Псевдоевклидово пространство

Загрузить архив:
Файл: ref-22161.zip (443kb [zip], Скачиваний: 93) скачать

Содержание.

TOC o "1-1" h z u ВВЕДЕНИЕ. PAGEREF _Toc107374907 h 2

ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫИ ПОЛУЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. PAGEREF _Toc107374908 h 3

I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО) PAGEREF _Toc107374909 h 5

I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО. PAGEREF _Toc107374910 h 7

I.4.Угол между векторамии  прямыми. PAGEREF _Toc107374911 h 10

I.5.ТРЕУГОЛЬНИК В ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО. PAGEREF _Toc107374912 h 13

I.6.ЧИСЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО. PAGEREF _Toc107374913 h 15

Глава II.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ И ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

II.1Аксиоматическое определение псевдоевклидовых и полуевклидовых векторных пространств. PAGEREF _Toc107374914 h 19

II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы точечные пространства PAGEREF _Toc107374915 h 22

Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

III.1.Псевдоевклидово пространство(пространство Минковского) PAGEREF _Toc107374916 h 24

III.2.Наглядная модель пространства..... PAGEREF _Toc107374917 h 26

Глава IV Гиперболическая плоскость Г2.

IV.1.Гиперболическая плоскость Г2. PAGEREF _Toc107374918 h 28

Приложения. PAGEREF _Toc107374919 h 32

Список литературы. PAGEREF _Toc107374920 h 33


ВВЕДЕНИЕ.

     В евклидовом пространстве в ортонормированном базисе скалярное произведение определяется поформуле , где , . Отсюда из теории относительностив 4х мерном пространстве времени следует , что длина отрезка вычисляется по формуле n переменных. Но симметрические билинейные могут быть как различных рангов, так и различных положительныхиндексов инерции. Это дает возможность для обобщения скалярного произведения и определения обобщенных евклидовых пространств.

   Существует и аксиоматический подход к определению евклидова векторного пространства. Обобщая его, можно дать аксиоматическое определение обобщенного скалярного произведения векторов. С помощью евклидова пространства определяется евклидово точечное пространство. По аналогии с этим можно дать определение обобщенных псевдоевклидовых и полуевклидовых точечных пространств. С его помощью определяются псевдоевклидовы и полуевклидовы векторные пространства. Для того, чтобы показать структуру новых пространств, более подробно рассматривается псевдоевклидова плоскость (плоскость Минковского)

   Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы и приложения.

   В первой главе даетсяаналитическое определение обобщенного скалярного произведения векторов в данном n-мерном (векторном) пространстве.

   Во второй главе обобщенное скалярное произведение и пространства и определяются с помощью системы аксиом. Показывается эквивалентность аналитического и аксиоматического определения скалярного произведения, а поэтому и всех рассматриваемых пространств.

   В третьей главе описывается псевдоевклидово точечное пространство, виды его прямых, плоскостей и сфер. Даётся «наглядная» модель этого пространства.

   В последней, четвертой, главе дается одиниз способов получения «новых» пространств с помощью сфер в псевдоевклидовом пространстве. Этот способ описан на примере сферы в пространстве . Таким образом получена гиперболическая плоскость (плоскость Лобачевского).

   В приложение вынесена система аксиом плоскости Лобачевского.


ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫИ ПОЛУЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

   Пусть n мерное векторное пространство. }-базис, , .Зафиксируем  билинейную форму к нормальному виду, т.е. к виду r≤n.Будем считать что базис Bвыбран уже такой, что форма имеет нормальный вид.

Определение 1. Обобщенным скалярным произведением векторов  называется билинейная форма от наборов координат этих векторов, которая имеет вид r≤n.

Свойства

        10

          Доказательство.

,          =

        20.

         Доказательство. ,,

Определение 2. Обобщенной длиной вектора называется число (обозн.

По длине ненулевые векторы разбиваются на3 типа:

-векторы 1-го рода

-векторы 2-го рода длиначисто мнимое число.

-изотропные векторы равна0, а сам векторне  нулевой.

       30 Коллинеарные векторы- векторы одного   и  того жерода.

        Доказательство.

Пусть вектор 1 рода , а вектор коллинеарен ему. Тогда по условию коллинеарности

=

Прямая называетсяпрямой   1-го рода, еслиеё направляющий вектор 1-города.

Прямая называетсяпрямой   2-го рода, еслиеё направляющий вектор 2-города.

Прямая называетсяизотропной, еслиеё направляющий вектор изотропный.

