìàòèêè â ðàìêàõ ðàôèíèðîâàííîãî ó÷åíèÿ äëÿ  ïîñâÿ­ùåííûõ.  Êñòàòè,  ñàìè  ïèôàãîðåéöû  ïîäîðâàëè ñâîé îñíîâîïîëàãàþùèé ïðèíöèï “÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé”, îòêðûâ, ÷òî îòíîøåíèå äèà­ãîíàëè è ñòîðîíû êâàäðàòà íå âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì öåëûõ ÷èñåë.

Òàêèì îáðàçîì, óæå â èñõîäíîì ïóíêòå  ñâîåãî  ðàçâèòèÿ  òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà  áûëà  ïîäâåðæåíà  âëèÿíèþ áîðüáû äâóõ òèïîâ ìèðî­âîççðåíèÿ - ìàòåðèàëèñòè÷åñêîãî è ðåëèãèîçíî-èäåàëèñòè÷åñêîãî. Ìû æå óáåäèëèñü, ÷òî íàðÿäó ñ âëèÿíèåì ìèðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòè­÷åñêîãî ïîçíàíèÿ èìååò ìåñòî è îáðàòíîå âîçäåéñòâèå.

Ãëàâà 4

ÝËÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ýëåéñêàÿ øêîëà äîâîëüíî èíòåðåñíà äëÿ èññëåäîâàíèÿ, òàê êàê ýòî îäíà èç äðåâíåéøèõ øêîë, â òðóäàõ êîòîðîé ìàòåìàòèêà è ôèëîñîôèÿ äî­ñòàòî÷íî òåñíî è ðàçíîñòîðîííå âçàèìîäåéñòâóþò. Îñíîâíûìè ïðåäñòàâè­òåëÿìè ýëåéñêîé øêîëû ñ÷èòàþò Ïàðìåíèäà (êîíåö VI - V â.  äî í.ý.) è Çåíîíà (ïåðâàÿ ïîëîâèíà V â. äî í.ý.).

Ôèëîñîôèÿ Ïàðìåíèäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:  âñåâîçìîæíûå ñèñ­òåìû ìèðîïîíèìàíèÿ áàçèðóþòñÿ íà îäíîé èç òðåõ ïîñûëîê: 1)Åñòü òîëü­êî áûòèå,  íåáûòèÿ íåò;  2)Ñóùåñòâóåò íå òîëüêî áûòèå, íî è íåáûòèå; 3)Áûòèå è  íåáûòèå  òîæäåñòâåííû.  Èñòèííîé Ïàðìåíèä ïðèçíàåò òîëüêî ïåðâóþ ïîñûëêó.  Ñîãëàñíî åìó,  áûòèå åäèíî,  íåäåëèìî, íåèçìåíÿåìî, âíåâðåìåííî, çàêîí÷åíî â ñåáå, òîëüêî îíî èñòèííî ñóùåå; ìíîæåñòâåí­íîñòü, èçìåí÷èâîñòü, ïðåðûâíîñòü, òåêó÷åñòü - âñå ýòî óäåë ìíèìîãî.

Ñ çàùèòîé  ó÷åíèÿ  Ïàðìåíèäà  îò âîçðàæåíèé âûñòóïèë åãî ó÷åíèê Çåíîí. Äðåâíèå ïðèïèñûâàëè åìó ñîðîê äîêàçàòåëüñòâ äëÿ çàùèòû ó÷åíèÿ î åäèíñòâå  ñóùåãî (ïðîòèâ ìíîæåñòâåííîñòè âåùåé) è ïÿòü äîêàçàòåëü­ñòâ åãî íåïîäâèæíîñòè (ïðîòèâ äâèæåíèÿ).  Èç íèõ äî íàñ äîøëî  âñåãî äåâÿòü. Íàèáîëüøåé èçâåñòíîñòüþ âî âñå âðåìåíà ïîëüçîâàëèñü çåíîíîâû äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ äâèæåíèÿ; íàïðèìåð, “äâèæåíèÿ íå ñóùåñòâóåò íà òîì îñíîâàíèè,  ÷òî ïåðåìåùàþùååñÿ òåëî äîëæíî ïðåæäå äîéòè äî ïîëî­âèíû, ÷åì äî êîíöà, à ÷òîáû äîéòè äî ïîëîâèíû, íóæíî ïðîéòè ïîëîâèíó ýòîé ïîëîâèíû è ò.ä.”.

Àðãóìåíòû Çåíîíà ïðèâîäÿò  ê  ïàðàäîêñàëüíûì,  ñ  òî÷êè  çðåíèÿ “çäðàâîãî ñìûñëà”,  âûâîäàì,  íî èõ íåëüçÿ áûëî ïðîñòî îòáðîñèòü êàê íåñîñòîÿòåëüíûå, ïîñêîëüêó è ïî ôîðìå, è ïî ñîäåðæàíèþ óäîâëåòâîðÿëè ìàòåìàòè÷åñêèì  ñòàíäàðòàì òîé ïîðû.  Ðàçëîæèâ àïîðèè Çåíîíà íà ñîñ­òàâíûå ÷àñòè è äâèãàÿñü îò çàêëþ÷åíèé ê ïîñûëêàì,  ìîæíî ðåêîíñòðóè­ðîâàòü  èñõîäíûå ïîëîæåíèÿ,  êîòîðûå îí âçÿë çà îñíîâó ñâîåé êîíöåï­öèè.  Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â êîíöåïöèè ýëåàòîâ, êàê è â äîçåíîíîâñêîé íàóêå  ôóíäàìåíòàëüíûå  ôèëîñîôñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñóùåñòâåííî îïèðà­ëèñü íà ìàòåìàòè÷åñêèå ïðèíöèïû.  Âèäíîå ìåñòî  ñðåäè  íèõ  çàíèìàëè ñëåäóþùèå àêñèîìû:

1.     Ñóììà áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ëþáûõ,  õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî ìàëûõ, íî ïðîòÿæåííûõ âåëè÷èí äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé;

2.     Ñóììà ëþáîãî,  õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà  íåïðîòÿ­æåííûõ âåëè÷èí  âñåãäà ðàâíà íóëþ è íèêîãäà íå ìîæåò ñòàòü íåêîòîðîé çàðàíåå çàäàííîé ïðîòÿæåííîé âåëè÷èíîé.

Èìåííî â  ñèëó òåñíîé âçàèìîñâÿçè îáùèõ ôèëîñîôñêèõ ïðåäñòàâëå­íèé ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïîëîæåíèÿìè óäàð,  íàíåñåííûé Çåíîíîì ïî ôèëîñîôñêèì âîççðåíèÿì,  ñóùåñòâåííî çàòðîíóë ñèñòåìó ìà­òåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.  Öåëûé ðÿä âàæíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ñ÷èòàâøèõñÿ äî ýòîãî íåñîìíåííî èñòèííûìè, â ñâåòå çåíîíîâñêèõ ïîñò­ðîåíèé âûãëÿäåëè êàê ïðîòèâîðå÷èâûå.  Ðàññóæäåíèÿ Çåíîíà  ïðèâåëè  ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåîñìûñëèòü  òàêèå  âàæíûå ìåòîäîëîãè÷åñêèå âîïðîñû, êàê ïðèðîäà áåñêîíå÷íîñòè,  ñîîòíîøåíèå ìåæäó íåïðåðûâíûì è  ïðåðûâ­íûì è  ò.ï.  Îíè îáðàòèëè âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ íà íåïðî÷íîñòü ôóíäà­ìåíòà èõ íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè è òàêèì îáðàçîì îêàçàëè  ñòèìóëèðóþùåå âîçäåéñòâèå íà ïðîãðåññ ýòîé íàóêè.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå è íà îáðàòíóþ ñâÿçü - íà ðîëü ìàòåìà­òèêè â ôîðìèðîâàíèè ýëåéñêîé ôèëîñîôèè. Òàê, óñòàíîâëåíî, ÷òî àïîðèè Çåíîíà ñâÿçàíû ñ íàõîæäåíèåì ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé  ïðîã­ðåññèè. Íà  ýòîì  îñíîâàíèè ñîâåòñêèé èñòîðèê ìàòåìàòèêè Ý.  Êîëüìàí ñäåëàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî “èìåííî íà ìàòåìàòè÷åñêèé ïî÷âå ñóììèðîâà­íèÿ òàêèõ  ïðîãðåññèé  è  âûðîñëè ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå àïîðèè Çåíîíà”. Îäíàêî òàêîå ïðåäïîëîæåíèå,  ïî-âèäèìîìó, ëèøåíî äîñòàòî÷íûõ îñíîâà­íèé, òàê  êàê îíî ñëèøêîì æåñòêî ñâÿçûâàåò ó÷åíèå Çåíîíà ñ ìàòåìàòè­êîé ïðè òîì,  ÷òî èìåþùèå èñòîðè÷åñêèå äàííûå íå äàþò îñíîâàíèÿ  óò­âåðæäàòü, ÷òî Çåíîí âîîáùå áûë ìàòåìàòèêîì.

Îãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîñëåäóþùåãî  ðàçâèòèÿ  ìàòåìàòèêè  èìåëî ïîâûøåíèå óðîâíÿ àáñòðàêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ,  ÷òî ïðîèçîøëî â áîëüøîé ñòåïåíè áëàãîäàðÿ äåÿòåëüíîñòè ýëåàòîâ.  Êîíêðåòíîé ôîðìîé ïðîÿâëåíèÿ ýòîãî  ïðîöåññà áûëî âîçíèêíîâåíèå êîñâåííîãî äîêàçàòåëü­ñòâà (“îò ïðîòèâíîãî”), õàðàêòåðíîé ÷åðòîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ äîêàçà­òåëüñòâî íå ñàìîãî óòâåðæäåíèÿ,  à àáñóðäíîñòè îáðàòíîãî åìó.  Òàêèì îáðàçîì áûë ñäåëàí øàã ê ñòàíîâëåíèþ ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé íàó­êè, ñîçäàíû  íåêîòîðûå  ïðåäïîñûëêè äëÿ åå àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîå­íèÿ.

Èòàê, ôèëîñîôñêèå ðàññóæäåíèÿ ýëåàòîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿâèëèñü ìîùíûì òîë÷êîì äëÿ ïðèíöèïèàëüíî íîâîé ïîñòàíîâêè âàæíåéøèõ  ìåòîäî­ëîãè÷åñêèõ âîïðîñîâ  ìàòåìàòèêè,  à  ñ äðóãîé - ïîñëóæèëè èñòî÷íèêîì âîçíèêíîâåíèÿ êà÷åñòâåííî  íîâîé  ôîðìû  îáîñíîâàíèÿ  ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Ãëàâà 5

ÄÅÌÎÊÐÈÒ

Àðãóìåíòû Çåíîíà âñêðûëè âíóòðåííèå ïðîòèâîðå÷èÿ, êîòîðûå èìåëè ìåñòî â ñëîæèâøèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Òåì ñàìûì ôàêò ñóùåñòâî­âàíèÿ ìàòåìàòèêè áûë ïîñòàâëåí ïîä ñîìíåíèå. Êàêèìè æå ïóòÿìè ðàçðå­øàëèñü ïðîòèâîðå÷èÿ, âûÿâëåííûå Çåíîíîì ?

Ïðîñòåéøèì âûõîäîì  èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áàë îòêàç îò àáñ­òðàêöèé â ïîëüçó òîãî, ÷òî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ îùóùåíèé. Òàêóþ ïîçèöèþ çàíÿë ñîôèñò Ïðîòàãîð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî “ìû íå ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñåáå íè÷åãî ïðÿìîãî èëè êðóãëîãî â òîì ñìûñëå, êàê ïðåäñòàâëÿåò ýòè òåðìèíû ãåîìåòðèÿ; â ñàìîì äåëå, êðóã êàñàåòñÿ ïðÿ­ìîé íå â îäíîé òî÷êå”.  Òàêèì îáðàçîì,  èç ìàòåìàòèêè ñëåäóåò óáðàòü êàê èððåàëüíûå:  ïðåäñòàâëåíèÿ  î  áåñêîíå÷íîì ÷èñëå âåùåé,  òàê êàê íèêòî íå ìîæåò ñ÷èòàòü äî áåñêîíå÷íîñòè; áåñêîíå÷íóþ äåëèìîñòü,  ïîñ­êîëüêó îíà  íåîñóùåñòâèìà ïðàêòè÷åñêè è ò.ä.  Òàêèì ïóòåì ìàòåìàòèêó ìîæíî ñäåëàòü íåóÿçâèìîé äëÿ ðàññóæäåíèé Çåíîíà, íî ïðè ýòîì ïðàêòè­÷åñêè óïðàçäíÿåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà. Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå áû­ëî ïîñòðîèòü ñèñòåìó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîëîæåíèé ìàòåìàòèêè, â êîòîðîé áû âûÿâëåííûå Çåíîíîì ïðîòèâîðå÷èÿ íå èìåëè áû ìåñòà. Ýòó çàäà÷ó ðå­øèë Äåìîêðèò, ðàçðàáîòàâ êîíöåïöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà.

Äåìîêðèò áàë,  ïî ìíåíèþ Ìàðêñà, “ïåðâûì ýíöèêëîïåäè÷åñêèì óìîì ñðåäè ãðåêîâ”.  Äèîãåí Ëàåðöèé (III â. í.ý.) íàçûâàåò 7Î åãî ñî÷èíå­íèé, â êîòîðûõ áûëè îñâåùåíû âîïðîñû ôèëîñîôèè,  ëîãèêè, ìàòåìàòèêè, êîñìîëîãèè, ôèçèêè, áèîëîãèè, îáùåñòâåííîé æèçíè, ïñèõîëîãèè, ýòèêè, ïåäàãîãèêè, ôèëîëîãèè, èñêóññòâà, òåõíèêè è äðóãèå. Àðèñòîòåëü ïèñàë î íåì: “Âîîáùå, êðîìå ïîâåðõíîñòíûõ èçûñêàíèé, íèêòî íè÷åãî íå óñòà­íîâèë, èñêëþ÷àÿ Äåìîêðèòà.  ×òî æå êàñàåòñÿ åãî, òî ïîëó÷àåòñÿ òàêîå âïå÷àòëåíèå, ÷òî îí ïðåäóñìîòðåë âñå,  äà è â ìåòîäå  âû÷èñëåíèé  îí âûãîäíî îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ”.

Ââîäíîé ÷àñòüþ íàó÷íîé ñèñòåìû Äåìîêðèòà áûëà “êàíîíèêà”, â êî­òîðîé ôîðìóëèðîâàëèñü è îáîñíîâûâàëèñü ïðèíöèïû àòîìèñòè÷åñêîé ôèëî­ñîôèè. Çàòåì ñëåäîâàëà ôèçèêà, êàê íàóêà î ðàçëè÷íûõ ïðîÿâëåíèÿõ áû­òèÿ, è ýòèêà.  Êàíîíèêà âõîäèëà â ôèçèêó â êà÷åñòâå èñõîäíîãî ðàçäå­ëà, ýòèêà æå ñòðîèëàñü êàê ïîðîæäåíèå ôèçèêè.   ôèëîñîôèè Äåìîêðèòà ïðåæäå âñåãî  óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó “ïîäëèííî ñóùèì” è òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî â “îáùåì ìíåíèè”.  Ïîäëèííî  ñóùèìè  ñ÷èòàëèñü ëèøü àòîìû è ïóñòîòà. Êàê ïîäëèííî ñóùåå, ïóñòîòà (íåáûòèå) åñòü òà­êàÿ æå ðåàëüíîñòü,  êàê àòîìû (áûòèå). “Âåëèêàÿ ïóñòîòà” áåçãðàíè÷íà è çàêëþ÷àåò â ñåáå âñå ñóùåñòâóþùåå, â íåé íåò íè âåðõà, íè íèçà, íè êðàÿ, íè öåíòðà,  îíà äåëàåò ïðåðûâíîé ìàòåðèþ è âîçìîæíûì åå äâèæå­íèå. Áûòèå  îáðàçóþò  áåñ÷èñëåííûå ìåëü÷àéøèå êà÷åñòâåííî îäíîðîäíûå ïåðâîòåëüöà, ðàçëè÷àþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé ïî âíåøíèì  ôîðìàì,  ðàçìåðó, ïîëîæåíèþ è ïîðÿäêó,  îíè äàëåå íåäåëèìû âñëåäñòâèå àáñîëþòíîé òâåð­äîñòè è îòñóòñòâèÿ â íèõ ïóñòîòû è “ïî  âåëè÷èíå  íåäåëèìû”.  Àòîìàì ñàìèì ïî ñåáå ñâîéñòâåííî íåïðåñòàííîå äâèæåíèå,  ðàçíîîáðàçèå êîòî­ðîãî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ðàçíîîáðàçèåì  ôîðì  àòîìîâ.  Äâèæåíèå àòîìîâ âå÷íî  è  â êîíå÷íîì èòîãå ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé âñåõ èçìåíåíèé â ìèðå.

Çàäà÷à íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ, ñîãëàñíî Äåìîêðèòó, ÷òîáû íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ ñâåñòè ê îáëàñòè “èñòèííîãî ñóùåãî” è äàòü èì îáúÿñíåíèå èñ­õîäÿ èç  îáùèõ ïðèíöèïîâ àòîìèñòèêè.  Ýòî ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïîñ­ðåäñòâîì ñîâìåñòíîé äåÿòåëüíîñòè îùóùåíèé è ðàçóìà. Ãíîñåîëîãè÷åñêóþ ïîçèöèþ  Äåìîêðèòà Ìàðêñ ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì:  “Äåìîêðèò íå òîëüêî íå óäàëÿëñÿ îò ìèðà, à, íàîáîðîò, áûë ýìïèðè÷åñêèì åñòåñò­âîèñïûòàòåëåì”.  Ñîäåðæàíèå èñõîäíûõ ôèëîñîôñêèõ ïðèíöèïîâ è ãíîñåî­ëîãè÷åñêèå óñòàíîâêè îïðåäåëèëè îñíîâíûå ÷åðòû íàó÷íîãî  ìåòîäà  Äå­ìîêðèòà:

à)  ïîçíàíèè èñõîäèòü îò åäèíè÷íîãî;

á) Ëþáûå  ïðåäìåò  è  ÿâëåíèå ðàçëîæèìû äî ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòîâ (àíàëèç) è îáúÿñíèìû èñõîäÿ èç íèõ (ñèíòåç);

â) Ðàçëè÷àòü ñóùåñòâîâàíèå “ïî èñòèíå” è “ñîãëàñíî ìíåíèþ”;

ã) ßâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè - ýòî îòäåëüíûå ôðàãìåíòû  óïîðÿäî­÷åííîãî êîñìîñà,  êîòîðûé  âîçíèê è ôóíêöèîíèðóåò â ðåçóëüòàòå äåéñ­òâèé ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîé ïðè÷èííîñòè.

