Вычислительные машины и системы


Сдавался/использовался	1998г., МГИЭМ, преп. Кулаков В.Г.
	Загрузить архив:
	Файл: 1061-004.zip (85kb [zip], Скачиваний: 82) скачать

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 1

2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ

2Системы счисления и способы перевода чисел

2из одной системы в другую.

Системой счисления называют систему приемов и правил, позво-

ляющих устанавливать взаимно-однозначное соответствие между любым

числом иегопредставлением в виде совокупности конечного числа

символов. Множество символов, используемых для такого представле-

ния, называют цифрами.

В зависимости от способа изображения чиселспомощью цифр

системы счисления делятся на 1позиционные0 и 1непозиционные0.

В 1непозиционных0 системах любое число определяется какнеко-

торая функция от численных значений совокупности цифр,представ-

ляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соот-

ветствуют некоторым фиксированнымчислам.Пример непозиционной

системы - римская система счисления. В вычислительной технике не-

позиционные системы не применяются.

Систему счисления называют 1позиционной0,если одна ита же

цифра может принимать различные численные значения в зависимости

от номера разряда этой цифры в совокупности цифр,представляющих

заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная систе-

ма счисления.

В позиционнойсистемесчисления любое число записывается в

видепоследовательностицифр:

A = 7+0 a4m-10 a4m-20 ... a4k0 ... a400 , a4-10 ... a4-l0 (I)

Позиции, пронумерованныеиндексами k (-l < k < m-1) называ-

ются разрядами числа. Сумма m+l соответствует количеству разрядов

числа (m - число разрядов целой части числа, l - дробной части).

Каждая цифра a4k0 в записываемой последовательности может при-

нимать одно из N возможных значений.Количество различныхцифр

(N), используемыхдляизображения чисел в позиционной системе

счисления, называется основанием системы счисления. Основание N

указывает,во сколько раз единица k+1 -го разряда больше единицы

k -го разряда, ацифра a4k0 соответствует количеству единиц k -го

разряда, содержащихся в числе.

Таким образом, число может быть представлено в виде суммы:

(A)4N0 = 7+0(a4m-10N5m-10 + a4m-20N5m-20 +...+ a400 + a4-10N5-10 +...+ a4-l0N5-l0) (II)

Основание позиционной системы счисления определяет ее назва-

ние. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная,

десятичная и шестнадцатеричная системы.В дальнейшем, чтобы явно

указать используемую систему счисления,будем заключать число в

скобки и в индексе указывать основание системы счисления.

- 2 -

В двоичнойсистеме счисления используются только две цифры:

0 и 1.Любое двоичное число может быть представлено в следующей

форме:

(A)420 = 7+0(a4m-1025m-10 + a4m-2025m-20 + ... + a400 + a4-1025-10 + ... + a4-l025-l0)

Например, двоичное число

(10101,101)420 = 1*2540+0*2530+1*2520+0*2+1+1*25-10+0*25-20+1*25-30 = (21,625)410

В восьмеричнойсистеме счисления для записи чисел использу-

ется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шест-

надцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Таблица для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

──────────────┬──────────────────┬──────────────┬────────────────

Двоичные │ Восьмеричные │Десятичные │Шестнадцате-

числа │ числа │ числа │ричные числа

──────────────┼──────────────────┼──────────────┼────────────────

0,0001│ 0,04 │ 0,0625 │ 0,1

0,001 │ 0,1 │ 0,125 │ 0,2

0,01 │ 0,2 │ 0,25 │ 0,4

0,1 │ 0,4 │ 0,5 │ 0.8

1 │ 1 │ 1 │ 1

10 │ 2 │ 2 │ 2

11 │ 3 │ 3 │ 3

100 │ 4 │ 4 │ 4

101 │ 5 │ 5 │ 5

110 │ 6 │ 6 │ 6

111 │ 7 │ 7 │ 7

1000 │ 10 │ 8 │ 8

1001 │ 11 │ 9 │ 9

1010 │ 12 │ 10 │ A

1011 │ 13 │ 11 │ B

1100 │ 14 │ 12 │ C

1101 │ 15 │ 13 │ D

1110 │ 16 │ 14 │ E

1111 │ 17 │ 15 │ F

10000 │ 20 │ 16 │ 10

──────────────┴──────────────────┴──────────────┴────────────────

Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная

система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по

сравнению с другими системами.Все остальные системысчисления

применяются только для удобства пользователей.

В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и

логические операции над числами.

- 3 -

Таблица сложения:

0 + 0 =0

0 + 1 =1

1 + 0 =1

1 + 1 = 10

Таблица умножения:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Многоразрядные числа складываются,вычитаются, умножаются и

делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Перевод числа из одной системы в другую выполняется по уни-

версальному алгоритму, заключающемуся в последовательном 2делении

1целой0 части числа и образующихся 1целых частных0 на2 основание0 новой

системы счисления, записанное 2в исходной 0системе2 0счисления,и в

последующем 2умножении0 1дробной0 части и 1дробных частей0 получающихся

1произведений0 на то же основание,записанное 2в0 2 исходной 0системе

счисления.

При переводе1целой0 части получающиеся в процессе последова-

тельного деления остатки представляют цифры целой частичислав

новой системе счисления,записанныецифрами исходнойсистемы

счисления. Последний остаток является 2старшей0 цифрой переведенно-

го числа.

При переводе 1дробной0 части числа 2целые0 части чисел, получаю-

щихся при умножении, не участвуют в последующих умножениях. Они

представляют собой цифры дробной части исходногочисла вновой

системе счисления, изображенные числами старой системы. Значение

первой целой части является 2первой0 цифрой послезапятойпереве-

денного числа.

- 4 -

Пример перевода числа 30,6 из десятичной системы в двоичную:

1Перевод целой части Перевод дробной части

ПоследовательноеОстатки Целые части - Последовательное

деление разряды пере- умножение

веденной дроби

0, 6

30 / 2 0 ──────┐ ───────────────────

15 / 2 1 ─────┐│ ┌──── 1, 2

7 / 2 1 ────┐││ │ X

3 / 2 1 ───┐│││ │ 2

1 / 2 1 ──┐││││ │ ───────────────────

0 │││││ │┌─── 0, 4

│││││ ││ X

│││││ ││ 2

│││││ ││ ───────────────────

│││││ ││┌── 0, 8

│││││ │││ X

│││││ │││ 2

│││││ │││ ───────────────────

│││││ │││┌─ 1, 6

│││││ ││││

Результат: 11110,1001

Если припереводе дробнойчастиполучается периодическая

дробь, то производят округление,руководствуясьзаданной точ-

ностью вычислений.

Пример перевода числа 111110,01 из двоичной системы в десятичную.

1Перевод целой части Перевод дробной части

0, 0100

1010

_111110|_1010. ───────────────────

_1010 . |110 ────────┐┌───── 10, 1000

1011 ││ X

_1010. ││ 1010

10 ────────────┼┐ │ ───────────────────

││ │┌─── 101, 0000

││ ││

Результат: 62,25

- 5 -

Примечание 1:1010 - основание десятичной системы счисления

в двоичной записи.

Примечание 2: десятичные эквиваленты разрядов искомого числа

находим по таблице.

При переводе чисел из любой системы счислениявдесятичную

удобнее пользоваться непосредственно формулой (II):

(775)480 = 7*8520 + 7*8 + 5 = (509)410

Для осуществленияавтоматического перевода десятичных чисел

в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-тообразом

ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-де-

сятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII.

При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа

заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой):

(983,65)4100 = (1001 1000 0011, 0110 0101)42-10

При записи чисел в кодах ASCII цифрамот 0 до 9поставлены

в соответствие восьмиразрядныедвоичныекоды от00110000до

00111001.

ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации,

например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в

десятичной системе счисления над числами,представленными в дво-

ично-десятичных кодах и кодах ASCII.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления использу-

ются только программистами и операторами ЭВМ, так как представле-

ние чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и пе-

ревод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень прос-

то (основания этих систем представляют собой целую степеньчисла

2).

Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каж-

дый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой),а

для перевода шестнадцатиричного числа - четырьмя (тетрадой):

(376,51)480 = (011 111 110, 101 001)42

(1AF8)4160 = (0001 1010 1111 1000)42

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 2

2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ

2Формы представления чисел в ЭВМ.

Разряд двоичного числа представляется в ЭВМ некоторым техни-

ческим устройством, например, триггером, двум различным состояни-

ям которого приписываются значения 0 и 1. Группа таких устройств,

предназначенная для представления в машине многоразрядного числа,

называется регистром.

Структурадвоичного регистра, представляющегов машине

n-разрядное слово:

┌───┬───┬───┬───┬───┐

│n-1│n-2│...│ 1 │ 0 │

└───┴───┴───┴───┴───┘

Отдельные запоминающие элементы пронумерованыот 0до n-1.

Количество разрядов регистра определяетточность представления

чисел. Путем соответствующего увеличения числа разрядоврегистра

может быть получена любая точность вычислений,однако это сопря-

жено с увеличением количества аппаратуры (в лучшем случае зависи-

мость линейная, в худшем - квадратичная).

В ЭВМприменяются двеосновные формы представления чисел:

полулогарифмическая с плавающей запятой и естественная с фиксиро-

ванным положением запятой.

При представлении чисел сфиксированнойзапятой положение

запятой закрепляется вопределенном месте относительно разрядов

числа и сохраняется неизменным длявсех чисел,изображаемыхв

данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим

разрядом или после младшего.В первом случае вразрядной сетке

могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1,

во втором - только целые числа.

Для кодированиязнакачисла используется старший ("знако-

вый") разряд.