Определение 3. Векторное пространство r=n (rrранг билинейной формы, а d=n-r её дефект, то полуевклидово векторное пространство индекса к и дефекта d обозначают

   Пусть

Определение 4. Множество точек называют псевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если определено отображение (или  аксиомы

   В1.

   В2.n мерное векторное псевдоевклидово(полуевклидово) пространство

          индекса к (и дефекта d).

   В3.

   В4.

   В5.

   Псевдоевклидово точечное пространство обозначается

Так как


I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)

   Рассмотрим частный случай псевдоевклидова точечного пространства при n=2 (т.е. плоскость). Возможны случаи:

1)(евклидов случай)

2)

3)

4)(изоморфно евклидову случаю)

5)

    Зафиксируем на аффинной плоскости систему координат и будем изображать на ней новую плоскость. Для длин векторавозможно три случая                                                                                         

           1)

e1

a2

a1

IV

III

II

I

x

y
                                SHAPE  * MERGEFORMAT

           Если такие векторы откладывать от начала координат, тоони отложатсявнутри I и III углов, образованных “биссектрисами” координатных углов .

           2)

           3)II иIV углах.

Так каквсе коллинеарные векторы есть векторы одного и того жерода , то все прямые можноразбить тожена  тритипа:

-Прямая называетсяпрямой   1-го рода, еслиеё направляющий вектор 1-города.

-Прямая называетсяпрямой   2-го рода, еслиеё направляющий вектор 2-города.

-Прямая называетсяпрямой   изотропной, еслиеё направляющий вектор изотропный.

Определение 5.Расстоянием  между точкамиA и B назовем обобщенную длину вектора ABто числом, нулем , и чисто мнимым числом.

   Свойства расстояний:

      10   дляА,В.

      20 если   итого же рода,то выполняется неравенство

          

   Введем вспомогательную системукоординат, повернув даннуюс.к. на 450. Формулы преобразования координат будут:

x

O

y

Y

X

45

   Тогда

Определение 6. Окружностью называется множество точек плоскости Минковского, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром  окружности. Расстояние,на которое удалены все точки окружностиотцентра, называется радиусом окружности. Пусть С(Х0,У0)- центр, r радиус окружности, тогда точка М(Х,У)или - уравнение во вспомогательной с.к. (в основных координатах

   Если r>0, тоокружность называетсяокружностью 1 рода.

   Если r чисто мнимое число, тоокружность называетсяокружностью 2 рода.

   Если r=0, тоокружность называетсяизотропной.

Из уравнения окружности  следует, чтоонаизображается гиперболой сцентром  вС(х0,у0). Осиэтой гиперболыпараллельны  осямОх, Оу, а асимптоты параллельны биссектрисам координатных углов, т.е. параллельны осям ОХ, ОУ.

y

x

Y

X

Окружность 1го рода

Окружность 2го рода



I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.

   Определение 7. Движением плоскости называют такоеаффинное преобразование, которое сохраняет обобщенное расстояние между точками. Выведем формулы движения. Так как движение аффинное преобразование, то его формулы во вспомогательных координатах

(1)mi и niтак, чтобы сохранялось расстояниемежду точками. Пусть Тогда  

Так как

и правой частистоятмногочлены от при всех значениях переменных. Это верно тогда  итолькотогда, когда равны соответствующиекоэффициенты:

   Решимполученную  систему. Возможны случаи:

1) m1=0.Так как n1и m2 следовательно, n2=0, из 3го уравнения n1m2=1. Если обозначить m2=v, то n1=1/v   и v-любое, отличное от 0 действительное число. Наa иb никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим

(2).

2) n1=0 так как m1и m2=0, следовательно n2≠0, из 3го уравнения n2m1=1.Если обозначить m2=v, то n1=1/v   и v-любое, отличное от 0 действительное число. Наa иb никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим:

  

Итак, всякое движение псевдоевклидовой плоскости во вспомогательнойс.к. можнозадать  формулами (2) или (3). Обратно, если преобразование задано формулами (2) или (3), то оносохраняет обобщенное расстояние, т.е. является движением Минковского.

Движение, задаваемое формулами (3), называетсядвижением 1-города.

Движение, задаваемое формулами (2), называетсядвижением 2-города.

Свойства движения.

       10 Тождественное преобразованиеесть  движение.

       20 Преобразование, обратное движению, есть  движение.

       30 Произведение 2-х движенийестьдвижение.

Следствие. Множество движенийплоскости Минковского есть группа.

       40 Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.

            Доказательство.