Ìàòåìàòèêà ïî  ïðàâó äîëæíà ñ÷èòàòüñÿ ó Äåìîêðèòà ïåðâûì ðàçäåëîì ñîáñòâåííî ôèçèêè è ñëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííî  çà  êàíîíèêîé.   ñàìîì äåëå, àòîìû êà÷åñòâåííî îäíîðîäíû è èõ ïåðâè÷íûå ñâîéñòâà èìå­þò êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð.  Îäíàêî áûëî áû  íåïðàâèëüíî  òðàêòîâàòü ó÷åíèå Äåìîêðèòà êàê ðàçíîâèäíîñòü ïèôàãîðåèçìà,  ïîñêîëüêó Äåìîêðèò õîòÿ è ñîõðàíÿåò èäåþ ãîñïîäñòâà â ìèðå ìàòåìàòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñ­òè, íî  âûñòóïàåò ñ êðèòèêîé àïðèîðíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ïè­ôàãîðåéöåâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷èñëî äîëæíî âûñòóïàòü íå çàêîíîäàòåëåì ïðè­ðîäû, à èçâëåêàòüñÿ èç íåå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü âûÿâëÿåòñÿ Äåìîêðèòîì èç ÿâëåíèé äåéñòâèòåëüíîñòè,  è â ýòîì ñìûñëå îí ïðåäâîñ­õèùàåò èäåè ìàòåìàòè÷åñêîãî åñòåñòâîçíàíèÿ.  Èñõîäíûå íà÷àëà ìàòåðè­àëüíîãî áûòèÿ âûñòóïàþò ó Äåìîêðèòà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè êàê ìàòå­ìàòè÷åñêèå îáúåêòû,  è  â  ñîîòâåòñòâèè  ñ ýòèì ìàòåìàòèêå îòâîäèòñÿ âèäíîå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ êàê íàóêå î ïåðâè÷íûõ ñâîéñòâàõ âåùåé. Îäíàêî  âêëþ÷åíèå  ìàòåìàòèêè  â  îñíîâàíèå ìèðîâîççðåí÷åñêîé ñèñòåìû ïîòðåáîâàëî åå ïåðåñòðîéêè,  ïðèâåäåíèÿ ìàòåìàòèêè  â  ñîîò­âåòñòâèå ñ èñõîäíûìè ôèëîñîôñêèìè ïîëîæåíèÿìè,  ñ ëîãèêîé, ãíîñåîëî­ãèåé, ìåòîäîëîãèåé íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ.  Ñîçäàííàÿ  òàêèì  îáðàçîì êîíöåïöèÿ ìàòåìàòèêè,  íàçûâàåìàÿ êîíöåïöèåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèç­ìà, îêàçàëàñü ñóùåñòâåííî îòëè÷íîé îò ïðåäûäóùèõ.

Ó Äåìîêðèòà âñå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû (òåëà, ïëîñêîñòè, ëèíèè, òî÷êè) âûñòóïàþò  â  îïðåäåëåííûõ  ìàòåðèàëüíûõ  îáðàçàõ.  Èäåàëüíûå ïëîñêîñòè, ëèíèè,  òî÷êè â åãî ó÷åíèè îòñóòñòâóþò. Îñíîâíîé ïðîöåäó­ðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ  òåë íà òîí÷àéøèå  ëèñòèêè  (ïëîñêîñòè),  ïëîñêîñòåé - íà òîí÷àéøèå íèòêè (ëèíèè), ëèíèé - íà ìåëü÷àéøèå çåðíûøêè (àòîìû).  Êàæäûé àòîì  èìååò ìàëóþ, íî íåíóëåâóþ âåëè÷èíó è äàëåå íåäåëèì. Òåïåðü äëèíà ëèíèè îï­ðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ñîäåðæàùèõñÿ â íåé íåäåëèìûõ ÷àñòèö. Àíàëîãè÷íî ðåøàåòñÿ âîïðîñ  î âçàèìîñâÿçè ëèíèé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â òå­ëå. ×èñëî àòîìîâ â êîíå÷íîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà íå áåñêîíå÷íî,  õîòÿ è íàñòîëüêî âåëèêî,  ÷òî íåäîñòóïíî ÷óâñòâàì. Èòàê, ãëàâíûì îòëè÷èåì ó÷åíèÿ Äåìîêðèòà îò ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèå èì áåñêî­íå÷íîé äåëèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì îí ðåøàåò ïðîáëåìó ïðàâîìåðíîñòè òå­îðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ìàòåìàòèêè,  íå ñâîäÿ èõ ê ÷óâñòâåííî âîñïðè­íèìàåìûì îáðàçàì, êàê ýòî äåëàë Ïðîòàãîð. Òàê, íà ðàññóæäåíèÿ Ïðîòà­ãîðà î êàñàíèè îêðóæíîñòè è ïðÿìîé Äåìîêðèò  ìîã  áû  îòâåòèòü,  ÷òî ÷óâñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ  îòïðàâíûì êðèòåðèåì Ïðîòàãîðà,  ïîêàçûâàþò åìó, ÷òî ÷åì òî÷íåå ÷åðòåæ, òåì ìåíüøå ó÷àñòîê êàñàíèÿ; â äåéñòâèòåëüíîñ­òè æå ýòîò ó÷àñòîê íàñòîëüêî ìàë, ÷òî íå ïîääàåòñÿ ÷óâñòâåííîìó àíà­ëèçó, à îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè èñòèííîãî ïîçíàíèÿ.

Ðóêîâîäñòâóÿñü ïîëîæåíèÿìè  ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà,  Äåìîêðèò ïðîâîäèò ðÿä êîíêðåòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è äîñòèãàåò  âû­äàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ (íàïðèìåð,  òåîðèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ïåðñïåêòèâû è ïðîåêöèè). Êðîìå òîãî, îí ñûãðàë, ïî ñâèäåòåëüñòâó Àðõèìåäà, íåìàëî­âàæíóþ ðîëü  â äîêàçàòåëüñòâå Ýâäîêñîì òåîðåì îá îáúåìå êîíóñà è ïè­ðàìèäû. Íåëüçÿ ñ óâåðåííîñòüþ ñêàçàòü, ïîëüçîâàëñÿ ëè îí ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìåòîäàìè àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ.  À.Î.Ìàêîâåëüñêèé ïè­øåò: “Äåìîêðèò âñòóïèë íà ïóòü,  ïî êîòîðîìó äàëüøå ïîøëè Àðõèìåä  è Êàâàëüåðè. Îäíàêî, ïîäîéäÿ âïëîòíóþ ê ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî, Äå­ìîêðèò íå ñäåëàë ïîñëåäíåãî ðåøèòåëüíîãî øàãà. Îí íå äîïóñêàåò áåçã­ðàíè÷íîãî óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ñëàãàåìûõ,  îáðàçóþùèõ â ñâîåé ñóììå äàí­íûé îáúåì. Îí ïðèíèìàåò ëèøü ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîå, íå ïîääàþùååñÿ èñ­÷èñëåíèþ âñëåäñòâèå ñâîåé îãðîìíîñòè ÷èñëî ýòèõ ñëàãàåìûõ”.

Âûäàþùèìñÿ äîñòèæåíèåì Äåìîêðèòà â ìàòåìàòèêå ÿâèëàñü òàêæå åãî èäåÿ î ïîñòðîåíèè òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê ñèñòåìû.   çàðîäûøå­âîé ôîðìå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé  èäåþ  àêñèîìàòè÷åñêîãî  ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ çàòåì áûëà ðàçâèòà â ìåòîäîëîãè÷åñêîì ïëàíå Ïëà­òîíîì è ïîëó÷èëà ëîãè÷åñêè ðàçâåðíóòîå ïîëîæåíèå ó Àðèñòîòåëÿ.

Ãëàâà 6

ÏËÀÒÎÍÎÂÑÊÈÉ ÈÄÅÀËÈÇÌ

Ñî÷èíåíèÿ Ïëàòîíà (427-347 ãã.  äî í.ý.) - óíèêàëüíîå ÿâëåíèå â îòíîøåíèè âûäåëåíèÿ ôèëîñîôñêîé êîíöåïöèè. Ýòî âûñîêîõóäîæåñòâåííîå, çàõâàòûâàþùåå îïèñàíèå ñàìîãî ïðîöåññà ñòàíîâëåíèÿ êîíöåïöèè, ñ ñîì­íåíèÿìè è íåóâåðåííîñòüþ, ïîä÷àñ ñ áåçðåçóëüòàòíûìè ïîïûòêàìè ðàçðå­øåíèÿ ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà,  ñ âîçâðàòîì ê èñõîäíîìó ïóíêòó, ìíîãî­÷èñëåííûìè ïîâòîðåíèÿìè è ò.ï.  Âûäåëèòü â  òâîð÷åñòâå  Ïëàòîíà  êà­êîé-ëèáî àñïåêò  è ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæèòü åãî äîâîëüíî ñëîæíî,  òàê êàê ïðèõîäèòñÿ ðåêîíñòðóèðîâàòü ìûñëè Ïëàòîíà èç îòäåëüíûõ  âûñêàçû­âàíèé, êîòîðûå  íàñòîëüêî  äèíàìè÷íû,  ÷òî â ïðîöåññå ýâîëþöèè ìûñëè ïîðîé ïðåâðàùàþòñÿ â ñâîþ ïðîòèâîïîëîæíîñòü.

Ïëàòîí íåîäíîêðàòíî  âûñêàçûâàë  ñâîå  îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå è îíà âñåãäà îöåíèâàëàñü èì î÷åíü âûñîêî:  áåç  ìàòåìàòè÷åñêèõ  çíàíèé “÷åëîâåê ñ ëþáûìè ïðèðîäíûìè ñâîéñòâàìè íå ñòàíåò áëàæåííûì”, â ñâî­åì èäåàëüíîì ãîñóäàðñòâå îí ïðåäïîëàãàë “óòâåðäèòü çàêîíîì è óáåäèòü òåõ, êîòîðûå  íàìåðåâàþòñÿ çàíÿòü â ãîðîäå âûñîêèå äîëæíîñòè,  ÷òîáû îíè óïðàæíÿëèñü â íàóêå ñ÷èñëåíèÿ”.  Ñèñòåìàòè÷åñêîå øèðîêîå èñïîëü­çîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî  ìàòåðèàëà èìååò ìåñòî ó Ïëàòîíà,  íà÷èíàÿ ñ äèàëîãà “Ìåíîí”,  ãäå Ïëàòîí ïîäâîäèò ê îñíîâíîìó âûâîäó  ñ  ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà.  Èìåííî  âûâîä  ýòîãî äèàëîãà î òîì, ÷òî ïîçíàíèå åñòü ïðèïîìèíàíèå, ñòàë îñíîâîïîëàãàþùèì ïðèíöèïîì ïëà­òîíîâñêîé ãíîñåîëîãèè.

Çíà÷èòåëüíî â áîëüøåé ìåðå,  ÷åì â ãíîñåîëîãèè, âëèÿíèå ìàòåìà­òèêè îáíàðóæèâàåòñÿ  â îíòîëîãèè Ïëàòîíà.  Ïðîáëåìà ñòðîåíèÿ ìàòåðè­àëüíîé äåéñòâèòåëüíîñòè ó Ïëàòîíà ïîëó÷èëà òàêóþ òðàêòîâêó:  ìèð âå­ùåé, âîñïðèíèìàåìûé ïîñðåäñòâîì ÷óâñòâ,  íå åñòü ìèð èñòèííî ñóùåñò­âóþùåãî; âåùè íåïðåðûâíî âîçíèêàþò è ïîãèáàþò. Èñòèííûì áûòèåì îáëà­äàåò ìèð èäåé, êîòîðûå áåñòåëåñíû, íå÷óâñòâåííû è âûñòóïàþò ïî îòíî­øåíèþ ê âåùàì êàê èõ ïðè÷èíû è îáðàçû,  ïî êîòîðûì ýòè âåùè ñîçäàþò­ñÿ. Äàëåå,  ïîìèìî ÷óâñòâåííûõ ïðåäìåòîâ è èäåé îí óñòàíàâëèâàåò ìà­òåìàòè÷åñêèå èñòèíû,  êîòîðûå îò  ÷óâñòâåííûõ  ïðåäìåòîâ  îòëè÷àþòñÿ òåì, ÷òî âå÷íû è íåïîäâèæíû,  à îò èäåé - òåì, ÷òî íåêîòîðûå ìàòåìà­òè÷åñêèå èñòèíû ñõîäíà äðóã ñ äðóãîì,  èäåÿ æå âñÿêèé ðàç òîëüêî îä­íà. Ó  Ïëàòîíà â êà÷åñòâå ìàòåðèè íà÷àëàìè ÿâëÿþòñÿ áîëüøîå è ìàëîå, à â êà÷åñòâå ñóùíîñòè - åäèíîå,  èáî èäåè (îíè æå ÷èñëà)  ïîëó÷àþòñÿ èç áîëüøîãî  è  ìàëîãî  ÷åðåç  ïðèîáùåíèå èõ ê åäèíñòâó.  ×óâñòâåííî âîñïðèíèìàåìûé ìèð, ñîãëàñíî Ïëàòîíó, ñîçäàí Áîãîì. Ïðîöåññ ïîñòðîå­íèÿ êîñìîñà îïèñàí â äèàëîãå “Òèìåé”.  Îçíàêîìèâøèñü ñ ýòèì îïèñàíè­åì, íóæíî ïðèçíàòü,  ÷òî Ñîçäàòåëü áûë õîðîøî çíàêîì ñ ìàòåìàòèêîé è íà ìíîãèõ ýòàïàõ òâîðåíèÿ ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàë ìàòåìàòè÷åñêèå ïî­ëîæåíèÿ, à ïîðîé è âûïîëíÿë òî÷íûå âû÷èñëåíèÿ.

Ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îòíîøåíèé Ïëàòîí ïûòàëñÿ îõàðàêòåðè­çîâàòü è íåêîòîðûå ÿâëåíèÿ îáùåñòâåííîé æèçíè,  ïðèìåðîì ÷åãî  ìîæåò ñëóæèòü òðàêòîâêà  ñîöèàëüíîãî îòíîøåíèÿ “ðàâåíñòâî” â äèàëîãå “Ãîð­ãèé” è â “Çàêîíàõ”. Ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî Ïëàòîí ñóùåñòâåííî îïèðàëñÿ íà ìàòåìàòèêó  ïðè  ðàçðàáîòêå îñíîâíûõ ðàçäåëîâ ñâîåé ôèëîñîôèè:  â êîíöåïöèè “ïîçíàíèå - ïðèïîìèíàíèå”, ó÷åíèè î ñóùíîñòè ìàòåðèàëüíîãî áûòèÿ, îá óñòðîéñòâå êîñìîñà,  â òðàêòîâêå ñîöèàëüíûõ ÿâëåíèé è ò.ä. Ìàòåìàòèêà ñûãðàëà çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â êîíñòðóêòèâíîì îôîðìëåíèè åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû.  Òàê â ÷åì æå çàêëþ÷àëàñü åãî êîíöåïöèÿ ìàòåìà­òèêè?

Ñîãëàñíî Ïëàòîíó,  ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè (àðèôìåòèêà, ãåîìåòðèÿ, àñòðîíîìèÿ è ãàðìîíèÿ) äàðîâàíû ÷åëîâåêó áîãàìè,  êîòîðûå “ïðîèçâåëè ÷èñëî, äàëè  èäåþ  âðåìåíè è âîçáóäèëè ïîòðåáíîñòü èññëåäîâàíèÿ âñå­ëåííîé”. Èçíà÷àëüíîå íàçíà÷åíèå ìàòåìàòèêè â òîì,  ÷òîáû “î÷èùàëñÿ è îæèâëÿëñÿ òîò îðãàí äóøè ÷åëîâåêà,  ðàññòðîåííûé è îñëåïëåííûé èíûìè äåëàìè”, êîòîðûé “âàæíåå,  ÷åì òûñÿ÷à ãëàç,  ïîòîìó ÷òî èì îäíèì ñî­çåðöàåòñÿ èñòèíà”. “Òîëüêî íèêòî íå ïîëüçóåòñÿ åþ (ìàòåìàòèêîé) ïðà­âèëüíî, êàê íàóêîþ,  âëåêóùåé íåïðåìåííî ê ñóùåìó”. “Íåïðàâèëüíîñòü” ìàòåìàòèêè Ïëàòîí  âèäåë  ïðåæäå âñåãî â åå ïðèìåíèìîñòè äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òîáû îí âîîáùå îòðè­öàë ïðàêòè÷åñêóþ ïðèìåíèìîñòü ìàòåìàòèêè. Òàê, ÷àñòü ãåîìåòðèè íóæíà äëÿ “ðàñïîëîæåíèÿ ëàãåðåé”, “ïðè âñåõ ïîñòðîåíèÿõ êàê âî âðåìÿ ñàìèõ ñðàæåíèé, òàê è âî âðåìÿ ïîõîäîâ”. Íî, ïî ìíåíèþ Ïëàòîíà, “äëÿ òàêèõ âåùåé ...äîñòàòî÷íà ìàëàÿ ÷àñòü ãåîìåòðè÷åñêèõ è àðèôìåòè÷åñêèõ âûê­ëàäîê, ÷àñòü æå èõ áîëüøàÿ, ïðîñòèðàþùàÿñÿ äàëåå, äîëæíà ...ñïîñîáñ­òâîâàòü ëåã÷àéøåìó óñâîåíèþ èäåè áëàãà”.  Ïëàòîí îòðèöàòåëüíî  îòçû­âàëñÿ î  òåõ ïîïûòêàõ èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷,  êîòîðûå èìåëè ìåñòî â íàóêå òîãî âðåìåíè. Åãî íåóäîâëåòâîðåííîñòü âûçûâàëî òàêæå ïðèíÿòîå ñîâðåìåííèêàìè ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ.  Ðàññìàòðèâàÿ èäåè ñâîåé íàóêè  êàê îòðàæåíèå ðåàëüíûõ ñâÿçåé äåéñòâèòåëüíîñòè,   ìàòåìàòèêè â ñâîèõ èñ­ñëåäîâàíèÿõ íàðÿäó ñ àáñòðàêòíûìè ëîãè÷åñêèìè  ðàññóæäåíèÿìè  øèðîêî èñïîëüçîâàëè ÷óâñòâåííûå îáðàçû,  ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ.  Ïëàòîí âñÿ÷åñêè ñòàðàåòñÿ óáåäèòü,  ÷òî îáúåêòû ìàòåìàòèêè ñóùåñòâóþò  îáî­ñîáëåííî îò ðåàëüíîãî ìèðà, ïîýòîìó ïðè èõ èññëåäîâàíèè íåïðàâîìåðíî ïðèáåãàòü ê ÷óâñòâåííîé îöåíêå.