При выполненииарифметических действий над правильными дро-

бями могут получаться двоичныечисла,по абсолютнойвеличине

больше или равные единице, что называется1 переполнением разрядной

1сетки.0 Для исключения возможности переполнения приходится масшта-

бировать величины, участвующие в вычислениях.

Диапазон представления правильных двоичных дробей:

25-(n-1)0 7,0 │(A)│7 ,0 1 - 25-(n-1)0 .

- 2 -

Числа, которые по абсолютной величине меньше единицы младше-

го разряда разрядной сетки, называются 2машинным нулем0.

Диапазон представления целыхдвоичныхчисел сознакомв

n-разрядной сетке:

0 7,0 │(A)│7 ,0 25n-10 - 1 .

Использование представлениячиселс фиксированной запятой

позволяет упростить схемы машины,повысить ее быстродействие, но

представляет определенные трудности при программировании.В нас-

тоящее время представление чисел с фиксированной запятойисполь-

зуется как основное только в микроконтроллерах.

В универсальных ЭВМ основным является представление чиселс

плавающей запятой. Представление числа с плавающей запятой в об-

щем случае имеет вид:

A = 7+0m * N5+p0 ,

где N - основание системы счисления,

p - целое число, называемое порядком числа A,

m - мантисса числа A (│m│<1).

Так как в ЭВМ применяется двоичная система счисления, то

A = 7+0m * 25+p0 ,.

причем порядок и мантисса представлены в двоичной форме.

Двоичное число называется нормализованным, если его мантисса

удовлетворяет неравенству

1/2 7,0 │ m │7 0< 1 .

Неравенство показывает, что двоичное число является нормали-

зованным, если в старшем разряде мантиссы стоитединица. Напри-

мер, число0,110100*1051000 - нормализованное,а 0,001101*1051100 -

ненормализованное.

Ситуация, когда в процессе вычислений получено число с │m│7.01

называется переполнением разрядной сетки.

Нормализованное представление чиселпозволяетсохранить в

разрядной сетке большее количество значащих цифр и,следователь-

но, повышает точность вычислений. Однако современные ЭВМ позволя-

ют, при необходимости, выполнять операции также и над ненормали-

зованными числами.

- 3 -

Диапазон представления нормализованных двоичных чисел,взя-

тых по абсолютному значению, удовлетворяет неравенству:

25-1 0*5 025-(2k-1)7 ,0 │(A)│ 7,0 (15 0-5 025-l0)5 0*5 0252k-10 ,

где l - число разрядов мантиссы;

k - число разрядов порядка;

25-10 - наименьшее значение нормализованной мантиссы;

1-25-l0 - наибольшее значение нормализованной мантиссы.

Широкий диапазон представлениячиселс плавающейзапятой

удобен для научных и инженерных расчетов.Для повышения точности

вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможностьиспользования

формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение зат-

рат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

2Представление отрицательных чисел в ЭВМ.

Для кодированиязнакадвоичного числа используется старший

("знаковый") разряд (ноль соответствует плюсу, единица - минусу).

Такая формапредставлениячисла называется2прямым кодом0.

Формула для образования прямого кода правильной дроби имеет вид:

720 A, если A7.00,

[A]4пр0 =7 *

720 1-A, если A<0.

Примеры:

A = 0,110111-->[A]4пр0 = 0,110111

A = -0,110111--> [A]4пр0 = 1 - (-0,110111) = 1,110111

Прямой код целого числа получается по формуле:

720 50 A, если A7.00,

[A]4пр0 =7 *

720105n-1 0-5 0A, если A<0.

где 10 - число 2 в двоичной системе счисления,

n -количество позиций в разрядной сетке.

Например, при n=8

A = 110111-->[A]4пр0 = 00110111

A = -110111-->[A]4пр0 = 10000000 - (-110111) = 10110111

В ЭВМпрямой код применяется только для представления поло-

жительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел.

применяется либо дополнительный,либо обратный код,так как над

- 4 -

отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифмети-

ческие операции.

Формула для образования дополнительного кода4 0дроби:

[A]4доп0 = 10 + A.

Формула для образования обратного кода4 0дроби:

[A]4обр0 = 10 - 105-(n-1)0 + A.

Например, при n = 8, для A = -0,1100001

[A]4доп0 = 10 + (-0,1100001) = 1,0011111

[A]4обр0 = 10-105-70+(-0,1100001) = 1,1111111-0,1100001 = 1,0011110.

Формула для образования дополнительного кода4 0целого числа:

[A]4доп0 = 105n0 + A.

Формула для образования обратного кода4 0целого числа:

[A]4обр0 = 105n0 - 1 + A.

Например, при n = 8, для A = -1100001

[A]4доп0 = 100000000 + (-1100001) = 10011111

[A]4обр0 = 100000000-1+(-1100001) = 11111111-1100001 = 10011110.

Таким образом, правила для образования дополнительного и об-

ратного кода состоят в следующем:

- для образования дополнительного кода отрицательного числа

необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые

разряды инвертировать (заменить 1 на 0,а 0 - на 1), после чего

прибавить 1 к младшему разряду;

- для образования обратного кода отрицательного числа необ-

ходимо в знаковом разряде поставить единицу,а все цифровые раз-

ряды инвертировать.

Примечание: приданных преобразованиях нужно учитывать раз-

мер разрядной сетки.

Прямой кодможно получить из дополнительного и обратного по

тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и

обратного кодов.

Замена вычитания двоичных чисел A41 0-4 0A420 сложением с дополне-

ниями [A410]4пр 0+4 0[-A420]4доп0 или [A410]4пр 0+4 0[-A420]4обр0 позволяет опериро-

вать со знаковыми разрядами так же,как и с цифровыми.При этом

перенос из старшего знакового разряда,если он возникает, учиты-

вается по разному для обратного и дополнительного кодов:

- при использовании дополнительного кода единица переноса из

- 5 -

знакового разряда отбрасывается;

- прииспользовании обратного кода единица переноса из зна-

кового разряда прибавляется к младшему разряду суммы (осуществля-

ется так называемый циклический перенос).

Пример: складываем числа A410=0,10010001 и A420=-0,01100110

При использовании обратного кода получим:

[A410]4пр 0 = 0,10010001

[A420]4обр0 = 1,10011001

───────────

10,00101010

└─────── +1

───────────

Результат: 0,00101011

При использовании дополнительного кода получим:

[A410]4пр 0 = 0,10010001

[A420]4доп0 = 1,10011010

───────────

Результат: 0,00101011

Если знаковый разряд результата равен нулю,тов получено

положительное число, которое представлено в прямом коде. Если в

знаковом разряде единица, то результат отрицательный и представ-

лен в обратном или дополнительном коде.

Для того, чтобы избежать ошибок при выполнении бинарных опе-

раций, перед переводом чисел в обратные и дополнительные коды не-

обходимо выравнивать количество разрядов прямого кода операндов.

При сложении чисел,меньших единицы, в машине быть получены

числа, по абсолютной величине большиеединицы. Дляобнаружения

переполнения разрядной сеткив ЭВМ применяются2 модифицированные

прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодиру-

ется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбина-

ция 00, а знаку "минус" - комбинация 11.

Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для

обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифи-

цированном дополнительном коде отбрасывается,а в модифицирован-

ном обратном коде передается в младший цифровой разряд.

Признаком переполненияслужитпоявление в знаковом разряде

суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положитель-

ное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отри-

цательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях

- 6 -

содержит истинное значение знака суммы,а младший является стар-

шей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно

сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо,а в освободив-

шийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому зна-

чению младшего знакового разряда.После корректировки переполне-

ния мантиссы результата необходимо увеличить наединицу порядок

результата.

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 3

2ОСНОВЫ МАШИННОЙ АРИФМЕТИКИ

2Формы представления чисел в ЭВМ0

2(продолжение)

Система вещественных чисел,применяемая при ручных вычисле-

ниях, предполагается бесконечной и непрерывной, т.е. не существу-

ет никаких ограничений на диапазон используемых чисел и точность

их представления.

Однако вкомпьютерах реализация такой системы на аппаратном

уровне была бы нецелесообразной,хотя программно может быть реа-

лизована любая точность вычислений. Нецелесообразность аппаратной

реализации вычислений с произвольной точностью вызванатем,что

такие вычисления требуютнеоправданно большого расхода основных

машинных ресурсов: памяти и процессорного времени.

Во всехкомпьютерах размеры регистров и ячеек памяти фикси-

рованы, что ограничивает систему представления чисел. Ограничения

касаются как диапазона, так и точности представления чисел, т.е.

система машинных чисел оказывается конечной и дискретной.

В любойуниверсальной ЭВМсуществуетнесколько различных

форматов представления как для чисел с фиксированной,так идля

чисел с плавающей запятой.На некоторые из форматов имеются меж-

дународные стандарты, и поэтому такие форматы являются общими для

ЭВМ, построенных различными фирмами на различной элементной базе.

Следует отметить, что нестандартные форматы обычно являются неяв-

но специализированными для определенных областей применения, при-

чем разработчики аппаратуры могут не указать в документации,для

чего был предназначен тот или иной формат.

С точки зрения программиста важно,какие из форматов данных

обрабатываются аппаратными средствами данной ЭВМ, а какие - толь-

ко программными средствами.Операции над данными любого формата,

который не поддерживается аппаратурой,выполняются очень медлен-

но.Любой формат данных, который превышает размер регистров про-

цессора, не пригоден для быстрых вычислений.

Для представления2целых чисел0в ЭВМ обычно применяются 8-,

16-, 32- и 64-битовый стандартные форматы,причем интерпретация

чисел как знаковых или беззнаковых обычно возлагается на програм-

миста или на компиллятор с языка высокого уровня.

