Шпаргалка (математика)

Сдавался/использовалсяИюнь/2005г.
Загрузить архив:
Файл: ref-21978.zip (64kb [zip], Скачиваний: 111) скачать

№1

lim (∆x→0) ∆f/∆x = f’(x)

∆f/∆x = f’(x)+α(∆x), где

lim (∆x→0) α(∆x)=0

∆f = f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x

Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.

df(x)=k∙∆x

∆f-df(x)=0(∆x)

∆f=df(x)+ 0(∆x)

Теорема: д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт. (∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).

df(x)= f’(x) ∙∆x

y=x

dx=∆x

df(x)= f’(x)dx

№2

Св-ва диф-а:

1) dc=0

2) d(cf(x))=cdf(x)

3) d(ax+b)=ad(x), где a и b-пост. величины

4) d(u ± v)= du ± dv

5) d(uv)=udv+vdu

6) d(u/v)=( vdu-udv)/v2

7) df(u(x))=f’u(u)du

8) dφ(u)= φ’(u)du

№3

Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.

df(x)=f’(x)dx

d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2

d2f(x)/ dx2= f”(x)

dnf(x)=f(n)(x)dxn – диф. n-го порядка f(x)

f(x)=x

dx=∆x

dx2=0

dxn=0

Теорема: диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.

№4

Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F’(x)= f(x).

(F(x)+С)’= F’(x)+ С’= f(x)

Опред-е: совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-ся неопред. ∫ от ф-ии f(x) и обознач.: ∫ f(x)dx = F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр. выр-е.

Св-ва:

1) (∫f(x)dx)’=f(x)

2) d ∫f(x)dx= f(x)dx (диф-л от неопред. ∫=подинт. выр-ю)

3) ∫dφ(x)=φ(x)+C (∫ от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностью до пост. слагаемого)

4) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx

5) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

№5

∫f(φ(x))φ’(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du

u= φ(x)

Пример:

∫dx/2x+3 = ∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C

2x+3=t

2dx=dt

dx=dt/2

№6

d(uv)=udv+vdu

∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu

uv = ∫udv + ∫vdu

∫udv = uv - ∫vdu

Пример:

∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

u=x

dv=sinxdx

du=dx

v=∫sinxdx=-cosx


№7

f(x) [a, b]

n – произв. Целое положит. Число

Выберем (∙)-и t0 = a12<…n = b

{ t0; t1; t2;… tn} = Tn – совокуп. точек – разбиение отрезка [a, b].

[ti; ti-1]

i = ti - ti-1 – длина i-подотрезка

Ф-ия, опред-я на отрез. [a, b].

∆=max {∆1, ∆2, …∆n}

Выберем произв. внутр. (∙) ti-1≤ εi ≤ ti

Σni=1f(εi)∆i = f(ε1)∆1+ f(ε2)∆2+…+ f(εn)∆n – это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тn и набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.

Σni=1f(εi)∆i = I(f(t), Тn, ε1…εn)

Опред-е: если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм при усл-ии, что ∆→0 и этот lim не зависит от выбора разбиений Тn и выбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот lim наз-ся опред. ∫ от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: abf(t)dt = lim(∆→0) I(f(t), Тn, ε1…εn), где a – ниж. предел интегр-я,b – верх. предел интегр-я, f(t) – подинт. ф-ия, f(t)dt – подинт. выр-е.

№8

Д/V ф-ии f(t) abf(t)dt =0

1) abdt =b-a

2) ab cf(x)dx = c abf(x)dx

3) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) также интегр-ма на отрез. [a, b]. ab [f(x)+g(x)]dx = ab f(x)dx + ab g(x)dx.

4) abf(x)dx = - baf(x)dx – если изменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.

5) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] (a

6) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b], а (∙)с лежит внутри отрез. [a, b], то

abf(x)dx = aс f(x)dx + сbf(x)dx.

7) Если ф-ия f(x) непрерывна на отрез. [a, b], то она интегр-ма на этом отрезке.

8) Если ф-ия f(x) интегр-ма на отрез. [a, b] и ограничена на этом отрезке, то

m(b-a) ≤ ab f(x)dx ≤ M(b-a); ab mdx = m abdx = m(b-a)

9) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b] и во всех (∙)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ≤ abf(x)dx ≤ M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ≤ g(x);

abf(x)dx ≤ abg(x)dx.

10)Теорема о среднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (∙)с, лежащая внутри этого отрезка или на его границе, такая, что: abf(x)dx = f(c)∙(b-a).

№9

Пусть ф-ия f(x) определена и интегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a≤c

Ф(х) = сх f(t)dt.

