Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)
| Загрузить архив: | |
| Файл: ref-18924.zip (258kb [zip], Скачиваний: 137) скачать |
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит.
Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож, вычит, деление(кроме деления на 0).
Впопрос 1.
Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции.
Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a' непосредст. следующий за а. 2.Для люб-го числа а из N сущ-т ! эл-т а' непосредственно следующий за а. 3. Для люб. элем-та из N сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует данный эл-т. 4. Пусть М N и выполн-ся: 1. 1€ М 2. если а€М след-но а'€M тогда М=N
опр: Любое множество N для эл-тов которого установлено отношение `непосредственно следовать за' удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся множеством натуральных чисел.
Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение - это алг. опер-я определенная на N и обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а+1=а' 2. (для люб. а,b) a+b'= (a+b)' (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2. Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b a*b'=ab+a T/ Умножение нат чисел сущ. и !.
Свойства сложения: 1. для люб. а,bN a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,cN (a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)
Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,bN) ab=ba 2. (для люб. a,b,c N) (ab)c=a(bc) 3.(a,b,cN) a(b+c)=ab+ac
Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на N. Отношение порядка на N: На N введем отношение `<' cледующим образом: a
Принцип мат. индукции и его формулировки: 1. Если некоторое утвержд. А(n) с натураль. переменной n справедливо при n=1 и из справедливости при n=k следует справедливость при n=k+1 , то даное утверждение справедливо при любом nN.
2. Если некоторое утвер-е А(n) справедлино при n=1 и из справедливости его для всех n
3. Если А(n) справедливо при n=a и из справ-ти при n=k следует его справ-ть при n=k+1, то данное утверж-е будет справедл-во при na.
Cвойства N: 1. N-упорядоченное. 2. N линейно упорядоченное (т.е.вероно только одно a
Вопрос 2.
Простые числа. Беск-ть мн-ва простых чисел. Канонич. разложение составного числа и его !.
Всякое число р€N, р>1 не имеющее др. натур-х делит-й, кроме 1 и р, наз-ся простым. Всякое число р€N1 и не явл-ся простым, наз-ся составным. Число 1 не явл-ся ни простым, ни сост-м. Мн-во N можно разбить на: простые, сост-е и 1. Св-ва: 1. Наим-й делитель всякого нат-го числа есть число простое. 2. Нат-е число n и простое число р либо взаимнопростые, либо р|n. 3. Если р-простое и р|a1*a2*…*an , то р|a1 или р|a2 …или р|an. 4. Если р|р1*р2*…*рn и р, р1, р2… рn - простые числа, то р=р1 или р=р2 или… р=рn.
Наим-й простой делитель нат-го числа n не превос-т n. Док-во: пусть р-наим-й простой дел-ль n. Покажем рn. р|n => n=р*q (1), рq. Заменим в (1) q на р: nр2, т.к. р2n, рn.
Всякое нат-е число n>1 либо явл-ся простым, либо м.б. предст-а в виде произв-я простых множ-й n=р1*р2*…*рr, r1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью до порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа n на простые множ-ли. Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если n -число простое, то . Пусть n-сост-е и р1 его натур-й дел-ль. Как было док-но р1 число простое и можно записать: n=р*n1, где рn1. Если n1 число простое, то ; если n1 сост-е, то р2 - его наименьший простой делитель. n1=р2*n2, n=р1*р2*n2. Если n2 сост-е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть пока не придем к какому-либо ns=1. То, что после конечного числа шагов такое ns должно получ-ся => из того, что n>n1>n2>…>ns мн-во нат-х чисел, т.е. все эти числа меньше n. Итак, через конеч-е число шагов число n можно пред-ть в виде (1). 2. Док-во !: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа n на простые множ-ли n=p1*p2*…*pr и n=q1*q1*…*qs, где р1, …рr, q1,…qs простые числа. p1*p2*…*pr= q1*q2*…*qs. Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р1 => на р1 делит-ся и правая часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по свойству простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р1=q1, тогда после сокращ-я: p2*…*pr= q2*…*qs. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р2 совп-т с одним из множ-й q. Пусть р2=q2, после сокр-я: p3*…*pr= q3*…*qs и т.д. Предпол-м, что rs. Пусть r
N=p1 1* p2 2*… *pk k - каноническое разлож-е числа n на простые множ-ли. Показ-т, что все делители числа n исчерпыв-ся числами вида p1 1* p2 2*… *pk k, где 01 1, …0к к.
Теорема Евклида: мн-во сех простых чисел бесконечно.
Решето Эратосферна. Выписать все нат-е числа от 2 до m из них вычеркивают каждое второе после простого числа 2. Первым не зачеркнутым числом остается простое число 3. Теперь выч-т каждое 3-е число, причем считают и те числа, кот. выч-ты ранее и т.д. После выч-я всех чисел кратных простому числу рn первое не зач-е число будет простым - рn+1. рn+1- простое число, т.к. иначе оно имело бы простой делит-ль рn, но все числа кратные простым рn уже вычеркнуты. Поэтому выч-е кратные простому числу рn+1 следует начинать с (рn+1)2 и состав-е таблиц простых чисел m => считать закон-м как только найдено число >m.
Вопрос 3.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.
На N вып-ы опер-и “+” и “*”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е а+х=в в N не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения N. При расщ-и одной с-ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) NЄZ. 2) +,* должны вып-ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из N в N и Z должны совп-ть. 3) +,* - комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся опер-я “-”. т.е. ур-е а+х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х а,вЄZ. 5) Z должно быть миним. расш-м из всех расш-й мн-ва N облад-е св-ми 1-4.
Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b*q. Отношение “b делит а” наз-ют отношением делимости и зап-т b|а. Св-ва: 1) (а)(а|a). 2) (a,b,c)(a|b^b|c=>a|c). 3) (а)(а|0). 4) (а)(0a). 5) (а)(1|a^-1|a). 6) a|b^b|a=> b=±a. 7) (x)(а|b=>a|b*x). 8) (x1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(а,b)(b|a=>|b|<|a|). 10) (а,b)(b|a^a>0^b>0=>b
Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a на bЄZ, это значит найти 2 таких q и rЄZ, что a=b*q+r (1) 0r<|b|, q- неполное частное, r-остаток. (a,bЄZ^b#0 сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0r<|b|). Док-во: 1) Возм-ть дел-я с ост-м. 2 случая: 1. aЄZ, b>0, т.е. bЄN. Рассм. всевоз-е кратные числа b.Пусть b*q наиб. кратные числа b не превыш-е a, т.е. b*qa
Общим делителем чисел a1,a2,…ar наз-ся такое число c, что с|a1^ с|a2^…с|ar. c=ОД(а1,а2,…аr). НОД (а1,а2,…аr) наз-ся такой их общий дел-ль d, кот делится на всякий др. общ дел-ль. чисел а1,а2,…аr. Обозн. d=НОД(а1,а2,…аr). Итак, d=НОД(а1,а2,…аr) 1. d| а1^d|а2^…d|аr. 2. c=ОД(а1,а2,…аr) => с|d.