- 2 -

Для представления2 чисел с плавающей запятой0 также существует

несколько стандартных форматов,различающихсяпо точности, но

имеющих одинаковую структуру следующего вида:

n-1 n-2 0

┌───╥───┬───┬─────┬───╥───┬───┬─────┬───┐

│ ║ │ │ ... │ ║ │ │ ... │ │

└───╨───┴───┴─────┴───╨───┴───┴─────┴───┘

│ └────────╥────────┘└────────╥───────┘

│ смещенный модуль

знак порядок мантиссы

мантиссы

Порядок pзадается в так называемой смещенной форме: если

для задания порядка выделено k разрядов,то к истинному значению

порядка прибавляют смещение,равное(25k-10 - 1).Использование

смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как

над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложе-

ния и вычитания порядков. Кроме того,использованиесмещенного

порядка упрощает операцию сравнения нормализованных чисел с пла-

вающей запятой, сводя ее к операции сравнения целых чисел.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной ман-

тиссой позволяет абсолютноточно представлять m-разрядные целые

числа,т.е. любое двоичное целое число,содержащеене более m

разрядов, может бытьбез искажений преобразовано в вещественный

формат.

2Форматы представления чисел в ПЭВМ IBM AT

Рассмотрим стандартные и нестандартные форматы, используемые

для представления чисел в ПЭВМ IBM AT.

В дальнейшембудемиспользовать надиаграммахследующие

обозначения:

S - знаковый разряд;

E - поле порядка;

M - поле мантиссы;

X - неиспользуемая область;

D - цифра упакованного десятичного целогочисла,представ-

ленная в двоично-десятичном коде.

Примечание: основнойпроцессор эффективен только при опера-

циях с целыми числами, разрядность которых не превышает разряд-

ности его внутренних регистров;в остальных случаях более эффек-

тивен математический сопроцессор.

- 3 -

1Форматы представления0 1двоичных целых чисел

1) 8-разрядноецелоечисло без знака (поддерживается всеми

процессорами серии 80x86)

7 0

┌───────────────┐

│ │

└───────────────┘

2) 7-разрядноецелоечисло со знаком (поддерживается всеми

процессорами серии 80x86)

7 6 0

┌─┬─────────────┐

│S│ │

└─┴─────────────┘

3) 16-разрядноецелое число без знака (поддерживается всеми

процессорами серии 80x86)

15 0

┌───────────────────────────────┐

│ │

└───────────────┴───────────────┘

4) WordInteger (целое слово) - 15-разрядное целое число со

знаком (поддерживается всеми процессорами серии 80x86 и математи-

ческим сопроцессором)

15 0

┌─┬─────────────────────────────┐

│S│ │

└─┴─────────────┴───────────────┘

5) 32-разрядноецелое число без знака (поддерживается всеми

процессорами серии 80x86, но операции с этим форматом выполняются

эффективно только 32-разрядными микропроцессорами, т.е. начиная с

i386SX)

31 0

┌───────────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

└───────────────┴───────────────┴───────────────┴───────────────┘

6) Short Integer (короткое целое) - 31-разрядное целое число

сознаком (поддерживается всеми процессорами серии 80x86 и мате-

матическим сопроцессором, но операции с этим форматом выполняются

эффективно только 32-разрядными микропроцессорами)

- 4 -

31 0

┌─┬─────────────────────────────────────────────────────────────┐

│S│ │

└─┴─────────────┴───────────────┴───────────────┴───────────────┘

7) 64-разрядноецелое число без знака (частично поддержива-

ется 32-разрядными микропроцессорами)

64 0

┌───────────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

└───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘

8) Long Integer (длинное целое) - 63-разрядное целоечисло

со знаком (поддерживается математическим сопроцессором и частично

поддерживается 32-разрядными микропроцессорами)

64 0

┌─┬─────────────────────────────────────────────────────────────┐

│S│ │

└─┴─────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘

1Форматы представления0 1десятичных целых чисел

1) Неупакованное 1-разрядное десятичное целое число без зна-

ка в двоично-десятичномкоде (поддерживается всеми процессорами

серии 80x86)

7 4 3 0

┌───────┬───────┐

│0 0 0 0│ D │

└───────┴───────┘

2) 1-разрядное десятичное целое число без знака в коде ASCII

(поддерживается всеми процессорами серии 80x86)

7 4 3 0

┌───────┬───────┐

│0 0 1 1│ D │

└───────┴───────┘

3) Packed Decimal - упакованное 2-разрядное десятичное целое

без знака (поддерживается всеми процессорами серии 80x86)

7 4 3 0

┌───────┬───────┐

│ D410│ D400│

└───────┴───────┘

4) Packed Binary Coded Decimal-упакованное 18-разрядное

десятичное целоечисло со знаком (поддерживается математическим

сопроцессором)

- 5 -

79 0

┌─┬────┬─────────────────────────────────────────────────────┐

│S│X │D4170D4160 ... D410 D400│

└─┴────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┘

1Форматы представления вещественных чисел

1) Single Format (обычный формат) 1 0или 1 0Short Real (короткое

вещественное) -короткоевещественное нормализованное число со

знаком, 8-разрядным смещенным порядкоми 24-разрядной мантиссой

(так как старший бит мантиссы нормализованного числа всегда равен

1, то он не хранится в памяти,и размер поля,выделенногодля

хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).

31 30 23 22 0

┌─┬───────────────┬─────────────────────────────────────────────┐

│S│ E │ M │

└─┴─────────────┴─┴─────────────┴───────────────┴───────────────┘

2) DoubleFormat(двойной формат) или Long Real (длинное ве-

щественное) - длинное вещественное нормализованное число со

знаком, 11-разрядным смещенным порядкоми 53-разрядной мантиссой

(так как старший бит мантиссы нормализованного числа всегда равен

1, то он не хранится в памяти,и размер поля,выделенногодля

хранения мантиссы, составляет только 52 разряда).

63 62 52 51 0

┌─┬─────────┬───────────────────────────────────────────────────┐

│S│ E │ M │

└─┴─────┴───┴───┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘

3) Extended Format (расширенный формат) или 1 0Single Extended

(обычный расширенный формат)- вещественное число в расширенном

формате со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной

мантиссой.Этот формат позволяет хранить ненормализованные числа

и соответствует стандарту IEEE 754.

79 78 64 63 0

┌─┬─────────┬───────────────────────────────────────────────┐

│S│ E │ M │

└─┴───┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┘

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 4

2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ УЗЛОВ ЭВМ

2Физические формы представления информации

Вся информация в ЭВМ кодируется совокупностью цифр. Всвою

очередь цифры отображаются квантованными по двум уровням сигнала-

ми.

Следует отметить, что в цифровых устройствах сигналы изменя-

ются не непрерывно, а в дискретные моменты времени, обозначаемые

целыми числами (t = 0, 1, ... n). Временной интервал между сосед-

ними моментами дискретного времени называется2 тактом0.Эти интер-

валы являются одинаковыми для синхронных устройств и неодинаковы-

ми для асинхронных устройств.

На физическомуровнесигналы могут быть представлены одним

из трех основных способов:потенциальным, импульсным или динами-

ческим.

При 2потенциальном0 способе 0соответствуетнизкий уровень

напряжения, а1 - высокий.Потенциальный сигнал характеризуется

амплитудами низкого (U400) и высокого (U410)уровнейнапряжения, а

также временами нарастания и спада сигнала, которые именуются пе-

редним (t4п0) и задним (t4з0) фронтами соответственно.

При 2импульсном0способе 0 и 1 соответствуют импульсы различ-

ной полярности, либо 0 соответствует отсутствие, а 1 -наличие

импульса. Импульсный сигналхарактеризуется амплитудой импульса

U4m0, шириной (продолжительностью импульса по основанию) t4и0,и пе-

редним t4п0 и задним t4з0 фронтами импульса.В идеальном случае им-

пульсные сигналы должны появляться в тактовые моменты. В действи-

тельности имеет местозапаздываниеимпульсного сигнала относи-

тельно тактового момента на время7 t0.

При2 динамическом0способе представления информации двум воз-

можным значениям переменной соответствует наличие либо отсутствие

серии импульсов.

В электронных схемах и устройствах,входящих в составЭВМ,

применяется потенциальный способ представления информации,а для

передачи информации между ЭВМ,а также при работес магнитными

носителями информации применяются импульсный и динамический спо-

собы.

2Математические модели схем ЭВМ

Наиболее общей моделью любой схемы,узла или устройства ЭВМ

является многополюсный черный ящик с 2l0 входами и 2m0выходами.На

входы модели поступают, а на выходах появляются сигналы, кванто-

ванные по двум уровням.

- 2 -

┌──────────┐

x410 ─────┤ ├───── y41

x420 ─────┤ ├───── y42

. │Черный │ .

. │ ящик │ .

. │ │ .

x4l0 ─────┤ ├───── y4m

└──────────┘

где x4i0 (i = 1, 2, ..., l) - входные сигналы,

y4j0 (j = 1, 2, ..., m) - выходные сигналы.

Множество значений,которые может принимать переменнаяx4i0,

называют2 алфавитом0 переменной x4i0. В современных ЭВМ алфавит вход-

ных и выходных сигналов состоит из двух букв: 0 и 1.

На входымодели поступают в каждый тактовый момент упорядо-

ченные наборы букв, называемые2 словами0. Множество всех допустимых

наборов слов называется 2входным алфавитом0 X данной схемы.Анало-

гично множество всех допустимых комбинаций,образуемых выходными

сигналами, называется 2выходным алфавитом0 Y.

Математические модели отражают зависимость между входными и

выходными переменными схемы посредством системы уравнений:

y4j0(t) = f{x410(t),x420(t)...,x4l0(t), q410(t),q420(t),,...,q4s0(t)} (I)

где j = 1,2,...,m, а переменные q410,q420,...,q4s0 отражают внутренние

состояния схемы.

