Черные дыры

Министерство Образования Республики Карелия

Карельский государственный педагогический университет

Кафедра теоретической физики

КУРСОВАЯ  РАБОТА ПО ФИЗИКЕ:

1.

Следовательно,  для возникновения черной дыры необходимо, чтобы масса сжалась до таких размеров, при которых вторая космическая скорость становится равной скорости света. Этот размер носит название гравитационного радиуса и зависит от массы тела. Величина его очень мала даже для масс небесных тел. Так, для  Земли гравитационный радиус приблизительно равен 1см, для Солнца – 3 км.

Для того чтобы преодолеть тяготение и вырваться из черной дыры, потребовалась бы вторая космическая скорость, большая световой. Согласно теории относительности, никакое тело не может развивать скорость большую, чем скорость света. Вот почему из черной дыры ничто не может вылететь, не может поступать наружу никакая информация. После того как любые тела,  любое вещество или излучение упадут под действием тяготения в черную дыру, наблюдатель никогда не узнает, что произошло с ними в дальнейшем. Вблизи черных дыр, как утверждают ученые, должны резко изменяться свойства пространства и времени.

Если  черная дыра возникает в результате сжатия вращающегося тела, то вблизи ее границы все тела вовлекаются во вращательное движение вокруг нее.

Ученые считают, что черные дыры могут возникать в конце эволюции достаточно массивных звезд. После исчерпания запасов ядерного горючего звезда теряет устойчивость и под действием собственной гравитации начинает быстро сжиматься. Происходит так называемый гравитационный коллапс (такой процесс сжатия, при котором силы тяготения неудержимо возрастают).

А именно, к концу жизни звезды теряют массу в результате целого ряда процессов:  звездного ветра, переноса массы в двойных системах, взрыва сверхновых и т.д.; однако известно, что существует много звезд с массой, в 10, 20 и даже в 50 раз превышающей солнечную. Маловероятно, что все эти звезды как-то избавятся от «излишней» массы, чтобы войти в указанные пределы (2-3М_¤). Согласно теории, если звезда или ее ядро с массой выше указанного предела начинает коллапсировать под действием собственной тяжести,  то ничто уже не в состоянии остановить ее коллапс. Вещество звезды будет сжиматься беспредельно, в принципе, пока не сожмется в точку. В ходе сжатия сила тяжести на поверхности неуклонно возрастает – наконец, наступает момент, когда даже свет не может преодолеть гравитационный барьер. Звезда исчезает: образуется то, что мы называем ЧЕРНОЙ ДЫРОЙ.

1

Поле тяготения черной дыры очень велико (именно поэтому оно производит над падающим телом работу, соизмеримую с его энергией покоя). Рассматривая чисто динамическую задачу о рождении частиц в таком гравитационном поле, С. Хокинг в 1975 г. показал, что оно делает физический вакуум2 неустойчивым: всегда присутствующие в нем виртуальные (короткоживущие) частицы превращающиеся в реальные (долгоживущие). Точнее говоря, в вакууме вблизи горизонта событий3 поле рождает пары частиц, причем одна из компонент пары уходит внутрь черной дыры, занимая состояние с отрицательной энергией, а другая, имеющая положительную энергию, вылетает наружу и может быть зарегистрирована  далеким наблюдателем (рис. 1).

Рис.1. Рождение пары в поле черной дыры.

В вакууме постоянно рождаются и аннигилируют пары виртуальных частиц, которым, однако, не хватает энергии для превращения в реальные долгоживущие частицы. В достаточно сильном внешнем поле этот недостаток энергии может быть восполнен работой, производимой полем над частицами. Для появления реальной пары с энергией Е (сплошные линии) необходимо, чтобы ее компоненты, находясь еще в виртуальном состоянии (пунктир), разошлись на расстояние L, на котором работа поля равна Е. Одна из компонент пары (А) падает внутрь черной дыры, (Б) уходит наружу, к внешнему наблюдателю. Совокупность частиц Б и есть излучение Хокинга.