Движение сохраняет расстояние между точками оно сохраняет скалярныйквадрат вектора. Пусть a и b –любые вектора.

Рассмотрим частные случаи движений 1-гои 2-го рода

Движения I рода (собственные).

1) v=1; a,b – любые действительные числа. Формулы (3) перепишутся.Они задают параллельный перенос.

y

x

Y

X

M1

M
a=b=0 любая точка М(Х,У) и  её образ М’(Х’,У’)лежат на одной гиперболе ХУ=с, т.е. на одной окружности Минковского. По аналогиис евклидовой  плоскостью это движение называют гиперболическим поворотомс центром в т. О икоэффициентv.

3)a,b- любые действительные числа, v отличное от0. Преобразование, задаваемое формулами (3), можно представить как произведениедвух преобразований. Пусть и

Вывод. Всякое собственное движение плоскости Минковского есть либо параллельный перенос, либо гиперболический поворот с центром в начале координат, либо произведение гиперболического поворота и параллельного переноса.

Пусть иподставим в (3) и получим v, т.е. f- не параллельный перенос, то из последней системы С(

f есть произведение гиперболического поворота с центром в т. С и параллельного переноса на вектор

Движение 2-го рода (несобственное).

(2).

1) v=1,a=b=0 получим есть формулы осевой симметрии относительно биссектрисы 1-го координатного угла в системе ХОУ, т.е относительно оси ОУ в основной системе координат.

2) При общих формулах (2) , где

Вывод. Любое несобственное движение есть либо симметрия относительно основной оси Оу, либо может быть представленов виде произведения этой симметрии и собственного движения.


I.4.Угол между векторамиипрямыми.

   Определение 8. Углом между неизотропными векторами и называется, такое число (действительное или комплексное), которое определяется формулой:

(4).

Определение 9.Углом между прямыми ( неизотропными) называется угол между их направляющими векторами.

Свойства углов.

        10Для , т.е. углы между сонаправленными векторами равны. Согласно этому сонаправленны с иимеют длину 1 или i.

       20 Если

       30 Так как все направляющие векторы прямых коллинеарны, то с помощью опр. 9  мы получаем два угламежду прямыми.

       40 Движение сохраняетугол между векторами (а поэтому и между прямыми). Это следует из того, что при движении сохраняется обобщенное скалярное произведение и обобщенная длина.

y
   Рассмотримугол между векторами одногои  того жерода. Пусть это будут векторы 1-го рода (длявекторов 2-го родааналогично). Отложимот начала координат. Тогда их концы лежат на единичной окружности с центром в начале координат.

Y

X

x

b0

a0

е1


Совершим гиперболический поворот так, чтобы вектор повернулся в вектор повернется в Так как вектор– первого рода, то ’ тоже первого рода и он будетоткладываться в I и III углах, т.е.одногорода). Отсюда следует, что называютдействительным углом между векторами одногорода.

Тогда для векторов одного рода. Если использовать графикфункции у=получим:

Y=ch

X

1

    1)

    2) Если возрастает от 1 до возрастает от 0 до

Следовательно, между двумя векторами одногорода угол (с точностью дознака ) определяется однозначно (в отличие от евклидовой плоскости. Тамуглы это углы между однойи той жепарой  векторов).

Если вектораразных родов, то является смешеннымкомплексным числомвида

Определение 10 Два ненулевых вектораназываются ортогональными, если=0.(или ┴

Свойства.

       10 Изотропный вектор ортогонален сам себе.().

       20 Если ┴, то ┴для

       30┴, а это  естьусловие сопряженности направлений относительно гиперболы относительно гиперболы

y

x

b

a


   Две прямые называться ортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямая изотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельным ему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярность совпадают.

Пример Дана прямая l и точка A. Построитьпрямую s┴ l .

A) l неизотропная прямая;

    Задачасводиться к нахождению направления, сопряженного l относительно некоторой окружности  Минковского.

Построение

         1)Строим окружность Минковского (лучше сцентром в т.О)

         2) ХордаBD║l

         3)C- середина AB

         4) ОС- прямая, сопряженная l

         5) s ║ OC

.


y

x

l

1

B

D

A

s


Ответ: s-искомая прямая

y

x

A

1

s

l
B) Если lизотропная прямая;

Таккак изотропная прямаяперпендикулярна всем параллельным ей прямым, то sА,

s║ l (в этом случае параллельность иперпендикулярность совпадает).

Из свойств сопряженности направлений   вытекают еще трисвойства перпендикулярности прямых.

       40 Перпендикуляры к одной прямой параллельны.