Если переменные y4i0 не зависят от внутреннего состояниясхе-

мы, то одинаковым наборам входных переменных соответствует один и

тот же набор выходных переменных. Такие схемы называются 2комбина-

2ционными0.

При этом система уравнений может быть записана в виде:

y4j0(t) = f{x410(t),x420(t)...,x4l0(t)},где j = 1,2,...,m. (II)

Функции такого вида могут приниматьтолькоконечное число

значений,изависят от аргументов,также принимающих конечное

число значений. Такие функции называются2 переключательными0.

В дальнейшеммыбудем рассматривать переключательные функ-

ции, которые могут принимать только два значения - 0 и 1, и аргу-

менты которых также могут принимать только одно из этих двух зна-

чений. Такие переключательные функции получилиназвание2булевых

2функций0.

Если выходныепеременные y4i0(t) зависят не только от входных

переменных, но и от внутреннего состояния схемы,то для полного

ее описания необходимо указать еще одну систему уравнений:

- 3 -

q4n0(t+1) = 7f0{x410(t),x420(t)...,x4l0(t), q410(t),q420(t),,...,q4s0(t)},(III)

где n = 1,2,...,s.

Эта система отражает зависимость внутреннего состояния схемы

в (t+1) такте от ее состояния и входных сигналов в такте t.

Схемы, описываемые уравнениями I иIII,получили название

2цифровых автоматов0.

Для задания цифрового автомата должны быть указаны:

1) входной алфавит слов X;

2) выходной алфавит слов Y;

3) алфавит внутренних состояний Q;

4) начальное состояние автомата q400;

5) функция переходов A(q,x);

6) функция выходов B(q,x).

2Функция переходов0определяет зависимость состояния автомата

q(t+1) в момент времени t+1 от состояния автомата q(t) и входного

сигнала x(t) в момент t.

2Функция выходов0определяетзависимость выходногосигнала

y(t) от состояния автомата q(t) и входного сигнала x(t).

Автомат, описываемый системой уравнений

720 q(t+1) = A{q(t),x(t)},

720 y(t) = B{q(t),x(t)}

называется 2автоматом Мили0.

Автомат, выходнойсигнал которого y(t) в тактовый момент t

зависит только от состояния автомата q(t) и не зависит от входно-

го сигнала, называется2 автоматом Мура0 и описывается системой:

720 q(t+1) = A{q(t),x(t)},

720 y(t) = B{q(t)}.

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 5

2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ УЗЛОВ ЭВМ

Если для двух любых состояний q4i0 и q4j0 автомата имеется вход-

ной сигнал, переводящий автомат из состояния q4i0 в q4j0,тотакой

автомат называется автоматом с 2полной системой переходов0. Автомат

Мура имеет 2полную систему выходов0, если выходные сигналы различны

для всех его состояний.

При построении схем ЭВМ в качестве элементов памяти исполь-

зуются элементарные автоматы.2Элементарный автомат0 - это автомат

Мура с двумя внутренними состояниями,двумя различными выходными

сигналами и несколькими входами, обладающий полными системами пе-

реходов и выходов.

2ТЕОРИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Булевыми функциями называют переключательные функции, кото-

рые так же, какиих аргументы, принимают только два значения:

0 и 1.

Булевы функции могут быть заданы в виде формулилитаблиц.

Формулы позволяют представлятьфункции в более компактном виде,

чем таблицы,так как таблица для функции отnаргументов будет

содержать 25n0строк (или столбцов, в зависимости от формы табли-

цы). С другой стороны, таблицы дают наглядное представление для

простых функций.

Приведем вкачествепримера наиболеечасто встречающиеся

функции от одной и двух переменных:

1) Переменная x:

f(x) = x

2) Инверсия переменной x (функция НЕ):

f(x) = x

3) Константа нуля:

f(x) = 0

4) Константа единицы:

f(x) = 1

- 2 -

5) Дизъюнкция (функция ИЛИ):

f(x410,x420) = x410 V x42

Может встречаться другое обозначение: f(x410,x420) = x410 | x420.

Таблица истинности (соответствия) для этой функции имеет вид:

┌─────┬─────┬─────────┐

│x410 │x420 │ x410 V x420 │

├─────┼─────┼─────────┤

│0│ 0│ 0 │

│ 0│1 │ 1 │

│1│ 0│ 1 │

│1│ 1│ 1 │

└─────┴─────┴─────────┘

6) Конъюнкция (функция И):

f(x410,x420) = x410 5.0 x42

Может встречаться другое обозначение: f(x410,x420) = x410 & x420.

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

┌─────┬─────┬─────────┐

│x410 │x420 │ x410 5.0 x420 │

├─────┼─────┼─────────┤

│0│ 0│ 0 │

│0│ 1│ 0 │

│1│ 0│ 0 │

│1│ 1│ 1 │

└─────┴─────┴─────────┘

7) Функция ИЛИ-НЕ:

4_______

f(x410,x420) = x410 V x42

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

┌─────┬─────┬─────────┐

│x410 │x420 │ x410 V x420 │

├─────┼─────┼─────────┤

│0│ 0│ 1 │

│0│ 1│ 0 │

│1│ 0│ 0 │

│1│ 1│ 0 │

└─────┴─────┴─────────┘

- 3 -

8) Функция И-НЕ:

4_______

f(x410,x420) = x410 5.0 x42

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

┌─────┬─────┬─────────┐

│x410 │x420 │ x410 V x420 │

├─────┼─────┼─────────┤

│0│ 0│ 0 │

│ 0│1 │ 1 │

│1│ 0│ 1 │

│1│ 1│ 1 │

└─────┴─────┴─────────┘

9) Функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (сумма по модулю 2):

f(x410,x420) = mod2(x410,x420)

Таблица истинности для этой функции имеет вид:

┌─────┬─────┬─────────────┐

│x410 │x420 │ mod2(x1,x2) │

├─────┼─────┼─────────────┤

│0│ 0│ 0 │

│0│ 1│ 1 │

│1│ 0│ 1 │

│1│ 1│ 0 │

└─────┴─────┴─────────────┘

2Аксиомы алгебры логики

В алгебрелогики определено отношение эквивалентности (=) и

три операции: дизъюнкция, конъюнкция и отрицание.

Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим свойствам:

x=x - рефлексивность; если x=y, то y=x - симметричность; если x=y

и y=z, то x=z - транзитивность. Из отношения эквивалентности сле-

дует2 принцип подстановки0:если x=y, то в любой формуле, содержа-

щей x,вместо x можно подставить y, и будет получена эквивалент-

ная формула.

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

x = 0, если x 7-0 17 )

780(1)

x = 1, если x 7-0 07 0

1 V 1 = 17 )

780 (2)

05 .0 0 = 07 0

- 4 -

0 V 0 = 07 )

780 (3)

1 5.0 1 = 17 0

0 V 1 = 1 V 0 = 17 )

780 (4)

05 .0 1 = 15 . 00 = 07 0

0 = 17 )

4_0 780 (5)

1 = 07 0

Аксиома (1) утверждает, что в алгебре логики рассматриваются

только двоичные переменные,аксиомы (2)-(4) определяют операции

конъюнкции и дизъюнкции, а аксиома 5 - операцию отрицания.

Если в аксиомах (2)-(5), заданных парами утверждений, произ-

вести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции,атакже

элементов 0и1, тоиз одного утверждения пары будет получено

другое. Это свойство называется принципом двойственности.

2Теоремы алгебры логики

С помощью аксиом алгебры логики можно доказать целый ряд те-

орем и тождеств. Одним из эффективных методов доказательства тео-

рем является2 метод перебора0 всех значений переменных: если теоре-

ма истинна, топриподстановке любых значений переменных в обе

части выражения, формулирующего утверждение теоремы, должно полу-

читься тождество.

Методом перебора можно убедиться в справедливости следующих

теорем:

идемпотентные законы

x V x = x7 )

x 5.0 x = x7 0

коммутативные законы

x V y = y V x7 )

x 5.0 y = y 5.0 x7 0

ассоциативные законы

(x V y) V z = x V (y V z)7 )

(x 5.0 y) 5.0 z = x 5.0 (y 5.0 z)7 0

- 5 -

дистрибутивные законы

x 5.0 (y V z) = x 5.0 y V x 5.0 z7 )

x V y 5.0 z = (x V y)5.0(x V z)7 0

законы отрицания4 _

x V x = 17 )

4_0 78

x 5.0 x = 07 0

0 V x = x7 )

1 5.0 x = x7 0

1 V x = 17 )

0 5.0 x = 07 0

законы двойственности (теоремы де Моргана)

4_____ _ _

x V y = x 5. 0y7 )

4_____0 4_0 4_0 78

x 5.0 y = x V y7 0

закон двойного отрицания4 04 _____

7(0 4_7 )

720 x7 20 = x

79 0

законы поглощения

x V x 5.0 y = x7 )

x5.0(x V y) = x7 0

операции склеивания4 _

x 5.0 y V x 5.0 y = x7 0 7)

4_0 78

(x V y)5.0(x V y) =7 0x 70

операции обобщенного склеивания

4_ _

x5.0y V x5.0z V y5.0z = x5.0y V x5.0z 5 7)

4_0 54_5 0 78

(x V y)5.0(x V z)5.0(y V z) =7 0(x V y)5.0(x V z) 70

x V x 5.0 y = x V y7 )

4_0 78

x5.0(x V y) = x7 5.0 y 70

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 6

2МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ (МИНИМИЗАЦИИ) БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Сложные булевы функции могут быть построены из болеепрос-

тых.

2Элементарными функциями0 называются функции, образованные пу-

тем использования однотипных логических операций: только операции

И, только операции ИЛИ и т.д.