Алгоритм Евклида. Пусть a,bЄZ, b#0. т.к. отнош-е делимости сохр-ся при измен-и знаков чисел, то НОД(a,b)=НОД(a,-b). Поэтому огран-ся случ-м aЄZ, bЄN. Делим a на b c остатком a=b*q+r1. Если r1=0, т.е. a=b*q, то НОД(a,b)=b. Пусть r#0, 0
Нахождение НОД и НОК Чтобы найти НОД нужно взять произведение общих простых множ-й, вход-х в канонич-е разлож-е этих чисел, причем каждый такой простой множ-ль нужно взять с наим. показ-м. НОК тоже самое, но каждый множ-ль взять с наиб. показ-м.
Вопрос 4.
Система рацион-х чисел.
Если рассм. мн-во Z, то в Z ур-е a*x=b не всегда разрешимо. => расшир-е кольца целых чисел до поля Q-рац-х чисел. (Др. причина - измерение отрезков не всегда выр-ся целым числом). При этом должны вып-ся усл-я: 1. Z подкольцо кольца Q. 2. ур-е a*x=b, a#0 одноз-но разреш. a,bЄQ. 3. Q должно быть миним. расш. с-ы Z. С-а Q явл-ся полем, кот. наз-ся поле рац-х чисел.
Рассм. мн-во Q={p/q| pЄZ,qЄN}. на мн-ве дробей рассм. отнош. равносильности “~”: p/q~k/l p*l=k*q. Покажем, что это отнош-е эквивал-ти. 1. a/b~a/b. т.к. a*b=a*b (рефл-ть). 2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть). Проверим a/b~c/d a*b=b*c => c*b=d*a c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть). a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e. a*f=b*e =>a/b~e/f. Если с=0, то все 3 др. 0, т.е. равн-ы. Отнош-е равн-ти дроби на Q явл-ся отнош-м экв-ти => равнос-е дроби также явл-ся эквив-ми.
Св-во экв-х дробей: 1. a/b~(a*c)/(b*c) c#0. Всякому отнош-ю эквивл-ти соот-т разбиение на классы экв-ти. Класс эквив-х дробей наз-ся рац-м числом. Рац-е число хар-ся из своих представителей. Дроби, вход-е в один и тот же класс пред-т ! рац-е число => считаются равными. p/q, где q0 наз-ся несократ-й записью, если НОД(a,b)=1. Для положит-го q сущ-т ! запись в виде несократ-й дроби. Введем на Q отнош-е «меньше» так, что q
При обращ-и обыкнов-й несокр-й a/b в десят-ю возм-ы случаи: 1) Если в разлож. знамен. b на простые множ-ли встреч-ся только 2 или 5, то несокр. дробь a/b обращ-ся в конеч. дес-ю. 2) Если НОД(b,10)=1, то a/b представима в виде бескон-й чисто период-й десят-й дроби. 3) Если в разлож-и b на простые множ-ли кроме 2 и 5 встреч-ся другие числа, то дробь обращся в смешан-ю период-ю десят-ю дробь.
Вопрос 5.
Поле комплексных чисел(к.ч.). Геом-е предс-е к.ч. и операции над ними. Тригон-я форма к.ч.
Х1+1=0 (1) не разрешимо в R - причина расширения с-ы R до с-ы чисел, в кот-й (1) имело бы реш-е. В кач-ве строит-го матер-ла можно взять точки плоск-ти: M={(a,b)|a,bЄR}. Т.к. точки плос-т нам не приход-сь умн-ть и склад-ть, то опер-ции над ними можно задать так, чтобы мн-во было полем, содерж-е поле R и в кот-м (1) имело бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) и (a,b)=(c,d) a=c ^ b=d. Можно док-ть, что слож-е и умнож-е комут-ы, ассоц-ы и связ-ы дист-м законом. Для них вып-ся обратные опер-ции: вычит-е, делен-е, кроме дел-я на 0,т.е. ур-я (c,d)+(x,Y)=(a,b) и (c,d)*(x,y)=(a,b), где (c,d)(0,0) одноз-но разр-мы. Нейтр-й Эл-т относ-о слож-я: 0=(0;0). Нейтр-й Эл-т отн-о умнож-я: 1=(1;0). 1) С-а M=(M,0,1,+,-,*) поле. 2) M явл-ся расш-м поля R, т.е. R' содер-ся в M изоморф-е полю R. R'={(a,0)|aЄR}. R'-подполе поля M, т.е.R' замкнуто относ-о всех опер-й кольца и эл-а 0 из R' обратный Эл-т также ЄR'. 3) R изоморфно R'. Можно уст-ть биект-е отобр-е: :R R'; : a (a,0) и вып-ся 2 усл-я: образ суммы двух эл-в = сумме образов, образ произв-я 2 эл-в = произв-ю образов. С - поле к.ч. Покажем, что (1) разреш. Возьмем точку i=(0,1): (0,1)*(0,1)=(-1,0)-1. i - корень ур-я (1), мнимая единица, расп-я на ОУ. Запись: (a,b)=a+b*i алгеб-я, =||*(cos+i*sin) триг-я, где ||=<
Вопрос 6.
Мн-ны от одной переменной.
Пусть А=(А,0,1,+,-,*) - обл-ть целостности. Построим с пом-ю его новое комут-е кольцо A[x], основанное на мн-ве,, которое есть мн-во бесконечных послед-й, облад-х св-м: в них лишь конечное число коэф-в 0, т.е. A[x]={(a0,a1,…)|a0,a1,…ЄA}, ai0 конеч-е число. Такие посл-ти наз-ся полиномами от 1 неиз-го. Равенство полиномов и операции над ними опре-ся так: 1. (a0,a1,…)=(b0,b1,…) a0=b0 и a1=b1 и…. 2. (a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0, a1+b1…). 3. (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0, a1b1…). 4. 0=(0,0,0,…). 5. 1=(1,0,0,…). 6. -(a0,a1,…)=(-a0, -a1…). Нетрудно проверить: 1) с-а (A[x],0,+,-) аддитивная абелева группа, 2) с-а A[x],1,*) - мультипликативный моноид, 3) + и * связаны дистрибутивным законом. С-а A[x]=(A[x],0,1,+,-,*) - комут-е кольцо. Другой вид записи полинома: f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm. Слагаемые в записи f(x) наз-ся одночлекнами, а f(x) наз-ся мн-м от 1 неизв-го. Эл-ы аЄА наз-ся мн-ми нулевой степени. Св-ва. Пусть А - обл-ть целостности. Кольцо полиномов от 1 неизв-го A[x]=(A[x],, 1,+, -,*) - обл-ть целостности. => Если степень f(x)=n и степень g(x)=m => степень f(x)g(x)=n+m. Пусть А - обл-ть целостности. Делителем единицы кольца полиномов A[x] явл-ся делители единицы кольца А. В обл-ти цел-ти A[x] других делителей единицы нет.
Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что числов-е поле явл-ся обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема о делении с остатком имеет место для f(x), g(x)ЄP[x], что g(x)0. Мн-н f(x) делится на мн-н g(x)0, если сущ-т мн-н n(x)ЄP[x], что f(x)=g(x)n(x). Деление не всегда будет выполнимо в кольце Р[x]. Св-ва. 1. f(x)ЄP[x], f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и g(x) ассоц-ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x) и (x)|g(x) => g(x)|(f(x)±(x)). 4. Если f1(x), f2(x),…, fk(x) делятся на g(x), для c1, c2,…ckЄР, то сумма [c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)] делится на g(x). 5. Если g(x)|f1(x) => f1(x)f2(x)…fk(x) делится на g(x). 6. Если f1(x)|g(x), f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x) => g(x)|[ n1(x)f1(x)+ n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)], ni(x), fi(x), gi(x)ЄP[x], i=1,2,…k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-ся делителями f(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf(x), где с0 и только они будут делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. Делитель f(x), cf(x), c0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть f(x), g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x], что d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1. D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=ОД(f(x), g(x)). Покажем, что НОД сущ-т для мн-в f(x), g(x)ЄP[x]0. пусть степень f(x) степени g(x). Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x)+r1(x). Если r1(x)=0, тогда НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)0, то степень r1(x)< степени g(x), но >0. Делим g(x) на r1(x) с остатком g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x). Если r2(x)0, 0< степень r2(x) < степень r1(x), делим r1(x) на r2(x) с ост-м r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку rk(x), на который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили совокупность f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x) (1). Док-м, что послед-й 0 остаток rk(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД. Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x)|k-1(x), rk(x)|k(x) и k(x)|k-1(x) => rk(x)|rk-2(x)…, rk(x)|rk-2(x) и rk(x)|r1(x) => rk(x)|g(x), rk(x)|r1(x) и rk(x)|g(x) => rk(x)|f(x). Получим, что rk(x)|f(x) и k(x)|g(x) => k(x)= ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть n(x) - другой ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: n(x)|f(x) и n(x)|g(x) => n(x)|r1(x), n(x)|g(x) и n(x)|r1(x) => n(x)|r2(x), n(x)|r1(x) и n(x)|r2(x) => n(x)|r3(x)… n(x)|rk-2(x) и n(x)|rk-1(x) => n(x)|rk(x). Получили: n(x)|rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что последний 0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x). Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля нулевой степени. Действительно, пердположим, что D1(x)=НОД(f(x), g(x)) и D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x)) => D2(x)|D1(x), а т.к. D2(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D1(x)|D2(x). Получим: D2(x)|D1(x) и D1(x)|D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем, что если f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т (x), (x)ЄP[x], что f(x)(x)+g(x)(x)=D(x). Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида, кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r1(x)=f(x)-g(x)q(x), r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x), r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-1(x)qk-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)). Обозначим 1(x)=1, 1(x)=-q(x), тогда имеем r1(x)=f(x)1(x)+g(x)1(x). Теперь второе из (1): r2(x) = g(x)-r1(x)q1(x) = g(x)-(f(x),1(x) + g(x)1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)1(x)q1(x)-g(x)1(x)q1(x) = f(x)(-1(x)q1(x)) + g(x)(1-1(x)q1(x)) = f(x)2(x)+g(x)2(x). r2(x) = f(x)2(x)+g(x)2(x). Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение для r3(x) из (1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r3(x)= f(x)3(x)+g(x)3(x). и т.д. опускаясь ниже получим rk(x)= f(x)k(x)+g(x)k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x) , причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(ck(x))+g(x)(ck(x)).
Вопрос 7.
Неприводимые над полем многочлены.
Мн-н f(x)ЄP[x] наз-ся неприводимым над полем Р, если он не разлагается в произведение многоч-в положительной степени над полем Р. Мн-н наз-ся приводимым над полем Р, если он разлагается в произведение мн-в положит-й степени. Вопрос приводимости зависит от того поля, над которым мы его рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над полем Q, но приводим над полем R. 2) f(x)=x2+1 неприводим над R, приводим над C. 3)(x)=x+1 непривд-м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м только мн-ы 1-й степени. Над полем дейст-х чисел неприводимы мн-ны 1-й степени и квадратный трехчлен, у которого дискр-т <0. Иначе в поле рац-х чисел. Здесь n нат-го можно подобрать мн-н n-й степени неприводимого над полем Q рац-х чисел. Критерий Эйзенштейна. Если для f(x)=a0xn+a1xn-1+…an-1x+an, f(x)ЄQ[x] можно подобрать р - простое число, что 1) р|a0(черта) - не делится на р, 2) все остальные коэф-ы делятся на р: p|a1, p|a2,…p|an 3) p|an, но p2|an(с чертой) - не делится на р, то f(x) неприводима над полем Q. Если для мн-на f(x) нельзя подобрать р простое число, чтобы вып-сь требование Эйз-на, то мн-н может быть как приводимым, так и не приводимым над полем Q. Св-ва. 1. p1(x), p2(x)ЄP[x] неприводимы над полем P и p2(x)|p1(x) => эти мн-ны отлич-ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p1(x) - неприводим, то в p1(x) = p2(x)g(x) один из множ-й есть мног-н нулевой степени g(x)=c-const. Т.о. p1(x) = p2(x)c. Мног-ны p1(x), p2(x) явл-ся ассоциированными.) 2. f(x)ЄP[x], p(x)ЄP[x] - непривомн-н => либо f(x), p(x) взаимно просты, либо p(x)|f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2 случая:1) НОД(f(x),p(x))=c-const, тогда f(x), p(x) - взаимно просты. 2) НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x)|f(x) => cp(x)|f(x) => p(x)|f(x)). 3) Если произ-е p(x)|f(x)g(x), где p(x), f(x), g(x)ЄP[x] и p(x) - непривод-м над полем P, р(x)|f(x) или p(x)|g(x). Это св-во можно распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й.