       50 Через любую точку проходит прямая, перпендикулярная данной,и  толькоодна.

       60 Перпендикулярные неизотропные прямые есть прямые разных родов.

I.5.ТРЕУГОЛЬНИК В ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.

   Определение 11. Треугольником называют совокупность трех неколлинеарных точек, не лежащих по две на одной изотропной прямой, и трех попарно их соединяющих отрезков.

A

C

B

N

P

M

У
∆ ABC не является треугольником в плоскости Минковского

∆ MNP является треугольником в плоскости Минковского

Х
их отрезки - сторонами, углы между прямыми, проходящими по сторонам, называют углами треугольника. Обозначение

А

С

a

c

bввВВВВВВвВ

В

D

K

У

Х

Углы при вершинах A,B,C обозначим треугольник со сторонами первого рода. Пусть ∆ABC – произвольный треугольник   в плоскости  Минковского и пустьА так, чтобы [AB]║Oх . Если провести окружность Минковсого с центром в точке А и радиусом AB] в некоторой точке D.Так какC и D на одной окружности, то , следовательно  D- лежитмежду А и В.

Проведем окружность Минковского с центром в точке В и радиусом а. Она пересечет [AB] в точке К. Тогда К – внутри [AB]. Так как окружности Минковского – гиперболы с осью АВ, тоодна из них вогнутостью обращена к А , а другая к В. Поэтому точки D и К распложаться как на чертеже. Следовательно :

, т.е. с>b+a (*).Итак, в треугольнике Минковского большая сторона больше суммы   двух других сторон.

    Следствия.    

1)

2)и равна удвоенной боковой стороне.

Так как или с2=a2+b2-2abch(1). Получим теорему косинусов для треугольников Минковского со сторонамипервого рода.

Если стороны разнородные, то с2=a2+b2-2abcos, но уже будет комплексным числом.

Для треугольников со сторонами одного рода можновывести «теорему синусов». Рассмотрим косинусов ch=(b2+c2-a2)/2bc, ch=(a2+c2-b2)/2ac, ch=(a2+b2-c2)/2ab, воспользуемся формулой sh2a=ch2a-1. Получим

a>0,b>0,c>0, то получим .

Используя теоремы «косинусов» и «синусов», можнорешать  треугольникив плоскости Минковского.


I.6.ЧИСЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.

   Наряду скомплексными числамиматематика знает еще 2 другие системы «чисел»- так называемые «двойные числа»  и «дуальные  числа».Рассмотрим   «двойные числа»

Определение 12.Двойное число- выражение вида z=x+ey, где x,y- вещественные, а «двойная единица» е (этотоже есть«число особого вида», несравнимое с вещественными) удовлетворяет условию е2=+1.

   Сложение и вычитание двойных чисел определяется аналогично  сложению и вычитанию комплексных чисел:

(x+ey)1+ey1)=(x1)+e(y1) (1)

А умножение

(x+ey) (x1+ey1)=(xx1+yy1)+e(xy1+yx1) (2)

   Очевидно, сложение двойных чисел определено и однозначно. Относительно этой операции множество двойных чисел является абелевой аддитивной группой. Умножение двойных чисел для любой их пары определеннои однозначно. Оно удовлетворяеткоммутативному и ассоциативному законам. Имеет место закон дистрибутивности. Число 1+0е играет роль единицы при умножении. Следовательно, множество двойных чисел есть коммутативное кольцо с единицей. Обозначим его К.

   Из формулы (2) следует что

(x+ey) (x1+ey1)=0

   Если х,у зафиксировать, тосистема (3) имеет не нулевые решения

х2-у2=0, или х являются делителями нуля. Итак, К- коммутативное кольцо с единицей и делителями нуля. Так как в кольце с делителями нуля на делители нуля делить нельзя, то пусть zх тогда можно определить  z1/z

.

   Как и вслучае с комплексными числами условимся писать x=Rez, y=Imz и введем понятие  модуляи аргумента

                                       

где знак перед корнем выбирается совпадающим со знаком большего по абсолютной величине из чисел х,у. Очевидно, модуль делителя нуля равен 0.

   Для чисел, не являющими делителями нуля, можно ввести аргумент. Для этого надо рассмотреть 2 случая

А. модуль r числа z определяется по формуле r=(где знак числа rсовпадает с х). Поэтому   некоторый угол в плоскости Минковского), что

В. модуль r числа z определяется по формуле r =rсовпадает  у). Поэтому   некоторый угол в плоскости Минковского), что

   Таким образом, каждое двойное числоz=x+ey  ненулевого модуля можно записать в одной из форм z=r(chesh или z=r(shech Числа x+ey, где будем называть двойными числами 1-го рода, а еслито двойными числами 2-го рода. Произведение (частное)двух одноименных двойных чисел есть число 1-го вида, а произведение (частное) двух разнородных двойных чисел есть число 2-го рода.