Таким образом, квантовые свойства вакуума проявляются в том, что черная дыра «обязана» излучать частицы разных сортов, в том числе кванты света. Изучая свойства этого излучения, Хокинг пришел к неожиданному  заключению, что оно имеет тепловой характер: черная дыра светит точно так же, как черное тело радиуса R_g, нагретого до температуры

θ=ћc³/8πkMG≈10²⁶  /M,

где ћ - постоянная Планка;

k-постоянная Больцмана;

θ-температура (измеряется в градусах Кельвина);

М-масса в граммах.

При этом не только спектр излучения (распределение его по частотам), но и более тонкие его характеристики (например, все корреляционные функции) точно такие же, как у излучения черного тела.

1.

Вообще оказалось, что аналогия между физикой черных дыр и термодинамикой простирается довольно далеко. Она относится как к конкретным термодинамическим устройствам (типа тепловой машины), так и к общим законам термодинамики, каждому из которых нашелся свой эквивалент в физике черных дыр. Есть такой эквивалент и у известного термодинамического соотношения dE=θdS , где dE и dS – соответственно изменения энергии и энтропии тела;  θ- температура2. Если определить связь между изменением энергии черной дыры dE=d(Mc²) и  изменением ее поверхности dF=8πR_gdR_g , то, оказывается, она имеет вид dE=(c²/8πG)gdF, где g=c⁴/4GM –ускорение свободного падения на поверхности черной дыры.

Сопоставляя приведенные выражения для  dE в термодинамике и физике черных дыр, можно прийти к следующему выводу: так как есть аналогия между поверхностью черной дыры F и энтропией S, то имеется и аналогия ускорения свободного падения на поверхности черной дыры g с температурой θ.

                         1.

Таким образом, на границе черной дыры полная энергия тела обратится в нуль. Можно сказать, что масса покоя тела погасится отрицательной потенциальной энергией тела в гравитационном поле черной дыры. В обычных земных условиях потенциальная энергия очень мала по сравнению с энергией покоя, так что масса падающего камня остается практически неизменной; при падении в поле черной дыры она обращается в нуль.

Закон тяготения действует так, что сила притяжения пропорциональна массе притягиваемого тела независимо от того, с чем связана эта масса. Горячий чайник немного тяжелее холодного; падая на черную дыру, горячий чайник выделит несколько больше энергии (на U/c², где U – внутренняя энергия), чем холодный. Черная дыра работает как идеальный холодильник при Т=0, из которого никакими способами нельзя извлечь какой-либо энергии. Это значит, что к.п.д. цикла с черной дырой в качестве холодильника, по Карно, будет равен единице. Возникает ситуация, очень напоминающая вечный двигатель второго рода, и нарушается теорема Нернста. Такой парадокс должен был неминуемо навести на мысль, что черная дыра не может иметь температуру Т=0.

Решение парадокса надо было искать в термодинамических свойствах черной дыры. Первая догадка состояла в следующем.

Если черная дыра имеет температуру, отличную от абсолютного нуля, то она имеет и энтропию. Если черная дыра сферически симметрична, не вращается и не заряжена, то энтропия может зависеть только от массы. Но энтропия – величина, которая не зависит от единиц измерения: энтропия идеального газа определялась отношением объемов и отношением температур. Численное же значение массы, конечно, зависит от того, в каких единицах мы ее измеряем – в граммах или в миллионах тонн. По-видимому, и энтропия черной дыры должна определяться отношением ее массы к какой-то стандартной эталонной массе. Но какой? Как все же должно выглядеть выражение для энтропии черной дыры?

Качественное решение задачи было придумано Бекенштейном. Внимание его привлекла одна теорема общей теории относительности. Теорема утверждала, что какие бы процессы ни происходили в системе, в которой есть черные дыры, суммарная площадь поверхностей черных дыр может только увеличиваться. Эта очень  общая теорема похожа на теорему о возрастании энтропии. Площадь, так же как энтропия, величина аддитивная и, так же как и энтропия, зависит от массы черной дыры. Поэтому был соблазн предположить, что энтропия черной дыры просто пропорциональна ее площади: S~A. Но как свести концы с концами, если площадь A имеет размерность квадрата длины?