Для представления сложных логических функций можно использо-

вать не все элементарные функции,а только ту или иную часть их,

называемую системой. Система элементарных функций f410, ..., f4k0 на-

зывается функционально полной,если любую сложную булеву функцию

можно записать в виде формулы через функции f410, ..., f4k0.

Так, любую функцию можно представить с помощью одних только

операций И-НЕ или только операций ИЛИ-НЕ.

В цифровых устройствах часто применяется в качестве базовой

система из трех функций: И, ИЛИ и НЕ.

Используя законы алгебры логики,можно упрощать сложные ло-

гические выражения. Упрощение заключается в уменьшении количества

букв и количества отрицаний в выражении,что позволяет упростить

схему устройства сжесткойлогикой или программу устройства с

программируемой логикой. Такое упрощение позволяет уменьшить се-

бестоимость и увеличить быстродействие устройства.

Рассмотрим функцию

4_________

7( 4_7)4 _

f(a,b.c) = a5.720b V a5.0c720 V a5.0b

79 0

Используя законы алгебры логики,можно привести эту функцию

квиду:

4_0 50 4_ 0 4 _ 0 4_ __ _ 04_ _

f(a,b.c) = a5.0(b5.0(a5 0V5 0c)) V a5.0b=ab V abc V ab =ab V ab

4применяем 0 4 0 4 применяем

4законы де Моргана 04 закон поглощения

Одной итой желогической функции может быть поставлено в

соответствие неограниченноеколичество различныхэквивалентных

формул. Наиболее удобными для практического использования являют-

ся так называемые 2нормальные формы0 представления сложных логичес-

ких функций.

2Элементарной конъюнкцией0 Q называется логическоепроизведе-

ние переменных иих отрицаний,причем каждая переменная должна

встречаться в произведении только один раз.

- 2 -

4_ _

Пример элементарной конъюнкции:Q = x410x420x430x440x460.

Аналогично 2элементарной дизъюнкцией0 В называетсялогическая

сумма переменных и их отрицаний,причем каждая переменная должна

встречаться в сумме только один раз.

Пример элементарной дизъюнкции:D = x410 V x430 V x440.

Формула, эквивалентная заданной и представляющая собой логи-

ческую сумму элементарныхконъюнкций,называется 2дизъюнктивной

2нормальной формой0 (ДНФ) заданной формулы.Дизъюнктивная нормаль-

ная форма существует для любой логической функции.

Аналогично считается,что логическая функциязадана своей

2конъюнктивной0 2нормальной формой0 (КНФ), если она выражена посредс-

твом логического произведения элементарных дизъюнкций.КНФ также

существует для любой логической функции.

Например, для функции 4_________

7( 4_7)4 _

f(a,b.c) = a5.720b V a5.0c720 V a5.0b

79 0

ДНФ будет иметь вид

4_ _

f(a,b.c) = ab V ab,

КНФ будет иметь вид

4_ _

f(a,b.c) = (a V b)(b V c).

Одна ита же функция путем эквивалентных преобразований мо-

жет быть представлена различными КНФ и ДНФ.Из всей совокупности

нормальных форм, представляющих данную функцию, выделяют одну КНФ

и одну ДНФ, именуемые совершенными.

2Минтермом0 (m)n аргументов называется логическое произведе-

ние этих аргументов, причем каждый аргумент может входить в про-

изведение в прямой или инверсной форме.

Минтермы могут быть пронумерованы, причем номер минтерма оп-

ределяется как десятичный эквивалент двоичного числа,образован-

ного из значений переменных,входящих в данный набор: если пере-

менная входит в прямой форме, то ей соответствует единица, если в

инверсной - ноль.

2Макстермом0 (M) n аргументов называется логическая сумма этих

аргументов, причем каждый аргумент может входить в сумму в прямой

или инверснойформе.Номер макстерма задается аналогично номеру

минтерма.

- 3 -

Рассмотрим в качестве примера случай двух аргументов:

┌─────┬─────┬─────────────┬──────────────┐

│a│ b│ минтерм │макстерм │

├─────┼─────┼─────────────┼──────────────┤

│ │ │ 4_0 4_0 │ 4_0 4_0│

│0│ 0│m400 = a5.0b │M400 = a V b│

│ │ │ 4_0 │ 4_0 │

│0 │1│ m410 = a5.0b │M410 = a V b│

│ │ │ 4_0 │ 4_0│

│1 │0│ m420 = a5.0b │M420 = a V b│

│ │ │ 4 0 │ │

│1 │1│ m430 = a5.0b │M430 = a V b│

└─────┴─────┴─────────────┴──────────────┘

Минтермы и макстермы можно геометрически представить на кар-

тах (диаграммах) Вейча. Так, для двух переменных карта Вейча бу-

дет представлять собойквадрат,причем левая половина квадрата

определяется переменной a, а верхняя половина квадрата - перемен-

ной b.Это означает,что левая4_0 половина квадрата соответствует

значению переменной a, правая - a, верхняя половина соответствует

b, нижняя b.

Карта Вейча для двух переменных:

2a a

┌─────┬─────┐

│ │ 4_0 │

2b 0│ a5.0b │ a5.0b │

│ │ │

├─────┼─────┤

4_0 │ 4_0 │ 4_0 4_0 │

2b 0│ a5.0b │ a5.0b │

│ │ │

└─────┴─────┘

- 4 -

Карта Вейча для5 0трех переменных:

2a a

5┌──────┴──────┐ ┌──────┴──────┐

┌───────┬───────┬───────┬───────┐

│ 4_0 │ │ 4_0 │ 4_0 4_0 │

2b 0│ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │

│ │ │ │ │

├───────┼───────┼───────┼───────┤

4_0 │ 4_0 4_0 │ 4_0 │ 4_0 4_0 │ 4_0 4_0 4_0 │

2b 0│ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │ a5.0b5.0c │

│ │ │ │ │

└───────┴───────┴───────┴───────┘

4_0 5└──────┬──────┘4 _

2c0 2c c

2Свойства минтермов и макстермов:

1) Минтерм является инверсией некоторого макстерма и наобо-

рот:4 _

m4i0 = M

25n0-1-i

M4i0 = m

25n0-1-i

Пример: m410 =4 0M420 (заштрихованная площадь соответствуетмакс-

терму, незаштрихованная - минтерму).

1┌┬┬┬0┬1──0─┐

1├┼┼┼┤ │

1├┼┼┼0└1┬┬┬0┤

1├┼┼┼┼┼┼┼┤

1└┴┴┴┴┴┴┴┘

2) Логическая сумма всех минтермов для любого заданного чис-

ла переменных равна 1.

25n0-1

V m4i0 = 1.

i=0

3) Логическое произведение всех макстермов для любого задан-

ного числа переменных равно 0.

25n0-1

7L0 M4i0 = 0.

i=0

- 5 -

4) Два неодинаковых минтерма или макстерма имеют хотя бы од-

ну переменную, входящуюв один из них в прямой,а в другой - в

инверсной форме, следовательно

m4i5.0m4j0 = 0, если i 7-0 j;

M4i0 V M4j0 = 1, если i 7-0 j.

2Основная теоремаалгебры логики0:любую булеву функцию от n

переменных можно выразить логическойсуммой минтермов,которая

называется2 совершенной нормальной дизъюнктивной формой0, или логи-

ческим произведением макстермов,которое называется2совершенной

2нормальной конъюнктивной формой0.

Логические функции отражают не только принцип работы некото-

рых частей ЭВМ,но и их состав, если каждой элементарной функции

соответствует реальный физический элемент. Любая сложная логичес-

кая функция может быть реализована некоторой частью ЭВМ, если эта

часть построена с помощью такого набора элементов, который реали-

зует все функции одной из функционально полных систем.Такой на-

бор называется функционально полным набором логических элементов

Поскольку каждая функция может быть представлена в виде раз-

личных логических уравнений, каждая функция может быть реализова-

на при помощи различных логическихсхем.Очевидно, чтоболее

простому логическому уравнению соответствует более простая схема.

Упрощение (минимизация) функции сводится к получению ее минималь-

ной дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы,т.е. такой

формы, при которой функция содержит наименьшее число переменных и

знаков логических операций.

Существует несколько методов минимизации.Вдальнейшем мы

рассмотрим метод непосредственных преобразований и метод диаграмм

Вейча.

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 7

2МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

2Метод непосредственных преобразований

Суть данного метода заключается в том,что минимизацияис-

ходной логической функции производится путем применения к отдель-

ным членам или группам членов формулы, выражающей данную логичес-

кую функцию, основныхзаконовалгебры логики с целью получения

минимальной формы функции, т.е. такой, которая не содержит лишних

переменных или членов.

Лишними переменными или членами являются те, которые не вли-

яют на значение преобразуемой формулы.

Пример:

4_ 5 4_

x415.0x425.0x430 V x415.0x425.0x430 = x425.0x435.0(x415 0V5 0x410) = x425.0x435.01 = x425.0x43

т.е. в исходной формуле лишней являлась двоичная переменная x410.

Примечание: произведеннаяоперация называется "склеиванием"

членов формулы.

Действия, отвечающие методу непосредственных преобразований,

обычно проводятся в следующем порядке:

1) Выявляются группы двоичных переменных исходной формулы, к

которым можно применить операцию склеивания или другие законы ал-

гебры логики, приводящие выражение к более простой форме.

2) Упрощениеисходной формулы путем применения к выявленным

группам соответствующих законов.

3) Преобразованиепромежуточнойлогической формулы с целью

образования таких групп переменных, к которым можно применить уп-

рощающие законы алгебры логики. Здесь могут проводиться:

- группирование членов;

- действия по раскрытию скобок и выносу за скобки;

- добавление фиктивных членов,т.е. таких, совокупность ко-

торых тождественно равна нулю;

- логическое умножение одного или нескольких членов на логи-

ческую сумму переменной и ее отрицания.