   После этого аналитического введения перейдем к геометрии.

   Полярными координатами точки М плоскости Минковского  будем называть ( понимаемое всмысле геометрии Минковского) расстояние ОМ=dom=rи одиниз  углов xOM=OM=и yOM=OM=, в зависимости от того, является ОМ прямой первого или второго  рода. Построим числовую модель плоскости Минковского. Для этого каждой точке М(х,у) поставим в соответствие двойное число z=x+ey. Если l1 и l2 - биссектрисы координатных углов, то для внутренних точек тех углов, внутри которых проходит Ох, z- делитель нуля, тоточка, соответствующая числу zлежитна l1 или l2 , соответствующее двойное число z можно представить в виде z=r(chesh или z=r(shechxOM или yOM имеет место.

                            SHAPE  * MERGEFORMAT

1

r1

r

M

M11

У

Х

   Расстояние dz,z1 между двумя точками плоскости Минковского будет задаваться формулойdz,z1=

у
                                               SHAPE  * MERGEFORMAT

z-z1

d

z1

z

х

   Угол (z0,z1),(z0,z2), соединяющими точи z1и z2с одной и той же точкой z0, выражаетсяформулойназывают простым отношением трёх точек z2,z1,z0 плоскости Минковского. Используяформулу Arg(z/z1)=Argz-Argz1, получим

Z0

Z2

Z1

Z02

Z01

O


   Поскольку прямая (z1,z2), очевидно, представляет собой множество таких точек z, что

ImV(z,z1;z2)=0, где Минковсого, тоуравнение  прямой плоскостиМинковскогоимеет вид   или В и С двойные числа. Данноеуравнение задаёт некоторую прямую линию плоскости Минковского, аименнопрямую, соединяющую такие точки z1 и z2, чтоОкружность с центром z0 и квадратом радиуса r>0, представляет собой множество таких точек z, что

или что бы все разности были числами одного вида. Таким образом, уравнение окружности имеет вид

или z0 и квадрат радиуса p которой определяется из соотношений

SHAPE  * MERGEFORMAT

Z0

Z

у

х

Окружность плоскости Минковского, проходящая через точки z1,z2 и z3 это множество таких точек z, что ImW(z1,z2;z3,z)= Im=

=,где W(z1,z2;z3,z)= двойное ) отношение четырех точек z1,z2,z3,z плоскости Минковского. Таким образом, уравнение рассматриваемой окружностиимеетвид иливид

коэффициенты А,В и С   определяются по формулам

Данноеуравнениеи уравнениеравносильны (для того что быобратитьданное уравнениевдостаточноумножить  данное нае).

Соотношении ImW(z1,z2;z3,z)= представляет собой (необходимое и достаточное ) условие принадлежности четырех точек z1,z2,z3,z плоскости Минковского одной окружности .

Движения плоскости Минковского можно описать какпреобразования, переводящие точку z в z’, гдеz’=pz+q.


Глава II.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ И ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

II.1Аксиоматическое определение псевдоевклидовых и полуевклидовых векторных пространств.

   Пусть Ln– n –мерное линейноепространство и пусть наLnопределенна бинарная операция (LnxLn)R,при которойкаждой упорядоченной паре векторов ставиться в соответствие некотороечисло. Результат этойоперации, дляупорядоченной пары a, b, будем обозначать (a,b) (или

Определение 13. Бинарная операция называетсяобобщенным скалярным произведением, если выполняются следующиеаксиомы

А1 Для любойупорядоченной пары векторов из Lnпроизведение определенно иоднозначно.

А2 для

А3 для и

А4 для

А5 n линейно независимых векторов итакиеl и k где

   для

   для l

      дляk;

   для s,q

Определение 14. Линейное пространство Ln, на котором определенно обобщенное скалярное произведение векторов, называют  псевдоевклидовым (полуевклидовым) линейным пространством, если k=n (k

   Число l называют индексом псевдоевклидова (полуевклидова) пространства, в случае полуевклидова пространства число d=n-k называют его   дефектом, обозначения l, полуевклидово пространство индекса l и дефекта d.

Определение 15. Обобщенной длиной вектора называется число(обозн.