Òàêèì îáðàçîì, â èñòîðè÷åñêè ñëîæèâøåéñÿ ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé Ïëàòîí âûäåëÿåò òîëüêî óìîçðèòåëüíóþ,  äåäóêòèâíî ïîñòðîåííóþ êîìïîíåíòó è çàêðåïëÿåò çà íåé ïðàâî íàçûâàòüñÿ ìàòåìàòèêîé. Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè ìèñòèôèöèðóåòñÿ,  òåîðåòè÷åñêèå ðàçäåëû ðåçêî ïðîòèâîïîñ­òàâëÿþòñÿ âû÷èñëèòåëüíîìó àïïàðàòó, äî ïðåäåëà ñóæàåòñÿ îáëàñòü ïðè­ëîæåíèÿ.  òàêîì èñêàæåííîì âèäå íåêîòîðûå ðåàëüíûå ñòîðîíû  ìàòåìà­òè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ  è  ïîñëóæèëè  îäíèì  èç îñíîâàíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îáúåêòèâíîãî èäåàëèçìà Ïëàòîíà. Âåäü ñàìà ïî ñåáå ìàòåìàòèêà ê èäåàëèçìó  âîîáùå  íå âåäåò,  è â öåëÿõ ïîñòðîåíèÿ èäåàëèñòè÷åñêèõ ñèñòåì åå ïðèõîäèòñÿ ñóùåñòâåííî äåôîðìèðîâàòü.

Âîïðîñ î  âëèÿíèè,  îêàçàííîì  Ïëàòîíîì íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè, äîâîëüíî òðóäåí.  Äëèòåëüíîå  âðåìÿ  ãîñïîäñòâîâàëî  óáåæäåíèå,  ÷òî âêëàä Ïëàòîíà  â  ìàòåìàòèêó  áûë çíà÷èòåëåí.  Îäíàêî áîëåå ãëóáîêèé àíàëèç ïðèâåë ê èçìåíåíèþ ýòîé îöåíêè. Òàê, Î.Íåéãåáàóýð ïèøåò: “Åãî ñîáñòâåííûé ïðÿìîé âêëàä â ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ,  î÷åâèäíî, áûë ðà­âåí íóëþ...  Èñêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð ïðèìåðîâ  ìàòåìàòè­÷åñêèõ ðàññóæäåíèé,  ïðèâîäèìûõ Ïëàòîíîì è Àðèñòîòåëåì, íå ïîäòâåðæ­äàåò ãèïîòåçû î òîì,  ÷òî Ýâäîêñ èëè Òåýòåò  ÷åìó-ëèáî  íàó÷èëèñü  ó Ïëàòîíà... Åãî  ñîâåò àñòðîíîìàì çàìåíèòü íàáëþäåíèÿ ñïåêóëÿöèåé ìîã áû ðàçðóøèòü îäèí èç íàèáîëåå çíà÷èòåëüíûõ âêëàäîâ ãðåêîâ  â  òî÷íûå íàóêè”. Òàêàÿ  àðãóìåíòàöèÿ  âïîëíå óáåäèòåëüíà;  ìîæíî òàêæå ñîãëà­ñèòüñÿ è ñ òåì, ÷òî èäåàëèñòè÷åñêàÿ ôèëîñîôèÿ Ïëàòîíà â öåëîì ñûãðà­ëà îòðèöàòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè. Îäíàêî íå ñëåäóåò çàáû­âàòü î ñëîæíîì õàðàêòåðå ýòîãî âîçäåéñòâèÿ.

Ïëàòîíó ïðèíàäëåæèò  ðàçðàáîòêà íåêîòîðûõ âàæíûõ ìåòîäîëîãè÷åñ­êèõ ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ: àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ìà­òåìàòèêè, èññëåäîâàíèå  îòíîøåíèé  ìåæäó  ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè è äèàëåêòèêîé, àíàëèç îñíîâíûõ ôîðì ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ.  Òàê, ïðî­öåññ äîêàçàòåëüñòâà  íåîáõîäèìî ñâÿçûâàåò íàáîð äîêàçàííûõ ïîëîæåíèé â ñèñòåìó,  â îñíîâå êîòîðîé ëåæàò íåêîòîðûå íåäîêàçóåìûå ïîëîæåíèÿ. Òîò ôàêò, ÷òî íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê “ñóòü ïðåäïîëîæåíèÿ”, ìîæåò âûçâàòü ñîìíåíèå â èñòèííîñòè âñåõ  ïîñëåäóþùèõ  ïîñòðîåíèé.  Ïëàòîí ñ÷èòàë òàêîå ñîìíåíèå íåîáîñíîâàííûì.  Ñîãëàñíî åãî îáúÿñíåíèþ, õîòÿ ñàìè ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè,  “ïîëüçóÿñü ïðåäïîëîæåíèÿìè, îñòàâëÿþò èõ â íåïîäâèæíîñòè  è  íå ìîãóò äàòü äëÿ íèõ îñíîâàíèÿ”,  ïðåäïîëîæåíèÿ íàõîäÿò îñíîâàíèÿ ïîñðåäñòâîì äèàëåêòèêè. Ïëàòîí âûñêàçàë è ðÿä äðó­ãèõ ïîëîæåíèé,  îêàçàâøèõñÿ  ïëîäîòâîðíûìè  äëÿ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè. Òàê, â äèàëîãå “Ïèð” âûäâèãàåòñÿ  ïîíÿòèå  ïðåäåëà;  èäåÿ  âûñòóïàåò çäåñü êàê ïðåäåë ñòàíîâëåíèÿ âåùè.

Êðèòèêà, êîòîðîé ïîäâåðãàëèñü ìåòîäîëîãèÿ  è  ìèðîâîççðåí÷åñêàÿ ñèñòåìà Ïëàòîíà  ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ,  ïðè âñåé ñâîåé âàæíîñòè íå çàòðàãèâàëà ñàìè îñíîâû èäåàëèñòè÷åñêîé êîíöåïöèè. Äëÿ çàìåíû ðàçðà­áîòàííîé Ïëàòîíîì  ìåòîäîëîãèè  ìàòåìàòèêè áîëåå ïðîäóêòèâíîé ñèñòå­ìîé íóæíî áûëî ïîäâåðãíóòü êðèòè÷åñêîìó ðàçáîðó åãî ó÷åíèå îá èäåÿõ, îñíîâíûå ðàçäåëû åãî ôèëîñîôèè è êàê ñëåäñòâèå ýòîãî - åãî âîççðåíèå íà ìàòåìàòèêó. Ýòà ìèññèÿ âûïàëà íà äîëþ ó÷åíèêà Ïëàòîíà - Àðèñòîòå­ëÿ.

Ãëàâà 7

ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÀÐÈÑÒÎÒÅËß

Ê.Ìàðêñ íàçâàë Àðèñòîòåëÿ (384-322 ãã. äî í.ý.) “âåëè÷àéøèì ôè­ëîñîôîì äðåâíîñòè”.  Îñíîâíûå âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ïñèõîëîãèè, åñòåñòâîçíàíèÿ, òåõíèêè,  ïîëèòèêè, ýòèêè è ýñòåòèêè, ïîñòàâëåííûå â íàóêå Äðåâíåé Ãðåöèè,  ïîëó÷èëè ó Àðèñòîòåëÿ ïîëíîå  è  âñåñòîðîííåå îñâåùåíèå.  ìàòåìàòèêå îí, ïî-âèäèìîìó,  íå ïðîâîäèë êîíêðåòíûõ èñ­ñëåäîâàíèé, îäíàêî âàæíåéøèå ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãî  ïîçíàíèÿ  áûëè ïîäâåðãíóòû èì ãëóáîêîìó ôèëîñîôñêîìó àíàëèçó,  ïîñëóæèâøåìó ìåòîäî­ëîãè÷åñêîé îñíîâîé äåÿòåëüíîñòè ìíîãèõ ïîêîëåíèé ìàòåìàòèêîâ.

Êî âðåìåíè  Àðèñòîòåëÿ  òåîðåòè÷åñêàÿ  ìàòåìàòèêà ïðîøëà çíà÷è­òåëüíûé ïóòü è äîñòèãëà âûñîêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ. Ïðîäîëæàÿ òðàäèöèþ ôèëîñîôñêîãî àíàëèçà  ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ,  Àðèñòîòåëü ïîñòàâèë âîïðîñ î íåîáõîäèìîñòè óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñàìîãî çíàíèÿ î ñïîñîáàõ óñâî­åíèÿ íàóêè, î öåëåíàïðàâëåííîé ðàçðàáîòêå èñêóññòâà âåäåíèÿ ïîçíàâà­òåëüíîé äåÿòåëüíîñòè,  âêëþ÷àþùåãî äâà îñíîâíûõ ðàçäåëà: “îáðàçîâàí­íîñòü” è “íàó÷íîå çíàíèå äåëà”. Ñðåäè èçâåñòíûõ ñî÷èíåíèé Àðèñòîòåëÿ íåò ñïåöèàëüíî ïîñâÿùåííûõ èçëîæåíèþ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì  ìàòå­ìàòèêè. Íî ïî îòäåëüíûì âûñêàçûâàíèÿì, ïî èñïîëüçîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñ­êîãî ìàòåðèàëà â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèé îáùèõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïîëîæå­íèé ìîæíî ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàêîâ áûë åãî èäåàë ïîñòðî­åíèÿ ñèñòåìû ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Èñõîäíûì ýòàïîì ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, ñîãëàñíî Àðèñòîòå­ëþ, ÿâëÿåòñÿ îáó÷åíèå,  êîòîðîå “îñíîâàíî íà (íåêîòîðîì)  óæå  ðàíåå èìåþùåìñÿ çíàíèè... Êàê ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, òàê è êàæäîå èç ïðî÷èõ èñêóññòâ ïðèîáðåòàåòñÿ (èìåííî) òàêèì ñïîñîáîì”.  Äëÿ îòäåëåíèÿ çíà­íèÿ îò  íåçíàíèÿ Àðèñòîòåëü ïðåäëàãàåò ïðîàíàëèçèðîâàòü “âñå òå ìíå­íèÿ, êîòîðûå ïî-ñâîåìó âûñêàçûâàëè â ýòîé îáëàñòè íåêîòîðûå ìûñëèòå­ëè” è îáäóìàòü âîçíèêøèå ïðè ýòîì çàòðóäíåíèÿ. Àíàëèç ñëåäóåò ïðîâî­äèòü ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ ÷åòûðåõ âîïðîñîâ:  “÷òî (âåùü)  åñòü,  ïî÷åìó (îíà) åñòü, åñòü ëè (îíà) è ÷òî (îíà) åñòü”.

Îñíîâíûì ïðèíöèïîì, îïðåäåëÿþùèì âñþ ñòðóêòóðó “íàó÷íîãî çíàíèÿ äåëà”, ÿâëÿåòñÿ  ïðèíöèï  ñâåäåíèÿ âñåãî ê íà÷àëàì è âîñïðîèçâåäåíèÿ âñåãî èç íà÷àë.  Óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì ïðîèçâîäñòâà çíàíèé èç  íà­÷àë, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, âûñòóïàåò äîêàçàòåëüñòâî. “Äîêàçàòåëüñòâîì æå ÿ íàçûâàþ ñèëëîãèçì,  - ïèøåò îí, - êîòîðûé äàåò çíàíèÿ”. Èçëîæå­íèþ òåîðèè  äîêàçàòåëüíîãî çíàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîñâÿùåí “Îðãàíîí” Àðèñ­òîòåëÿ. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü â  ðàçäå­ëû, êàæäûé  èç êîòîðûõ ðàñêðûâàåò îäíó èç òðåõ îñíîâíûõ ñòîðîí ìàòå­ìàòèêè êàê äîêàçûâàþùåé íàóêè:  “òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ, òî, ÷òî  äîêàçûâàåòñÿ è òî,  íà îñíîâàíèè ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ”.  Òàêèì îáðàçîì, Àðèñòîòåëü äèôôåðåíöèðîâàííî ïîäõîäèë ê îáúåêòó, ïðåäìåòó è ñðåäñòâàì äîêàçàòåëüñòâà.

Ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçíàâàëîñü  çàäîëãî  äî Àðèñòîòåëÿ, îäíàêî ïèôàãîðåéöû,  íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàëè, ÷òî îíè íà­õîäÿòñÿ â ÷óâñòâåííûõ âåùàõ,  ïëàòîíèêè æå, íàîáîðîò, ñ÷èòàëè èõ ñó­ùåñòâóþùèìè îòäåëüíî. Ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ:

1.  ÷óâñòâåííûõ âåùàõ ìàòåìàòè÷åñêèå  îáúåêòû  íå  ñóùåñòâóþò, òàê êàê “íàõîäèòüñÿ â òîì æå ñàìîì ìåñòå äâà òåëà íå â ñîñòîÿíèè”;

2. “Íåâîçìîæíî è òî,  ÷òîáû òàêèå ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàëè  îáîñîáëåííî”.

Àðèñòîòåëü ñ÷èòàë ïðåäìåòîì ìàòåìàòèêè “êîëè÷åñòâåííóþ  îïðåäå­ëåííîñòü è  íåïðåðûâíîñòü”.   åãî òðàêòîâêå “êîëè÷åñòâîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà ñîñòàâíûå  ÷àñòè,  êàæäàÿ  èç  êîòî­ðûõ ...ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îäíèì, äàííûì íàëèöî. Òî èëè äðóãîå êîëè÷åñò­âî åñòü ìíîæåñòâî,  åñëè åãî ìîæíî ñ÷åñòü,  ýòî âåëè÷èíà,  åñëè  åãî ìîæíî èçìåðèòü”.  Ìíîæåñòâîì ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ òî,  “÷òî â âîçìîæ­íîñòè (ïîòåíöèàëüíî) äåëèòñÿ íà ÷àñòè íå  íåïðåðûâíûå,  âåëè÷èíîþ  ­òî, ÷òî  äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåïðåðûâíûå”.  Ïðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè, Àðèñòîòåëü ðàññìàòðèâàåò  ïîíÿòèå  áåñêîíå÷íîãî,  òàê êàê “îíî îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè êîëè÷åñòâà” è ïðîÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñå­ãî â íåïðåðûâíîì.  “×òî áåñêîíå÷íîå ñóùåñòâóåò,  óâåðåííîñòü â  ýòîì âîçíèêàåò ó  èññëåäîâàòåëåé  èç ïÿòè îñíîâàíèé:  èç âðåìåíè (èáî îíî áåñêîíå÷íî); èç ðàçäåëåíèÿ âåëè÷èí..; äàëåå, òîëüêî òàêèì îáðàçîì íå èññÿêíóò âîçíèêíîâåíèå è óíè÷òîæåíèå, åñëè áóäåò áåñêîíå÷íîå, îòêóäà áåðåòñÿ âîçíèêàþùåå. 

Äàëåå, èç òîãî, ÷òî êîíå÷íîå âñåãäà ãðàíè÷èò ñ ÷åì-íèáóäü, òàê  êàê íåîáõîäèìî,  ÷òîáû îäíî âñåãäà ãðàíè÷èëî ñ äðó­ãèì. Íî áîëüøå âñåãî -...íà òîì îñíîâàíèè,  ÷òî ìûøëåíèå íå îñòàíàâ­ëèâàåòñÿ: è  ÷èñëî êàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì,  è ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû”. Ñóùåñòâóåò ëè áåñêîíå÷íîå êàê îòäåëüíàÿ ñóùíîñòü  èëè  îíî  ÿâëÿåòñÿ àêöèäåíöèåé âåëè÷èíû èëè ìíîæåñòâà?  Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò âòîðîé âà­ðèàíò, òàê êàê “åñëè áåñêîíå÷íîå íå åñòü íè âåëè÷èíà,  íè ìíîæåñòâî, à ñàìî ÿâëÿåòñÿ ñóùíîñòüþ..., òî îíî áóäåò íåäåëèìî, òàê êàê äåëèìîå áóäåò èëè âåëè÷èíîé,  èëè ìíîæåñòâîì.  Åñëè æå îíî íå äåëèìî, îíî íå áåñêîíå÷íî â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî äî êîíöà”. Íåâîçìîæíîñòü ìàòåìàòè­÷åñêîãî áåñêîíå÷íîãî êàê íåäåëèìîãî ñëåäóåò èç òîãî,  ÷òî  ìàòåìàòè­÷åñêèé îáúåêò - îòâëå÷åíèå îò ôèçè÷åñêîãî òåëà, à “àêòóàëüíî íåäåëè­ìîå áåñêîíå÷íîå òåëî íå ñóùåñòâóåò”. ×èñëî “êàê ÷òî-òî îòäåëüíîå è â òî æå  âðåìÿ áåñêîíå÷íîå” íå ñóùåñòâóåò,  âåäü “...åñëè âîçìîæíî ïå­ðåñ÷èòàòü ñ÷èñëèìîå,  òî áóäåò âîçìîæíîñòü ïðîéòè äî êîíöà è  áåñêî­íå÷íîå”. Òàêèì  îáðàçîì,  áåñêîíå÷íîñòü çäåñü â ïîòåíöèè ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî æå - íåò.

