Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу


Примечание	"Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н.Д."
	Загрузить архив:
	Файл: 240-2483.zip (81kb [zip], Скачиваний: 48) скачать

Определение:Элемент наилучшего приближения – L – линейноемногообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║

Теорема:Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $z_eÎEL ║z_e║=1 r(z_e,L)>1-e

Определение:Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║

Теорема:Чтобы L было плотно в H óортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение:Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение:Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:Непрерывный оператор – AxàAx₀при xà x₀

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема:Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение:Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема:A – ограниченный ó"xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема:Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {A_n} равномерно ограничена è {A_n}- ограничена.

Теорема:{A_nx} – ограниченно ó {║A_n║}- ограничена.

Определение:Сильная (равномерная) сходимость ║A_n-A║à0,nà¥, обозначают A_nàA

Определение:Слабая сходимость - "xÎX ║(A_n-A)x║_Yà0, nà¥

Теорема:Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {A_n} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:Банаха-Штенгауза A_nàA nà¥слабо è 1) {║A_n║}- ограничена 2) A_nàA, x’ÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è$ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A)2) ║A’║=║A║

Определение:Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность "t₁,t₂ $d: ║x(t₁)-x(t₂)║

Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение:Ядро – {xÎX | Ax=0}

Определение:Сопряженное пространство – пространство функционалов X^*:=L(X,E)

Определение:Сопряженный оператор A^*: Y^*àX^*

Теорема:Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A^-1и ограничен.

Определение:Оператор А – обратимый

Определение:Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1-ограничен.

Теорема:A^-1 $и ограничен ó$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема:Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение:MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение:Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема:Хаусдорфа. MÌX компактно ó"e>0 $конечная e-сеть

Теорема: Арцела.MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение:Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема:Шаудера. AÎs(X,Y) ó A^*Îs(X^*,Y^*)

Линейные нормированные пространства

сферическая норма