4) Упрощение преобразованной промежуточной логической форму-

лы сполучением формы,близкой к минимальной,в виде некоторой

ДНФ.

5) Выявлениеи удаление из полученной предварительной формы

лишних членов,что дает минимальнуюформуисходной логической

функции.

В качестве примера рассмотрим минимизацию следующей функции:

4_ _ _ _

f(a,b,c) = ab V bc V bc V ab =

- 2 -

(используем метод умножения всех членов формулы на сумму тех пе-

ременных и их отрицаний, которые отсутствуют в данном члене;)

4_ _ _ _ _ _ _ _

= ab(cVc) V bc(aVa) V bc(aVa) V ab(cVc) =

(в результате, отбросив повторяющиеся члены, получаем СДНФ функ-

ции;)

4_0 4 __ 0 4_04 _ _0 4 _0 4 __0 4 _0 4 _ _

= abc V abc V abc V abc V abc V abc V abc V abc =

└─┘ ╚═╝ └─┘ ╚═╝

4_ __ _ _ _ __ _

= abc V abc V abc V abc V abc V abc =

(перегруппировываем члены с целью их упрощения)

4_ 9 4_ _ _ _ _

= b9c0(aVa) V ab(cVc) V ac(bVb) =

(окончательно получим)

4_ _ _

= bc V ab V ac.

Однако группирование членов после умножения можно провести и

несколько иначе:

4_ _ _ _ _ _ _ _ _

f(a,b,c) = ab(cVc) V bc(aVa) V ac(bVb) = ab V bc V ac.

Следовательно, данная функция имеет две минимальные формы.

Недостаткомметоданепосредственнойминимизации является

трудность получения всех минимальныхформ, еслиихнесколько.

Кроме того, метод в целом весьма трудоемок, результат минимизации

в сильной степени зависит от квалификациии интуициичеловека,

проводящего минимизацию. Поэтомуданныйметод применяется лишь

для минимизации простых логических формул.

2Метод минимизации с помощью карт Вейча

Данный метод наиболее применим в инженерной практике благо-

даря своей простоте и легкости использования. Однако метод удобен

для упрощения функций, зависящих от небольшого числа переменных

(до 8). Преимущество этого метода состоит в том, что нет необхо-

димости приводить функцию к СДНФ.

Рассмотрим изображение на карте Вейча функции

4__ _ _ _ __ _ __ _

f(a,b,c,d) = cd V abd V abc V abcd V abcd V bcd

- 3 -

При нанесении заданной функции накартуникаких предвари-

тельных преобразований не проводится.Каждый дизъюнктивный член

рассматривается в отдельности, и в соответствующие ему квадратики

вписывается 1 (т.е. дизъюнктивный член развертывается до минтер-

мов).

Например, нанесение на карту вейча заданной функции выполня-

ется в следующей последовательности:

┌───┴───┐

┌┌───┬───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┬───┐

││ _1. │ │ │ _1. │ │ _1. │ _1. │ │ 1 │ │ 1 │ 1 │ │ _1. │

b ┤├───┼───┼───┼───┤┐ ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

││ │ │ │ ││ │ │ │ │ │ │ │ │ │ _1. │

└├───┼───┼───┼───┤├ d ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

│ │ │ │ ││ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

├───┼───┼───┼───┤┘ ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

│ _1. │ │ │ _1. │ │ 1 │ │ │ 1 │ │ 1 │ │ │ 1 │

└───┴───┴───┴───┘ └───┴───┴───┴───┘ └───┴───┴───┴───┘

└───┬───┘

4__0 c4 0 4 __ _ __ _ _ _

cd cd V abd cd V abd V abc

┌───┬───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┬───┐ ┌───┬───┬───┬───┐

│ 1 │ 1 │ │ 1 │ │ 1 │ 1 │ │ 1 │ │ 1 │ 1 │ │ 1 │

├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

│ │ │ │ 1 │ │ │ │ │ 1 │ │ │ │ │ 1 │

├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

│ │ │ │ │ │ _1. │ │ │ │ │ 1 │ _1. │ _1. │ │

├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤ ├───┼───┼───┼───┤

│ 1 │ │ _1. │ 1 │ │ 1 │ │ 1 │ 1 │ │ 1 │ │ 1 │ 1 │

└───┴───┴───┴───┘ └───┴───┴───┴───┘ └───┴───┴───┴───┘

4__ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _

cd V abd V abc V cd V abd V abc V cd V abd V abc V

4__ _ __ _ __ __ _ __

V abcd V abcd V abcd V abcd V abcd V bcd

Следующий шаг заключается в нахождении на карте простых имп-

ликант, т.е. в склеивании минтермов. Нахождение простых импликант

является результатом последовательного применения теоремы:

x410x420x430...x4n0 V x410x420x430...x4n0 = x420x430...x4n

Нахождение простыхимпликант производитсяна картах путем

группировки минтермов, отмеченных единицей.

Рассмотрим правила группировки на диаграмме для четырех пе-

ременных, учитывая, чтоихлегко обобщить на случай для любого

- 4 -

числа переменных. Группирование выполняется в следующем порядке:

а) группа из восьми членов может быть представлена одной пе-

ременной, если две смежные строки, либо два смежных столбца, либо

две крайние строки,либодва крайних столбца,соответствующих

этой переменной, заполнены единицами;

б) группа из четырех членов может быть представлена посредс-

твом двух переменных всякий раз, когда единицами заполнены:

- строка диаграммы,

- столбец диаграммы,

- квадрат из двух строк и двух столбцов,

- концы двух смежных строк,

- концы двух смежных столбцов,

- четыре угла диаграммы;

в) группа из двух членов может быть представлена посредством

трех переменных всякий раз, когда единицами заполнены:

- два смежных квадратика,

- два противоположных конца одной строки,

- два противоположных конца одного столбца.

При группировке единиц надиаграмменеобходимо попытаться

сначала образовать члены, содержащие одну переменную, затем чле-

ны, содержащие две переменные,и, наконец, члены, содержащие три

переменные. Одини тот же минтерм может входить2 несколько раз0 в

выражение функции, не изменяя ее значения.Поэтому единицуили

группу единиц можнонесколько раз включать в различные комбина-

ции. В нашем случае минимизированная функция будет иметь вид:

4__ _ _ _ 0 4_ _0 ___

f(a,b,c,d) = cd V abd V abc V abd V bcd V abd.

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 8

2МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

(окончание)

Обычно дляпроверки правильности результата,полученного с

помощью одного из методов минимизации, либо используют другой ме-

тод (хотя при наличии у функции нескольких минимальных форм могут

быть получены несовпадающие результаты),либо проверяют натож-

дественность исходнуюи минимальную формы методом перебора всех

возможных комбинаций значений переменных (однако уже для 20 пере-

менных число возможных комбинаций превышает миллион).

В качестве примерапроведемминимизацию рассматривавшейся

ранее функции

4_ _ _ _

f(a,b,c) = ab V bc V bc V ab

с помощью карты Вейча. Как видно из диаграммы, возможны две мини-

мальные дизъюнктивные формы:

┌───┴───┐

┌───┬───┬───┬───┐

b │ 1 │ │ _1. │ _1. │

├───┼───┼───┼───┤

│ 1 │ 210 │ 210 │ │

└───┴───┴───┴───┘

└───┬───┘

4_ _ 0 4_

f(a,b,c) = ac V ab V bc

┌───┴───┐

┌───┬───┬───┬───┐

b │ _1. │ │ 210 │ _1. │

├───┼───┼───┼───┤

│ 1 │ 1 │ 210 │ │

└───┴───┴───┴───┘

└───┬───┘

4_ _ 04_

f(a,b,c) = bc V ac V ab

- 2 -

2ЭЛЕМЕНТЫ И УЗЛЫ ЭВМ

═══════════════════

2ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Системой элементов ЭВМ называется функционально полный набор

логических элементов, использующий одинаковый способ представле-

ния информации и одинаковый тип межэлементных связей.

Система элементов чаще всего избыточнапосвоему составу,

что позволяет строитьсхемыс более простой топологией межэле-

ментных связей и более экономные по количеству используемыхэле-

ментов.

Классификация логических элементов:

1) Поспособу представления информации и типу межэлементных

связей различают элементы импульсного,потенциального,импуль-

сно-потенциального и динамического типа.

Примечание: в современных ЭВМприменяютсяпотенциальные и

динамические элементы.

2) По функциональному назначению элементы принято разделять

на 2типовые и элементы специального назначения0. К 2типовым0 относят-

ся логические, запоминающие и формирующие элементы.Логические

элементы предназначены для преобразования информации,запоминаю-

щие - для ее хранения, а формирующие элементы - для восстановле-

ния стандартизированных значений физических параметров сигналов,

изменяющихся во время прохождения сигналов поэлектрическим це-

пям. К элементам2 специального назначения0 относятся усилители сла-

бых сигналов, генераторы токов и напряжений специальной формыи

другие элементы, не изменяющие информационного содержания сигна-

лов.

3) В зависимости от используемых физических явлений логичес-

кие элементы подразделяются на полупроводниковые, магнитополупро-

водниковые, электромагнитные и др.

2Основные характеристики логических элементов

Общие технические характеристики:

- температурный диапазон,

- надежность,

- стоимость.

Специфические характеристики:

- функциональные возможности элемента,

- нагрузочная способность,

- быстродействие,

- 3 -

- помехоустойчивость,

- потребляемая мощность.

Функциональные возможности логического элемента характеризу-

ются выполняемой им операциейи коэффициентамиразветвленияи

объединения, т.е. факторами, влияющими на структуры более сложных

схем, построенных с применением данного элемента.