Îïèðàÿñü íà èçëîæåííîå âûøå ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî,  Àðèñòîòåëü îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîñòü è ïðåðûâíîñòü.  Òàê, “íåïðåðûâíîå åñòü ñàìî ïî ñåáå íå÷òî ñìåæíîå. Ñìåæíîå åñòü òî, ÷òî, ñëåäóÿ çà äðóãèì, êàñà­åòñÿ åãî”. ×èñëî êàê òèïè÷íî ïðåðûâíîå (äèñêðåòíîå) îáðàçîâàíèå ôîð­ìèðóåòñÿ ñîåäèíåíèåì äèñêðåòíûõ, äàëåå íåäåëèìûõ ýëåìåíòîâ - åäèíèö. Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà;  ïðè ýòîì ñîåäèíåíèå òî÷åê íå ìîæåò îáðàçîâàòü ëèíèþ, òàê êàê “òî÷êàì, èç êîòîðûõ áûëî áû ñîñòàâëåíî íåïðåðûâíîå,  íåîáõîäèìî èëè áûòü íåïðåðûâíûìè,  èëè  êà­ñàòüñÿ äðóã äðóãà”.  Íî íåïðåðûâíûìè îíè íå áóäóò:  “âåäü êðàÿ òî÷åê íå îáðàçóþò ÷åãî-íèáóäü åäèíîãî,  òàê êàê ó íåäåëèìîãî íåò íè  êðàÿ, íè äðóãîé  ÷àñòè”.  Òî÷êè íå ìîãóò è êàñàòüñÿ äðóã äðóãà,  ïîñêîëüêó êàñàþòñÿ “âñå ïðåäìåòû èëè êàê öåëîå öåëîãî, èëè ñâîèìè ÷àñòÿìè, èëè êàê öåëîå ÷àñòè. Íî òàê êàê íåäåëèìîå íå èìååò ÷àñòåé, èì íåîáõîäèìî êàñàòüñÿ öåëèêîì, íî êàñàþùååñÿ öåëèêîì íå îáðàçóåò íåïðåðûâíîãî”.

Íåâîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíîãî èç íåäåëèìûõ è  íåáõîäèìîñòü åãî äåëåíèÿ íà âñåãäà äåëèìûå ÷àñòè, óñòàíîâëåííûå äëÿ âåëè÷è­íû, Àðèñòîòåëü ðàñïðîñòðàíÿåò íà  äâèæåíèå,  ïðîñòðàíñòâî  è  âðåìÿ, îáîñíîâûâàÿ (íàïðèìåð,  â “Ôèçèêå”) ïðàâîìåðíîñòü ýòîãî øàãà. Ñ äðó­ãîé ñòîðîíû,  îí ïðèõîäèò ê âûâîäó,  ÷òî ïðèçíàíèå íåäåëèìûõ âåëè÷èí ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíûì  ñâîéñòâàì äâèæåíèÿ.  Âûäåëåíèå íåïðåðûâíîãî è ïðåðûâíîãî êàê ðàçíûõ ðîäîâ áûòèÿ ïîñëóæèëî îñíîâîé äëÿ ðàçìåæåâàíèÿ â ëîãèêî-ãíîñåîëîãè÷åñêîé îáëàñòè, äëÿ ðåçêîãî îòìåæåâàíèÿ àðèôìåòè­êè îò ãåîìåòðèè.

“Íà÷àëàìè... â  êàæäîì ðîäå ÿ íàçûâàþ òî,  îòíîñèòåëüíî ÷åãî íå ìîæåò áûòü äîêàçàíî, ÷òî îíî åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, òî, ÷òî îáîçíà÷àåò ïåðâè÷íîå è èç íåãî âûòåêàþùåå, ïðèíèìàåòñÿ. Ñóùåñòâîâàíèå íà÷àë íå­îáõîäèìî ïðèíÿòü,  äðóãîå - ñëåäóåò äîêàçàòü.  Íàïðèìåð,  ÷òî  òàêîå åäèíèöà èëè ÷òî òàêîå ïðÿìîå èëè ÷òî òàêîå òðåóãîëüíèê (ñëåäóåò ïðè­íÿòü); ÷òî åäèíèöà è âåëè÷èíà  ñóùåñòâóåò,  òàêæå  ñëåäóåò  ïðèíÿòü, äðóãîå - äîêàçàòü”.  âîïðîñå î ïîÿâëåíèè ó ëþäåé ñïîñîáíîñòè ïîçíà­íèÿ íà÷àë Àðèñòîòåëü íå ñîãëàøàåòñÿ ñ òî÷êîé çðåíèÿ Ïëàòîíà î  âðîæ­äåííîñòè òàêèõ ñïîñîáíîñòåé,  íî è íå äîïóñêàåò âîçìîæíîñòè ïðèîáðå­òåíèÿ èõ;  çäåñü îí ïðåäëàãàåò ñëåäóþùåå ðåøåíèå:  “íåîáõîäèìî îáëà­äàòü íåêîòîðîé âîçìîæíîñòüþ,  îäíàêî íå òàêîé,  êîòîðàÿ ïðåâîñõîäèëà áû ýòè ñïîñîáíîñòè â îòíîøåíèè òî÷íîñòè”. Íî òàêàÿ âîçìîæíîñòü, î÷å­âèäíî, ïðèñóùà âñåì æèâûì ñóùåñòâàì; â ñàìîì äåëå, îíè îáëàäàþò ïðè­ðîæäåííîé ñïîñîáíîñòüþ ðàçáèðàòüñÿ,  êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ  ÷óâñòâåííûì âîñïðèÿòèåì. Ôîðìèðîâàíèå íà÷àë èäåò “îò ïðåäøåñòâóþùåãî è áîëåå èç­âåñòíîãî äëÿ íàñ”, òî åñòü îò òîãî, ÷òî áëèæå ê ÷óâñòâåííîìó âîñïðè­ÿòèþ ê  “ïðåäøåñòâóþùåìó è áîëåå èçâåñòíîìó áåçóñëîâíî” (òàêèì ÿâëÿ­åòñÿ îáùåå). Àðèñòîòåëü äàåò ðàçâåðíóòóþ êëàññèôèêàöèþ íà÷àë, èñõîäÿ èç ðàçíûõ ïðèçíàêîâ.

Âî-ïåðâûõ, îí âûäåëÿåò “íà÷àëà, èç êîòîðûõ (÷òî-ëèáî) äîêàçûâà­åòñÿ, è òàêèå,  î êîòîðûõ (äîêàçûâàåòñÿ)”.  Ïåðâûå “ñóòü îáùèå (âñåì íà÷àëà)”, âòîðûå - “ñâîéñòâåííûå (ëèøü äàííîé íàóêå), íàïðèìåð, ÷èñ­ëî, âåëè÷èíà”.   ñèñòåìå íà÷àë îáùèå çàíèìàþò âåäóùåå ìåñòî,  íî èõ íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê “ñðåäè îáùèõ íà÷àë íå ìîæåò áûòü òàêèõ, èç êî­òîðûõ ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü âñå”. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ñðåäè íà÷àë äîëæíû áûòü “îäíè ñâîéñòâåííû êàæäîé íàóêå â îòäåëüíîñòè, äðóãèå - îáùèå âñåì”. Âî-âòîðûõ, íà÷àëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî îíè ðàñêðûâàþò: ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòà èëè íàëè÷èå ó íå­ãî íåêîòîðûõ ñâîéñòâ.  Â-òðåòüèõ,  êîìïëåêñ íà÷àë äîêàçûâàþùåé íàóêè äåëèòñÿ íà àêñèîìû, ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîñòóëàòû, èñõîäíûå îïðåäåëåíèÿ.

Âûáîð íà÷àë  ó Àðèñòîòåëÿ âûñòóïàåò îïðåäåëÿþùèì ìîìåíòîì ïîñòðîåíèÿ äîêàçûâàþùåé íàóêè;  èìåííî íà÷àëà  õàðàêòåðèçóþò  íàóêó  êàê äàííóþ, âûäåëÿþò  åå  èç ðÿäà äðóãèõ íàóê.  “Òî,  ÷òî äîêàçûâàåòñÿ”, ìîæíî òðàêòîâàòü î÷åíü øèðîêî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ýëåìåíòàðíûé äî­êàçûâàþùèé ñèëëîãèçì è åãî çàêëþ÷åíèÿ.  Èç ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåñ­ñîâ ñòðîèòñÿ çäàíèå äîêàçûâàþùåé íàóêè â âèäå îòäåëüíî  âçÿòîé  òåî­ðèè. Èç íèõ æå ñîçäàåòñÿ è íàóêà êàê ñèñòåìà òåîðèé.  Îäíàêî íå âñÿ­êèé íàáîð äîêàçàòåëüñòâ îáðàçóåò òåîðèþ.  Äëÿ ýòîãî îí äîëæåí  óäîâ­ëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì,  îõâàòûâàþùèì êàê ñîäåðæàíèå äî­êàçûâàåìûõ ïðåäëîæåíèé,  òàê è ñâÿçè ìåæäó íèìè.  ïðåäåëàõ æå íàó÷­íîé òåîðèè  íåîáõîäèìî  èìååò ìåñòî ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïåðâè÷íûìè, íî ñëóæàò äëÿ ðàñêðûòèÿ ïðåäìåòà òå­îðèè.

Õîòÿ âîïðîñû ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ è íå áûëè èç­ëîæåíû Àðèñòîòåëåì  â êàêîé-òî îòäåëüíîé ðàáîòå,  íî ïî ñîäåðæàíèþ â ñîâîêóïíîñòè îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  îñíîâå ôèëîñîôèè ìàòåìà­òèêè Àðèñòîòåëÿ  ëåæèò ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé êàê îòðàæåíèÿ îáúåêòèâíîãî ìèðà.  Ýòà óñòàíîâêà ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â áîðüáå Àðèñ­òîòåëÿ ñ  ïëàòîíîâûì èäåàëèçìîì;  âåäü “åñëè â ÿâëåíèÿõ ÷óâñòâåííîãî ìèðà íå íàõîäèòñÿ âîâñå ìàòåìàòè÷åñêîå,  òî êàêèì îáðàçîì  âîçìîæíî, ÷òî ê íèì ïðèëàãàþòñÿ åãî ñâîéñòâà?” - ïèñàë îí. Ðàçóìååòñÿ, ìàòåðè­àëèçì Àðèñòîòåëÿ áûë íåïîñëåäîâàòåëüíûì,  â öåëîì  åãî  âîççðåíèÿ  â áîëüøåé ñòåïåíè  ñîîòâåòñòâîâàëè ïîòðåáíîñòÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíà­íèÿ, ñåì âçãëÿäû Ïëàòîíà.  ñâîþ î÷åðåäü ìàòåìàòèêà áûëà äëÿ Àðèñòî­òåëÿ îäíèì  èç èñòî÷íèêîâ ôîðìèðîâàíèÿ ðÿäà ðàçäåëîâ åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû.

×ÀÑÒÜ ÂÒÎÐÀß.

ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÀß ÃÀÐÌÎÍÈß ÏÎÄÎÁÈß

Ãëàâà 1

ÁÅÑÑÈËÈÅ ÏÐßÌÎÉ

 êà÷åñòâå ââåäåíèÿ êî âòîðîé ÷àñòè ìíå áû õîòåëîñü ïðèâåñòè ñëîâà Ôðèäåíñðàéõà Õóíäåðòâàññåðà, îäíîãî èç òåõ çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñèëàìè êîòîðûõ ñîâðåìåííàÿ íàóêà ñòàíîâèòñÿ âñå áëèæå ê èñêóññòâó, à èñêóññòâî ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü àðñåíàë ñðåäñòâ, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ñåãîäíÿøíåé íàóêîé äëÿ âûðàæåíèÿ èäåé è õóäîæåñòâåííûõ çàìûñëîâ:

 1953 ãîäó ÿ ïîíÿë, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ  âåäåò  ÷åëîâå÷åñòâî  ê óïàäêó. Òèðàíèÿ ïðÿìîé ñòàëà àáñîëþòíîé. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ -  ýòî íå÷òî òðóñëèâîå, ïðî÷åð÷åííîå ïî ëèíåéêå, áåç ýìîöèé è  ðàçìûøëåíèé; ýòî ëèíèÿ, íå ñóùåñòâóþùàÿ â ïðèðîäå. È íà  ýòîì  íàñêâîçü  ïðîãíèâøåì ôóíäàìåíòå ïîñòðîåíà íàøà îáðå÷åííàÿ öèâèëèçàöèÿ. Åñëè äàæå è âîç­íèêàåò ãäå-òî ìûñëü, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàïðÿìèê âåäåò ê  ãèáåëè, åå êóðñó âñå ðàâíî ïðîäîëæàþò ñëåäîâàòü äàëüøå... Ëþáîé äèçàéí, îñíî­âàííûé íà ïðÿìîé ëèíèè, áóäåò ìåðòâîðîæäåííûì. Ñåãîäíÿ ìû ÿâëÿåìñÿ ñâèäåòåëÿìè òðèóìôà ðàöèîíàëèñòè÷åñêèõ çíàíèé è îäíîâðåìåííî îáíà­ðóæèâàåì, ÷òî îêàçàëèñü â ïóñòîòå.  Ýñòåòè÷åñêèé  âàêóóì,  ïóñòûíÿ îäíîîáðàçèÿ, ïðåñòóïíîå áåñïëîäèå, óòðàòà ñîçèäàòåëüíûõ âîçìîæíîñ­òåé.

Ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ äàæå òâîð÷åñòâî. Ìû ñòàëè  áåññèëüíûìè.  Ìû áîëüøå íå ñïîñîáíû òâîðèòü.  ýòîì íàøå íåâåæåñòâî.

Ôðàêòàëû âîêðóã íàñ ïîâñþäó, è â î÷åðòàíèÿõ ãîð, è â èçâèëèñ­òîé ëèíèè ìîðñêîãî áåðåãà. Íåêîòîðûå èç ôðàêòàëîâ íåïðåðûâíî ìåíÿ­þòñÿ, ïîäîáíî äâèæóùèìñÿ îáëàêàì èëè ìåðöàþùåìó ïëàìåíè, â òî âðå­ìÿ êàê äðóãèå, ïîäîáíî äåðåâüÿì  èëè  íàøèì  ñîñóäèñòûì  ñèñòåìàì, ñîõðàíÿþò ñòðóêòóðó, ïðèîáðåòåííóþ â ïðîöåññå  ýâîëþöèè. ×åëîâåêó, íå ñâÿçàííîìó ñ íàóêîé, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì  òî,  ÷òî  òàêèå ïðèâû÷íûå âñåì âåùè ñ íåäàâíèõ ïîð îêàçàëèñü â  ôîêóñå èíòåíñèâíûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Íî ïðèâû÷íîñòü êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî ó÷åíûå ìîãóò ïðàâèëüíî åãî îáúÿñíèòü.  Ðåáåíêó  òîæå ïðèâû÷íû è åãî ãîëóáàÿ êîëûáåëü, è ãîëóáîå íåáî çàäîëãî  äî  òîãî, êàê îí îñîçíàåò, ÷òî ãîëóáîé öâåò åñòü îáùåå êà÷åñòâî  ñîâñåì ðàç­íûõ âåùåé.  åãî ïîçíàâàòåëüíîì ðàçâèòèè íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà îí óæå ñìîæåò âîñïðèíÿòü ïîíÿòèå öâåòà; îí ñëûøèò, ÷òî  íåáî ÿâëÿåòñÿ ãîëóáûì è âäðóã “îòêðûâàåò”, ÷òî è íåêîòîðûå äðóãèå âåùè  òîæå ÿâ­ëÿþòñÿ ãîëóáûìè.

