Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

	Загрузить архив:
	Файл: ref-18641.zip (41kb [zip], Скачиваний: 112) скачать

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

механико-математический факультет

кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

специальность прикладная математика

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент

2 курса 1222 группы

Труфанов Александр Николаевич

Научный руководитель

Долгова Ольга Андреевна

__________

работа защищена

«___»___________200_г.

Оценка _______________

зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А.

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

с начальным условием

Пусть в замкнутой области R

Последовательные приближения определяются формулами:

k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

к системе нормального вида и при начальных условиях

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

;

и перейдем к системе нормального вида:

Построим последовательные приближения

       

Задание №10

Построить три последовательных приближения к решению задачи

Построим последовательные приближения

Задание №11

а) Задачу

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке

i= 0, 1, 2 …

Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок выполнялись неравенства:

, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

,i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список использованной литературы

1.Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

2.А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

3.О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

4.А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998