В микромире нет своего масштаба длины. Из двух постоянных ћ и c нельзя составить величину с размерностью длины или времени. Для этого надо взять еще массу. Тогда длину можно, например, составить так: ћ/mc.

 В общей теории относительности также нет масштаба длины, так как его нельзя составить из G и c. Но если привлечь на помощь массу, то длину можно составить так:  Gm/c².

Объединим теперь обе длины  ћ/mc  и Gm/c², составив их геометрическое среднее (ћG/c³)^½. При этом масса сократится. Это и есть единица длины, предложенная Планком.

После того как Планк ввел две фундаментальные постоянные ћ и k, он заметил, что появилась возможность построить новую систему единиц, не связанную ни с какими искусственными эталонами. Это следующие единицы:        длина      l_п=(ћG/c³)^½=5,110*10^-31 м,

            Время     t_п =(ћG/c⁵)^½=1,7016 *10^-43 с,

            Масса     m_п =(ћc⁵/G)^½ =6,189*10^-9 кг,

            Температура  Т_п=1/k(ћc⁵/G)^½=4,028*10³¹ К.

Единицы Планка удобны при расчете таких систем, где существенны эффекты как квантовые, так и гравитационные.

Черная дыра (и ее энтропия) кажется удачным кандидатом для применения единиц Планка.

Предположим, что масштаб энтропии связан с постоянной длины       l_п, т.е. что площадь поверхности черной дыры надо разделить на l_п²  с каким-то коэффициентом, о котором, конечно, нельзя догадаться заранее. На основе таких не очень строгих рассуждений и была выдвинута гипотеза о том, что энтропия черной дыры должна иметь вид S=αΑ/ l_п², где коэффициент α надо вычислить из каких-то соображений особо. Такая догадка оказалась правильной. Коэффициент α был вычислен позднее Хокингом. Он оказался равным 1/4.

Зная энтропию, можно вычислить и температуру. Заменим площадь A ее выражением через гравитационный радиус:

A=4πR_g²=16πGM²/c⁴.

Используя единицы Планка, можно теперь написать формулу для энтропии:        

  S=16πα(M/m_п)².

Температура запишется в виде

T=1/(32πα)* m_п/M*T_п   .

Исключая из этих формул массу, будем иметь (в единицах Планка и α=1/4)         ST²=1/(16π).

Такое уравнение состояния ни на что не похоже. Из него следует, что чем выше температура, тем меньше энтропия, а при абсолютном нуле энтропия обращается в бесконечность.

Отсюда можно заключить, что либо в наших рассуждениях грубая ошибка, либо с черно дырой происходит нечто серьезное и она не «доживает» до абсолютного нуля. Но в рамках классических представлений парадокс разрешить оказалось невозможным.

Парадокс исчез, когда Хокинг теоретически доказал, что вблизи черной дыры происходит рождение частиц. Неожиданным образом выяснилось, что теорема о возрастании площади поверхности черной дыры перестает быть строгой в квантовой механике и энтропия ее может уменьшаться за счет того, что вокруг нее создается поток фотонов, которые эту энтропию уносят.

Очень большой потенциал гравитационного поля вблизи черной дыры приводит к тому, что на ее поверхности рождаются пары фотонов (и другие частицы). Энергия этих фотонов (как и всех частиц вблизи черной дыры) равна нулю, поэтому они могут родиться «из ничего», не нарушая закона сохранения энергии. После рождения пары фотонов один из них уходит в черную дыру1, а второй за счет освободившейся энергии улетает на бесконечность. Система работает, как блок: один груз опускается, а за его счет поднимается другой. Результатом этого процесса будет уменьшение массы черной дыры (а значит, и ее поверхности), эквивалентное энергии улетевших фотонов.

