Эффективные характеристики случайно неоднородных сред

	Загрузить архив:
	Файл: 240-2088.zip (75kb [zip], Скачиваний: 74) скачать

           Введение

Решающую роль в восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (в замкнутых системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса, количество движения, момент количества движения, энергия и энтропия.

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычноразвиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того,трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

                                                                                            (1)

выражает тот факт, что изменения теплосодержания определенной массы вещества, заключенного в единице объема, определяется различием между притоком и вытеканием энергии- дивергенцией плотности теплового потока

При разработке методов иследования композиционных материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеет смысла (в тех случаях, когда это можно практически реализовать) полностью учитывать структуру копмозита. В связи с этим возникла необходимость связать механику композитных материалов с механизмами элементов конструкций, развивающимися обычно в рамках континуальных процессах. Эта задача решается в процессе создания теории определения приведенных свойств композитных материалов различных структур (слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения в рамках континуальных представлений. Таким образом совершается переход от кусочно-однородной среды к однофазной.

Рассмотрим двухфазный композитный материал, представляющий собой матрицу, в которой случайным образом распределены включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительно равноосную форму. Количество включений достаточно велико на участке изменения температуры. Пусть некая характеристика матрицы -

                                                                                                                        (2) 

Где                   

Подстановка (2) в (1) дает:

                                       (3)

Имеем операторы:

                                                                                                             (4а)

                                                                           (4б)

После преобразования Фурье получаем

Уравнение для функции Грина          и

где                                                                                              (5)

- ур. Дайсона.                                          (6)

Функция Грина (2), а оператор можно назвать оператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположение неоднородностей.

Решим уравнение итерациями

Вычислим сначала

Здесь                           

                                 (7)

Теперь определим

                               

Теперь необходимо вычислить

Таким образом

                                                                                                   (8)

Подставляем в (6) равенство (8)

    где       и                                                                         (9)

Подставляем (5) в (9)

    

где   и           

                                                                                                   (10)

       (11)

где        ,                                                                     (12)

                         (13)

1.  Ограничимся первым приближением

`    

                                                                                                                                  (14)

Рассмотрим:

                                (15)

2.  Ограничимся вторым приближением

                                                                                                       (16)

                                                                                                                           (17)

Из (12) найдем:

                 (18)

Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:

                                               (19)

Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13), получим:

Коэффициентами при из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без из-за (14)

        подставляя (17), найдем

                                                                                                                      (20)

Подставляя (18) в (11)с учетом (16), получим:

         (21)

Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13), получим:

Коэффициентами при из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без из-за (15)

                                                                                                     (22)

3.  Ограничимся третьим приближением

                                                                                (23)

Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:

          (24)

Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13), получим

Коэффициентами при ,из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без из-за (14), а с(18)

                                                                                                   (25)

                                  

Подставляя (18) в (11)с учетом (23), получим:

                                                                      (26)

Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13), получим:

Коэффициентами при ,из-за малости произведения пренебрегаем

А коэффициенты без из-за (15), а с

                                         (27)

Анализ ипоказывает, чтоидейсвительные коэффициенты, а

Список литературы:

1. Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”, 1977.

2. Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел”  

    МКМ, №1, 1985.