По длине ненулевые векторы разбиваются на3 типа:

-векторы 1-го рода

-векторы 2-го рода длиначисто мнимое число.

-изотропные векторы равна0, а сам векторне  нулевой.

Коллинеарные не нулевыевекторы- векторы одного   и  того жерода.

Доказательство.

если и

если число чисто мнимое то и

если

Определение 16. Вектор длины 1 или i называется нормированным.

Свойство Всякийнеизотропный вектор можнонормировать.

Доказательство. Пусть а-неизотропный вектор, тогда длина вектора

Определение 17. Углом между неизотропными векторами и называется, такое число (действительное или комплексное), которое определяется формулой.

Свойство. Если а и b  неизотропные вектора и  

Доказательство

Определение 18. Два ненулевых вектораназываются ортогональными, если=0 (или ┴

Свойства.

       10 Изотропный вектор ортогонален сам себе (.

       20 Если ┴, то (┴для

Определение 19. Если

   Базис, о котором идет речь в аксиоме А5 , является  ортогональным. Разделим каждый из его неизотропных векторов на его длину, получим ортонормированный базис. Следовательно, хотя бы одинортонормированный базис существует.

Теорема 1. В любом базисе обобщенно скалярное произведение векторов задается билинейной симметрической формой от набора координат этих векторов.

Доказательство.

Пусть базис, ,

3 , А4)=

Так как получили билинейную форму от двух наборов переменных.

Так как 2), то форма симметричная.

Определение 20.Если полуевклидово пространство, то базис (d=n-k) называется ортонормированным, если ортонормированнасистема изотропных векторов.

Теорема 2. В ортонормированном базисе

Скалярное произведение векторов , имеет вид

   Если любой базис втеореме 1 скалярное произведение в этом базисе задается симметрической билинейной формой. По свойствам симметрической билинейной формы всякую такую форму можно привести по формулам преобразования координат к нормальному виду

Пусть новый базис  ортонормированный базис.

Итак доказана теорема. От любого базиса в

Теорема 3. Для любого ортонормированного базисачисла lи  k постоянны.

Это   следуетиз  закона инерциибилинейной симметрическойформы.

Вывод 1 . В пространстве всегда можно выбрать базис так , что бы скалярное произведение векторов задавалось формулой

Вывод 2. Определение обобщенного скалярного произведения и пространств (вглавах I и II,эквивалентны.


II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы точечные пространства   .

Пусть

Определение 21. Множество точек (или   аксиомы

   В1.

   В2. n мерное векторное псевдоевклидово(полуевклидово) пространство

          индекса l (и дефекта d).

   В3.

   В4.

   В5.

Замечание. Еслипринято вектор аобозначать

Псевдоевклидово точечное пространство обозначается

Так как (((и определяется на одном и том жевекторном пространствеLn, поэтому их аффинные свойства одни и те же. Например, прямой, определяемой точкой Аи вектором подпространство в Ln, то прямую можно определить так L1- одномерное подпространство в Ln. Аналогично можно определить s-плоскости. Плоскостью ПА,Ls, определяемой точкой Аи s-мерным векторным подпространством А,Ls=

Так как все вектора все направляющие вектора прямой одного рода, поэтому прямые тоже можно классифицировать.

Прямая называетсяпрямой   1-го рода , есливсе её направляющие вектора 1-города.

Прямая называетсяпрямой   2-го рода , есливсе её направляющие вектора 2-города.

Прямая называется    изотропной, есливсе её направляющие вектора изотропные.

Из аффинных свойствпространства следует, что :

       10Две различные прямые имеют не более одной общей точки;

       20Через две различные прямые проходит прямая и только одна;

       30Две пересекающиеся прямые лежатв одной и только одной 2-плоскости и т.д.

Определение 22. Две прямые называться ортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямая изотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельным ему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярность совпадают.

   Аффинным репером называется совокупность точки   и базиса, ортонормированным репером называется совокупность точки(начала координат) и ортонормированного базиса. Координатами вектора ABявляются

Определение. 23. Расстоянием  между точкамиA и B назовем обобщенную длину вектора ABто числом, нулем , и чисто мнимым числом.

Определение 24. Движением пространства аффинное преобразование, которое сохраняет обобщенное расстояние между точкам

Свойства движения.

       10 Тождественноепреобразованиеесть  движение.

       20 Преобразование, обратное движению, есть  движение.

       30 Произведение 2-х движенийестьдвижение.

Следствие. Множество движенийпространства  есть группа.

       40 Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.

Определение 25. Сферойв пространстве все точки удаленны от ее центра, называют радиусом.

