Методы экономического программирования


	Загрузить архив:
	Файл: ref-23062.zip (209kb [zip], Скачиваний: 143) скачать

Министерство образования и науки республики Казахстан

КазНУ им. Аль-Фараби

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

Системный анализ и задачи

математического программирования

на тему:

Методы экономического программирования.

выполнил: студент 2 курса,

группы ИС 04 03 А

Гришко Михаил

проверил: к. ф.-м. н., доцент кафедры ИС Тургенбаева Г.А.

Алматы 2005г.

Содержание.

1. Введение…………………………………………………………………………………………..3

2. Теоретическая часть……………………………………………………………………………...4

2.1. Математическое представление и структура экономических показателей………………4

2.2. Предварительный анализ и обработка временных рядов…………………………………5

2.2.1. Выявление и устранение аномальных значений……………………………………..5

2.2.2. Выявление тренда……………………………………………………………………...5

2.2.3. Определение сезонных колебаний……………………………………………………7

2.2.4. Сглаживание временных рядов……………………………………………………….9

2.3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов…………………….10

2.4. Прогнозирование экономических показателей…………………………………………...13

2.4.1. Трендовые модели на основе кривых роста………………………………………...13

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста…………………………………………………….14

2.4.1.2. Методы определения параметров отбора кривых роста…………………...17

2.4.1.3.Определение адекватности трендовой модели…………………………….18

2.4.1.4. Точность прогноза трендовой модели……………………………………....20

2.4.1.5. Верификация прогноза……………………………………………………….22

2.4.2. Адаптивные модели прогнозирования………………………………………………23

3. Практическая часть……………………………………………………………………………..25

3.1. Постановка задачи…………………………………………………………………………..25

3.2. Построение модели…………………………………………………………………………25

3.3. Адекватность и точность…………………………………………………………………..28

3.3.1. Случайность колебаний уровней остаточной последовательности……………….28

3.3.2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения……………………………………………………………………….28

3.3.3. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю……………28

3.3.4. Независимость значения уровней случайной компоненты………………………..29

3.3.5. Точность прогноза построенной трендовой модели……………………………….29

4. Заключение……………………………………………………………………………………...30

5. Список использованных источников………………………………………………………….31
1. Введение.

Предсказание временных рядов – необходимый элемент любой инвестиционной деятельности. Сама идея инвестиций – вложение денег сейчас с целью получения дохода в будущем – основывается на идее прогнозирования будущего. Соответственно, предсказание финансовых временных рядов лежит в основе деятельности всей индустрии инвестиций – всех бирж и внебиржевых систем торговли ценными бумагами.

Прогнозирование экономических показателей основано на идее экстраполяции. Под экстраполяцией обычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы. В более широком смысле слова ее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состояния объекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемые в прошлом и настоящем, т.е. прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.

Цель данного курсового проекта – рассмотреть основные методы экономического прогнозирования, а также решить поставленную задачу с помощью трендовых моделей на основе кривых роста.

2. Теоретическая часть

2.1. Математическое представление и структура экономических показателей.

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике. Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания)различных моделей социально-экономических систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей прогнозирования особого вида, которые будут подробнее рассматриваться ниже.

Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.

Если во временном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента. Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.

Таким образом, в общем случае имеем временной ряд, состоящий из n уровней:

y₁ , y₂ , … ,y_n . (1)

В самом общем случае временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно образующих элемента:

· U_t, t = 1, 2 , ..., n;

· V_t, t = 1, 2, ..., n;

· C_t, t = 1, 2 , ..., n;

· ε_t, t = 1, 2 , ..., n.

Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемости у остаточной последовательности указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна.

2.2. Предварительный анализ и обработка временных рядов экономических показателей.

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда и его характера в исходном временном ряде. К предварительной обработке временных рядов относятся методы изменения временных рядов в целью более четкого выделения тенденций развития, сглаживания временного ряда и др.

2.2.1 Выявление и устранение аномальных значений временных рядов экономических показателей.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки, первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко — ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

; t = 1, 2 , ..., n, (2)

где среднеквадратическое отклонение

; . (3)

Расчетные значения λ_tсравниваются с табличными значениями критерия Ирвина λ_α, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение y_t уровня ряда считается аномальным.

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.

2.2.2. Выявление тренда.

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется несколько методов:

Метод проверки разностей средних уровней.