При этомпод 2коэффициентом разветвления02n0 понимают число

входов последующих ячеек, которые могутуправлятьсяот выхода

данной ячейки,а под 2коэффициентом объединения0 2m0 - число входов,

которое может иметь ячейка. Величины m и n ограничиваются услови-

ями сохранения нормального электрического режима ячейки.

2Нагрузочная способность0 в общем случаеопределяется током,

который может бытьотдан ячейкой во внешние цепи (нагрузку).В

случае однородных нагрузок, создаваемых входами идентичных ячеек,

нагрузочная способность оценивается коэффициентом разветвления n.

2Быстродействие0 логического элемента определяетсяскоростями

его перехода из состояния "0" в состояние "1" и обратно. Переход-

ные процессы изменения состояния элемента состоят из двух этапов:

задержки и формированияфронта или спада сигнала.Длительность

задержек и фронтов зависит отдинамических свойствлогического

элемента.

Однако для оценки быстродействия часто используют обобщенную

характеристику -2 среднее время задержки0.В этом случае моментом

поступления сигнала на ячейку считают моментдостижения входным

сигналом некоторого определенного уровня (например,0,5 от уста-

новившегося значения). Моментом появления сигнала на выходе также

считают момент достижения выходным сигналом этого уровня.

Так как длительности переходных процессов привключениии

выключении транзистора в общем случае не равны, то проводят обоб-

щение и говорят о среднем времени задержки сигнала на ячейку.

Время задержки при формировании спада

t4сп

t5'4з5 0= t4з.сп 0+4 0─── ,

а время задержки при формировании фронта

t4фр

t5"4з5 0= t4з.фр 0+4 0─── .

Среднее время задержки на один каскад схемы

t5'4з0 + t5"4з

t4з.ср0 = ─────────5.

- 4 -

Одна из важнейших характеристик элемента - его 2помехоустой-

2чивость0. Различают статическую и динамическую помехоустойчивость.

При определении статической помехоустойчивости помеха рассматри-

вается как длительно действующий уровень потенциала,а при опре-

делении динамической помехоустойчивости - как импульс определен-

ной длительности. Устойчивость элемента к воздействию длительной

помехи меньше,чем к воздействию кратковременной помехи при оди-

наковых амплитудах. Устойчивость к воздействию динамической поме-

хи тем ниже, чем выше быстродействие элемента.

С увеличениемстепениинтеграции элементов ЭВМ все большую

роль начинает играть такой параметр,как2 рассеиваемаямощность0.

Следует отметить, что закрытому состоянию соответствует один уро-

вень рассеивания мощности (P4з0), а открытому - другой (P4о0). Обычно

предполагают,что схемаполовинувремени находится в открытом

состоянии, а половину - в закрытом,и определяют среднюю рассеи-

ваемую мощность следующим образом:

P4з0 + P4о

P4ср0 = ─────── .

Рассеиваемая мощность может зависеть как от нагрузки, так и

от схем, включенных на входе.

1Классификация логических элементов по типу радиокомпонентов,

1на которых реализуются логические функции2.

Можно выделитьследующиенаиболее частоупотребляемые на

данный момент типы логических элементов:

- транзисторно-транзисторная логика с диодами Шотки (ТТЛШ);

- КМОП-логика (логика на базе комплементарных полевых тран-

зисторов со структурой металл-окисел-полупроводник);

- КМДП-логика (логика на базе комплементарных полевых тран-

зисторов со структурой металл-диэлектрик-полупроводник);

- интегральная инжекционная логика (ИИЛ, И520Л, I520L).

Следует отметитьтакже некоторые типы элементов,которые в

данный момент уже не применяются в новыхразработках вследствие

низкого быстродействия или большой рассеиваемой мощности.

- резисторно-транзисторная логика (РТЛ, RTL);

- резисторно - конденсаторнаятранзисторнаялогика (РКТЛ,

RCTL);

- диодно-транзисторная логика (ДТЛ, DTL);

- транзисторно-транзисторная логика (ТТЛ, TTL);

- транзисторная логика с эмиттерными связями (ЭСЛ, TECL).

- транзисторная логика с непосредственными связями (DCTL).

- МОП-логика;

- МДП-логика (MDS).

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 9

2ЭЛЕМЕНТЫ И УЗЛЫ ЭВМ

═══════════════════

2ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Электронную схему, выполняющую какие либо операции над одним

машинным словом, называют 2узлом0 ЭВМ. Многие узлы ЭВМ строятся на

базе логических элементов.

Общие требования к проектируемому устройству:

- устройство должно полностью соответствовать своему функци-

ональному назначению, т.е. выполнять заданные в ТЗ функции;

- быстродействие,энергопотребление,надежность, устойчи-

вость к вредному воздействию окружающей среды (температура, влаж-

ность, давление,вибрация,удары, статическоеэлектричество,

внешние магнитные поля, электромагнитные помехи и пр.) должны со-

ответствовать заданным в ТЗ параметрам;

- устройство должно быть максимально простым,чтобы обеспе-

чить высокое быстродействие и надежность, а также низкую себесто-

имость.

Если устройствопроектируетсяна базе нескольких различных

наборов логических элементов,особенно в случае различной техно-

логии изготовления (ТТЛ и ТТЛШ,ТТЛ и КМОП,ТТЛ и ЭСЛ и т.п.),

необходимо тщательно проверить этинаборы насовместимостьво

всем рабочем диапазонетемператури на отсутствие состязаний в

спроектированной схеме.

Требуется проверить:

- соответствие по номинальному напряжению питания;

- соответствиеповходным и выходным характеристикам логи-

ческих элементов, особенно по уровням 0 и 1;

- соответствие элементов по быстродействию;

- соответствие по переходным процессам.

1Основные характеристики логических элементов

2Амплитудная передаточная характеристика0 U4вых 0=4 0f(U4вх0) опре-

деляет формирующие свойства логического элемента, его помехоус-

тойчивость, амплитуду и уровни стандартного сигнала. Вид характе-

ристики зависит от типа логического элемента (ЭСЛ,ТТЛ и т.д.) и

может изменяться в определенных пределах в зависимости от разбро-

са параметров схем, изменений напряжения питания, нагрузки и тем-

пературы окружающей среды.

2Входная характеристика0 I4вх0 = f(U4вх0) и 2выходная характеристи-

2ка0 U4вых0 = f(I4вых0) позволяют определитьнагрузочнуюспособность

элемента,режим его работы и способ согласования переходных про-

- 2 -

цессов в линиях связи.

2Импульсная (динамическая) помехоустойчивость0- это зависи-

мость допустимой амплитуды импульсной помехи отее длительности

U4пом0 = f(t4пом0).

2ТРИГГЕРЫ

Практически все устройства ЭВМ совмещают функции переработки

и хранения информации. Неотъемлемая часть таких устройств - эле-

мент памяти. В арифметических и логических устройствах для хране-

ния информации чаще всего используют элемент с двумяустойчивыми

состояниями - 2триггер0.

Структуру триггера можнопредставитьв видезапоминающей

ячейки и схему управления:

┌─ ── ── ── ── ── ── ── ── ┐

┌───────┐4S0┌────────┐

E410 ───┴─┤ Схема ├─────┤ Запоми-├─┴─── Q

C─────┤ управ-│4R0│ нающая │4 _

E420 ───┬─┤ ления ├─────┤ ячейка ├─┬─── Q

└───────┘ └────────┘

└─ ── ── ── ── ── ── ── ── ┘

4_0 2Запоминающая ячейка0 - это схема,которая имеет два выхода Q

и Q4,0 сигналы на которых всегда противоположны (если на одном0,

то надругом1), идвавхода - вход установки S (set) и вход

сброса R (reset).

2Переключающий0 сигнал повходу S устанавливает запоминающую

ячейку в состояние "1", а по входу R - в состояние "0". В зависи-

мости от типа элементов, из которых построена запоминающая ячей-

ка, переключающим сигналом может являться либо "0", либо "1". За-

поминающую ячейку называют также2 асинхронным RS-триггером0.

2Схема управления0 преобразует информацию, поступающую на вхо-

ды E410 и E420 в сигналы,которые подаются на установочные входы за-

поминающей ячейки. В некоторых схемах выходные сигналы триггерра

поступают на входсхемыуправления - на рисунке эти соединения

показаны пунктиром.

Как правило,триггеры,применяемые в потенциальной системе

элементов, имеют еще один вход - вход для синхронизирующих сигна-

лов C. Импульсы,поступающие на вход C, не несут логической ин-

формации, но определяют момент приема триггером входнойинформа-

ции.

- 3 -

1Классификация триггеров

В основу классификации триггерных устройств положены два ос-

новных признака: функциональный признак и способ записи информа-

ции в триггер.

Функциональная классификация - этоклассификациятриггеров

по типамсхем управления.По функциональному признаку различают

RS, S, R, E, T, D, TV, DV, RST и JK триггеры.

Классификация поспособу записиинформациихарактеризует

временную диаграмму работы триггера, т.е. определяет ход процесса

записи информации в триггер:

┌────────────────────────┐

│ Потенциальные триггеры │

└────────────┬───────────┘

│

┌───────────────┴──────────────┐

┌──────┴──────┐ ┌─────┴──────┐

│ Асинхронные │ │ Синхронные │

└──────┬──────┘ └─────┬──────┘

│ │

┌──────┴──────┐ ┌──────┴──────┐

┌──────┴─────┐ ┌─────┴─────┐ ┌──────┴─────┐ ┌─────┴─────┐

│С внутренней│ │Управляемые│ │С внутренней│ │Управляемые│

│ задержкой│ │уровнем │ │ задержкой│ │уровнем │

└────────────┘ │входного │ └────────────┘ │синхроим-│

│сигнала │ │пульса │

└───────────┘ └─────┬─────┘

│

┌────┴────┐

┌───┴───┐ ┌───┴───┐

│ Одно- │ │Много- │

│тактные│ │тактные│

└───────┘ └───────┘

2Временная диаграмма0 - это диаграмма,отображающаязависи-

мость внутреннего состояния устройства, сигналов на его выходах и

протекающих в нем переходных процессов от времении сигналов на

входах этого устройства.