Ðàçâèòèå íàøåãî íàó÷íîãî ïîíèìàíèÿ ìèðà ïðîèñõîäèò  ïî  òàêîé æå ñõåìå. Äà, ìíîãèå ôðàêòàëû íàì çíàêîìû, íî äî ñàìîãî ïîñëåäíåãî âðåìåíè â íàøåì íàó÷íîì ïðåäñòàâëåíèè î ìèðå èì íå íàõîäèëîñü ìåñ­òà. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå âîñõîäèò åùå ê  Ãàëèëåî  Ãàëèëåþ,  ÷üå ìàñò­åðñòâî âëàäåíèÿ àáñòðàêöèåé, âñòóïàþùåé â ïðîòèâîðå÷èå  ñ èíòóèöè­åé, äàåò ïðèìåð  ñîâðåìåííîãî  íàó÷íîãî  ðàññóæäåíèÿ.  Åãî  êðåäî, ñôîðìóëèðîâàííîå èì ñàìèì â 1623 ãîäó, ãëàñèò:

Âñÿ íàóêà çàïèñàíà à ýòîé âåëèêîé êíèãå - ÿ èìåþ â  âèäó Âñå­ëåííóþ, - êîòîðàÿ âñåãäà îòêðûòà äëÿ íàñ,  íî  êîòîðóþ  íåëüçÿ ïî­íÿòü, íå íàó÷èâøèñü ïîíèìàòü ÿçûê, íà êîòîðîì îíà íàïèñàíà.  À íà­ïèñàíà îíà íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè, è åå áóêâàìè  ÿâëÿþòñÿ òðåóãîëüíè­êè, îêðóæíîñòè è äðóãèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, áåç êîòîðûõ ÷åëîâå­êó íåâîçìîæíî ðàçîáðàòü íè îäíîãî åå ñëîâà;  áåç  íèõ  îí  ïîäîáåí áëóæäàþùåìó âî òüìå. Ïîíàäîáèëîñü ïî÷òè 350 ëåò,  ÷òîáû  âûéòè  çà ðàìêè ãàëèëååâñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ - äî òåõ  ïîð,  ïîêà  Áåíóà Ìàí­äåëüáðîò íå ðàçðàáîòàë ïîíÿòèå ôðàêòàëà. Áðîñàÿ âçãëÿä  â ïðîøëîå, îí ðàçìûøëÿë â 1984 ãîäó:

Ïî÷åìó ãåîìåòðèþ ÷àñòî íàçûâàþò õîëîäíîé  è  ñóõîé?  Îäíà  èç ïðè÷èí çàêëþ÷àåòñÿ â åå íåñïîñîáíîñòè îïèñàòü ôîðìó  îáëàêà, ãîðû, äåðåâà èëè áåðåãà ìîðÿ. Îáëàêà - ýòî íå ñôåðû, ãîðû - ýòî íå êîíó­ñû, ëèíèè áåðåãà - ýòî íå îêðóæíîñòè, è êîðà íå  ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, è ìîëíèÿ íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî  ïðÿìîé...  Ïðèðîäà  äåìîíñòðèðóåò íàì íå ïðîñòî áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü, à ñîâñåì äðóãîé óðîâåíü ñëîæ­íîñòè. ×èñëî ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ äëèí â  ñòðóêòóðàõ  âñåãäà áåñêî­íå÷íî.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ôðàêòàëà âûäåëÿåò  îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñòðóêòóðàìè ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ, êàê áîëüøèõ, òàê è ìàëûõ,  è, òà­êèì îáðàçîì, îòðàæàåò èåðàðõè÷åñêèé ïðèíöèï îðãàíèçàöèè.   îñíîâå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîäåðæèòñÿ îäíà âàæíàÿ èäåàëèçàöèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè: ôðàêòàëüíûå îáúåêòû ñàìîïîäîáíû, ò. å. èõ âèä íå  ïðåòåðïåâàåò ñó­ùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïðè ðàçãëÿäûâàíèè èõ ÷åðåç ìèêðîñêîï  ñ ëþáûì óâåëè÷åíèåì.  Õîòÿ  ýòà  èäåàëèçàöèÿ  è  ìîæåò  îêàçàòüñÿ  ñëèøêîì áîëüøèì óïðîùåíèåì äåéñòâèòåëüíîñòè, îíà  íà  ïîðÿäîê  óâåëè÷èâàåò ãëóáèíó íàøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðèðîäû. Èññëåäîâàíèÿ Ìàí­äåëüáðîòà ïîëó÷èëè øèðîêóþ èçâåñòíîñòü ïîñëå îòêðûòèÿ  èì  â  1980 ãîäó ìíîæåñòâà, íîñÿùåãî òåïåðü åãî èìÿ. Îí îáíàðóæèë  ïðèíöèï,  ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íåñêîëüêî íåîæèäàííûì ïóòåì îáðàçóåòñÿ  öåëûé ìèð ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð.

Ýòà ïðè÷óäëèâàÿ ôîðìà (ñì. ðèñ.1) ìîæåò  îêàçàòüñÿ  îäíèì  èç êëþ÷åâûõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé íîâîé “íàòóðàëüíîé”  ìàòåìàòèêè,  òàê æå, êàê ïðÿìàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ åâêëèäî­âîé ãåîìåòðèè.

Âîçìîæíî, íàèáîëåå óáåäèòåëüíûé àðãóìåíò  â  ïîëüçó  èçó÷åíèÿ ôðàêòàëîâ - ýòî èõ áðîñàþùàÿñÿ â ãëàçà êðàñîòà.

Ãëàâà 2

ÌÛØËÅÍÈÅ Â ÎÁÐÀÇÀÕ

Ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü ïðîöåññû âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñ­êèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Âñå îíè èìåþò îäíî îáøåå -  ýòî êîí­êóðåíöèþ íåñêîëüêèõ öåíòðîâ çà äîìèíèðîâàíèå íà ïëîñêîñòè. Ïðîñòûå ãðàíèöû ìåæäó òåððèòîðèÿìè â ðåçóëüòàòå òàêîãî  ñîïåðíè÷åñòâà âîç­íèêàþò ðåäêî. ×àøå èìååò ìåñòî íåñêîí÷àåìîå ôèëèãðàííîå ïåðåïëåòå­íèå è íåïðåêðàùàþùàÿñÿ áîðüáà äàæå çà ñàìûå ìàëûå ó÷àñòêè.

Èìåííî â ýòîé ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò îäíîé ôîðìû ñóùåñòâîâàíèÿ ê äðóãîé: îò ïîðÿäêà ê áåñïîðÿäêó, îò íàìàãíè­÷åííîãî ñîñòîÿíèÿ ê íåíàìàãíè÷åííîìó â çàâèñèìîñòè  îò èíòåðïðåòà­öèè òåõ ñóùíîñòåé, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ãðàíèöå. Ïîãðàíè÷íûå îáëàñ­òè â áîëüøåé èëè ìåíüøåé ìåðå çàìûñëîâàòî çàâèñÿò îò  óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Ïîðîé âîçíèêàåò òðåòèé êîíêóðåíò, êîòîðûé ïîëüçóåòñÿ ðàçíîãëàñèÿìè äâóõ äðóãèõ è íàñàæäàåò  ñâîþ îá­ëàñòü âëèÿíèÿ. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî îäèí öåíòð çàõâàòèò âñþ ïëîñê­îñòü, íî è åãî âëàñòü èìååò “ãðàíèöû” â âèäå  èçîëèðîâàííûõ òî÷åê, êîòîðûå íåïîäâëàñòíû åãî ïðèòÿæåíèþ. Ýòî,  òàê  ñêàçàòü, “äèññèäåí­òû”, íå æåëàþùèå “ïðèíàäëåæàòü”.

Ðèñóíêè ïðåäñòàâëÿþò ïðîöåññû,  ÿâëÿþùèåñÿ,  êîíå÷íî,  âåñüìà óïðîøåííîé èäåàëèçàöèåé äåéñòâèòåëüíîñòè. Îíè ïðåóâåëè÷èâàþò íåêî­òîðûå ñâîéñòâà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ áîëåå ÿñíûìè.  Íàïðèìåð,  íåò  íè îäíîé ðåàëüíîé ñòðóêòóðû, êîòîðóþ ìîæíî  áûëî  áû  ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è êîòîðàÿ âûãëÿäåëà áû  ïðè ýòîì íåèçìåííîé. Òåì íå ìåíåå ïðèíöèï ñàìîïîäîáèÿ â  ïðèáëèæåííîì  âèäå èìååòñÿ â ïðèðîäå: â ëèíèÿõ áåðåãîâ ìîðåé è ðåê, â  î÷åðòàíèÿõ îá­ëàêîâ è äåðåâüåâ, â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå æèäêîñòè è â èåðàðõè÷åñêîé îðãàíèçàöèè æèâûõ ñèñòåì. À îòêðûë íàì ãëàçà  íà  ýòó  ôðàêòàëüíóþ ãåîìåòðèþ ïðèðîäû Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîò. Íà  ñàìîì  äåëå  ïðîöåññû, ïîðîæäàþùèå òàêèå ñòðóêòóðû, äîâîëüíî äàâíî èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Ýòî îáû÷íûå ïðîöåññû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðûõ îäíà è òà æå îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà,  êîãäà  ðåçóëüòàò  îäíîé èòåðàöèè ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì äëÿ ñëåäóþùåé:

C

è

è

Åäèíñòâåííîå, ÷òî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ - íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ðåçóëüòàòîì è íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ò. å.  äèíàìè÷åñêèé çàêîí  äîëæåí áûòü áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ïðîñòàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü   íà  òî,  ÷òî  ïðàâèëî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà c, âëèÿíèå êîòîðîãî  áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå.

Åñëè íà÷àòü èòåðàöèîííûé ïðîöåññ óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ   åãî  ðåçóëüòàòîì  áóäåò ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü  èñòå÷åíèè  äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïåðèîäà âðåìåíè è áóäåò ñîñòàâëÿòü ïðåäìåò íàøåãî èíòåðåñà. Áóäåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòüñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ Õ, ñòðåìÿñü ê ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ? Ïðèäåò ëè îíà ê íåêîòîðîìó öèêëó çíà÷åíèé, êîòîðûå áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ âíîâü è âíîâü?  Èëè  ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñå âðåìÿ âåäåò ñåáÿ áåñïîðÿäî÷íî, õîòÿ è îïðå­äåëåíà äèíàìè÷åñêèì çàêîíîì è êîíêðåòíûì íà÷àëüíûì  çíà÷åíèåì,  íî òåì íå ìåíåå íåïðåäñêàçóåìà?

Ïðîöåññû óêàçàííîãî âèäà îáíàðóæèâàþòñÿ â ëþáîé òî÷íîé íàóêå. Òàê, îïèñàíèå ÿâëåíèé ïðèðîäû ñ  ïîìîùüþ  äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå­íèé, êîòîðîå ââåëè îêîëî 300 ëåò íàçàä Èñààê Íüþòîí è  Ãîòòôðèä Â. Ëåéáíèö, îñíîâàíî íà ïðèíöèïå îáðàòíîé ñâÿçè.  Äèíàìè÷åñêèé  çàêîí îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ÷àñòèöû â  äàííûé  ìîìåíò  âðåìåíè ÷åðåç èõ çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò. Äâèæåíèå ÷àñòèöû ïîíèìàåòñÿ êàê ðåàëèçàöèÿ ýòîãî çàêîíà. Íåñóùåñòâåííî, áóäåò ëè ïðîöåññ äèñê­ðåòíûì, ò. å. îñóùåñòâëÿåìûì ïî øàãàì, ëèáî  íåïðåðûâíûì.  Ôèçèêàì íðàâèòñÿ ìûñëèòü  â  òåðìèíàõ  èíôèíèòåçèìàëüíûõ  åäèíèö  âðåìåíè: Natura non facit saltus (“Ïðèðîäà  íå  äåëàåò  ñêà÷êîâ”). Áèîëîãè, íàïðîòèâ, ÷àñòî ïðåäïî÷èòàþò ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèÿ îò ãîäà ê ãî­äó èëè îò ïîêîëåíèÿ ê ïîêîëåíèþ.  Î÷åâèäíî,  äîïóñòèìû  îáå  òî÷êè çðåíèÿ, à âûáîð ïîäõîäÿùåãî îïèñàíèÿ  îïðåäåëÿåòñÿ îáñòîÿòåëüñòâà­ìè.

Ãëàâà 3

ÑÖÅÍÀÐÈÉ ÏÐÎÍÈÊÍÎÂÅÍÈß Â ÕÀÎÑ

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ðîñò íåêîòîðîé ïîïóëÿöèè çà  íåñêîëüêî ëåò îáû÷íî îïèñûâàþò ïðè ïîìîùè êîýôôèöèåíòà ïðèðîñòà, ò. å. îòíîøåíèÿ åæåãîäíîãî ïðèðîñòà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ê åå  îáùåé ÷èñëåííîñòè. Åñëè ýòà âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà âðå­ìåíè, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàêîí ðîñòà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì,  à  ñàì  ðîñò íàçûâàþò ýêñïîíåíöèàëüíûì. Íàïðèìåð, ïðè êîýôôèöèåíòå  ïðèðîñòà  â 5% ïîïóëÿöèÿ óäâàèâàåò ñâîþ ÷èñëåííîñòü êàæäûå 14 ëåò.  Çàêîíû òà­êîãî òèïà, îäíàêî, ïðèìåíèìû òîëüêî  íà  îãðàíè÷åííûõ  ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Äëÿ ðîñòà âñåãäà ñóùåñòâóþò ïðåäåëû.

Îäíèì èç ïåðâûõ îáðàòèë íà  ýòî  âíèìàíèå  Ï.  Ô.  Ôåðõþëüñò, ñôîðìóëèðîâàâ â 1845 ãîäó çàêîí, ñîäåðæàùèé îãðàíè÷åíèå  íà  ðîñò. Îí îáúÿñíèë ýòî òåì, ÷òî ëþáàÿ ýêîëîãè÷åñêàÿ íèøà ìîæåò îáåñïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ïîïóëÿöèè òîëüêî îïðåäåëåííîãî ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà Õ è ÷òî êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà äîëæåí ñíèæàòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû ïîïó­ëÿöèè ïðèáëèæàþòñÿ ê Õ. Òàêèì îáðàçîì, îí ïðèøåë  ê  íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü ïåðåìåííûé êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà.   ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîöåññ ñòàíîâèëñÿ íåëèíåéíûì, ÷òî êîðåííûì îáðàçîì  èçìåíèëî  åãî äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.

Ïðîøëî áîëåå ñòà ëåò, ïðåæäå ÷åì áûëè îñîçíàíû âñå âûòåêàþùèå èç ýòîãî ïðîáëåìû. Ïðè ìàëûõ êîýôôèöèåíòàõ ïðèðîñòà, î÷åâèäíî, íè­÷åãî îñîáåííîãî íå ïðîèçîéäåò: ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè  áóäåò ïðîñòî ðåãóëèðîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû äîñòè÷ü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ  Õ, óâåëè­÷èâàÿñü êîãäà îíà ìåíüøå åãî, è óìåíüøàÿñü, êîãäà  áîëüøå. Îäíàêî, êàê òîëüêî êîýôôèöèåíò ïðåâûñèò 200%, íàñ îæèäàþò ñþðïðèçû.

Ñóùåñòâóþò ëè â ïðèðîäå òàêèå áîëüøèå  êîýôôèöèåíòû ïðèðîñòà? Êîíå÷íî, ÷åëîâå÷åñêàÿ ïîïóëÿöèÿ òàê áûñòðî íå ðàñòåò, íî äëÿ îïðå­äåëåííûõ âèäîâ íàñåêîìûõ òàêîé êîýôôèöèåíò íå  ÿâëÿåòñÿ íåîáû÷íûì. Âàæíî òî, ÷òî â ïîñëåäíèå 20 ëåò çàêîí Ôåðõþëüñòà íàøåë ïðèìåíåíèå äëÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîãî êðóãà ÿâëåíèé, ÷åì ïðåäñòàâëÿë ñåáå ñàì Ôåðõþëüñò.

Ýäâàðä Í. Ëîðåíö, ìåòåîðîëîã èç Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñ­êîãî èíñòèòóòà, îáíàðóæèë â 1963 ãîäó, ÷òî èìåííî ýòîò  çàêîí îïè­ñûâàåò íåêîòîðûå ñâîéñòâà òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â  ÷àñòíîñòè êîãäà êîýôôèöèåíò âåëèê. Çàòåì òåîðåòè÷åñêèå  èññëåäîâàíèÿ  ïî  ëàçåðíîé ôèçèêå, ãèäðîäèíàìèêå è êèíîòèêå õèìè÷åñêèõ  ðåàêöèé ïðîäåìîíñòðè­ðîâàëè ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð ýòîãî çàêîíà,  è  ïðåäñêàçàííûå  èì ñöåíàðèè áûëè îáíàðóæåíû â ýêñïåðèìåíòàõ.

Íî êàê æå âåäåò ñåáÿ ïðîöåññ  Ôåðõþëüñòà,  êîãäà  êîýôôèöèåíò ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì? Ïîäðîáíûé àíàëèç î÷åíü ñëîæåí.

Óïîìÿíåì òîëüêî íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû.  Êîãäà  ïàðàìåòðû ðîñòà ïðåâûñÿò 200%, ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì äîñòèæåíèå îïòèìàëüíîé ÷èñëåííîñòè X. Êîãäà ïîïóëÿöèÿ  ìàëà,  ýíåðãè÷íûé  ðîñò  íåèçìåííî ïðèâîäèò ê ïðåâûøåíèþ îïòèìàëüíîãî ðàçìåðà, ÷òî  âûçûâàåò îòâåòíóþ ðåàêöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîïóëÿöèÿ óìåíüøàåòñÿ  äî ðàçìåðîâ, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ X. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå êîëåáàíèÿ ìåæäó äâóìÿ ðàçìåðàìè, áîëüøèì è ìåíüøèì.

Êîãäà ïàðàìåòð ðîñòà ïðåâûñèò 245%, ïðîèñõîäèò äàëüíåéøåå óñ­ëîæíåíèå ïîâåäåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñíà÷àëà ìåæäó 4, çàòåì 8, çàòåì 16 ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè è  òàê äàëåå, äî òåõ ïîð ïîêà äëÿ ïàðàìåòðîâ, áîëüøèõ 257%, íå âîçíèêàåò õàîñ.

×òî ìû ïîíèìàåì ïîä õàîñîì? Ïîïðîñòó ãîâîðÿ,  ñèñòåìà âûõîäèò èç ïîä êîíòðîëÿ. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà ïðåäñêàçàòü åå  ïîâåäåíèå íà äëèòåëüíîå âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå ñêà÷êè ââåðõ è âíèç óïîðíî ïðîäîë­æàþòñÿ  è  íèêîãäà  íå  ïðåâðàòÿòñÿ  â óïîðÿäî÷åííóþ  ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü. ×òîáû ïîíÿòü óäèâëåíèå, êîòîðîå èñïûòàë Ëîðåíö ïðè ýòîì îòêðûòèè, íàïîìíèì, ÷òî íèêàêîé íåîïðåäåëåííîñòè  íå ïðåäïîëàãàåò­ñÿ. Ïðîöåññ ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Ôåðõþëüñòà, ïîñëåäîâà­òåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì - è âñå æå åå ïîâå­äåíèå íåâîçìîæíî ïðåäñêàçàòü, îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòü  ïðîöåññó ðàç­âèâàòüñÿ ñàìîìó ïî ñåáå.