Теорема. мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем Р или разлагается в произведение неприводимых мн-в. f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x) (*), где pi(x) - неприводимые мн-ны над полем Р, i=1,2,…n, причем это разложение явл-ся ! с точностью до порядка. Док-во. 1) Док-м возможность представления (*). Пусть мн-н f(x) выше нулевой степени. Если f(x) неприводим, то теорема док-на. Если f(x) приводим, то f(x)=f1(x)f2(x). Если оба мн-на f1(x) и f2(x) неприводимы над полем Р, то теорема док-на, если хотя бы 1 из них приводим над полем Р, то его разлагают в произведение множ-й положит-й степени. и т.д. Этот процесс конечен, т.к. степень мн-й в разложении f(x) уменьшается, оставаясь положит-ми и их может быть лишь конечное число. Итак, в конце концов мн-н f(x) будет предст-н в виде произвед-я непривод-х мн-й, т.е. в виде (*). 2) Док-м ! разложения мн-на f(x) на непривод-е мн-ли. Пусть f(x) допускает 2 разложения: f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x) (1) и f(x)= q1(x)q2(x)…qn(x) (2). p1(x), …pn(x), q1(x),…,qn(x) неприводимые над полем Р мн-ны. Левые части равны => равны и правые части. p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x) (3). Левая часть делится на р1(х) => и правая часть делится. Т.к. р1(х) неприводим, то на р1(х) разделится хотя бы один мн-ль правой части. Пусть р1(х)|q1(x). А т.к. р1(х) и q1(x) неприво-ы и один из них дел-ся на другой, то они ассоциированы, т.е. q1(x)=ср1(х). Подставляя это выр-е в (3) и сокращая обе части на р1(х): p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x) (4). Аналогично расс-я относительно p2(x) из (4): p3(x)…pk(x)=c1с2 q3(x)q4(x)…ql(x). И т.д. утверждаем, что k=l. Предположим противное. Пусть k
Вопрос10.
С-ы лин-х ур-й. Равнос-е с-ы ур-й. Критерий совм-ти с-ы лин-х ур-й.
Пусть Р- поле скаляров. С-й лин-х ур-й с n неизв-ми х1, х2, …хn наз-ся с-а вида: а11*х1+а12*х2 +…+а1n*xn=b1, … аm1*х1+аm2*х2 +…+аmn*xn=bn (1), aij,biЄP. Числа aij наз-т коэф-ми с-ы, bi своб-е члены. Вектор О(а11,а12,…а1n)ЄР наз-т решением с-ы (1), если он удов-т ур-ю с-ы. С-а лин-х ур-й наз-ся совм-й, если она имеет хотя бы 1 реш-е, и несовм-й в противном случае. Если совм-я с-а лин-х ур-й имеет ! реш-е, то она наз-ся определ-й, если реш-й бескон-е мн-во, то она неопределенная. 2-е с-ы лин-х ур-й наз-ся равносильными, если реш-е из этих с-м явл-ся реш-м другой с-ы. Элемен-е преобр-я: 1) перестан-ка 2 ур-й в с-е. 2) умнож-е обих частей ур-я на 0 скаляр. 3) удаление ур-я вида 0=0. 4) прибавл-е к обеим частям какого-либо ур-я соответ-х часте другого ур-я, умнож-е на одно и тоже число. При элем-м преоб-и матрицы получ-ся с-а лин-х ур-й равнос-я первонач-й с-е ур-й.
Матрица А, сост-я из коэф-в при неизв-х с-ы (1), наз-ся главной матрицей с-ы. Если к глав-й мат-е А присоед-ть столбец своб-х членов, то получ-ся расшир-я мат-ца с-ы.
Т. Кронекера-Капелли. С-а ур-й лин-но незав-х ур-й совместна ранг глав-й мат-цы = рангу расш-й мат-цы. Док-во. 1) Пусть (1) совм-на. 1,2,…n - реш-е с-ы (1). Тогда получим вер-е рав-ва:
а11*1+а12*2 +…+а1n*n=b1, а21*1+а22*2 +…+а2n*n=b2,… аm1*1+аm2*2 +…+аmn*n=bm (2). Выч-м ранг расш-й мат-цы: rang=rang<
Метод Гаусса - м-д последов-го исключения неизв-х. Сводится к привед-ю с-ы лин-х ур-й к ступен-у виду, при этом получ-ся с-а равнос-я данной. Если в рез-те элем-х преоб-й получ-но ур-е с коэф-ми в левой части =0 , а своб-е члены 0, то с-а несовм-на. Если и своб-е члены =0, то это ур-е удаляется из с-ы. С-а лин-х ур-й явл-ся опред-й, т.е. имеет ! реш-е, если ступ-я с-а лин-х ур-й имеет треуг-й вид. В этом случ-е послед-е Ур-е с-ы содержит только 1 неизв-ю. Если ступ-я с-а имеет вид трапеции, то с-а неопределенная. Тогда в послед-м Ур-и с-ы несколько неизв-х (k
Вопрос 11.
Векторные пространства.
Пусть Р= (Р,0,1,+,-,*)-поле скаляров. С-а V=(V,,+,-,), V-основное мн-во, -выдел-й элемент, “+”-бинар-я опер-я, “-”-унарн-я опер-я, - унарн-я опер-я умнож-е эл-а из V на скаляр из Р : V--> V, ()=*xЄV, ЄP, xЄV. С-а V - наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V - векторами = a, b,c,…x, y, если 1. (V, , +,-)- аддит-я абел-я группа, 2. (*)*a=*(*), ,ЄP,aЄV. 3. (+)*a=*a+*a, ,ЄP,aЄV. 4. *(a+b)=*a+*b, a,bЄV,ЄP. 5. 1*a=a, a. Например, ариф-е вект-е прост-во n мерных векторов V=Pn, мн-во C- к.ч. есть век-е прост-во над полем R действ-х чисел относ-о опер-й “+” к.ч. и “*” их на дейст-е число. Простейшие св-ва. Пусть V=(V,,+,-,) - вектор-е прост-во. Р - поле скаляров. a,bЄV, , ЄP. 1. a+b=a => b=0. 2. 0*=. 3. *=. 4. a+b= => b=(-1)*a=-a. 5. *a=*b ^ 0 =>a=b. 6. *a= => =0 или a=. 7. *a=*a ^ a => =. Пусть V - вект-е прост-во над Р, a1,a2,…amЄV, с-а вект-в a1,a2,…am наз-ся лин-о незав-й, если 1*a1+2*a2*…m am= возм-но при всех коэф-х = 0. a1,a2,…am - лин-но завис-ы, если 1*a1+2*a2*…m am= возм-но хотя бы при 1 коэф-е i0. Вект-е прост-во наз-ся конечномерны, если оно породж-ся конечным мн-м вект-в или сущ-ют a1,a2,…amЄV, что V - лин-я оболочка порожд. этим мн-м V=L(a1,a2,…am). Базисом (базой) конеч-го век-го прос-ва наз-ся непуст-я конеч-я лин-но незав-я с-а векторов порожда-я это прост-во. ???не доконца.
Вопрос 12.
Линейные преобразования век-х прост-в.
