Обратная задача обеспечения требуемого закона движения

	Загрузить архив:
	Файл: ref-22494.zip (143kb [zip], Скачиваний: 46) скачать

Содержание

Введение……………………………………………………………………………...3

1. Классические обратные задачи……………………………………………4

2. Постановка, классификация и решение обратных задач динамики…….8

3. Метод квазиобращения…………………………………………………...12

4. Метод разделения искомой системы…………………………………….13

5. Метод проектирования. ………………………………………………….15

6. Задача обеспечение требуемого закона движения………………………16

Заключение………………………………………………………………………….19

Список использованной литературы ……………………………………………..20

Введение

          Одной из основных задач динамики механических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является задача определения сил и моментов по заданным кинематическим элементам движения или, в более общей постановке, по заданным свойствам движения. Задачи такого вида с различными их видоизменениями названы обратными задачами динамики, или обратными задачами дифференциальных систем.

          Под обратными задачами дифференциальных систем понимаются как задачи о построении силовых полей, так и задачи об определении функционалов, стационаризуемых в процессе движения, о восстановлении и построении уравнений движения механической системы по заданным свойствам ее движения.

          Настоящая работа посвящена решению одной из обратных задач обеспечения требуемого закона движения.

Первоначально, Еругиным Н. П. [1] была поставлена и решена задача построения множества уравнений движения системы по заданным интегралам. Данная задача имеет в общем случае неоднозначное решение, в силу некоторых неопределённых функций, что позволяет решать обратные задачи динамики в сочетании с дополнительными требованиями, Галиуллин А.С. и его ученики Мухаметзянов И.А. и Мухарлямов Р.Г. применяют идеи Еругина для построения уравнений программных движений [2, 5].

Для решения рассматриваемой задачи применяется метод квазиобращения [4], который был создан Р. Г. Мухарлямовым. Данный метод является одним из общих методов решения обратных задач динамики в классе обыкновенных дифференциальных уравнений. Также применяются методы разделения и проектирования.

1. Классические обратные задачи

Под обратными задачами динамики понимается задачи об определении активных сил и моментов, действующих на механическую систему, параметров системы и связей, наложенных на систему, при которых движение с заданными свойствами являются одним из возможных движений рассматриваемой механической системы. Задачи такого вида с различными их видоизменениями названы обратными задачами динамики.

К таким задачам относятся так же [2] как задачи о построении силовых полей по известным свойствам движения материальной точки в этом поле, так и задачи об определении функционалов, стационаризируемых в процессе движения, о восстановлении и построении движения механической системы по заданным свойствам ее движения.

                   Данное определение отнесено к механическим системам. Однако наряду с механическими системами рассматриваются так же управляемые объекты различной природы (электрической, квантовой, химической и др.). Поэтому содержание обратных задач динамики должно включать определение законов управления движением динамических систем и их параметров из условия осуществления движения по назначенной траектории.

Эти задачи всегда привлекали к себе внимание механиков и математиков, так как они имеют широкие прикладные возможности.

     Классическими обратными задачами дифференциальных систем являются:

Задача Ньютона об определении силы, под действием которой планеты совершают движение со свойствами, заданными в виде законов Кеплера;

Задача Бертрана об определении силы, под действием которой материальная точка при любых начальных условиях движется по коническому сечению. Решением задачи Бертрана занимались многие ученые прошлого столетия (В.Г. Имшенецкий,

Ж. Дарбу, Г. Кенигс и др.);

Задача Суслова об отыскании силовой функции, которая определяет силы, вызывающие движение голономной механической системы с задаными интегралами;

Задача Мещерского об определении закона изменения массы точки и скорости изменяющейся массы так, чтобы в заданном поле сил точка переменной массы совершала движение по заданной траектории или по заданному закону;

Задача Гельмгольца о построении функционала, принимающего стационарное значение на решениях заданного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

          Даинелли в 1880 г. поставил задачу об определении силового поля, для которого заданное семейство кривых будет представлять семейство возможных траекторий. Искомое поле сил ищется в следующем виде :

                        (1.1)

где - произвольная функция,

В 1952 г. Н. П. Еругиным была впервые сформулирована обратная задача теории дифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравнений по заданным интегралам и указан метод решения этой задачи [1]. В процессе дальнейших исследований оказалось, что метод Еругина позволяет не только построить уравнения движения механической системы по заданным свойствам одного из возможных движений этой системы, но и построить эти уравнения с учетом дополнительных требований, например, устойчивости и оптимальности заданного движения.

В работе [1]была поставлена задача определения множества правых частей систем дифференциальных уравнений

                                                                          (1.2)

имеющих заданные функции

                                                                           (1.3)

своими частными интегралами.

Смысл этой задачи заключается в следующем: если и - решение уравнения (1.2) при определенной правой части, удовлетворяющее начальному условию и существующее при или

Условия существования частных интегралов вида (1.3) заключается в том, чтобы

                                                           (1.4)

Равенство (1.4) можно записать в виде линейного алгебраического уравнения относительно

                                                    (1.4)*

С 1960 г. А. С. Галиуллин и его ученики И. А. Мухаметзянов и Р. Г. Мухарлямов изучают возможности применения идей Н. П. Еругина для решения обратных задач динамики. Они формируют и рассматривают обратные задачи динамики как задачи построения всего множества дифференциальных уравнений программных движений.