Теория этого процесса сложна. Но результат был интересным. Черная дыра излучает фотоны, спектр которых совпадает с распределением Планка, отвечающим температуре (в единицах Планка, т.е. m_п =1 и T_п=1):

T=1/(8π)*1/М.

Из этой формулы следует, что коэффициент α=1/4.

Таким образом, черная дыра излучает как идеальное черное тело (неожиданно реализованное в космосе с очень большой точностью).

Теперь становится ясным источник парадокса. Черная дыра – система неустойчивая, неравновесная, поэтому и понятие о температуре черной дыры  - понятие не вполне точное. Температура черной дыры растет с уменьшением массы; рождение пар приводит к уменьшению массы, а, следовательно, и к повышению температуры. С ростом температуры интенсивность излучения увеличивается, а температура возрастает еще больше. В конце концов, черная дыра должна сгореть совсем, причем сгореть за конечное время.

1. Более того, если эта потеря информации такова, что отражает равновероятность всех допустимых микросостояний, то наша система описывается микроканоническим распределением, а ее подсистемы – формулой Гиббса. Поскольку в приведенных рассуждениях никак не фигурировал конкретный механизм потери информации, сказанное в равной степени относится и к обычному горячему телу, и к черной дыре. Можно добавить, что наши утверждения не противоречат обычному представлению о том, что тепло отвечает хаотическому состоянию вещества. Ведь хаос в самом широком смысле – это и есть равновероятность различных микросостояний, когда ни одно из них нельзя предпочесть другому. Одновременно это и отсутствие информации о внутренней структуре системы.

Важно подчеркнуть, что, говоря о неполноте и потере информации, мы имели в виду, конечно, объективную невозможность получить информацию о состоянии системы – невозможность, характерихующую саму систему, а не субъекта-наблюдателя. Последний мог бы просто отказаться от получения полной информации, не используя, например, всех возможностей измерительной техники. Разумеется, к такой ситуации сказанное выше ни в малейшей мере не относится. Достаточно вспомнить рассмотренный выше пример рождения пар в электрическом поле, когда отказ регистрировать позитронную компоненту излучения хотя и означает потерю информации, однако не приводит к термодинамической формуле Гиббса. В то же время рождение пар в поле тяготения, когда есть горизонт событий и потеря информации имеет объективный, неустранимый характер, ведет именно к этой формуле.

1 К этому выводу можно прийти, если воспользоваться законом сохранения энергии в классической механике; энергия световой корпускулы массы m на поверхности тела массы M, равная mc²/2-GmM/R_g, должна быть меньше нуля (ее минимальной энергии на бесконечнрсти).

1 Поэтому само название «черная дыра», введенное еще до открытия эффекта Хокинга, потеряло свой первоначальный смысл.

2 Физический вакуум (современный аналог понятия пустоты) – состояние, в котором отсутствуют реальные частицы.

3 Горизонт событий – это поверхность сферы гравитационного радиуса

1 Это справедливо только в неквантовой теории тяготения: эффект Хокинга ведет к уменьшению поверхности, сопровождающемуся  ростом энтропии, связанной с излучением.

2 Для простоты выписана лишь тепловая составляющая dE. Слагаемое, отвечающее работе, имеет для вращающегося заряженного тела вид ΩdJ+φdQ, где  Ω – угловая скорость; φ – электрический потенциал. Точно такое же слагаемое возникает в выражении для изменения энергии вращающейся заряженной черной дыры.

1 Эта работа реализуется в виде мощного излучения электромагнитных и гравитационных волн.

1 Можно говорить, что фотоны, проваливаясь в черную дыру, приобретают отрицательную (потенциальную) энергию.

1 Отметим, что может иметь место и обратная ситуация, когда приобретение дополнительной информации о внутреннем состоянии системы может быть использовано для уменьшения ее энтропии, т.е. для частичного ее упорядочения. Именно на этом основана наука об управлении. Соответствующие технические устройства – регуляторы – обязательно имеют специальный орган для извлечения информации о регулируемой системе.