Комплексные числа
Брянский городской лицей № 1
Учебно-исследовательская работа
по математике на тему:
“Комплексные числа”
Выполнил
ученик 10 физико-
математического класса
Петрухин Вячеслав
Учитель: Тюкачева О.И.
Брянск, 2003
Оглавление:
1.Комплексные числа 3
2.Свойства операций над комплексными числами 3
3. Комплексная плоскость 3
4. Модуль комплексного числа 4
5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел 5
6. Аргументы комплексного числа 5
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы. комплексного числа 6
8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме 8
9. Возведение в степень и извлечение корня 8
10.Квадратные уравнения 10
11.Использованная литература 14
В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,… n,… В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что де касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел.
Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.
1.Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и умножения:
а) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда
a=c и b=d;
б) суммой чисел a + ib и c + id называется число
a + c + i(b +d);
в) произведением чисел a + ib и c + id называется число
ac – bd +i(ad+bc).
Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w). Равенство z= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.
Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + ib и обозначается Rez; пишут Re z =a или Rez=a или Re(a + ib) = a. Число b называется мнимой частью числа z= a +ib и обозначается Imz, пишут Imz = b или Im(a +ib) = b. Символ I называется мнимой единицей.
Заметим, что операции сложения и умножения над числами a+ i0 проводятся так же, как над действительными числами.
Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, а именно a =a+i0.
Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.
На основании формулы (2) найдём значение выражения i2=ii:
i2 = ii =(0+i1)(0+i1)= -1+i0=-1.
Таким образом,
i2=-1.
2.Свойства операций над комплексными числами.
1. Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.
2. Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)
3. z+0=z.
4. Коммутативность умножения: z1 z2= z2 z1.
5. Ассоциативность умножения: z3( z1 z2) =z1( z2 z3).
6. Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3) =z1 z2 + z1 z3.
7. 1*z=z.
8.
z1 иz2, где z1
, существует такое число z
такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается 
.Деление на 0
невозможно.
|
|
|
|
|
|
Не менее важной и удобной является
интерпретация комплексного числа a + ib
как вектор 
.
4. Модуль комплексного числа. Модулем комплексного
числа z = a +ibназывается длина вектора, соответствующего
этому числу. Модуль обозначается 
или буквой r. Применяя
теорему Пифагора, получим, что =
.
Пусть z = a +ib. Число a – ibназывается
комплексно сопряжённым с числом z = a
+ibи обозначается 
= a – ib. Заметим, что
= =, z2 + b2=2 =2,
Пример 1. Запишите z в алгебраической форме, если
а) 
б) 
Пример 2. Запишите решения системы
а)
б)
в алгебраической форме.
Решение:
а)
б)
Пример 3.Существуют ли такие действительные числаx и y, для которых числа z1 и z2 являются сопряжёнными
а) z1=8x2 – 20i15, z2=9x2 – 4+ 10yi3;
б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 + ix.
Решение:
а) z1=8x2 – 20i15=8x2 + 20i; z2=9x2 – 4+ 10yi3=9x2 - 4 - 10yi;
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:
откуда такие сопряжённые числасуществуют.
б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;
z2=8+ix.
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:
откуда такие
сопряжённые числасуществуют.
5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.
|
|
|
z1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторы
с координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствовать
вектор с координатами (a1
+ a2,b1+b2).Таким образом,
чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы,
отвечающие комплексным числам z1
и z2.
|
|
|
|
|
|
|
z1- z 2 комплексных чисел z1 и z2 соответствует
разность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль
двух комплексных чисел
z1 и z2 по определению
модуля есть длина вектора z1-
z 2.Построим
вектор, как сумму двух векторов z2
и (- z1).
Получим вектор , равный вектору 
.Следовательно, есть длина вектора ,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть
расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим
числам.
|
|
|
6. Аргументы комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z= a + ib
z;
величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой
стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.
Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут j=argz или j=arg (a+ib).
|
|
|
|
z=0
– единственное число, которое определяется заданием только его модуля
С другой
стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда
определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда
определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, 
z.
Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система
или 
Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений
а)
б)
в)
Решение:
|
|
найдём модуль1-i:
.
Заметим, что никакая точка большей окружности не
приближена к меньшей на
расстояние, равное 
|
|
i только одной точки меньшей
окружности мы получаем что эта точка попадает на
другую окружность.
|
|
|
|
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим другие формы записи
комплексных чисел. Пусть r-
модуль, а j
- какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то
есть r = 
j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что 
Запись комплексного числа в виде 
тригонометрической формой.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием
а) 
б)
в)
|
д)
|
|
|
|
|
iи вправо на 1 поучались бы
равноудалёнными от начала координат, откуда
чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:
1)
2) влево и на i вверх
|
-iчем
к 2i ,а
эти точки указаны на рисунке.
|
|
|
i |
|
г) |
 |
|
 |
|
это будут
точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число
0. Учитывая второе и третье условие, получим:
|
е) |
 |
|||
 |
|||
е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим
искомое множество точек.
Пример
6. Будет ли тригонометрической формой числа 
а)
б) 
в) 
Решение:
Тригонометрической формой записи
числа только будет выражение
а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы
записи числа(
8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть
Тогда
модуль и произведение двух комплексных
чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей
является аргументом произведения.
Пусть
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.
9. Возведение в степень и
извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел
может быть обобщенана случай 
Отсюда, как частный случай,
получается формула, дающая правило возведение комплексного числа 
в целую положительную
степень:
(8)
Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.
Формула (8) называется формулойМуавра.
Число 
из числа w (обозначается
Если w=0, то при любом
n уравнение 
z=0.
Пусть теперь 
zи w в
тригонометрической форме:
Тогда уравнение 
примет вид
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,
или
Таким образом, все решения
уравнения
В самом деле, придавая числу kв формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n-1), мы не получаем других комплексных чисел.
Формула (9) называетсявторой формулой Муавра.
Таким образом, если n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле(9).
В частности, если уравнение 
имеет два корня:
то есть эти корни симметричны относительно начала координат.
Также из формулы (9) нетрудно
получить, что если
n-угольника, вписанного в окружность
с центром в точке z=0
и радиусом 
Из сказанного выше следует, что
символ 
iи-i,или одно, и, если одно, то какое
именно.
Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:
а) 
б)
в)
Решение:
а) 
б) Так как 
Так как 
в) Так как 
10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения
(10)
с действительными коэффициентами a, b, c. Там было показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой
(11)
В случае, если 
Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:
откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, cявляются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.
Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение
всегда разрешимо. Если 
где под
подразумеваются все
значения корня.
Пример 8. Решить уравнение
а) 
б) 
Решение:
а) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений 
положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и yдействительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При 
:
Решим уравнение (*): x4+15x2-16=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
б) Данное уравнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:
Для определения всех значений 
положим
Тогда
и, следовательно, x и y удовлетворяют системе
причём x и yдействительные числа. Решим систему:
Заметим, что x=0 решением системы не является.
При :
Решим уравнение (*): x4-16x2-225=0 –квадратное уравнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:
Поэтому
Пример 9. Решить уравнение
а) 
б) 
Решение:
а) Пусть 
Возвращаясь к z, получим
1)
вторую
формулу Муавра, получим:
1)
вторую
формулу Муавра, получим:
Следовательно,
2)
вторую
формулу Муавра, получим:
Следовательно,
б)Преобразуем уравнение:
Заметим,
что вторую
формулу Муавра, получим:
Пример10. Решите уравнение:
Решение:
Решим
уравнение как квадратное относительно z2: D=
Пусть z=a+ib, тогда 
Пусть 
Пусть 
Ответ:
Использованная литература:
- Пособие по математике для поступающих в вузы: пособие/ Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлев Т.Х. – под редакцией Яковлева Г.Н.-3-е издание М.: Наука, 1998, Глава X.
- Лекции и задачи по элементарной математике / Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., - М.: Наука, 1971. ГлаваIV.