Пусть состояние механической системы определяется векторами обобщенных координат и скоростей

                                            (1.5)

правые части которых могут быть произвольными постоянными или принимать конкретные значения, в частности, равные нулю. Кроме того, , а равенства независимы и совместны в некоторой области фазового пространства при

Согласно методу Еругина, решение различных вариантов постановки обратных задач можно рассматривать в два этапа. На первом этапе заданное многообразие свойств движения (1.5) рассматривается как интегральное многообразие уравнений движения рассматриваемой системы. Поэтому уравнения движения механической системы строятся так, чтобы соотношения являлись первыми ((

Второй этап заключается в том, чтобы из построенных таким образом уравнений определить искомые обобщенные силы, параметры системы, а так же дополнительные связи, допускающие движение системы с заданными свойствами.

2. Постановка, классификация и решение обратных задач динамики

В монографии [2] изложены постановка, классификация обратных задач динамики и их решение в классе обыкновенных дифференциальных уравнений. Галиуллин рассматривает следующие задачи по построению уравнений движения по заданному интегральному многообразию.

1)     Основная задача построения уравнений движения.

По заданному интегральному многообразию

                                    (2.1)

построить систему уравнений

                  (n =1…n)                                                (2.2)

    

движения механической системы так, чтобы оно являлось одним из ее возможных движений.

2) Восстановление уравнений движения.

По заданному интегральному многообразию

                                             (2.3)

и        заданной системе уравнений

       (n =1…n)                                                           (2.4)

определить вектор-функцию параметров системы и дополнительно приложенных к системе силы.       

3)             Замыкание уравнений движения.

По заданному интегральному многообразию

                                                       (2.5)

и заданной системе уравнений

                                     (2.6)                                  

построить систему замыкающих уравнений

                                                 (2.7)

так, чтобы система (2.6) – (2.7) представляла собой замкнутую систему.

Искомые функции принадлежат классу функций, допускающих существование и единственность решения в некоторой e– окрестности заданного многообразия

          На первом этапе решения всех типов обратных задач 1) – 3) составляются условия осуществимости движения механической системы с заданными свойствами, которые в общем случае имеют вид

                  

              (2.8)

где произвольная при функция, такая, что и тождественно равная нулю при ¹0.

          Для основной задачи построения уравнений и задачи восстановления уравнения осуществимости движения имеют следующий вид:

                                        (2.9)

где    - функции Еругина;

и для задачи замыкания условие (2.8) принимает вид:

,                           (2.10)

где    .

          Затем из этих условий определяются правые части уравнений (2.4), (2.7) , соответственно, которые в конечном итоге в векторной форме будут иметь следующий вид:

          ,                                                 (2.11)

где определяется из условия

         

- алгебраическое дополнение (i, j) – го элемента определителя ;

(для задачи замыкания),    (2.12)

где    ,

- алгебраическое дополнение – го элемента определителя

и определяется из условия

         

                                                                            

Чтобы определить искомые функции в задаче восстановления, необходимо правую часть выражения (2.10) приравнять к известным правым частям заданных уравнений (2.5):

          .

Тогда получим следующие равенства:

(n = 1…n)        (2.13)

и разрешим данное уравнение относительно функций .

          Заметим, что поставленная задача имеет в общем случае неоднозначное решение. Во-первых, потомучто    при m, во-вторых, условия (2.8) при содержат произвольные функции . Все это позволяет решать обратные задачи динамики в сочетании с задачами устойчивости и оптимальности заданного движения, и вообще, в сочетании с дополнительными требованиями относительно динамических показателей движения рассматриваемой механической системы. При этом функции будут определять обобщенные силы, возникающие при отклонении движения системы от ее движения с заданными свойствами.

В указанной монографии [2] эта возможность использована для аналитического построения устойчивых систем и систем программного движения в предположении, что движения рассматриваемых материальных систем описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

 

3. Метод квазиобращения.

                В настоящее время сформулированы возможные постановки обратных задач дифференциальных систем и разработаны общие методы решения этих задач в классе ОДУ. При этом оказалось, что если заданные свойства движения механической системы могут быть аналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующих уравнений движения, то решение обратных задач дифференциальных систем в общем случае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным их интегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов, параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемой механической системы с предварительно заданными свойствами. Один из общих методов решения

Сущность метода квазиобращения состоит в следующей теореме:

Теорема: Совокупность всех решений линейной системы

                       (3.1)

в которой матрица А имеет ранг, равный r, определяется выражением

                                                         (3.2)

где k – произвольная скалярная величина,

         (3.3)

- векторное произведение векторов и произвольных векторов   - единичные орты пространства - матрица, транспонированная к

       Прежде всего непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что (3.2) удовлетворяет уравнению (3.1). Действительно, произведение дает столбец,состоящий из нулей, а

       Далее пусть в виде суммы

где вектор, ортогональный так что

                                                                    (3.4)

т.е. Тогда из уравнения (3.1) следует, что т.е.