Св-ва ф-ии Ф(х):

предположим f(x) непрерывна

х+∆х

Ф(х+∆х) – Ф(х) = сх+∆х f(t)dt - сх f(t)dt = хх+∆х f(t)dt = f(с)∙∆х, где (∙)с лежит внутри интерв. (х+∆х).

1) Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫ тоже непрерыв.

2) lim (∆х→0) ∆Ф/∆х = f(x)

Т.е. введенная ф-ия Ф(х) – первообраз. д/ф-ии f(x).

№10

Пусть Ф(х) – какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что:

aх f(t)dt = F(x)+C д/люб. х из интерв. [a, b], тогда aa f(t)dt =0; F(a)+C=0; C=-F(a)

ab f(t)dt = F(b) – F(a) – формулаЛейбница-Ньютона.


№11

ab f(х)dх = αβf(φ(t)) φ’(t)dt

x= φ(t)

x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α

x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β

dx = φ’(t)dt

№12

Будем предполагать, что ф-ии u и v интегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез.

d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во

abd(uv) = abudv + abvdu

u(b)v(b) – u(a)v(a) = abudv + abvdu

abudv = u(b)v(b) – u(a)v(a) - abvdu – правило интегр-я по частям в опред. ∫.

№13

2 случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале.

1) Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но limf(x) = ∞, тогда abf(х)dх будет наз-ся несобств. интегралом.

Под ним поним-ся lim (ε→0) abf(x)dx

ab f(x)dx = lim (ε→0) a+εb f(x)dx.

Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

2) Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.

a+∞ f(x)dx = lim (А→ +∞) aА f(x)dx

Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

-∞bf(x)dx = lim (B→ -∞) Bbf(x)dx

-∞+∞ f(x)dx = -∞0 f(x)dx + 0+∞f(x)dx – обобщение.

№14

Пусть ф-ия f(x)>0 на отрез. [a, b]

Выберем нек. целое положит. число n и разобьем отрезок[a, b] на n одинак. подотрезков.

(b-a)/n = R

x0 = a; y0 = f(x0)

x1=a+h; y1=f(x1)

--------; ---------

xi=a+ih

xn=b=a+nh; yn=f(xn)

Si = (yi-1 + yi)/2 ∙h

S=S1+S2+…Sn = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]

ab f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]

№15

y=αx2+βx+γ

yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ = α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ

yi=αxi2+βxi+γ; yi-1 = αxi2- 2αhxi + 2h2 +βxi – βh +γ

yi+1 = α(xi+h)2+ β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi +2h2 + βxi + βh +γ

yi+1+ yi-1 = 2 αx2i + 2αh2 + 2βxi + 2γ

yi+1+ yi-1 = 2yi = 2αh2

α = (yi+1+ yi-1 – 2yi)/ 2h2

Si = xi-1xi+1(αx2+βx+γ)dx = (αx3/3 + βx2/2 + γx) | xi+1xi-1 = α∙[(xi+h)3 – (xi-h)3]/3 + β∙[(xi+h)2 – (xi-h)2]/2 + γ∙[(xi+h) – (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih + 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2 + 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi + 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1– 2yi)/ 2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3

Si= ( yi+1+ 4yi + yi-1)/3∙h – формула Симпсона


№16

S=ab (f1(x) – f2(x))dx

S2 = - ab f2(x)dx

S = ab(f1(x) – f2(x))dx

№17

y = f(x)

{x=φ(t)

{y=Ψ(t)

α ≤ t ≤ β

cos2φ + sin2φ = 1

{x=a∙cosφ

{y=a∙sinφ

0 ≤ φ ≤ 2π

S = 0a ydx = ­ - π/20 sin2φdφ = a2 0π/2 sin2φdφ = a2 0π/2 (1-cos2φ)/2 dφ = a2π/4

S = αβy(t)x’(t)dt – вычисление S кривой, если ее Ур-е задано парам-ки.

№18

l – вектор, ρ – длина вектора ОМ

{x = ρcosφ

{y = ρsinφ

ρ = √(x2 +y2)

tgφ = y/x

ρ = ρ(φ) – в полярн. сис. коорд.

ρ(φ)    ρ(φ +dφ)

ds = ρ2/2 dφ

αβds = S = ½ αβρ2

S = ½ αβρ2


№19

В дугу АВ вписали ломаную.

Mi (xi, yi)

yi= f(xi) (если ур-е кривой y = f(x))

| Mi-1Mi | = √[(xi – xi-1)2 + (yi – yi-1)2]

lлом = Σni=1 √[(xi – xi-1)2 + (yi – yi-1)2] – длина ломаной линии.

Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать lim длины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0.

При оч. мал. ∆х: dl = √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(y’x)2 + (dx)2] =√ [1+(y’x)2] dx

lдуги ab = ab√ [1+(y’x)2] dx – формула д/вычисл. длины дуги.

№20

{x=φ(t)

{y=Ψ(t)

dx = φ’(t)dt

dy = Ψ’(t)dt

lдуги ab = αβ √ [ (φ’(t))2 + (Ψ’(t))2] dt

№21

{x = ρcosφ

{y = ρsinφ

dx = (ρ’cosφ – ρsinφ)dφ

dy = (ρ’sinφ + ρcosφ)dφ

(dx)2 = (ρ’2cos2φ – 2ρ’ρcosφsinφ + ρ2sin2φ)

(dy)2 = (ρ’2sin2φ + 2ρ’ρcosφsinφ + ρ2cos2φ)

dl = √[(ρ’)2 + ρ2] dφ

l = αβ √[(ρ’)2 + ρ2] dφ


№22

I Вокруг х

a) { y = f(x)

    {x = a, x = b

    {y = 0

Vx = πabf2(x)dx

б) Час. случай

Vx = πabf2(x)dx - πabg2(x)dx = πab [f2(x) - g2(x)]dx

II Вокруг y

a)

Vy = π cd g2(y)dy

б) Час. Случай

Vy = πcdf2(y)dy - πcdg2(y)dy = πcd [f2(y) - g2(y)]dy

№23

Опред-е: числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ыхu1+u2+…+un = Σn=1un(1), каж. из кот. – опред. число.

un = n/(n2+1)

Последов-ть частичных сумм:

S1 = u1

S2 = u1+u2

S3 = u1+u2+u3

----------------

Sn = u1+u2+…+un

Σn=1 un = Sn + Σk=n+1 uk = Sn + rn, rn – n-йостатокряда

Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда.

S = lim (n→∞) Sn

Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim=∞, то ряд наз-ся расход-ся.

Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы lim (n→∞) rn = 0

Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim (n→∞) un = 0.

Следствие из теор.2: если n-й член ряда не → к 0, то ряд расх-ся.


№24

Основ. св-ва сход. рядов:

1) Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. Σn=1un = S; Σn=1 λ∙un = λ∙S

2) Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.

3) Если ряд с членами un сход-ся и его сумма = Σn=1un = S и ряд с членами vn сход-ся и его сумма = Σn=1vn = σ, то ряд с чл. (un + vn) сход-ся и его сумма = Σn=1 (un + vn) = S+ σ

Σn=11/ n = 1+1/2+1/3+…+1/n… - гармонич. ряд

№25

Признак Даламбера: Пусть дан ряд Σn=1un, если lim (n→∞) un+1/un = k

{k<1 – ряд сх.

{k>1 – ряд расх.

{k=1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым

Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. un = f(n) – эта ф-ия определена на интерв. [1; +∞]. Если 1 f(x)dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже сход-ся.

Σn=11/ n – гарм. ряд; Σn=11/ nα – обобщ. гарм. ряд.

f(x) = 1/xα

1 dx/xα = lim (A→∞) 1Adx/xα = lim (A→∞) [-αx-α+1] |A1 = lim (A→∞) [α - αA-α+1] = lim (A→∞) [α – α/A-α+1]

Если α>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, ряд сход-ся.

Если α≤1, А-b положит. степ., при А→ ∞ ряд расх-ся.

№26

Σn=1 (-1)n+1un = u1-u2+u3- u4+…, причем un≥0

Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я un+1< un

и lim (n→∞) un = 0, то дан. ряд сход-ся.

Док-во:

Найдем 2n частичную сумму ряда:

S2n = (u1–u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм – возраст-я = u1–(u2– u3) + (u4– u5)-…-( u2n-2-u2n-1) - u2n< u1

имеем послед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет lim

Рассмотрим нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + u2n+1

lim (n→∞) S2n+1 = lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1 = S

Чтд.

Σn=1 (-1)n/n – знакочеред. ряд

un = 1/n, un+1 = 1/(n+1)

un > un+1

lim (n→∞) un = lim (n→∞) 1/n = 0

№27

(1)Σn=1un – числа u и n могут иметь произвол. знаки

(2)Σn=1 |un| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1)

Обозначим ч/з Snn-ную частич. сумму 1-го ряда и ч/з σn – 2-го ряда.

|Sn| = | Σnk=1uk| ≤ Σnk=1|uk| = σn

|Sn|≤ σn

Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм.


№28

Ряды можно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: Σk=1fk(x)

Выберем нек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.

f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0)

Ч/з S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.

