Гамма функции


	Загрузить архив:
	Файл: ref-13921.zip (129kb [zip], Скачиваний: 158) скачать

1.Бэта-функции 6

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

(1.1)

сходятся при

т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

(1.2)

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m,= n,имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции

и в результате подстановки

полагая в(1.1) ,откуда

(1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 иот 1 до и применение ко второму интегралу подстановки

2.Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G(a) = (2.1)

сходящийся при 0.Положим ty,t > 0 ,имеем

G(a) =

и после замены и tчерез 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

откуда

(2.2)

заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

(2.3)

так как

но при целом имеем

(2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма функции 11

Интеграл

сходится при каждом при

В области и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любомгде произвольно.Действительно для всех указаных значений ходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при функциянепрерывна при и

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем числотак , чтобы при такое , что и насправедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на существует такое число выполняется неравенство и всех получим в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительнона

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

интеграл

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

Относительно интеграла

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при

Изучим теперь поведение

Из выражения для второй производной для всех возрастает. Поскольку [1,2]производная при ипри Монотонно убывает на из формулы при

Равенство

Положим дляиз (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при функция

Определив таким образом той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что и

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов. 16

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая , что

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

где

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая,в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частностиприближенное значениеn! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(3.2)

Непрерывна на интервале (-1,допри изменении от дои обращаются в 0при u = 0.Так как

то u > 0 и при u < 0 , далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(3.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая

Положим далее u = -1при при .Замечая что(см.3.2)

имеем

полагая на конец ,

или

в пределе при

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(3.4)

где ,при

для достаточно больших полагают

(3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов 22

Для вычисления необходимы формулы:

Г(

Вычислить интегралы

Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ

Зав. каф. Математичного аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова

_________________________ 2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст..гр.. 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач

Кудря В.І.

Запоріжжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу........................... ...................................2

Реферат............................................................. ...................................4

введение............................................................ ...................................5

1. Бета функции……………………………………………..............6

2. Гамма функции....................................... ...................................9

3. Производная гаммафункции ............... ..................................11

4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16

5. Примеры вычеслений............................. ..................................22

вывод................................................................ ..................................24

Список литературы……………………………………………..............25

Реферат

Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова:

ГАММАИ БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интеграломЭйлера первого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Вывод

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1.Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965