       Остается показать, что при определенном выборе матрицы первое слагаемое правой части (3.2) совпадает с Тогда представляет собой двойное векторное произведение и может быть записано в виде определителя

           (3.5)

       Поскольку векторы произвольны, выберем их так, чтобы векторы были линейно независимы и выполнялись равенства

                                                                    (3.6)

       Тогда в силу (3.4), (3.6) в последнем столбце определителя (3.5) все элементы, за исключением где - определитель Грама, отличный от нуля.

       Следовательно, можно принять Тогда и

4. Метод разделения искомой системы.

Предположим, что вектор допускает разделение на две части:

      

таким образом, что    

Тогда искомое уравнение (1.2) можно представить в виде двух уравнений

                                                                         (4.1)

Запишем равенство (1.4) с учетом (4.1)

                                                                      (4.2)

Если считать Z произвольным, то (4.2) оказывается линейным уравнением относительно Y с определителем

Запишем искомую систему в виде

                                                                                                                 (4.3)

Такой же подход можно использовать для определения правой части уравнения

                                                                                              (4.4)

движения динамической системы, на которую наложены связи

Запишем основное соотношение

                                                        (4.5)

и представим X в виде суммы

                                                                                            (4.6)

где

                                                                                                  (4.7)

Предполагая, что  уравнения (4.5) в виде достаточно подставить в (4.5), тогда получаем

                                                                                    (4.8)

Далее представим в виде , и предположим, что  

                

найдем, что                                                                     (4.9)

где произвольный вектор. Объединяя (4.6), (4.8), (4.9) можно записать искомое уравнения (4.4)в виде

Описанный метод разделения искомой системы является пригодным только в том случае, когда для системы (4.4). Последнее условие является существенным при построении универсальных алгоритмов, когда требуется осуществить движение системы по многообразию (1.3) и заранее неизвестно, какие определители порядка r матрицы отличны от нуля.

5.

Для решения уравнения (1.4)* можно использовать метод проектирования произвольного вектора на многообразие, касательное к интегральному многообразию. Этот метод используется для решения задач преследования, а также управления манипуляторами. Суть его заключается в следующем: для определения вектора правой части уравнения (1.2), решения которого удовлетворяют условию (1.3), используется то же уравнение (1.4)*. Решение этого уравнения находят в виде суммы удовлетворяет уравнению зададим произвольный вектор можно взять проекцию вектора на многообразие, касательное к

        :

В этом случае уравнение (1.2) имеет вид:

Решая задачу управления программным движением, получаем выражение вектора управления

                                 (5.1)

обеспечивающего выполнение условия (1.3).

Нетрудно видеть, что постановки задачи построения систем дифференциальных уравнений могут варьировать как по заданию исходных условий, так и по конкретной структуре общего решения основного уравнения (1.4)*.

6.Обеспечение требуемого закона движения

Задача 1.

Задачу управления системой

                                              (6.1)

где: - вектор состояния объекта управления, - векторы состояний различных промежуточных звеньев регулятора системы - известные вектор-функции;

- искомый вектор управляющих воздействий

Можно задавать в виде

                                                                                                                 (6.2)

  

где: пространства уравнению

                                                                                              (6.3)

Рассмотрим, в частности систему

                                                                             (6.4)

и поставим задачу определения вектора управления таким образом, чтобы система (6.4) допускала движение по закону

Будем считать, что и векторы линейно независимы при всех

                                                                    (6.5)

Очевидно, уравнение (6.5) задает интегральное многообразие системы (6.4). Дифференцируя его, получаем систему уравнений относительно

решение которой можно записать в виде

Задача 2.

Постановка задачи в одномерном случае.

                                                                            (6.6)

                                                                                    (6.7)

                    

Определить управляющий параметр U, так чтобы заданное множество

=>         =>

функции Еругина

                   =>

Дифференцируя дважды первое уравнение в (6.7) получим:

   

         

                   

Приравнивая к мы найдем их пересечение

                                                                     (6.8)

      Следовательно, справедлива

       Теорема: Для того чтобы система (6.6) имела интегральное многообразие (6.7) необходимо и достаточно чтобы управляющий параметр U имел вид

.                                     (6.9)

Заключение

В курсовой работе“Обратная задача обеспечения требуемого закона движения” рассмотрена задача восстановления в классе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методами квазиобращения, разделения и проектирования.

Рассмотренная задача является одной из обратных задач – задачей восстановления по классификации обратных задач динамики А. С. Галиуллина.

В дальнейшем в магистерской диссертации предполагаетсяисследование приведенных в курсовой работе задач в вероятностной постановке.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.       Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.// ПММ, 1952. Вып.6.

2.       Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука.1986.

3.       Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. Москва:  Наука. 1990. C. 632.

4.       Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений. М.: издательство УДН. 1986. С.86.

5.       Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

6. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем пограммного движения.// Вестник УДН, 1994. Сер. прикл. математика и информатика. №1.С. 5-21.