Пусть u и v векторные простр-ва над полем Р. Отобр-е : uv наз-ся лин-м отображ-м или гомоморфизмом, если а,bЄu,ЄP: 1. (a+b)=(a)+(b). 2. (a)=(a). Если бы лин-е отоб-е u на v было бы биективным, то тогда его наз-и бы изоморфизмом вект-х прост-в. Мн-во всех лин-х отображ-й прост-ва u в v обозн-ся Hom(u,v). Св-ва. 1. Всякий лин-й опер-р в прост-ве v оставл-т неподвижный нулевой вектор,т.е.()= . 2. (-x)=-(x). 3. Всякий лин-й опре-р в прост-ве v переводит лин-ю комбин-ю произвольно выбранных вект-в a1,a2,…am прост-ва V прост-ва в лин-ю комбин-ю образов этих вект-в, причем с теми же самыми коэф-ми, т.е. (1a1+2a2+…mam) = 1(a1)+2(a2)+…+m(am). Док-во. Применим метод мат-й индукции. 1) Проверим справ-ть при m=2. (1a1+2a2) = (1a1)+(2a2) = 1(a1)+2(a2). 2) Предположим справ-ть утвер-я для m-1 вектора, т.е. (1a1+2a2+…m-1am-1) = 1(a1)+2(a2)+…+m-1(am-1). 3) Док-м справ-ть данного утвер-я для m век-а, т.е. (1a1+2a2+…+ m-1am-1+mam) = [(1a1+2a2+…m-1am-1)+ mam] = (1a1+2a2+…m-1am-1) + (mam) = 1(a1)+2(a2)+…+m-1(am-1)+m(am). 4. Совокупность L всех образов (a) вектора а вектор-го простр-ва v, получ-е при данном преоб-ии , есть некоторое подпростр-во вект-го простр-ва v.
Пусть некоторая лин-я опре-я прос-ва vn. Выберем в прос-ве vn некот-й базис e1,e2,…en. Тогда опре-р переводит век-ы базиса в векторы (e1),(e2),…(en). Каждый из этих век-в ! образом выраж-ся через век-ры базиса: (e1) = 11*e1+21*e2+…+n1*en, (e2) = 12*e1+22*e2+…+n2*en,… (en) = 1n*e1+2n*e2+…+nn*en. Матрица A= k-й столбец которой явл-ся коорд-ми
столбца век-ра (ek) относительно базиса e1,e2,…en, наз-ся матрицей лин-го опрер-ра в базисе e1,e2,…en. Т.о. при фиксир-м базисе e1,e2,…en, каждому лин-у опрер-у прост-ва vn соответ-т вполне опред-я матрица n-го порядка. И наоборот, каждая матрица n-го пор-ка явл-ся матрицей некот-го вполне опред-го лин-го опре-ра прост-ва vn в базисе e1,e2,…en.
Совокупность (vn) образов всех век-в прост-ва vn при действии оператора наз-ся областью значений опер-ра . Размерность области значений (vn) наз-ся рангом лин-го опер-а . Ядром линей-го опер-а прост-а Vn наз-ся совокупность всех век-в прост-ва Vn отображ-ся операторов в нулевой вектор . Ker = {aЄVn|(a)=}. Размерность ядра Ker опер-ра прост-ва Vn наз-ся дефектом этого опер-ра. Сумма ранга и дефекта лин-го опер-а прост-ва Vn = размерности этого прост-ва. Если век-р b 0 переводится оператором в пропорц-й самому себе,т.е. (b) = 0b, где 0 - действ-е число, то b наз-ся собст-м вектором опер-а , а 0 собственным знач-м этого опер-ра. Причем гов-т, что собст-й век-р b относ-я к собств-у знач-ю 0. Нулевой век-р не считается собственным для опер-ра . Матрица А-Е, где Е един-я матрица n пор-ка наз-ся харак-й матрицей матрицы А (по главной диагонали от Эл-в «-«). Многочлен n степени |А-Е| наз-ся харак-м мног-м матрицы А, а его корни, которые могут быть как компл-е так и действ-е, наз-ся характер-ми корнями этой матрмцы. 0ЄR был собств-м значением лин-го опер-а 0 было характ-м корнем опер-ра . Лин-е преоб-е наз-ся невыроженным, если определитель матрицы А0. Рассм-м преоб-е x1=y1,…xn=yn (I). Это преоб-е наз-ся тождеств-м. Оно ведет себя точно также как число 1 при арифм-м умнож-и,т.е. (S) S*I=I*S=S. Т.е. преоб-е I это нейтр-й эл-т относ-о умнож-я преоб-я. Обратным преоб-м преобразованию S наз-ся преоб-е S-1 такое, что S*S-1=S-1*S=I. Подпрост-во L явл-ся инвариантным относ-о преоб-я пространства Vn, если образ век-ра из снова есть вектор L.
Вопрос 13.
Определители.
Опред-м (детерминантом) n-го порядка составл-м из n2 чисел матрицы А наз-ся алгеб-я сумма всевозм-х членов, каждый из которых представл-т собой произвед-е n эл-в, каждый из которых взят по 1 из каждой строки и столбца, взятый со знаком (-1)t , где t число инверсий перестановки вторых индексов, при усл-и, что первые индексы расположены в натуральном порядке. =(-1)ta1a2…an, ,,… n! перестан-к 1,2,…n. Правило Саррюса.
Св-ва опред-й. 1. Равноправность сторк и столбцов (транспонирование). 2. Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки (2 столбца) одинаковы =0. 3. Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на одно и то же число m, то и значение опред-я *m. 4. Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-я n-го пор-ка облад-т общим множителем, то его можно вынести за знак опред-ля. 5. Опред-ль n-го пор-ка, у которого Эл-ты 2-х строк (столбцов) соответ-о пропорциональны ,=0. 6. Если все Эл-ты k строки (столбца) опред-я n-го пор-ка явл-ся суммой 2-х слагаемых, то такой опред-ль = сумме 2-х опред-й n-го пор-ка. В одном из них k-я строка (столбец) состоит из первых слаг-х, а в другом - из вторых слаг-х, все остальные строки (столбцы) те же, что и в данном опред-е. 7. Если в опред-е какая-либо строка есть линейная комбинация других строк, то такой опред-ль =0. 8. Если к Эл-м какой-либо строки (столбца) опред-я n-го пор-ка прибавить соответ-ие Эл-ты другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число, то значение опред-я не изменится. 9. Если поменять местами 2 строки (столбца) в опред-е n-го пор-ка, то опред-ль сменит свой знак на противоположный, а его абсол-я величина не изменится. Минором Мij Эл-та aij опред-я n-го пор-ка наз-ся опрде-ль n-1 порядка, который получается из опред-я вычеркиванием i строки и j столбца. Алгебаическим дополнением Aij Эл-та aij наз-ся произ-е (-1)i+j*Mij.
