Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

	Загрузить архив:
	Файл: 240-1671.zip (61kb [zip], Скачиваний: 58) скачать

Министерство науки, высшей школы и технической

политики Российской Федерации.

Новосибирский Государственный

Технический Университет.

Реферат по исследованию операций на тему

«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».

Вариант №2.

Факультет:АВТ.

Кафедра:АСУ.

Группа:АС-513.

Студент:Бойко Константин Анатольевич.

Преподаватель:Ренин Сергей Васильевич.

Дата:19 октября 1997 года.

Новосибирск

Введение.

Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -D_jf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на-D_j , где D_j - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица D_j+1 представляется в виде суммы D_j и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.

Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.

Начальный этап.

Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х₁ и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D₁. Положить y₁ = x₁,k = j = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Еслиçêf(y_j) çêj = - D_jf(y_j) и взять в качестве l_j оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + ld_j) при l³ 0. Положить y_j+1 = y_j + l_jd_j. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y₁ = x_k+1 = y_n+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.

Шаг 2. Построить D_j+1 следующим образом :

                  (1)

где

                                    p_j = l_jd_j,                                                                       (2)

q_j = f(y_j+1) - f(y_j).                                                (3)

Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу :

минимизировать    (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)².

Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.

Таблица 1.Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

k	xk f(xk)	j	yj f(yj)	f(yj)	çêf(yj) çê	D	dj	lj	yj+1
1	(0.00, 3.00) (52.00)	1 2	(0.00, 3.00) (52.00) (2.70, 1.51) (0.34)	(-44.00, 24.00) (0.73, 1.28)	50.12 1.47		(44.00, -24.00) (-0.67, -1.31)	0.062 0.22	(2.70, 1.51) (2.55, 1.22)
2	(2.55, 1.22) (0.1036)	1 2	(2.55, 1.22) (0.1036) (2.45, 1.27) (0.0490)	(0.89, -0.44) (0.18, 0.36)	0.99 0.40		(-0.89, 0.44) (-0.28, -0.25)	0.11 0.64	(2.45, 1.27) (2.27, 1.11)
3	(2.27, 1.11) (0.008)	1 2	(2.27, 1.11) (0.008) (2.25, 1.13) (0.004)	(0.18, -0.20) (0.04, 0.04)	0.27 0.06		(-0.18, 0.20) (-0.05, -0.03)	0.10 2.64	(2.25, 1.13) (2.12, 1.05)
4	(2.12, 1.05) (0.0005)	1 2	(2.12, 1.05) (0.0005) (2.115, 1.058) (0.0002)	(0.05, -0.08) (0.004, 0.004)	0.09 0.006		(-0.05, 0.08)	0.10	(2.115, 1.058)

На каждой итерации вектор d_j для j = 1, 2 определяется в виде
–D_jf(y_j), где D₁ ­­– единичная матрица, а D₂вычисляетсяпоформулам(1) - (3). При
k = 1 имеем p₁ = (2.7, -1.49)^T, q₁ = (44.73, -22,72)^T. На второй итерации
p₁ = (-0.1, 0.05)^T, q₁ = (-0.7, 0.8)^T и, наконец, на третьей итерации
p₁ = (-0.02, 0.02)^T, q₁ = (-0.14, 0.24)^T. Точка y_j+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления d_j при начальной точке y_j для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке
y₂ = (2.115, 1.058)^T на четвертой итерации, так как нормаçêf(y₂) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.

Рисунок 1.Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Лемма 1 показывает, что каждая матрица D_j положительно определена и d_j является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится :

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Е_n, точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех lÎ (0, d) для некоторого d > 0}.

Определение.Пусть x и y - векторы из Е_nи |x^Ty| - абсолютное значение скалярного произведения x^Ty. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |x^Ty| £ ||x||||y||.

Лемма 1.

Пусть y₁ Î Е_n, а D₁ – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим y_j+1 = y_j + l_jd_j, где d_j = –D_jf(y_j), а l_jявляется оптимальным решением задачи минимизации f(y_j + ld_j) при l³ 0. Пусть, кроме того, для
j = 1, ..., n – 1 матрица D_j+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(y_j) ¹ 0 для
j = 1, ..., n, то матрицы D₁, ..., D_n симметрические и положительно определенные, так что d₁, ..., d_n – направления спуска.

Доказательство.

Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D₁ симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того,
f(y₁)^Td₁ = –f(y₁)^TD₁f(y₁) < 0, так как D₁ положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d₁ определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из E_n, тогда из (1) имеем

                                                                 (4)

Так как D_j – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица D_j^1/2, такая, что D_j = D_j^1/2D_j^1/2. Пусть
a = D_j^1/2x и b = D_j^1/2q_j. Тогда x^TD_jx = a^Ta, q_j^TD_jq_j = b^Tb и x^TD_jq_j = a^Tb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :

                                                     (5)

По неравенству Шварца имеем (a^Ta)(b^Tb) ³ (a^Tb)². Таким образом, чтобы доказать, что x^TD_j+1x ³ 0, достаточно показать, что p_j^Tq_j> 0 и b^Tb > 0. Из (2) и (3) следует, что

p_j^Tq_j = l_jd_j^T[_j+1) – _j)].                                                                       (6)

По предположениюf(y_j) ¹ 0, и D_j положительно определена, так что
_j)^TD_jj) > 0. Кроме того, d_j – направление спуска, и, следовательно, l_j> 0. Тогда из (6) следует, что p_j^Tq_j > 0. Кроме того, q_j¹ 0, и , следовательно, b^Tb= q_j^TD_jq_j> 0.

Покажем теперь, что x^TD_j+1x > 0. Предположим, что x^TD_j+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (a^Ta)(b^Tb) = (a^Tb)² и p_j^Tx = 0. Прежде всего заметим, что
(a^Ta)(b^Tb) = (a^Tb)² только при a = lb, т.е. D_j^1/2x = lD_j^1/2q_j. Таким образом, x = lq_j. Так как x¹ 0, то l ¹ 0. Далее, 0 = p_j^Tx = l p_j^Tq_j противоречит тому, что p_j^Tq_j > 0 и l¹ 0. Следовательно, x^TD_j+1x > 0, т.е. матрица D_j+1 положительно определена.

Поскольку f(y_j+1)¹ 0 и D_j+1 положительно определена, имеем
f(y_j+1)^Td_j+1 = –f(y_j+1)^T D_j+1f(y_j+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что d_j+1 – направление спуска.

Лемма доказана.  

Квадратичный случай.

          В дальнейшем нам понадобиться :

Теорема 2. Пусть f(x) = c^Tx + 1 x^THx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d₁, …, d_n и произвольную точку x₁. Пусть l_k для k=1,…,n-оптимальное решение задачи минимизации
f(x_k + ld_k)при lÎ Е₁и x_k+1 = x_k + ld_k. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :

1. _k+1)^Td_j = 0, j = 1, …, k;

2. ₁)^Td_k = _k)^Td_k;

3. x_k+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии
x - x₁ Î L(d₁, …, d_k), где L(d₁, …, d_k) – линейное подпространство, натянутое на векторы d₁, …, d_k, то есть В частности, x_n+1 – точка минимума функции f на Е_n.

Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d₁, …, d_n, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица D_n+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице ГессеН.

Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = c^Tx + 1 x^THx при условии x Î E_n. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y₁ и начальной положительно определенной матрице D₁. В частности, пусть l_j, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + ld_j) при l³ 0 и y_j+1 = y_j + l_jd_j, где d_j = -D_jf(y_j), а D_j определяется по формулам (1) – (3). Если f(y_j) ¹ 0 для всех j, то направления
d₁, …, d_n являются Н - сопряженными и D_n+1 = H^-1. Кроме того, y_n+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1£ j £ n, справедливы следующие утверждения :

1. d₁, …, d_j линейно независимы.

2. d_j^THd_k = 0 для i ¹ k; i, k £ j.

3. D_j+1Hp_k, или, что эквивалентно, D_j+1Hd_k = d_k для 1 £k £ j, p_k = l_kd_k.

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hp_k = H(l_kd_k) = H(y_k+1 - y_k) = _k+1) –_k) = q_k.                     (7)

В частности, Hp₁ = q₁. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 d_i^T_j+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению d_i = D_j+1Hd_i, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем

0 = d_i^T_j+1) = d_i^THD_j+1j+1) = –d_i^THd_j+1.

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k £ j+1, имеем

                          (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что D_j+2Hp_j+1 = p_j+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

p_j+1^THp_k = l_kl_j+1d_j+1^THd_k = 0.                                                (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

.                      (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

                       

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что j+1, получаем, что положительно определена, так что H положительно определена, то и, следовательно, d₁, …, d_j линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d₁, …, d_j+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d₁, …, d_n следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d₁, …, d_n, то D имеет обратную, то является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.                     

Список литературы.

1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.

2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.