Если r>0, тосфера  называетсясферой 1 рода.

Если rчисто мнимое число, тосфера называетсясферой 2 рода.

Если r=0, тосфера  называетсяизотропной

ОбозначимS(С,r) сферу радиуса r и с центром в точке с. Пусть R=ортонормированный репер, С центр сферы и r (r=0) –радиус сферы. Если М то МS(С,r)(по определению).Это  уравнение равносильноперепишем его в координатном виде r2>0, для сферы второго рода r2<0, для изотропной сферы r2=0.


Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

III.1.Псевдоевклидово пространство
(пространство Минковского)

   Пусть скалярное произведение в базисе задано формулой R=расстояние между точками будет могут быть, очевидно, всех трех видов.

   Любая плоскость ПМ0 и подпространством L2=и может быть либо евклидовой, либо псевдоевклидовой, либо полуевклидовой. Убедимся в этом.

1) Рассмотрим L2=1,e2>. Если m и nи m=x1e1+y1e2,n=x2e1+y2e2 , то L2-евклидово пространство и плоскость П

2) Пусть L2=1,e3>. Если m и nи m=x1e1+z1e3,n=x2e1+z2e3 , то L2-псевдоевклидово пространство и плоскость П

3) L2=1,e2+e3>. т.е. что, L3. Если и Песть полуевклидова.

Свойства плоскостей в

1)Любая плоскость, параллельная евклидовой, полуевклидовой или псевдоевклидовой, является евклидовой полуевклидовой или псевдоевклидовой соответственно. Это утверждение следует из того, что параллельные плоскости имеют одно и тоже направляющее векторное подпространство.

2)Пересечение двух евклидовых плоскостей или евклидовой и псевдоевклидовой, или евклидовой и полуевклидовой плоскостей может бытьлибо пустое множество, либо евклидова прямая. Это следует из того, что L2 все вектора 1го рода,поэтому L1 состоит только из векторов 1го рода, следует что L1 определяет прямые 1го рода, т.е. евклидовы прямые.

3)Пересечение псевдоевклидовой плоскости с псевдоевклидовой плоскостью или с полуевклидовой плоскостью может быть либо пустое, либо прямая первого рода, либо изотропная прямая.

4)Пересечение двух полуевклидовых плоскостей либо пустое, либо прямая 1го рода.

   Сфера S(С,r) радиуса r и с центром в точкеСв пространстве имеет в выбранном нами базисе уравнение r2>0, для сферы второго рода r2<0, для изотропной сферы r2=0.


III.2.Наглядная модель пространства

   Построим «наглядную»модель пространства Для этого возьмем аффинное трехмерное пространство. Зафиксируем в нем систему координат. Заданную репером R=

1)Вектор изотропный в начале координат. Изотропные вектора будут откладываться на поверхности этого конуса (вектора а1,а2,а3 изотропные).

2) Вектор b1,b2,b3 – вектора первого рода).

3) Вектор c1,c2, – вектора второго рода).

   Все евклидовы плоскости будут параллельны тем проходящим через т.О плоскостям, которые имеют с конусом одну общую точку О. Все псевдоевклидовы плоскости параллельны тем плоскостям, которые проходят через т.О и пересекают конус подвум образующим. Все полуевклидовы плоскости параллельны тем проходящим через О плоскостям, которые касаются конуса.

   На этой модели сфера будет изображаться

    - при r2>0однополостным гиперболоидом с центром и асимптотическим конусом С,

    - при r2<0 двуполостным гиперболоидом с тем же центром и тем же асимптотическим конусом,

    - при r2=0 асимптотическим конусом.

На чертеже изображены сферы с центром в начале координат.

Угол   между неизотропными ненулевыми векторами определим, как и на плоскости

Два ненулевых вектора назовем ортогональными┴и

       10Через любую точку проходит плоскость, перпендикулярнаяданной прямой, и только одна;

       20Из любой точки на плоскость можно опустить перпендикуляр и только один;

       30Все плоскости, перпендикулярные данной прямой, параллельны.


Глава IV Гиперболическая плоскость Г2.

IV.1.Гиперболическая плоскость Г2.

   Зафиксируем в сферу S действительного радиуса  (r2>0). Можно считать, чтоцентр сферы совпадает сначалом координат. Построим гиперболическую плоскостьследующим образом: «точкой» этой плоскости будем считать A=(A1,A2) пару диаметрально противоположных точек сферы S.

«Прямой» гиперболической плоскости будем называть множество «точек», лежащих в пересечении сферы S   с любой плоскостью, проходящей через точку О.