Ýòà î÷åíü òîíêàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò íåêîòîðîãî áîëåå ïîäðîáíîãî îáúÿñíåíèÿ. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ïîäðàçóìåâàåò  âîçìîæíîñòü  îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Ýòî  ÿâëÿåòñÿ âåðíûì òîëüêî “â ïðèíöèïå”. Ëþáîå ðåàëüíîå îïèñàíèå  íà÷àëüíîé  âåëè÷èíû, íàïðèìåð åå ïðåäñòàâëåíèå â êîìïüþòåðå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ êî­íå÷íîé òî÷íîñòüþ. Èçó÷àåìûé ïðîöåññ ìîæíî  ñðàâíèòü  ñ  ïîëó÷åíèåì èíôîðìàöèè: ÷åì äîëüøå ìû åãî áóäåì  íàáëþäàòü,  òåì  ëó÷øå  áóäåì çíàòü â ðåòðîñïåêòèâå òî÷íóþ âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.

È âñå æå íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèì â äèíàìèêå Ôåðõþëüñòà ÿâëÿåòñÿ íå õàîñ êàê òàêîâîé, à ñöåíàðèé, ïî êîòîðîìó  ïîðÿäîê ïðåâðàùàåòñÿ â õàîñ. Èìååò ëè ñìûñë òî÷íî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðîñòà, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè îò êîëåáàíèé ïåðèîäà   ê êîëå­áàíèÿì ïåðèîäà

Íî ïåäàíòè÷íîñòü ÷àñòî ñòîÿëà ó êîëûáåëè âàæíûõ îòêðûòèé. Èî­ãàíí Êåïëåð íå îòêðûë áû ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìû  îðáèò  äâèæåíèÿ ïëà­íåò, åñëè áû íå áûë îáåñïîêîåí íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì â  8  óãëîâûõ ìèíóò  îðáèòû  Ìàðñà  îò  ïðåäñêàçàíèé  òåîðèè  Ïòîëîìåÿ.  Ôðèäðèõ Âèëüãåëüì Áåññåëü íå ñìîã áû îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå  îò  Ñîëíöà  äî áëèæàéøèõ íåïîäâèæíûõ çâåçä, íå íàó÷èâøèñü  òî÷íåéøåìó èñïîëüçîâà­íèþ ÷èñåë è òàáëèö âî âðåìÿ ñâîåãî ó÷åíè÷åñòâà  ó  îäíîãî  èç áðå­ìåíñêèõ òîðãîâöåâ. Íàó÷íàÿ ðàáîòà âñåãäà çàâèñèò îò ñàìîãî ñêðóïó­ëåçíîãî âíèìàíèÿ ê äåòàëÿì äàæå òîãäà, êîãäà ñòàíîâèòñÿ  ÿñíîé êà­÷åñòâåííàÿ ñòîðîíà. À êàê èçâåñòíî âñåì, êîìó  ïðèõîäèëîñü  èñêàòü îøèáêè â êàêîé-ëèáî ïðîãðàììå, äëÿ ýòîãî íåò  ëó÷øåãî èíñòðóìåíòà, ÷åì êîìïüþòåð.

Ïðè òî÷íîì àíàëèçå òî÷åê áèôóðêàöèè â ïðîöåññå Ôåðõþëüñòà îá­íàðóæèâàåòñÿ çàêîíîìåðíîñòü, èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â ìè­ðå íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé.  Çàêîíîìåðíîñòü  êàñàåòñÿ  äëèí  èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óñòîé÷èâûì  ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ïåðèîäîì. Ýòè èíòåðâàëû ñîêðàùà­þòñÿ ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà, ïðè÷åì  ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþ­ùèé ñîêðàùåíèå, ïðèáëèæàåòñÿ ê óíèâåðñàëüíîìó çíà÷åíèþ

 

êîãäà ïåðèîä ðàñòåò.

Ýòî ÷èñëî, ïåðâûå  äåñÿòè÷íûå  çíàêè  êîòîðîãî  áûëè  âïåðâûå îïóáëèêîâàíû Ãðîññìàííîì è Òîìý â 1977 ãîäó,  ïîÿâëÿåòñÿ  ñíîâà  è ñíîâà âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññàõ. Îíî ÿâëÿåòñÿ  òàêîé  æå õàðàêòå­ðèñòèêîé äëÿ ñöåíàðèåâ óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ, êàê ÷èñëî   äëÿ îòíî­øåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Ýòî  ÷èñëî  íàçûâàþò  òåïåðü “÷èñëîì Ôåéãåíáàóìà”. Ìèò÷åë  Ôåéãåíáàóì  ïðîäåëàë  âû÷èñëåíèÿ  íà ñâîåì êàëüêóëÿòîðå â Ëîñ Àëàìîñå äëÿ öåëîãî ðÿäà ðàçëè÷íûõ ïðîöåñ­ñîâ è ïîëó÷èë â êàæäîì ñëó÷àå îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü.  Îí  îòêðûë óíèâåðñàëüíîñòü ýòîãî ÷èñëà.

Ýòî îòêðûòèå âûçâàëî íåâåðîÿòíóþ àêòèâíîñòü ó÷åíûõ  âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè. Áûëî ïîñòàâëåíî îãðîìíîå ÷èñëî  ýêñïåðèìåíòîâ, ïî­êàçàâøèõ, ÷òî ñöåíàðèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà  äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåìàõ. Ýòî è íà÷àëî òóðáóëåíòíîñòè â ïî­òîêå æèäêîñòè, è íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â õèìè÷åñêèõ èëè ýëåêòðè÷åñ­êèõ ñåòÿõ, è äàæå ïåðåõîä íîðìàëüíîãî ðèòìà  ñåðäöà  â  óãðîæàþùóþ æèçíè ôèáðèëëÿöèþ. È ìû ïðîñòî  íå  â  ñîñòîÿíèè  ïåðå÷èñëèòü  âñå ãðóïïû â ÑØÀ, Ôðàíöèè, ÔÐà èëè ãäå-ëèáî åùå, ïðîäåìîíñòðèðîâàâøèå, ÷òî ñóùåñòâåííûå àñïåêòû äèíàìèêè ñëîæíûõ ñèñòåì  ìîæíî  ñâåñòè  ê ïîâåäåíèþ, ïðèìåð êîòîðîãî äàåò óðàâíåíèå Ôåðõþëüñòà.

Íà òåîðèþ ýòî îêàçàëî íå ìåíåå ñèëüíîå âîçäåéñòâèå. Ìàòåìàòè­êè âñå  åùå  ïûòàþòñÿ  äî  êîíöà  ïîíÿòü  ýòó  íåîæèäàííóþ óíèâåð­ñàëüíîñòü. Íî, ïî-âèäèìîìó, áîëåå âàæíî, ÷òî îíà  ïîðîäèëà  íàäåæäó íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå ÿâëåíèÿ íå ëåæàò çà ïðåäåëàìè ñèñòåìàòèçàöèè è íàó÷íîé êëàññèôèêàöèè.

Îäíèì èç ïåðâûõ, êòî îñîçíàë âàæíîñòü èçó÷åíèÿ  ïðîöåññà Ôåð­õþëüñòà, áûë áèîëîã Ðîáåðò Ì. Ìýé. Åùå â 1976 ãîäó îí ïèñàë:

Ïîýòîìó ÿ íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóþ, ÷òîáû ëþäè  çíàêîìèëèñü, ñêà­æåì (ñ óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà), íà ðàííåì ýòàïå ñâîåãî îáó÷åíèÿ ìà­òåìàòèêå. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî èçó÷àòü  ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, èòåðèðóÿ åãî íà êàëüêóëÿòîðå èëè äàæå âðó÷íóþ. Åãî èçó÷åíèå äàæå íå òðåáóåò âñåãî ìíîæåñòâà ñëîæíûõ ïîíÿòèé, êàêèå èñïîëüçóþòñÿ â ýëåìåíòàðíîì àíàëèçå. Òàêîå èçó÷åíèå î÷åíü îáîãàùàëî áû èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëå­íèÿ ó÷àùåãîñÿ î íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ.

Äëÿ âñåõ íàñ áûëî áû ëó÷øå, åñëè áû íå òîëüêî â íàó÷íîé ðàáî­òå, íî è â ïîâñåäíåâíîé ïîëèòè÷åñêîé  è  ýêîíîìè÷åñêîé  æèçíè  êàê ìîæíî áîëüøå ëþäåé ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû íå âñåã­äà îáëàäàþò ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.

Ãëàâà 4

ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ

Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðè­îáðåòàåò  ôóíäàìåíòàëüíîå  çíà÷åíèå.  Àíàëèç  ïðîöåññà  Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûé  ïðåäìåò îáñóæäå­íèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷­íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëî­âà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.

Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå  ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêà  ñðåäè  âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.

Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû,  õàðàêòåðèçóþùèå ñîîò­íîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè.  Áåíóà  Á.  Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íî­ñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòî  ïðè÷óäëèâàÿ  ôèãóðà,  êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé;  ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé,  ÷åì  óíèâåðñàëüíîñòü Ôåé­ãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñ­òî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü  ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëå­êàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.

Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì,  ñîñòîÿëà  â  òîì,  ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòü  êîìïëåêñíûå  è  íàáëþäàòü ïðîöåññ   íå çíà­êîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòà­òî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëî  óêàçûâàåò,  êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó,  êàê  ìû  óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëà  ìîãóò  ïîðîæäàòü  òî  æå  ñàìîå  ìíîæåñòâî Ìàí­äåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàî­ñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðå  âíèìàíèÿ îêà­çàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìè  îáëàñòÿìè.  Ìîæíî ïðåäñòà­âèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû - êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà  ëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõî­äèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå  è  íå  ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà  èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìî­æåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿ  â  ïûëü,  è  òàêîé  ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.

Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåð­õþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:

Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî  è ò. ä. Ýòî ïîä  ñèëó êàæ­äîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òî  â  òàêîì  èòåðèðîâàíèè  ìîæåò ñêðû­âàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.

Ãëàâà 5

ÍÀÓÊÀ È / ÈËÈ ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ?

Çà ãîäû ïîïûòîê ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû  çàèíòåðåñîâàííîé îá­ùåñòâåííîñòè ó÷åíûå ïîíÿëè, ÷òî õóäîæåñòâåííàÿ  äåÿòåëüíîñòü  òîæå ìîæåò ïðèíåñòè íàó÷íûå ïëîäû. Èëè âñå êëÿòâåííûå çàâåðåíèÿ ìàòåìà­òèêîâ è ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ îá ýñòåòè÷åñêîé êîìïîíåíòå èõ  íàóêè  ­ýòî ëèøü ñëîâà? Àìåðèêàíñêèå ìàòåìàòèêè Ôèëèïï Äæ.  Äýâèñ  è  Ðþáåí Õåðø ïèñàëè:

Ñëåïîòà ê ýñòåòèêå ìàòåìàòèêè ðàñïðîñòðàíåíà øèðîêî  è èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòèêà ñ÷èòàåòñÿ ñóõîé,  êàê  ïûëü, âîë­íóþùåé, êàê òåëåôîííàÿ êíèãà, äàëåêîé îò æèçíè, êàê çàêîíîóëîæåíèå Øîòëàíäèè XV â. Íàîáîðîò, ïîíèìàíèå ýñòåòèêè ìàòåìàòèêè çàñòàâëÿåò ïðåäìåò æèòü ïðåêðàñíîé æèçíüþ è ãîðåòü, êàê, ïî-âèäèìîìó, íèêàêîå äðóãîå òâîðåíèå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ìîæåò ëè ýòà ýñòåòèêà ïðîÿâèòüñÿ èíà÷å ÷åì â ñàìîì ïîèñêå ìà­òåìàòè÷åñêîãî è åñòåñòâåííî-íàó÷íîãî çíàíèÿ?

Ìíîãèå îòçûâû âûñòàâêè ôðàêòàëüíûõ êàðòèí óáåäèëè  ìíîãèõ  èõ àâòîðîâ ó÷åíûõ â òîì, ÷òî ñáëèæåíèå èñêóññòâà  è  íàóêè  ìîãëî  áû ïðèíåñòè îãðîìíóþ ïîëüçó. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñáëèæåíèÿ  íå ñëåäóåò ïîíèìàòü, êàê ñëåïîå óâëå÷åíèå âñåì íîâûì è íåîáû÷íûì,  à  ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü âïîëíå ðåàëèñòè÷åñêè â ôîðìàõ “íîâûõ ñðåäñòâ ïåðåäà­÷è èíôîðìàöèè”, ïðåæäå âñåãî êîìïüþòåðà. Êîìïüþòåð áîëüøå íå ÿâëÿ­åòñÿ ïðèíàäëåæíîñòüþ èñêëþ÷èòåëüíî íàóêè è òåõíèêè; ïîäðàñòàåò ìî­ëîäîå ïîêîëåíèå êîìïüþòåðíûõ àêðîáàòîâ, êîòîðûå  îáÿçàòåëüíî áóäóò ðàçâèâàòü ñâîè õóäîæåñòâåííûå àìáèöèè. Ïîêà íå ÿñíî,  êóäà çàâåäåò òàêîå  ðàçâèòèå,  è  íå  ÿñíî,  ìîæåò  áûòü,  êàê  ðàç  â   ñìûñëå êîìïëåêñíîé äèíàìèêè: âïîëíå îïðåäåëåííîå è  äåòåðìèíèðîâàííîå, íî íåïðåäñêàçóåìîå, áóðëÿùåå â ñâîåé ïîâîðîòíîé òî÷êå, ïîäîáíî Ôàóñòó âî âðåìÿ îìîëîæåíèÿ â êîëäîâñêîì ëîãîâå:

Ãîòîâèòü âûòÿæêó èç òðàâ -­

Òðóä íåïîìåðíîãî òåðïåíüÿ.

Íåîáõîäèì ñïîêîéíûé íðàâ,

×òîá âûæäàòü ìíîãî ëåò áðîæåíüÿ.

Òóò ê ìåñòó êðîïîòëèâûé äàð,

Ïðåäìåò ïî-æåíñêè ùåïåòèëåí.

Õîòü ÷åðò ó÷èë âàðèòü îòâàð,

Íî ñàì ñâàðèòü åãî áåññèëåí.

È. Â. Ãåòå

(Ïåðåâîä Á. Ë. Ïàñòåðíàêà)

Ãëàâà 6

ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÍÀÓÊÈ Â ÈÑÊÓÑÑÒÂÅ

Èçâåñòíûé íåìåöêèé ôàíòàñò è ïóáëèöèñò Ãåðáåðò  Ôðàíêå ïèñàë, ÷òî èñêóññòâîâåäû ãðÿäóùèõ ñòîëåòèé, îãëÿíóâøèñü  íà  íàøå  âðåìÿ, ïðèäóò ê âûâîäàì, âåñüìà îòëè÷íûì îò òåõ, ê êîòîðûì  ïðèõîäÿò íàøè ñîâðåìåííèêè. Ïî÷èòàåìûå íûíå õóäîæíèêè è ñêóëüïòîðû  áóäóò ñêîðåå âñåãî ïî÷òè çàáûòû, çàòî ïîÿâëåíèå ýëåêòðîííûõ ñðåäñòâ  áóäåò ïðî­âîçãëàøåíî íàèáîëåå çíà÷èòåëüíîé ïåðåìåíîé  â  èñòîðèè  èñêóññòâà. Ïåðâûå ïîïûòêè, âíà÷àëå ðîáêèå è íåóâåðåííûå, äîñòè÷ü  öåëè, êîòî­ðàÿ êàê  èçâåñòíî  ñòîèò  ïåðåä  èñêóññòâîì  -  æèâîïèñíîé âûðàçè­òåëüíîñòè è òî÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà -  íî  ñ ïî­ìîùüþ íîâûõ ñðåäñòâ, óâåí÷àþòñÿ â êîíöå  êîíöîâ  çàñëóæåííûì óñïå­õîì.

Ïðè ýòîì Ôðàíêå óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà,  “â  ïðîøëîì”  (ò.  å. ñåé÷àñ!), âïåðâûå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü òðåõìåðíûå èçîá­ðàæåíèÿ ôàíòàñòè÷åñêèõ ïåéçàæåé è äðóãèå àíàëîãè÷íûå êàðòèíû ñ ôî­òîãðàôè÷åñêîé òî÷íîñòüþ. À âìåñòå  ñ  êàðòèíàìè  ïîÿâèëàñü âîçìîæ­íîñòü íå ëîâèòü îòäåëüíûå ìãíîâåíèÿ, à îõâàòûâàòü äåéñòâèòåëüíîñòü â äâèæåíèè è èçìåíåíèÿõ. Ýòî, âîçìîæíî, âàæíåéøèé àñïåêò íîâîé ïå­ðåìåíû: âðåìÿ íà ýòèõ êàðòèíàõ  íå  çàôèêñèðîâàíî  è  ëåãêî  ìîæíî ïîñòðîèòü ïëîñêèå èëè òðåõìåðíûå (â ïåðñïåêòèâå)  äâèæóùèåñÿ èçîá­ðàæåíèÿ äàæå ñ òåõ òî÷åê çðåíèÿ, êîòîðûå  íåäîñòóïíû ÷åëîâå÷åñêîìó ãëàçó èëè êàìåðå.

Ñåãîäíÿ, âïðî÷åì, õóäîæíèêè, èñïîëüçóþùèå  êîìïüþòåð, îòîäâè­íóòû íà ïåðèôåðèþ “ñöåíû” èñêóññòâà. ×àñòè÷íî ýòî  ñâÿçàíî  ñ ôîð­ìàëüíûìè êðèòåðèÿìè, ÷àñòè÷íî - ñ íåîäîáðåíèåì, âûçâàííûì êîíêðåò­íûìè êîììåð÷åñêèìè èíòåðåñàìè.

Ãëàâà 7

ÂÅÊ ÍÀÃËßÄÍÎÑÒÈ

Êîìïüþòåð - ýòî óñòðîéñòâî äëÿ  îáðàáîòêè  äàííûõ,  à  òåðìèí “äàííûå” (èíôîðìàöèÿ), êàçàëîñü áû, îçíà÷àåò ÷èñëà, à  íå ðèñóíêè. Îäíàêî ðèñóíêè - ýòî â ñóùíîñòè äðóãîé ñïîñîá îïèñàòü ðåàëüíûå ñî­áûòèÿ - ôàêòû.