Теорема. Какую бы строку (столбец) опред-я n пор-ка мы не взяли, значение опред-я = сумме произв=й Эл=в этой строки (столбца) на их же алгеб-е дополнения. =ai1Ai1+ ai2Ai2+…ainAin (i=1,2,…n)(1). = a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj (2). Док-во. В силу справ-ти строк и столбцов ограничимся выводом разлож-я по строкам (1). 1) мы знаем, aijAij есть также член опред-я, причем в опред-ль входит с тем же знаком, что и в это произв-е. Т.о. слагаемое (1) состоит из членов опред-я. 2) Никакие 2 слагаемых в (1) не содержат общих членов (всего слаг-й содержит (n-1)! членов). Действительно, пусть aikAik и ailAil из (1) содержат общий член, тогда в него будут входить мн-ли aik ,ail, чего не может быть, т.к. из i строки взяты 2 эл-та. Итак (1) состоит из всех различных членов опред-я. 3) ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin (3). Док-м, что (3) исчерпывает все члены опред-я, т.е. член опред-я обязательно входит в (3). Рассм-м произв-е членов опред-я: (4) a1a2…ai-1aijai+1…an, ,,… пробегают n! перестан-к чисел 1,2,…n. aija1a2…ai-1ai+1…an, ,,… пробегают n! перестан-к чисел 1,2,…n. Но произведение a1a2…ai-1ai+1…anчлен минора Мij => входит в алгеб-е доп-е Aij => член (4) входит в произвеление aijAij. 1) Если в опред-е пор-ка все эл-ы I строки, кроме эл-а aij , =0, то такой опред-ль = произв-ю его эл-та на его алгеб-е допол-е. 2) Если в опред-е n пор-ка все эл-ты лежащие ниже главной диагонали =0, то опрд-ль = произв-ю диагональных эл-в. 3) Сумма произведений эл-в какой-либо строки на алгеб-е дополнения соответствующих эл-в другой строки = 0.
Формулы Крамера. Если 0, то опред-ль имеет ! решение хn=n/.
Вопрос 14
Основ-ы св-ва срав-й. Приложение теории срав-й к выводу признаков делимости.
Отнош-е сравним-ти в кольце цел-х чисел: 1 опр. ab(mod m) m|(a-b). 2 опр. ab(mod m) a=b+m*t, tЄZ. 3 опр. ab(mod m)a=m*q1+z ^ b=m*q2+r. Из опр. 3 =>что сравнимые по (mod m) числа явл-ся равноостаточными при делении на m. Док-во: 1) опр. 12. Пусть ab (mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b) => сущ-т tЄZ, a=b+m*t, т.е. ab(mod m) в смысле опр.2. Пусть ab(mod m) в смысле опр.2, т.е. a=b+m*t => a-b=m*t => m|(a-b), т.е. ab(mod m) в смысле опр.1. 2)Док-м, что опр.1опр.2. Пусть ab(mod m) в смысле опр.3, т.е. a=m*q1+r ^ b=m*q2+r => a-b=m*(q1-q2), где q1-q2ЄZ => m|(a-b) => ab(mod m) в смысле опр.1. Пусть ab(mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b). Пусть a=m*q1+r1, b=m*q2, 0r1
Вопрос 15
Полная и приведенная с-а вычетов. Теор-а Эйлера и Ферма.
Все числа сравнимые с a по mod m объединим в одно мн-во, кот-е наз-м классом-вычитов по mod m. Обозн-м ={xЄ|xa(mod m)}. предст-ль мн-ва наз-м вычитом. Рассм-м класс вычитов по mod m: ={xЄ|xa(mod m)}. Т.к. сравн-е числа,т.е. все числа Є-щие одному и тому же классу вычитов по mod m имеют одинак-е ост-ки при делении на m, то и все различ-е классы вычитов можно обоз-ть с пом-ю этих ост-в,т.к. при делении Z на m получ-ся m ост-в 0,1,…, m-1, то и мн-во Z распад-ся на m классов 0,1,...m-1 (с черт-ми). Обоз-м мн-во всех классов-вычитов по mod m через Zm. Св-ва классов-вычитов: 1. ={a+m*t|tЄZ}. 2. xЄ ^ xЄ => =. 3. Є => (с чер-й)=. 4. ad(mod m) => . 5. a0(mod m) => aЄ0(чер-й). 6. a=m*q+r, 0r
Если из класса-вычитов по mod m взять по одному представ-ю, то получ-я с-а вычетов наз-я полной с-й вычитов по mod m. Н-р:1. полная с-а наим-х неот-х вычитов по mod m Rm={0,1,2,..m-1}, пол-я с-а наим-х полож-х вычитов по mod m Rm+={1,2,…m}, пол-я с-а абсолютно наим-х вычитов по mod m.
совокуп-ть m целых чисел х1, х2, …хm попарно не сравн-х между собой по mod образ-т полную с-у вычитов по mod m.
(1-я теор-а). Если в лин-й форме а*х+b, где а и mзам-но просты, переем-я х пробег-т все знач-я из полной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма пробегает все знач-я некот-й полной с-ы вычитов по mod m. Док-во. Пусть х={ х1, х2, …хm} произ-я полная с-а вычетов по mod m. Док-м, что с-а x'={aх1+b1, aх2+b2, …aхm+bm} также полная с-а вычитов. С-а х' содержит m чисел(вычитов) и все эти вычеты попарно не сравнимы между собой. Допустим противное: пусть axi+baxj+b(mod m), 1i, jm, ij. Тогда по св-ву срав-й axiaxj(mod m). А т.к. НОД(a,m)=1 (по усл-ю), то xixj(mod m). Это привит к тому, что xi ,xj входят в полную с-у вычитов по mod m, т.е. в Х. Итак, с-а х' состоит из m чисел и все они попарно не срав-ы между собой => х' явл-ся полной с=й вычитов по mod m.
Если из класса взаимно простых с mod m взять по 1 предст-ю, то получ-ая с-а чисел наз-ся привед-й с-й вычитов по mod m. Функцией Эйлера (m) наз-ся число по mod m взамно простых с m или число нат-х чисел
Признак прив-й с-ы. С-а чисел a1 ,a2…as (1) образует привед-ю с-у вычитов по mod m, если: 1) s= (m); 2) числа из (1) попарно не сравнимые по mod m,т.е ai не срав-ы с aj(mod m), ij, i,j=1,2,..s; 3) НОД(ai,m)=1, i=1,2,…s. (Док-во. В силу усл-я 3) числа с-ы (1) нах-ся в классах взаимно простых с mod m, причем в силу усл-я 2) они лежат в разных классах. Т.к. число чисел в с-е (1)= (m) и число классов взаимно простых с mod m=(m), то всякое число из (1) попадает в ! класс взаимно простых по mod m=> с-а (1) явл-ся привед-й с-й вычитов.)