Степенным рядом наз-ся Σn=0 Сn(х-х0)n(1)

Числа Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0 наз-ся центром степ. ряда.

В (∙)х=х0 степ. ряд сход-ся.

Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, то он сход-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|<|х10|.

утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х20|.

Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х00 – R, х0 + R), число R-max расстояние от (∙)х0 до (∙), где ряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда.

R = lim (n→∞) |Cn|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти.

№29

Св-ва степ. рядов:

1) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.

2) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.

3) Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.

Σn=0Cn (х-х0)n = S(x)

Σn=0Cnn(х-х0)n-1 = S’(x)

4) Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.

Σn=0 ∫Cn (х-х0)ndx = ∫S(x)dx

Σn=0Cn/(n+1)∙(х-х0)n+1 = ∫S(x)dx

№30

R может = люб. числу от 0 до +∞.

Σn=0Cn (х-х0)n = S(x)

0 – R, х0 + R) – интерв.

S(х0) = С0

С1 + 2С2 (х-х0) +3С3(х-х0)2 +…= S’(x); С1= S’(х0)

С2 + 3∙2С3 (х-х0) +4∙3С4(х-х0)2 +…= S”(x); С2= S”(х0)/2

Сn = S(n)0)/n!

S(х) = Σn=0S(n)0)/n! ∙ (х-х0)n – ряд Тейлора д/ф-ии S(х)

№31

Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии.

Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных.

F’(x) = f(x)

G(x, y, y’,…y(n))=0 – общая запись обык. диф. ур-я

Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество.

у”+y =0

y=sinx

Задача о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. ур-я. График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я.

№32

Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов:

(*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx

(**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y)

(*)∫dy/g(y) = ∫f(x)dy

(**) ∫M(x)dx/P(x) = -∫Q(y)dy/N(y)


№33

Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде: y’ = f(y/x)

Ф-ия f(x, y) наз-ся однород. ф-ией порядка k, если f(dx, dy) = αkf(x, y).

Пример:

y’ = (x+2y)/x

y’ = 1+2y/x

Пусть y/x = z,

y = zx

y’ = z+xz’

z+xz’ = 1+2z

xz’ = 1+z

dz/(1+z) = dx/x

∫dz/(1+z) = ∫dx/x

ln|1+z| = ln|x|+lnC

|1+z| =|x|C

z = xC – 1

y/x = xC – 1

y = x2C - x

№34

Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y’+f(x)y = g(x), наз-ся линейным диф-м ур-м.

Если g(x) ≡ 0, то соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м.

Если g(x) ≠ 0, то ур-е наз-ся неоднородным.

Реш-е им. вид:

y(x) = u(x)v(x)

y’ = u’v + uv’

u’v + uv’ + f(x)uv = g(x)

u’v + u(v’ + f(x)v) = g(x)

v’ + f(x)v= 0

dv/v = -f(x)dx

v = -∫f(x)dx

№35

В нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает пониж. порядка ур-я.

а) y” = f(x) – прав. частьна зависит от у

y’ = z

z’ = ∫f(x)dx

y’ = ∫f(x)dx

б) если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у

G (x, y’, y”) = 0

y’ = z

G (x, z’, z”) = 0

в) когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х

За независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию – zy’.

G (y, y’, y”) = 0

y’ = z

2yy” = (y’)2 +1

y’ = z(y)

y” = z’y∙ y’ = z’z

2yz’∙z = z2 +1

2yz∙dz/dy = z2 +1

2zdz/(z2 +1) = dy/y

ln|z2 +1| = ln|y| + ln|C1|

z2 +1 =yC1

z = √( yC1 – 1)

dy/dx = √( yC1 – 1)

∫ dy/√( yC1 – 1) = ∫dx

y = [(x+C2)2/4 + 1] ∙ 1/C1

№36

Пусть z = f(x,y) – ф-ия 2-х переменных

z’x; ∂z/∂x– частная производ. по х

z’у; ∂z/∂у – частная производ. по у

Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂у∙ dy

Пример:

z = sin(x3y)

z’x= cos(x3y) ∙3x2y

z’у= cos(x3y) ∙ x3

dz = 3x2ycos(x3y)dx + x3 cos(x3y)dy

№37

M0 (x0, y0)

M (x0+∆x, y0)

f(M) – f(M0) = f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆x f(x0, y0) – част. приращ. поперемен. х

f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆у f(x0, y0)- част. приращ. по перемен. у

Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при усл-ии когда предел:

lim(∆x→0) ∆xf(x, y)/ ∆x = ∂f/∂x


№38, №41

Пусть дана ф-ия 2-х перемен. z=f(x, y)

∆z = f(x +∆x, y +∆y) – полн. приращ. ф-ии

ρ = √[(∆x)2 – (∆y)2]

Если расст. → к 0, ∆x и ∆y→ к 0.