Êðîìå òîãî, ðèñóíêè ìîæíî çàêîäèðîâàòü ÷èñëàìè, à çàòåì îáðà­áîòàòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà.  Ãðàôè÷åñêèå  èçîáðàæåíèÿ,  ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, áóäåì äàëåå íàçûâàòü äëÿ êðàòêîñòè  êîìïüþòåðíîé ãðà­ôèêîé. Çíà÷åíèå ýòîãî (êîãäà-òî ïîáî÷íîãî)  ñïîñîáà  èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ ÷ðåçâû÷àéíî âîçðîñëî â ïîñëåäíåå âðåìÿ.

Êîíå÷íî æå, âíà÷àëå íèêòî  íå  äóìàë  ðàçâèâàòü  êîìïüþòåðíóþ ãðàôèêó êàê èñêóññòâî; îíà âîçíèêëà â ðåçóëüòàòå ÷èñòî ïðàêòè÷åñê­èõ íàó÷íûõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ è êîììåð÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ðèñóíêè çíà÷èòåëüíî óäîáíåå äëÿ âîñïðèÿòèÿ,  ÷åì äëèííûå ïåðå÷íè ÷èñåë, ïðèâåëî ê òîìó, ÷òî âî  âñåõ  ýòèõ  îáëàñòÿõ  ÷èñëà ïîñòåïåííî âûòåñíÿëèñü ãèñòîãðàììàìè, êðèâîëèíåéíûìè  ãðàôèêàìè  è ò. ï.

Ýòîò ïðîöåññ è ïðèâåë ê  ïîÿâëåíèþ  è  ðàçâèòèþ  êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè. Ïåðâûì, íî ñîâåðøåííî  íåïîäõîäÿùèì  ñðåäñòâîì  ïîëó÷åíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè áûë ïðèíòåð, êîòîðûé òåì íå ìåíåå äîêàçàë ýô­ôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ íàãëÿäíûõ èçîáðàæåíèé ñòîëü óáåäèòåëüíî, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ðèñóþùèå ïðèáîðû,  íàçâàííûå  ãðàôîïîñòðîèòåëÿìè, ïîÿâèëèñü êàê íå÷òî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùååñÿ.    ãðàôîïîñòðîèòåëÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ïåðà ñ ñåðâîêîíòðîëåì  (ñëåäÿùèì  êîíòðîëåì), ðèñóþùåãî íà ïëîñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Îíè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ñ ïîìîùüþ ìàøèíû ÷åðòåæè, òî÷íîñòü êîòîðûõ  âïîëíå äîñòà­òî÷íà äëÿ öåëåé, ñêàæåì àðõèòåêòóðû, êàðòîãðàôèè è ò. ï. Íî ñëåäó­åò îòìåòèòü è îäèí íåäîñòàòîê - êðàéíå ìåäëåííóþ ðàáîòó ìåõàíè÷åñ­êèõ ñèñòåì ïî  ñðàâíåíèþ  ñî  ñêîðîñòüþ  ýëåêòðîííûõ  ïðîöåññîâ  â êîìïüþòåðå. Òàê, äëÿ òîãî ÷òîáû  èçîáðàçèòü  êîíôèãóðàöèè, ðàññ÷è­òàííûå êîìïüþòåðîì çà äîëè ñåêóíäû, òðåáóþòñÿ ìèíóòû, à èíîãäà äà­æå ÷àñû.

Ïåðâûé ñåðüåçíûé ïðîðûâ â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå ñâÿçàí  ñ ñîç­äàíèåì ýëåêòðîííîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ - äèñïëåÿ,  íà  êîòîðîì âèçó­àëüíàÿ èíôîðìàöèÿ âîçíèêàåò òåì æå ñïîñîáîì è ñ òîé  æå ñêîðîñòüþ, ÷òî è â ýëåêòðîííîëó÷åâîé òðóáêå òåëåâèçîðà. Ïîÿâèëîñü,  òàêèì îá­ðàçîì, ñðåäñòâî  ïîñòðîåíèÿ  ãðàôè÷åñêèõ  èçîáðàæåíèé,  äîñòàòî÷íî áûñòðîå, ÷òîáû ïîñïåâàòü çà  êîìïüþòåðîì.  Êðîìå  òîãî,  ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü äâèæóùèåñÿ è äàæå  âçàèìîäåéñòâóþùèå èçîáðà­æåíèÿ.

Íîâûå ñïîñîáû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûëè  ðàçâèòû  íà  îñíîâå áîëåå ñòàðûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ðèñóíêîâ è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îñ­íîâîé êîòîðûõ â ñâîþ î÷åðåäü ïîñëóæèëè ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå  â ôî­òîãðàôèè. Ýòè ñïîñîáû ïîçâîëÿþò çíà÷èòåëüíî ëåã÷å  îöåíèâàòü îáðà­çû, âîçíèêàþùèå â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè, òåõíîëîãèè è ìåäèöèíû, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî áëàãîäà­ðÿ èì.

Íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû èñïîëüçîâàëè ýñòåòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ. Áîëüøèíñòâî èç íèõ ñòàðàëèñü íå óïîòðåáëÿòü ñëîâî “èñêóññòâî” â  îòíîøåíèè  ñâîèõ ðàáîò, óõîäÿ òåì ñàìûì îò êîíôëèêòà ñ  äåÿòåëÿìè  èñêóññòâà.  Ëèøü íåêîòîðûå  ðåøàëèñü  ìóæåñòâåííî  ïðîòèâîñòîÿòü  êðèòèêàì,  ñ÷èòàÿ êîìïüþòåðû íîâûì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé èçîáðàçèòåëüíîãî èñêóññòâà. Ñâîé ìåòîä îíè íàçâàëè  “êîìïüþòåðíîå  èñêóññòâî”,  ÷òî âûçâàëî ìíîæåñòâî îæåñòî÷åííûõ äèñêóññèé  î  âîçìîæíîñòè  ñîçäàíèÿ (õîòÿ áû â ïðèíöèïå) ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà ñ ïîìîùüþ  ìàøèíû. Ïðè ýòîì ïðèâîäèëàñü ìàññà òåîðåòè÷åñêèõ àðãóìåíòîâ ïðîòèâ  ýòîé èäåè. Ê ñ÷àñòüþ, ýòè äèñêóññèè ìàëî âëèÿëè íà ïðåäñòàâèòåëåé íîâîãî íàï­ðàâëåíèÿ, è îíè ïðîäîëæàëè ñâîþ ðàáîòó, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà òå­îðåòè÷åñêèå âîçðàæåíèÿ. È íà ñåãîäíÿ óæå ñîáðàíà âïå÷àòëÿþùàÿ êîë­ëåêöèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, îòðàæàþùàÿ òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ  - îò ïðîñòîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ äî ãðàôè÷åñêèõ äèñïëååâ ñ âûñîêîé ðàçðå­øàþùåé ñïîñîáíîñòüþ.

Ãëàâà 8

ÐÈÑÓÍÎÊ ÊÀÊ ÑÐÅÄÑÒÂÎ ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Íåêîòîðûå ñïåöèàëèñòû ñîìíåâàþòñÿ â òîì, ÷òî âîçìîæåí ïåðåâîä ñ ÿçûêà ñëîâ íà ÿçûê ðèñóíêîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî êà÷åñòâî âèçóàëüíîé èí­ôîðìàöèè íèæå ÷åì êà÷åñòâî ñëîâåñíîé. Ýòà ïîçèöèÿ  íåëîãè÷íà, íàï­ðîòèâ, ïîñëîâèöà: “Ëó÷øå îäèí ðàç óâèäåòü, ÷åì ñòî  ðàç  óñëûøàòü” ïîäêðåïëåíà àðãóìåíòàìè èç îáëàñòè ïñèõîëîãèè âîñïðèÿòèÿ.

Âèçóàëüíûå ñèñòåìû ìîãóò íå òîëüêî îïåðèðîâàòü ñ èíôîðìàöèîí­íûì ïîòîêîì ïðèáëèçèòåëüíî â 10 ðàç áîëåå èíòåíñèâíûì, ÷åì âñå îñ­òàëüíûå ñåíñîðíûå ñèñòåìû âìåñòå âçÿòûå, íî è  îáðàáàòûâàòü èíôîð­ìàöèþ, êîòîðàÿ èìååò äâóìåðíóþ è äàæå (â èçâåñòíîé  ñòåïåíè) òðåõ­ìåðíóþ ñòðóêòóðó. Çàìåíà ñëîâ ðèñóíêàìè - ýòî ïåðåõîä íå  òîëüêî ê íîâîé ñèñòåìå êîäèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, íî è ê íîâûì  ìåòîäàì îïèñà­íèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà.

Èñïîëüçóÿ êàê ñðåäñòâî îáùåíèÿ ÿçûê, ò. å. ëèíåéíûìè óïîðÿäî­÷åííûå ïî âðåìåíè â âèäå ðÿäà ñòðóêòóðû, ìû  àâòîìàòè÷åñêè  îòäàåì ïðåäïî÷òåíèå ïðèíöèïàì ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ.  Ïðèìåðàìè  ìîãóò ñëóæèòü ïîíÿòèÿ ïðè÷èííîñòè èëè èñòîðè÷åñêîãî ïðîöåññà.    òî  æå âðåìÿ ÿçûê èçîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü è äðóãèå  î÷åíü  âàæíûå âèäû âçàèìîñâÿçè ÿâëåíèé, íàïðèìåð  ïåòëåâèäíûå  ïðîöåññû, âçàèìî­äåéñòâèÿ, ñåòè êîììóíèêàöèé è ò. ï. Âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî íàøà íåñ­ïîñîáíîñòü ìûñëèòü êàòåãîðèÿìè ñåòåé â íåìàëîé ñòåïåíè  ñâÿçàíà  ñ òåì, ÷òî ìû ïðèâÿçàíû ê îïèñàòåëüíîé ñèñòåìå ÿçûêà ñëîâ.

Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óòâåðæäåíèÿ  ìíîãèõ ïðîòèâíè­êîâ èñïîëüçîâàíèÿ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ ñîâñåì íå  îáÿçàíû  áûòü ñïðàâåäëèâûìè. Íî åñëè îíè ñ÷èòàþò, ÷òî ðèñóíêè  îñòàâëÿþò ãîðàçäî ìåíüøå ìåñòà äëÿ ôàíòàçèè, ÷åì íàïèñàííûé òåêñò, òî èõ ìîæíî îïðî­âåðãíóòü. Äàæå êîìèêñû òðåáóþò òâîð÷åñêîãî äîîñìûñëåíèÿ ÷èòàòåëÿìè (ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî íåêîòîðûå ðîäèòåëè íå  ïîíèìàþò èõ ;). Ðèñóíêè äåéñòâèòåëüíî ôèêñèðóþò îäèí èç âèäîâ èíôîðìàöèè áîëåå æåñòêî, ÷åì ñëîâà, íî îñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî ïðîáåëîâ,  êîòîðûå äîë­æåí çàïîëíèòü ñàì çðèòåëü.  êîìèêñàõ,  íàïðèìåð,  ëîãèêà  ñþæåòà, ñîöèàëüíûå îòíîøåíèÿ äåéñòâóþùèõ ëèö, ýìîöèîíàëüíûé ôîí -  âñå ýòî âîñïîëíÿåòñÿ ôàíòàçèåé çðèòåëÿ. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è  â îòíî­øåíèè äðóãèõ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ: ôèëüìîâ, òåëåâèçîðà, âèäåî è äð.

Ê ñîæàëåíèþ, â äèñêóññèÿõ, êàñàþùèõñÿ íîâûõ  êîìïüþòåðíûõ ðè­ñóíêîâ, ñëèøêîì çàìåòíîå ìåñòî çàíÿëè áàíàëüíûå êîììåð÷åñêèå èíòå­ðåñû. Îñíîâíàÿ æå ïðîáëåìà, áîëåå âàæíàÿ ñåãîäíÿ,  ÷åì  êîãäà-ëèáî ðàíüøå, íå óïîìèíàëàñü â ýòèõ äèñêóññèÿõ, à  èìåííî,  êàê  ïðèäàòü äîñòóïíóþ äëÿ ïîíèìàíèÿ ôîðìó  âñåì  ñëîæíûì  âçàèìîñâÿçÿì  íàøåãî ñîâðåìåííîãî ìèðà, êàê ñäåëàòü èõ îïèñàíèå ïîíÿòíûì è îäíîâðåìåííî èñ÷åðïûâàþùèì. ×åì ñëîæíåå ñèòóàöèÿ, òåì  áîëåå  ïîäõîäÿùèì ñòàíî­âèòñÿ íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå.

Îäíà èç îñíîâíûõ âîçìîæíîñòåé äëÿ  èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, è, â ÷àñòíîñòè, âçàèìîäåéñòâóþùèõ èçîáðàæåíèé îòêðûâàåòñÿ â íàóêå è îáðàçîâàíèè.  Îêàçûâàåòñÿ,  ÷òî  èçîáðàæåíèÿ,  ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, ïîçâîëÿþò äàòü ñàìîå óäèâèòåëüíîå è  îäíîâðåìåííî ñà­ìîå ïîëíîå èç âñåõ èçâåñòíûõ îïèñàíèå îãðîìíîãî  ìíîæåñòâà ìàòåìà­òè÷åñêèõ ôîðìóë. Ïðè ýòîì åùå ðàç ïîäòâåðæäàåòñÿ èäåÿ, ÷òî êîäèðî­âàíèå èíôîðìàöèè â äâóìåðíîé è  (â  íåêîòîðîì  ñìûñëå)  òðåõìåðíîé ôîðìàõ ïîçâîëÿåò óâèäåòü âçàèìîñâÿçè, êîòîðûå äàæå ïðåäñòàâèòü ñå­áå áûëî íåâîçìîæíî,  ãëÿäÿ  íà  îòäåëüíûå  ôîðìóëû.  Ïîìèìî  ýòîãî êîìïüþòåð äàåò âîçìîæíîñòü  ýêñïåðèìåíòèðîâàòü;  ìàòåìàòèê  ìîæåò, íàïðèìåð, èññëåäîâàòü âëèÿíèå ïàðàìåòðà íà ðåøåíèå çàäà÷è, êîíòðî­ëèðîâàòü ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèé èëè íàõîäèòü  ïðåäåëüíûå çíà÷å­íèÿ  áåñêîíå÷íûõ  èòåðàöèîííûõ  ïðîöåññîâ;  ôèçèê,  ñêàæåì,  ìîæåò èññëåäîâàòü, êàê âëèÿþò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ ôè­çè÷åñêèõ  çàäà÷,  à  õèìèê  -  ïðîàíàëèçèðîâàòü  ïðîñòðàíñòâåííûå ñòðóêòóðû àãðåãàòîâ ìîëåêóë.

Ãëàâà 9

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ËÈ ÝÒÎ?

Êàêèì æå îáðàçîì äîñòèãàþòñÿ ýòà äîñòóïíîñòü äëÿ  ïîíèìàíèÿ è ÿñíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ? Ïóòåâîäíóþ íèòü äàþò ïñèõîëîãèÿ  è ýñòåòèêà òåîðèè èíôîðìàöèè. Ñâîé âêëàä â äîñòèæåíèå ýòîé öåëè âíîñÿò è ãàð­ìîíè÷åñêîå ðàçìåùåíèå, è áàëàíñ, è ñèììåòðèÿ - âñå ïðèíöèïû óïîðÿ­äî÷èâàíèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå â òåîðèè èíôîðìàöèè.

ßñíî, ÷òî ýòè ïîíÿòèÿ ïðèìåíèìû è ê âèçóàëüíî íàáëþäàåìûì ÿâ­ëåíèÿì, ïîñêîëüêó çäåñü èñïîëüçóþòñÿ òå æå ïðèíöèïû îáðàçíîãî ìûø­ëåíèÿ, ÷òî è  ïðè  ðàñïîçíàâàíèÿ,  àíàëèçå  è  îïèñàíèè  ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ ÷åëîâå÷åñêèì ìîçãîì.  Êðîìå  òîãî,  èìåííî  ñ  ýòèìè ôîð­ìàëüíûìè ïîíÿòèÿìè ìû ñâÿçûâàåì êëàññè÷åñêèé èäåàë  êðàñîòû.  Åñëè ïðîèçâîëüíûé íàáîð äàííûõ ïðåäñòàâèòü, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ êîìïüþòå­ðà â îïòèìàëüíîì äëÿ âèçóàëüíîãî âîñïðèÿòèÿ âèäå,  òî  ìû îäíîâðå­ìåííî ïðèáëèçèìñÿ è ê õàðàêòåðèñòèêå Ïðåêðàñíîãî.

Îäíàêî èçó÷åíèå ñîâðåìåííîãî èñêóññòâà ïîêàçàëî,  ÷òî  îäíîãî ëèøü ñîîòâåòñòâèÿ êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ  êðàñîòû  íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Íàðÿäó  ñ  ýòèì  äîëæíî  áûòü íå÷òî âûçûâàþùåå èíòåðåñ, òðåáóþùåå ñîïðè÷àñòíîñòè  è çàñòàâëÿþùåå äóìàòü.

Èç ïñèõîëîãèè òåîðèè èíôîðìàöèè èçâåñòíî, ÷òî ïîäîáíûå ñòèìó­ëû âîçíèêàþò â îñíîâíîì áëàãîäàðÿ “íîâèçíå”, ò.  å.  òîãäà,  êîãäà ïåðåä íàøèìè ãëàçàìè ïðåäñòàåò íå÷òî, êàê íàì êàæåòñÿ, íîâîå, ÷åãî ìû ðàíüøå íå âñòðå÷àëè.