(2-я теорема) Если в лин-й форме ax, a и m взаимно просты, переменная х пробегает все значения из приведенной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма ax пробегает все знач-я из некот-й привед-й с-ы вычитов. Док-во. Пусть Х={x1,x2,..x(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Тогад х'={ax1, ax2,..ax(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Проверим 3-е усл-е признака привед-й с-ы: 1) в с-е х' (m) чисел, т.к. вместо х мы можем подст-ть (m) чисел; 2) Эти числа Є по mod m разным классам,т.к. вместо х берутся числа из разных классов. В этом случае числа ax (даже ax+b) попарно не сравнимы между собой по mod m.3) ax взаимно просты с mod m. НОД(a,m)=1 по усл-ю. НОД(xi, m)=1, i=1,2… (m), т.к. xi взяты из привед-й с-ы вычитов. НОД(axi,m)=1. i=1,2,… (m) => с-а х' обр-т привед-ю с-у вычитов по mod m.
Теорема Эйлера. Если а и m взаимно просты, т.е. НОД(а,m)=1, то а(m) 1(mod m). Док-во. Восп-ся теоремой: если в лин-ю форму ах вместо х будем подст-ть вычиты из некот-й привед-й с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма пробегает также все знач-я привед-й с-ы вычитов по mod m. Рассм-м привед-ю с-у наим-х полож-х вычитов по mod m: r1,r2,…rk, k=(m), тогда ar1,ar2,…ark - также привед-я с-а вычитов. вычит последней с-ы заменим наим-м положит-м вычитом. ar1r1'(mod m), ar2r2'(mod m)… arkrk'(mod m). Перемножим: ak(r1r2…rk)r1'r2'…rk'(mod m) (1). Но r1r2…rk=r1'r2'…rk'. В левой и правой частях стоит произв-е всех вычитов из привед-й с-ы наим-х полож-х вычитов. Эти произв-я взаимно просты с mod m, т.к. множ-ль с mod m взаимно прост. => ak1(mod m), т.к. k= (m) => а(m) 1(mod m)
Теорема Ферма. Если m=p простое число и НОД(а,р)=1, то ар-11(mod m). Док-во. Если m=p,то (p)=p-1, тогда по теор-е Эйлера ар-11(mod m). След-е. Для аЄZ, p -простое число, apa(mod m).
Вопрос 16.
Бинарные отнош-я. Отнош-я экв-ти и разбиение на классы. Фактор мн-ва.
Прямое произведение 2-х мн-в: A*B={(a,b)|aЄA,bЄB}. Декартов квадрат A*A={(a,b)|a,bЄA}=A2. Бинарное отнош-е, зад-е на паре мн-в A и B: <
Св-ва бин-х отнош-й: Пусть бин-я отнош-е опред-е на А, т.е. <
С-а S={A1,A2,…An} непустых подмн-в мн-ва А наз-ся разбиением мн-ва А на классы, если аЄА попад-т в ! подмн-во из системы S.Тогда -разбиение А на классы, если вып-ся 1)Ai, i=1,2,…n 2) A1<
Теорема. разбиению мн-ва А на классы соответствует отношение эквивал-ти. Док-во. Пусть S={A1,A2,…An} разбиение мн-ва А. Определим на А бинар-е отнош-е т.о.: аb a,bЄAi (*). AiЄS. Покажем, что так опред-е отнош-е явл-ся отнош-м экв-ти, т.е. оно рефл-о, сим-о, тран-о. 1)Из (*) => аа, т.к. эл-т нах-ся в 1 подмн-ве с самим собой. 2) Из (*) => b,aЄAi ba. ab => ba.3)Пусть аb ^ bc => a,bЄAi^ b,cЄAj, что противоречит требованию 3)разбиения => Ai=Aj. A,bЄAi ^ b,cЄAi => a,cЄAi. аb ^ bc => ac. Пусть отношение эквив-ти опред-е на мн-ве А. Выберем в А все элы, нах-ся в отнош-и с эл-ми а, образ-е из них мн-во обозн-м [a]. [a]={x|xЄA,xa}. Мн-во [a] наз-ся смежным классом мн-ва А по отнош-ю эквив-ти .
Теорема. Если отнош-е эквив-ти на мн-ве А, то с-а всех смежных классов мн-ва А явл-ся разбиением мн-ва А.Док-во.Пусть отнош-е эквив-ти на А. Рассм-м смежный класс аЄА, [a]={x|xЄA,xa}. Покажем, что с-а разлож-я смежных классов обр-т разбиение мн-ва А. Т.к. рефлек-о, т.е. аа => [a] . Возьмем произв-й aЄA, aЄ[a] => aЄ[a]<
Вопрос 17.
Группа. Прост-е св-ва групп. Подгруппы. Изоморфизмы гомомор-ы групп.
Если А, то n-мерной алгеб-й опре-й наз-ся «отношение Аn А, т.е. (1,2,…n)( 1,2,…n)ЄAn. Алгеб-й с-й наз-ся не пустое мн-во А, на котором опред-а совокуп-ть алгеб-х опер-й и отнош-й (А,<
Подмн-во А группы G наз-ся подгруппой этой группы, если оно само явл-ся группой относ-но установ-й на G опер-и. Чтобы установить явл-ся ли подмн-во А группы G группой нужно проверить 2 усл-я: для мульт-й группы: 1. a,bЄA => abЄA 2. aЄA => a-1ЄA.; для аддит-й группы: 1. a,bЄA => a+bЄA 2. aЄA => -aЄA. Группа G и G' наз-ся изоморфными, если можно установить взаимно одноз-е отобр-е : G G', G=(G,e,*,'), G'=(G',e',*,'), при котором (a*b)=(a)*(b). Группа G наз-ся циклич-й, если все ее Эл-ы могут быть предст-ы в виде целых степеней некоторого ее Эл-та а. Этот Эл-т наз-ся образующим Эл-м.
Произ-е хА, хЄG, A
Теорема Лагранжа. Во всякой конечной группе порядок любой подгруппы явл-ся делителем порядка самой группы.
Док-во. Пусть А - подгруппа группы G. |G|=n, |A|=k, Док-м, что n|k. Рассм-м левостороннее разложение группы G по подгруппе А. Пусть оно состоит из j классов. Число j наз-ся индексом группы А в группе G. Всякий левый смежный класс хА состоит из k различных Эл-в. Итак, группа G разлаг-ся на j классов, в каждом из которых по k Эл-та => n=kj => n|k.
Вопрос 18.
Кольца и поля.