Свойства гиперболической плоскости.

       10Через любые две «точки» проходит «прямая» и только одна.

         Доказательство.

Даны две «точки», т.е. различные пары A(A1,A2) и В=(В1,В2) однополосного гиперболоида. Эти пары точек  лежат в одной и только одной евклидовой плоскости П, причем ПТакая плоскость пересекает сферу S . По определению, линия пересечения является «прямой». На наглядной моделитакая прямая  изобразиться либо эллипсом (прямая АВ), либо гиперболой (прямая АС).

       20Через любую «точку» проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих данную прямую.

Доказательство.

Пустьдана «прямая» а и пусть t║(Ох) и возьмем точки В1 и С1 на t вне сферы (т.е. вне гиперболоида). Пусть D=(D1,D2) – данная точка «точка» и т.l, пересекающую (Oz) и параллельную (Ox). Она пересечет асимптотический конус в точках K и P. Возьмем B1 между точками K и O1, B2 – диаметрально противоположная ей точка. Через точки (В1,В2) и (D1,D2) пройдет плоскость П, ПКроме того t=(B1,B2). Так как (B1,B2) проходит внутри асимптотического конуса, то онас  этим конусом, а поэтому и с  однополостным гиперболоидом (т.е. сферой) не пересекается. Если и B , лежащих между K и O1 ,бесконечно много, то

прямых вида b тоже бесконечномного.

Уже по этим свойствам гиперболическая плоскость похожа на плоскость Лобачевского. Можно показать, что она является моделью этой плоскости. Если зафиксировать гиперболическую плоскость и назвать каждую ее «точку» точкойЛобачевского, каждую прямую- «прямой» Лобачевского и каждое движение псевдоевклидова пространства, сохраняющее фиксированную сферу, движением Лобачевского, то все аксиомы планиметрии Лобачевского выполняются.

   Мы только чтопроверили  аксиому I1.Аксиомы I2, I3 выполняются очевидно. Доказательство свойства 20 есть проверка аксиомы IV*. Аксиомы II иY групп выполняются очевидно, так как термин «лежать между» здесь будет таким же как и в евклидовом пространстве, и все сечения однополостного гиперболоида есть непрерывные линии. Верность аксиом III группы будет вытекать из свойств движения псевдоевклидова пространства.


Заключение.

   Материалы дипломной работы могут быть использованы для проведения спец. курса «Многообразия геометрий». Они иллюстрируют межпредметные связи между линейной алгеброй, билинейными формами и неевклидовыми геометриями.

.


Приложения.

Система аксиом Лобачевского

I. Аксиомы принадлежности

I1. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

I2. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

I3.Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

II. Аксиомы порядка

Эти точки связаны с отношением«лежать между». Если точка B лежит между Aи C, то обозначение B│AC.

II1. ЕслиA│ВС, то А│СВ.

II2. Для любых двух различных точекА и В существуют такие точки C и D, что С│АВ и А│BD.

II3. Из трех  различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

На основе этой аксиомы вводится понятие отрезка. Отрезком AB называется множество, состоящее из точек A и B и всех точек, лежащих между ними.

II4.(аксиома Паша). Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, если прямая не проходит ни через одну из данных точек и пересекает один из определяемых ими отрезков, то она пересекает один и только один из двух оставшихся.

III. Аксиомы движения.

III1. Движение есть однозначное отображение, при котором точки отображаются на точки, прямые на прямые.

III2. Движение сохраняет отношение «лежать на».

III3. Движение сохраняет отношение «лежать между».

III4.Отображение, обратное движению, есть движение.

III5. Произведение двух движений есть движение.

Репером называют совокупность фиксированной точки О, луча с началом в этой точке и полуплоскости, граница которой сдержит данный луч.

III6. Для любой упорядоченной пары реперов существует и только одно движение, переводящее первый репер во второй.

IV*.

Для любой данной прямой через любую точку, не лежащую на ней точку, проходят по крайней мере две различные прямые, не пересекающие данную прямую.

V. Аксиома Дедекинда.

V. Любое дедекиндово сечение на множестве точек ориентированной прямой имеет хотя бы одну граничную точку.


Список литературы.

Андреева З.И, Шеремет Г.Г. Псевдоевклидова плоскость (плоскость Минковского) //в сб. Актуальныепроблемы обучения математике т.3: МатериалыВсероссийскойнаучно-практической конференции.- Орел: Изд. ОГУ,2002.

Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства.-М.:Наука,1978.

Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.-М.:, Наука, 1972.