Ïðîèçâîäèìîå ýñòåòè÷åñêîå âïå÷àòëåíèå è  âûçûâàåìîå  íîâèçíîé óäèâëåíèå - âîò ÷òî ðîäíèò ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà ñ èçîáðàæåíèÿìè, ñîçäàâàåìûìè íàóêîé. Íàïðèìåð, íàó÷íàÿ ôîòîãðàôèÿ - ýòî  îòíþäü íå ïðÿìîå îòðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîñòè, à ñêîðåå ðåçóëüòàò  ñëîæíûõ îï­òè÷åñêèõ èëè äàæå ýëåêòðîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé, öåëü êîòîðûõ ñîçäàòü íàèáîëåå óçíàâàåìûé è çàïîìèíàþùèéñÿ çðèòåëüíûé  îáðàç.  Èñïîëüçóÿ êðàñèòåëè èëè ïîëÿðèçàöèîííûå ôèëüòðû â ìèêðîñêîïèè,  ìû  ïîëó÷àåì íå÷òî, íè÷åãî îáùåãî íå èìåþùåå ñ ðåàëüíîé îêðàñêîé  îáúåêòà.  Ýòè ñðåäñòâà ñëóæàò òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü  íåêîòîðûå  îáëàñòè áîëåå ðàçëè÷èìûìè.

Êîíå÷íî æå, îáúåêòû  èññëåäîâàíèÿ,  íàïðèìåð  êðèñòàëëè÷åñêèå ñòðóêòóðû, è ñàìè ïî ñåáå ñîäåðæàò âñå íåîáõîäèìîå äëÿ ðàñïîçíàâà­íèÿ èõ õàðàêòåðíûõ ÷åðò. Íî ëèøü ïðåîáðàçîâàíèå ñ  ïîìîùüþ ñðåäñòâ ìèêðîñêîïèè ïîçâîëÿåò ñîçäàòü èçîáðàæåíèÿ, ñòîëü  ïîðàçèòåëüíî ïî­õîæèå íà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Ïðèðîäíûå ôîðìû êàê  èñêóññòâî  ­ýòà êîíöåïöèÿ Ýðíñòà Õåêêåëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé  âûðàæåíèå ïîðàçè­òåëüíîé âçàèìîñâÿçè ìåæäó, êàçàëîñü áû, ñîâåðøåííî ðàçíûìè îáëàñò­ÿìè çðèòåëüíîãî îïûòà. Âèäèìî, íàñòîÿùåå ýñòåòè÷åñêîå óäîâîëüñòâèå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïóòåøåñòâóÿ, ñêàæåì, ïî  ïîâåðõíîñòè  êðèñòàëëà  ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.  ïîëå çðåíèÿ ïîïàäàþò âñå íîâûå  îáëàñòè, íà­ïîìèíàþùèå êàêèå-òî ëàíäøàôòû, è âñåãäà ìîæíî åùå áîëüøå óâåëè÷èòü èçîáðàæåíèå, ÷òîáû èññëåäîâàòü áîëåå ãëóáîêèå  ïëàñòû  ñòðóêòóðíûõ âîçìîæíîñòåé.

Âî ìíîãèõ ôðàêòàëüíûõ êàðòèíàõ  -  “ïåéçàæàõ”  îáíàðóæèâàåòñÿ óäèâèòåëüíîå ñõîäñòâî ñ êàðòèíàìè, íàáëþäàåìûìè  ïîä  ìèêðîñêîïîì. Ãðóïïà èññëåäîâàòåëåé, çàíèìàþùàÿñÿ èõ  ñîçäàíèåì,  íîñèò  íàçâàíèå “Êîìïëåêñíàÿ  äèíàìèêà”,  ÷òî  îòðàæàåò  íàó÷íóþ  ñòîðîíó  åå äåÿ­òåëüíîñòè, íî, è ýòî î÷åíü âàæíî, ñâîè ãðàôè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ îíè íàçâàëè íîâûì, ñîçäàííûì èìè òåðìèíîì “ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß”. Ýòî ñèíòåòè÷åñêîå íàçâàíèå âûðàæàåò îäíîâðåìåííî è  àíàëîãè÷íûé  îïûò, íàêîïëåííûé âíà÷àëå áèîëîãàìè  è  êðàñòàëëîãðàôàìè,  èñïîëüçóþùèìè ìèêðîñêîïû, è âïîñëåäñòâèè ó÷åíûìè, ðàáîòàþùèìè â ðàçëè÷íûõ îáëàñ­òÿõ åñòåñòâåííûõ íàóê - îò ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö  ïî àñòðîíî­ìèè.

   Íî ìåæäó ìàòåìàòèêîé è åñòåñòâåííûìè íàóêàìè  åñòü ñóùåñòâåí­íîå îòëè÷èå. Âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü,  ÷òî  ó÷åíûé  ôîòîãðàôèðóåò ðå­àëüíî ñóùåñòâóþùèå â ïðèðîäå ñòðóêòóðû è âûäàåò, â  êàêîì-òî ñìûñ­ëå, êîïèè ïðèðîäíûõ îáúåêòîâ çà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà.  Íî  òàêîå îáâèíåíèå   íåâîçìîæíî   ïðåäúÿâèòü   ìàòåìàòèêó.    Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà ìîæåò âíåøíå è íàïîìèíàåò èñïîëüçîâàíèå  ìèêðîñêîïà, íî òî, ÷òî ìû ñ åãî ïîìîùüþ ïîëó÷àåì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ÷èñòîì âè­äå ïðîäóêò ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà è íå îáÿçàòåëüíî èìååò  àíàëîãè  â ïðèðîäå.  Ïîýòîìó  êàðòèíû,  êîòîðûå   óäàëîñü   ïîëó÷èòü   ãðóïïå “Êîìïëåêñíàÿ äèíàìèêà” - ýòî âîâñå íå  èñêëþ÷èòåëüíî  óäà÷íûé çðè­òåëüíûé îáðàç ïðèðîäû, íàïðîòèâ, èõ îñíîâíîå  ñîäåðæàíèå ïðèäóìàíî àâòîðàìè. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòè ðèñóíêè  ïîðàæàþò ïîäëèííîé íîâèçíîé è îáîçíà÷àþò ïðîáëåìû, íàïðèìåð êîìïëåêñíîñòü, èññëåäîâà­íèå êîòîðûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîäîòâîðíûì è ïîëåçíûì. Ìîæíî, êîíå÷­íî, ãîâîðèòü, ÷òî òåìû êîìïüþòåðíûõ ðèñóíêîâ íåîáû÷íû äëÿ èñêóññò­âà, ÷òî îíè èíòåðåñóþò òîëüêî ó÷åíûõ è òåõíîëîãîâ è,  ñòàëî  áûòü, ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èñêóññòâî ëèøü â ðàìêàõ íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ñóáêóëüòóðû. Íî â  ýòîì  îáâèíåíèè  íà÷èñòî  èãíîðèðóåòñÿ  òîò ôàêò, ÷òî ïðîáëåìàòèêó êîìïëåêñíûõ ñèñòåì ìîæíî îáíàðóæèòü â ñàìîé îñíîâå áèîëîãè÷åñêîé æèçíè è ñîöèàëüíûõ  ñèñòåì,  â  ïðîèñõîæäåíèè Âñåëåííîé è äàæå â ôèëîñîôèè. Òî åñòü â ñàìîì äåëå èñêóññòâî, åñëè ñëåäîâàòü îáû÷íûì îïðåäåëåíèÿì. È åñëè åãî è ìîæíî ñ÷èòàòü íåíàñò­îÿùèì, òî ëèøü ïî òîé  ïðè÷èíå,  ÷òî  îíî  ñîçäàâàëîñü  ñ  ïîìîùüþ êîìïüþòåðà.

Ãëàâà 10

ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

Èñêóññòâî ïðåäïîëàãàåò îáùåíèå ìåæäó õóäîæíèêîì  è çðèòåëÿìè.  èäåàëüíîì ñëó÷àå - ýòî  çàìêíóòûé  öèêë:  õóäîæíèê  ïðåäñòàâëÿåò çðèòåëÿì ñâîþ ðàáîòó, âûçûâàåò èõ ðåàêöèþ è èñïîëüçóåò åå  êàê îá­ðàòíóþ ñâÿçü, ó÷èòûâàÿ, ñ öåëüþ áûòü ëó÷øå ïîíÿòûì,  îòêëèê çðèòå­ëåé â ñâîåé äàëüíåéøåé ðàáîòå.

Åñòü ëè ïðåïÿòñòâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèþ  êîìïüþòåðíîé  ãðàôèêè  è êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà? Ïîêà ýòî  áûëè  ëèøü  ðèñóíêè,  ñîçäàííûå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, ãëàâíîé ïðîáëåìîé áûëè  ñîìíåíèÿ  ñïåöèàëèñòîâ, èñòîðèêîâ èñêóññòâà, èñêóññòâîâåäîâ è, áîëåå âñåãî, âëàäåëüöåâ ãà­ëåðåé. Ïðîáëåìà çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî êîìïüþòåð ìîæåò ñîçäàòü ëþ­áîå ÷èñëî îäèíàêîâî ñîâåðøåííûõ “îðèãèíàëîâ”,  ÷òî  ìîæåò  íàíåñòè óùåðá áèçíåñó, ñâÿçàííîìó ñ èñêóññòâîì. Çàòåì áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî íåêîòîðûå èç ïåðâûõ ðàáîò, ñîçäàííûõ êîìïüþòåðîì,  â  ïîëíîé  ìåðå óíèêàëüíû è íåâîñïðîèçâîäèìû. È èõ äåéñòâèòåëüíî ñòîèëî êîëëåêöèî­íèðîâàòü.

Ñåé÷àñ ñèòóàöèÿ ñëîæíåå. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì,  ÷òî  èçîáðàæåíèÿ ñîçäàþòñÿ íå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, à íà ýêðàíå äèñïëåÿ. Ñ  ýêðàíà îíè äîëæíû áûòü “ïåðåïèñàíû” è çàôèêñèðîâàíû, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ íåèñê­àæàþùåé, êîíòðîëèðóåìîé êîìïüþòåðîì, ôîòîãðàôèè. Íî çäåñü ñðàçó æå âñïëûâàþò ñòàðûå îãîâîðêè, è âíîâü âîçíèêàåò äèñêóññèÿ î  òîì, ìî­æåò ëè ôîòîãðàôèÿ áûòü ïðîèçâåäåíèåì èñêóññòâà.

Åñòü è äðóãèå ñïîñîáû ïåðåíîñà èçîáðàæåíèé ñ  ýêðàíà  äèñïëåÿ íà áóìàãó â íåèñêàæåííîì âèäå, â ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ  ñòðóéíûõ  è ëàçåðíûõ ïðèíòåðîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ  ïîäîáíàÿ òåõíèêà åùå íåäàâíî áûëà äîñòóïíà ëèøü íåìíîãèì èññëåäîâàòåëÿì,  è ïîýòîìó áîëüøèíñòâî íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, äàæå òåõ, â êîòîðûõ  ïîëó÷åíû òðåõ­ìåðíûå îáðàçû ñ ïåðñïåêòèâîé, îñòàåòñÿ íà ñëàéäàõ  èëè ôîòîáóìàãå. Ñàìûå áîëüøèå ñëîæíîñòè âîçíèêàþò ñ äâèæóùèìèñÿ èçîáðàæåíèÿìè, êî­òîðûå íåëüçÿ âûñòàâèòü â ãàëåðåÿõ è êîòîðûìè òðóäíî çàèíòåðåñîâàòü òåõ, êòî òîðãóåò  ïðîèçâåäåíèÿìè  òðàäèöèîííîãî  èñêóññòâà.  ×òîáû ñäåëàòü ýòè ïðîèçâåäåíèÿ äîñòóïíûìè äëÿ  ïóáëèêè,  íóæíî èñïîëüçî­âàòü àáñîëþòíî íîâûå ñðåäñòâà, íàïðèìåð  òå  îðãàíèçàöèè,  êîòîðûå èìåþò äåëî ñ òåëåâèçèîííûìè èçîáðàæåíèÿìè òèïà áèáëèîòåê âèäåîêàñ­ñåò èëè òåëåñòàíöèé. Íåïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò: òî ëè ïðîñòî ñëèø­êîì ìàë ñïðîñ íà ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì äâèæóùèåñÿ  îáðàçû,  òî  ëè âñåìó âèíîé ìåäëèòåëüíîñòü ñðåäñòâ ìàññîâîé  èíôîðìàöèè, íåæåëàíèå ïåðåêëþ÷èòüñÿ íà íîâûé ïóòü?

Êàêèì æå ñïîñîáîì ìîæåò “êîìïüþòåðíûé”  õóäîæíèê  ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû øèðîêîé ïóáëèêå? Ïðîñòåéøèé ìåòîä,  êàê  ìíå  êàæåòñÿ, ñëåäîâàòü òðàäèöèÿì ãàëåðåé è âûñòàâëÿòü âíà÷àëå  ïåðåíåñåííûå  íà áóìàãó ñòàòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ. À  êîãäà  ýòè  ïðîèçâåäåíèÿ  áóäóò ïðèçíàíû, îòêðîþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè è  äëÿ  äâèæóùèõñÿ èçîáðàæå­íèé. Âïðî÷åì, â ïîñëåäíåå âðåìÿ, â ñâÿçè ñ âíåçàïíûì âçðûâíûì ðîñ­òîì ðàñïðîñòðàíåííîñòè ïåðñîíàëüíûõ  êîìïüþòåðîâ,  ïîÿâëÿþòñÿ âîç­ìîæíîñòè ïåðåäà÷è ïîäîáíûõ ïðîèçâåäåíèé  èñêóññòâà  â  âèäå ñïåöè­àëüíûõ ôàéëîâ. Áîëåå òîãî, òàêèå ôàéëû ìîãóò  ñîäåðæàòü  íå îáÿçà­òåëüíî ãðàôè÷åñêóþ èíôîðìàöèþ, íî ïðîñòî “íàáîð êîýôôèöèåíòîâ” äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ êàðòèíû ïî èçâåñòíîìó àëãîðèòìó.

Ãëàâà 11

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ È ÒÅÕÍÎËÎÃÈß ÑÅÃÎÄÍß

Ðàçóìíàÿ ñòðàòåãèÿ áèçíåñà è ïðåâîñõîäíîå  êà÷åñòâî ïðîäóêöèè íå ïîìîãóò, åñëè ïóáëèêà ýòó ïðîäóêöèþ îòâåðãàåò. Îäíîé èç ïðè÷èí, ïî êîòîðûì êîìïüþòåðíîå èñêóññòâî îòâåðãàåòñÿ, ìîæåò  ñëóæèòü  òî, ÷òî îíî ñîçäàíî ñ ïîìîùüþ òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíûõ  óñòðîéñòâ, êî­òîðûå ñàìè ïîïàëè íûí÷å ïîä ñèëüíûé ïåðåêðåñòíûé  îãîíü. Âûñòóïëå­íèå â çàùèòó òåõíîëîãèè (ñ öåëüþ óçàêîíèòü åå  êàê  òâîð÷åñêèé ìå­òîä) íàòàëêèâàåòñÿ íà íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ âîïðîñà:  “Íå  ñëåäóåò ëè îãðàäèòü èñêóññòâî îò âìåøàòåëüñòâà ìàøèí â  ñîâðåìåííîì  ìèðå, òåì áîëåå, ÷òî è ñàì ïî ñåáå òåõíîëîãè÷åñêèé ïðîöåññ  âûçûâàåò îï­ðåäåëåííûå ñîìíåíèÿ?” Îòâåò  ïðîñò.  Òåõíîëîãèÿ,  íåîáõîäèìàÿ  äëÿ êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò  èñïîëüçóåìûõ â ýíåðãåòèêå è ïðîìûøëåííîñòè, êîòîðûå â îñíîâíîì  è  îêàçàëèñü  ïîä îãíåì êðèòèêè. Êîìïüþòåð - ýòî ïðîäóêò  èíôîðìàöèîííîé òåõíîëîãèè, ïîòðåáëÿþùèé ìèíèìóì ýíåðãèè è ìàòåðèàëüíûõ ðåñóðñîâ. È íåò ïðè÷èí îãðàíè÷èâàòü ïðèìåíåíèå ñèñòåì îáðàáîòêè äàííûõ ëèøü  íàóêîé, òåõ­íîëîãèåé, áèçíåñîì è óïðàâëåíèåì, èñêëþ÷àÿ ñôåðó èñêóññòâà.

Âîïðîñ î çàìåíå  òðàäèöèîííûõ  ìåòîäîâ  òâîð÷åñòâà  õóäîæíèêà ýëåêòðîíèêîé èëè ìàøèíàìè  íå  ñòîèò.  Íàïðîòèâ,  èìååò  ñìûñë èñ­ïîëüçîâàòü âñå âîçìîæíûå ñðåäñòâà, ÷òîáû ðàñøèðèòü âîçìîæíîñòè äëÿ ñàìîâûðàæåíèÿ õóäîæíèêà. Èñêóññòâî êàæäîé ýïîõè  ïîëüçîâàëîñü ñîâ­ðåìåííûìè ñðåäñòâàìè, ÷òîáû ïðèäàòü ôîðìó òîìó íîâîìó, ÷òî ïîÿâëÿ­ëîñü â õóäîæåñòâåííîì òâîð÷åñòâå. Ïðè ýòîì íèêîãäà íå ðóêîâîäñòâî­âàëèñü òîëüêî òåõíè÷åñêèìè èëè ïðàêòè÷åñêèìè  öåëÿìè, ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàëè è ñïîñîáû îáùåíèÿ  ëþäåé  äðóã  ñ  äðóãîì.  Ïî÷åìó  æå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð - ýòî óíèâåðñàëüíîå ñðåäñòâî îáùåíèÿ è ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè, êîòîðîå çàâîåâûâàåò  äàæå  íàøè  ñîáñòâåííûå äîìà - â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà?

ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ

1. Èíôîðìàöèîííûå êàíàëû ñåðâåðîâ 279.0 è 200.25 â ñèñòåìå 5020.

2. Õ.-Î. Ïàéòãåí, Ï.Õ.Ðèõòåð. Êðàñîòà ôðàêòàëîâ. Îáðàçû êîìïëåêñíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. “ÌÈД, 1993 ã.:

3. Ãåðáåðò Â. Ôðàíêå. Ïðåëîìëåíèå íàóêè â èñêóññòâå.