Кольцом наз-ся с-а А=(А,0,1,+,-,*), А, 0,1 -выд-е Эл-ты, +,* бинар-е опре-и, - унар-я опер-я, если 1) (А,0,+,-) аддит-я абел-я группа, 2) (А,1,*) мульт-й моноид, 3) a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca, a,b,cЄA. Кольцом наз-ся числ. множ., на котором выполняются три опер-и: слож-е, умнож-е, вычит-е. Св-ва колец. 1). A+b=a => b=0. 2) a+b=0 => b=-a. 3) a*0=0*a=0. Док-во. a*0+ab=a(0+b)=ab. a0+ab = ab => a0 = 0. 0a+ba = a(0+b) = ba. 0a+ba = ba => 0a = 0. 4) a(-b) = (-a)b = -ab. Док-во. a(-b)+ab = a(-b+b) = a0=0. a(-b)+ab = 0 => a(-b) = -ab. 5) (-a)(-b) = ab. Док-во. (-a)(-b) = (-a)(-b)+0 = (-a)(-b)+a(-b)+ab = ((-a)(-b)+a(-b))+ab = (-a+a)(-b)+ab = 0(-b)+ab = 0+ab = a(-b)+ab = 0 => a(-b) = -ab. 6) a(b-c) = ab-ac. Док-во. a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab-ac. Полем наз-ся коммут-е кольцо, в котором 01 для Эл-та а0 сущ-т обратный Эл-т. Р(Р,0,1,+,-,*) - поле, если 1) (Р,0,1,+,-,*) комут-е кольцо 01. 2) аЄЗ, а0 сущ-т а-1ЄР. Если Р - числовое мн-во, то для поля можно дать опред-е. Эл-ты a,bЄA, где А кольцо, наз-ся делителями нуля в кольце, если a0, b0, но ab=0.
Полем наз. числ множ. на котором выполняются 4 операции: слож, умнож, вычит, деление (кроме деления на 0). Св-ва полей. 1. ab = 1 => a0,b = a-1. 2. ac = bc ^ c0 => a = b. 3. ab = 0 => a = 0 или b = 0. 4. a0 ^ b0 => ab0 , a/b = ab-1. 5. a/b = c/d ad = bc. 6. a/b±c/d = (ad±bc)/bd. 7. (a/b)*(c/d) = (ac)/(bd). 8. a/b = (ac)/(bc), c0. 9. a/b+(-a/b) = 0. 10. (a/b)*(b/a) = 1.
; cos=a/||; sin=b/||. 1. Чтобы умнож-ть 2 к.ч. в триг-м виде, нужно переем-ть их модули и сложить аргументы (углы). 2. Разд-ть 2 к.ч.: разд-ть их модули и вычесть аргум-ы. 3. Чтобы возвести к.ч. в целую полож-ю степень, нужно воз-ти в эту степень модуль и аргумент умнож-ть на показ-ль степени. 4. Чтобы извлечь из к.ч. корень n степени нужно извлечь корень из модуля и (аргумент +2Пк)/n, где кЄZ. Придавая к разл-е знач-я, получ-т серии повтор-ся знач-й, т.е. к=0,1,…n-1.>
= rang
= rang
= rangA. 2) Пусть rangA=rang=r. Док-м, что (1) совм-а. Мат-ца А имеет r лин-но незав-х столб-в. Эти столб-ы лин-но незав-ы в мат-це и сохр-т св-во максим-ти. В силу совпад-я рага: найдутся такие числа х1=1, х2=2, …хn=n, что столбец своб-х чл-в будет выраж-ся через первые r столб-в => и через всю с-у столб-в матницы , т.е. справед-о (2). => Веркор (1,2,…n) - реш-е с-ы (1).>
A*B. Бинарное отнош-е, зад-е на мн-е A: 
A2.>
А2. 1. рефлек-о: (ЄА) (аа). 2. симмет-о: (a,bЄA) (ab => ba). 3. транз-ть: (а,b,cЄA) (ab ^ bc => ac). Бинарное отнош-е опред-е на мн-ве А наз-ся отнош-м эквивал-ти, если оно реф-но, симмет-но и тран-но. Н-р: 1. А-мн-во прямых на плос-ти, -отнош-е параллел-ти. 2. Отнош-е подбие фигур на А точек пл-ти.>
A2
… An=A 3)Ai
Aj=, ij.>
[b]
[c]
…т.е. А
[a]
[b]
[c]
…Т.к. [a]
A, [b]
A, [c]
A…=>[a]
[b]
[c]
…
A. Из этих 2-х включений => [a]
[b]
[c]
…=A. Покажем, что a,bЄA, ab(с чертой) => [a]
[b]=. Предположим: пусть [a]
[b] => сущ-т сЄ[a] ^ cЄ[b] => ac ^ cb => но это противоречит усл-ю ab(с чертой) => a,bЄA, ab(с чертой) => [a]
[b]=. Мн-во всех смежных классов мн-ва А по отнош-ю эквивал-ти наз-ся фактор-мн-во А по отнош-ю . Обозн. А|.>
f,
p), где А основное мн-во,
f совокуп-ть алг-х опер-й, 
p совокуп-ть отнош-й. Бинар-я опер-я (*) на мн-ве А наз-ся ассоц-й, если (a,b,cЄA) (a*b)*c=a*(b*c). Бин-я опер-я (*) опред-я на А наз-ся комут-й, если (a,bЄA) a*b=b*а. Полугруппой наз-ся с-а (А,*), сост-я из А и бин-й опер-и (*) опре-й на А, кот-я ассоц-а. Если (*) доп-о комут-а, то полугр-а наз-ся комут-й или абелевой. Моноидом наз-ся с-а (А,е,*), сост-я из А, выд-го эл-та е и бин-й опер-и (*) опре-й на А, если выпол-ся 1) * - ассоц-а, 2) е - нейт-й Эл-т относ-о *. Группой наз-ся с-а G=(G,e,*,'), где G, e - выд-й эл-т, *- бинар-я опер-я, ' - унар-я опер-я, причем: 1)* ассоц-а, 2)e- нейт-й эл-т относ-о *,т.е. (aЄA) a*e=e*a=a, 3) (aЄA) (сущ-т a'ЄG) a*a'=a'*a=e. Если * ком-а, то группа абелева. Если * в группе обозн-ть «+», то имеем аддит-ю группу, нейт-й Эл-т - «0», симмет-й для а: (-а)- против-й. Если * обоз-м *(точка), то имеем мультип-ю группу. Св-ва групп. 1) Всякая группа имеет ! нейтр-й эл-т. Док-во. Всякая группа явл-ся моноидом, а в моноиде нейт-й эл-т !. 2) эл-та аЄG сущ-т ! симмет-й Эл-т. 3) (a,bЄG) a*x=b (1) и x*a=b (2) одноз-но раз-ы. Док-во. 1. Рассм-м (1). x0 - реш-е (1),т.е. a*x0=b. x0=е*x0=(a'*a)*x0=a'*(a*x0)=a'*b. x0=a'*b. Этот Эл-т опре-й одно-о, т.к. a одноз-о опред-н a' и * есть отоб-е. *:A2А, т.е. (a',b)ЄA2. Одно-м соотв-т Эл-т из мн-ва А. В данном случае x0. (a',b)x0. Ур-е a*x=b имеет ! реш-е x0=a'*b. 2.Рассм-м (2). (x*a)*a'=b*a'. x*(a*a')=b*a'. x*e=b*a'. 4) В группе имеет место правило сокр-я a*c=b*c => a=b. c*a=c*b =>a=b 5) (a*b)'=b'*a'. 6) (а')'=a.>