Отличительной особенностью 2асинхронных0 триггеровявляется

то, чтозапись информации в них осуществляется непосредственно в

момент поступления информационного сигнала на вход триггера.

Запись информации в2 синхронные тактируемые0 триггеры осущест-

вляется только при подаче разрешающего импульса(2синхроимпульса0)

на синхронныйвход C.Синхронные триггеры подразделяются на две

категории: триггеры, срабатывающие по переднему фронту синхроим-

пульса ("2по0 2уровню0"), и триггеры, срабатывающие по заднему фронту

- 4 -

синхроимпульса ("2по спаду0").

Синхронные триггеры могут быть однотактными и многотактными.

Многотактные триггеры характеризуются тем, что формирование ново-

го состояния триггеразавершается с поступлением n-го синхроим-

пульса. Наибольшее распространение получили двухтактныесинхрон-

ные триггеры.

Законы функционирования триггеров задаются таблицами перехо-

дов или составленными в соответствии с этими таблицами логически-

ми уравнениями.

Входы триггеров обозначаются следующим образом:

C - вход синхронизации;

S (set) - вход установки триггера в 1;

R (reset) - вход сброса триггера в 0;

D (delay) - "задержка";

T (trigger) - "защелка";

J - вход установки JK-триггера в 1;

K - вход установки JK-триггера в 0;

V - управляющий вход DV-триггера.

Выходы триггеров: Q - прямой выход, Q - инверсный выход.

_Асинхронные триггеры

Асинхронные триггерыредконепосредственноиспользуются в

цифровых схемах, однако на базе асинхронных триггеровстроятся

все триггерные схемы.

1Асинхронный RS-триггер

RS-триггер имеет два информационных входа R и S. При поступ-

лении на эти входы сигналов S=1 и R=0 триггер принимает состояние

Q=1, при S=0 и R=1 состояние Q=0,а при S=0 и R=0 триггер сохра-

няет то состояние,в котором он находился до поступления на его

входы нулевых сигналов. Подача единичных сигналов на оба входа R

и S запрещена.

- 5 -

Полная таблица переходов RS-триггера:

┌────────┬────────┬────────┬──────────┐

│Q(t)│ R(t)│S(t) │Q(t+1)│

├────────┼────────┼────────┼──────────┤

│ 0 │ 0 │ 0 │ 0 │

│ 0 │ 0 │ 1 │ 1 │

│ 0 │ 1 │ 0 │ 0 │

│ 0 │ 1 │ 1 │ X │

│ 1 │ 0 │ 0 │ 1 │

│ 1 │ 0 │ 1 │ 1 │

│ 1 │ 1 │ 0 │ 1 │

│ 1 │ 1 │ 1 │ X │

└────────┴────────┴────────┴──────────┘

Минимизированная таблица переходов RS-триггера:

┌────────┬────────┬──────────┐

│R(t)│ S(t)│Q(t+1) │

├────────┼────────┼──────────┤

│ 0 │ 0 │ Q(t) │

│ 0 │ 1 │ 1 │

│ 1 │ 0 │ 0 │

│ 1 │ 1 │ X │

└────────┴────────┴──────────┘

Логические уравнения RS-триггера имеют вид:

7(4 ____

720 Q(t+1) = S(t) V R(t)5.0Q(t)

720 R(t)5.0S(t) = 0

Асинхронный RS-триггер на элементах ИЛИ-НЕ:

┌───┐

R ─────┤1│

│ 7@0───┬── Q

┌──┤ │ │

│ └───┘ │

└─────────┐│

┌─────────┼┘

│ ┌───┐ │

└──┤1│ │4 _

│ 7@0──┴─── Q

S ─────┤ │

└───┘

- 6 -

Условное графическое изображение такого триггера:

┌─┬───┐

──┤S│T ├──

│ │ │

──┤R│ 7@0──

└─┴───┘

Асинхронный RS-триггер на элементах И-НЕ:

4_0 ┌───┐

S ─────┤&│

│ 7@0───┬── Q

┌──┤ │ │

│ └───┘ │

└─────────┐│

┌─────────┼┘

│ ┌───┐ │

└──┤& ││4 _

4_0 │ 7@0──┴─── Q

R ─────┤ │

└───┘

Условное графическое изображение такого триггера:

┌─┬───┐

──7@0S│T ├──

│ │ │

──7@0R│ 7@0──

└─┴───┘

или

┌─┬───┐

│4_0│ 7 0│

──┤S│7T0├──

│ │ │

│4_0│ │

──┤R│ 7@0──

│ │ │

└─┴───┘

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ЛЕКЦИЯ N 10

2ТРИГГЕРЫ

1Синхронный однотактный RS-триггер

Синхронные RS-триггеры имеет на каждом входедополнительные

схемы совпадения:

┌───┐ S ┌───┐

S ──────┤& 7@0──────┤&│

│ │ │ 7@0───┬── Q

┌──┤ │ ┌──┤ │ │

│ └───┘ │└───┘ │

│ └─────────┐│

C ───┤ ││

│ ┌─────────┼┘

│ ┌───┐ │┌───┐│

└──┤& │ 4_0 └──┤&│ │4 0 4_

│ │ R │ 7@0──┴─── Q

R ──────┤ 7@0──────┤ │

└───┘ └───┘

Если на входе C "ноль", то на выходах схемы совпадения также

будут нулевые значения при любых сигналах на входах Rи S.При

поступлении синхроимпульса на вход схемы совпадения информацияс

входов R и S инвертируется ипередается навходыасинхронного

триггера.

Графическое обозначение синхронного однотактного RS-триггера:

┌─┬───┐

──┤S│T ├── Q

──┤C│ │4 _

──┤R│ 7@0── Q

└─┴───┘

- 2 -

Синхронный триггер можетиметьдополнительныеасинхронные

входы R4а0 и S4а0:

S4а0 ──────────────┐

4_0 │ ┌───┐

┌───┐ S └──┤& │

S ──────┤& 7@0──────┤ 7@0───┬── Q

│ │ ┌──┤ │ │

┌──┤ │ │└───┘ │

│ └───┘ └─────────┐│

C ───┤ ││

│ ┌───┐ ┌─────────┼┘

└──┤& │ 4_0 │ ┌───┐ │

│ │ R └──┤& ││4 _

R ──────┤ 7@0──────┤ 7@0──┴──── Q

└───┘ ┌──┤ │

4_0 │└───┘

R4а0 ──────────────┘

Графическое обозначение синхронного однотактного RS-триггера

с асинхронными входами:

4_0 ┌─┬───┐

S4а0 ──7@0S│T├── Q

├─┤ │

──┤S│ │

──┤C│ │

──┤R│ │

4_0 ├─┤ │4 _

R4а0 ──7@0R│ 7@0── Q

└─┴───┘

1Синхронные0 1двухтактные триггеры

Синхронные двухступенчатые (двухтактные) триггеры построены

по принципу "master-slave" (ведущий-ведомый).Триггерная схема

состоит из двух частей-триггеров,одновременный прием информации

в которые запрещен.Для построения первой и второй ступеней ис-

пользуют однотактные синхронные триггеры.Информация передается

во вторую ступень только после ее приема в первую ступень и окон-

чания синхроимпульса, разрешающего записьинформациив первую

ступень. Такая последовательностьприема информации достигается

включением инвертора в цепь синхронизации для второй ступени.

- 3 -

Все двухтактные триггеры имеют следующую общую структуру:

┌─ ── ── ── ── ── ── ── ── ─┐

┌──┬────┐ ┌─┬────┐

E410 ───┴────┤E410│T ├─────┤S│T ├─┴─── Q

C ──────┬─┤C │ │┌──┤C│ │4 _

E420 ───┬──┼─┤E420│ ├──┼──┤R│ ├─┬─── Q

│ └──┴────┘│ └─┴────┘

└─ ┼─ ── ── ── ─┼ ── ── ── ─┘

│ ┌──┐ │

└────┤510 7@0────┘

└──┘

Наиболее широкоеприменениев устройствахвычислительной

техники находят двухтактные триггеры типов RS, T, D и JK.

Рассмотрим в качестве приера схему двухтактного RS-триггера:

┌───┐ ┌───┐ Q' ┌───┐ ┌───┐

S ──────┤& 7@0─────┤&7@0──┬──────┤&7@0─────┤& 7@0──┬─── Q

┌──┤ 410│ ┌──┤ 440│ │ ┌──┤ 460│ ┌──┤ 480││

│ └───┘ │ └───┘ │ │└───┘│ └───┘ │

│ └────────┐│ │ └────────┐│

C ───┤ ││ │ ││

│ ┌────────┼┘ │ ┌────────┼┘

│ ┌───┐ │ ┌───┐ │ 4_0│ ┌───┐ │┌───┐ │

├──┤& │ └──┤& │ │4 0Q' ├──┤&│ └──┤& │ │4 _

R ───┼──┤ 427@0─────┤457@0─┴────┼──┤ 477@0─────┤497@0─┴────4 0Q

│ └───┘ └───┘ 4_0│└───┘ └───┘

│ ┌───┐ C │

└─────┬─┤& 7@0───────────┘

└─┤ 430│

└───┘

Рассмотрим идеализированную временную диаграмму работы двух-

тактного RS-триггера (предполагаем форрму импульсов прямоугольной

и не учитываем разброс времени задержки элементов схемы):

- 4 -

│ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐

├─────┘ └─────┘ └─────┘ └─────┘ └─────