Если ∆x и ∆y→ к 0, то ρ→0.

В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть – выр-е: ∆z = f(x +∆x, y +∆y) - f(x, y) = А∙∆x + В∙∆у + O(ρ)

Если при ρ→0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от ∆x и ∆y, такие, что А∙∆x + В∙∆у будет отлич-ся от полн. приращ-я ф-ии ∆z на вел-ну беск. малую высшего порядка по срав. с ρ, то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным диф-ом ф-ии z(dz).

А∙∆x + В∙∆у = dz

Теорема1: диф-л ф-ии= сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен.

dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy

Теорема2: если ф-ия z = f(x,y) обладает непрерывными частными произв-ми ∂z/∂x и ∂z/∂y в заданной области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy

P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*)

{∂f(x,y)/∂x = P(x, y)

{∂f(x,y)/∂y = Q(x, y)

Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f(x,y) необходимо, чтобы в заданной области тождественно вып-сь соотн-е: ∂Q/∂x = ∂P/∂y (**) – необх. усл-е полн. диф-а.

№39

z = f(x,y) определена в нек. области G

На луче l выберем (∙)М(х,у) и будем перемещ-ся из (∙)М(х,у) в (∙)М’(х+∆x,у+∆y)

ez = f(х+∆x,у+∆y) - f(х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l.

ρ(M, M’) = ∆l

∆x = ∆l∙cosα

∆x = ∆l∙sinα = ∆l∙cos(π/2 – α)

π/2 – α = β

∆x = ∆l∙cosα

∆y = ∆l∙cosβ

cosα и cosβ – направляющие cos-ы дан. вектора

Опред-е: вел-на lim (∆l→0) ∆ez/∆l = ∂z/∂l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l. Эта вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l.

lim (∆l→0) ∆ez/∆l = ∂z/∂l = ∂z/∂x∙ cosα + ∂z/∂y∙ cosβ

№40

Опред-е:max-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f(x0,y0), кот. больше всех ее знач-й f(x,y), принимаемых дан. ф-ией в (∙)-ах нек. окрестности f(x0,y0).

Опред-е:min-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан. ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в (∙)-ах нек. окрестности f(x1,y1).

Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в (∙) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т.

(∙)-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум.

Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. (∙).

Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. (∙) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.

Теорема3 (достат. усл-е экстремума ф-ии 2-х перемен.): пусть ф-ия z = f(x,y) непрерыв. в нек. критич. (∙) (x0, y0), а также определена и непрерывна в нек. ее окрестности. Пусть кроме того ф-ия имеет непрерыв. част. произв. 2-го порядка в этой (∙) и пусть

f”xx(x0, y0) = A

f”xy(x0, y0) = B

f”yy(x0, y0) = C,

тогда если число (АС-В2)>0, то в дан. (∙) будет экстремум, причем, если А<0, то в дан. (∙) будет max, если А>0, то в дан. (∙) будет min.

Если (АС-В2) <0, то в дан. (∙) экстремума нет.

Если (АС-В2) =0, то вопрос ост-ся открытым.

№42

z = f(x,y)

Д- плоскость, огранич. или неогранич.

Разделим областьД:

∆Si

∆S = max{∆Si}

I = Σni=1f(xi, yi)∆Si – интегр-я сумма д/ф-ии z = f(x,y) (1)

Опред-е: если сумма (1) им. предел при n→∞, так, чтобы ∆S→0 и этот предел не зависит от выбора сп-ба разбиения области Д и от выбора внутр. (∙)-ек в каж. части разбиения, то ф-ия f(x,y) наз-ся интегрируемой по обл. Д, а сам предел наз-сядвойным ∫ по обл. Д от ф-ии f.

lim(∆S→0) Σni=1f(xi, yi)∆Si = Д∫ f(x,y)dS, где dS – беск. малое приращ. площади, диф-л S.

Геометрич. смысл 2-го ∫:

∆Si = ∆ xi∙ ∆yi

Σmj=1Σni=1f(xi, yi)∙ ∆ xi∙ ∆yi

Д∫ f(x,y)dS = ∫Д∫f(x,y)dxdy – повторный ∫

abdx g(x) f1(x)f(x, y)dy (из 1)

Д∫ f(x,y)dxdy = cdg(y) r(x)f(x,y)dx

Д∫ dxdy = Sд - замечание