Реализация этого метода состоит из четырех этапов. На первом этапе исходный временной ряд

y₁ , y₂ , … ,y_n

разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части n₁ первых уровней исходного ряда, во второй – n₂ остальных уровней (n₁+ n₂= n).

На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

; ; (4)

; . (5)

Третий этап заключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

= (6)

с табличным (критическим) значением критерия Фишера F_α с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) α. В качестве α чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка), 0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина1 - α называется доверительной вероятностью.

Если расчетное значение F меньше табличного F_α, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно F_α, гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

, (7)

где σ— среднеквадратическое отклонение разности средних:

. (8)

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента t_α с заданным уровнем значимости α, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение t_α берется для числа степеней свободы, равного

Метод Фостера—Стъюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению с предьщущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т. д.

Реализация метода содержит четыре этапа.

На первом этапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

если y_t больше всех предыдущих уровней;

k_t= (9)

0,в противном случае,

1,если y_t меньше всех предыдущих уровней;

l_t= (10)

0,в противном случае

t = 2, 3 , ..., n.

На втором этапе вычисляются величины s и d:

(11)

(12)

Величина s, характеризующая изменение временного ряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n- l (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от -(n - 1) (ряд монотонно убывает) до (n - 1) (ряд монотонно возрастает).

Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными

1) s от величины μ - математического ожидания величины s для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,

2) d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

; ; (13)

;; (14)

где μ - математическое ожидание величины s, определенной для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

σ₁ - среднеквадратическое отклонение для величины s;

σ₂ - среднеквадратическое отклонение для величины d.

На четвертом этапе расчетные значения t_s и t_d сравниваются с табличным значением t-критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости t_α. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего тренда принимается; в противном случае тренд есть. Например, если t_s больше табличного значения t_α, а t_d меньше t_α, то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровней ряда нет.

2.2.3. Выявление сезонных колебаний.

Сезонность связывается, как правило, со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Влияние сезонности проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объемов грузооборота и товарооборота и т.д.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т. д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью — ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

Задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:

1) ряду тренда и определение степени его гладкости;

2)наличия вовременном ряду сезонных колебаний;

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс решения трех взаимосвязанных задач:

На рис 4.1 приведена укрупненная схема исследования сезонных временных рядов. Схема не определяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться, совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность и последовательность вопросов, которые должны быть решены для полного исследования сезонного временного ряда.

рис 1. Схема комплексного исследования тренд-сезонных временных рядов.

Упорядоченная во времени последовательность наблюдений экономического процесса называется временным рядом, и если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом).

Рассматривается тренд-сезонный временной ряд {Y_t},

Y_t = U_t+V_t+ε_t (15)

где U_t - тренд;

V_t - сезонная компонента;

ε_t - случайная компонента;

Т - число уровней наблюдения.

Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Y_t} сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать ее динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

При исследовании сезонной волны V_t чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. i+k≤m. На самом же деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как ее размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.

2.2.4. Сглаживание временных рядов экономических показателей.

С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

2) соседних уровней.

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.

Сначала для временного ряда

y₁ , y₂ , … ,y_n

определяется интервал сглаживания m(mприменяется формула:

, t > p, (16)

где m); для четных m формула (16) усложняется.

В результате такой процедуры получаются n– m + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние p уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.

Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной:

, (17)

причем веса p_t определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.

К этой же группе методов выравнивания временных рядов примыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда

y₁ , y₂ , … ,y_n

соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S_t, t = 1, 2, ..., n, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

(18)

где α - параметр сглаживания (0 < α < 1);

величина 1 - α называется коэффициентом дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

(19)

здесь S₀— величина, характеризующая начальные условия.

2.3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов.

Временной ряд тогда правильно отражает объективный процесс развития экономического явления, когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Для несопоставимых величин вести расчет рассматриваемых ниже статистических показателей динамики неправомерно. Причины несопоставимости уровней временного ряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причинами является несопоставимость:

- в структуре совокупности, для которой они вычислены.

При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего вычисляют скорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

(20)

где y_i — i-й уровень временного ряда (i = 2, 3, ..., n);

индексk = 1, 2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования:

при k = 1 получаются цепные показатели,

при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т.д.

Величина, характеризующая скорость, т.е. прирост в единицу времени, носит название среднего абсолютного прироста:

(21)

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

(22)

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительнойскорости изменения изучаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста).

Коэффициент роста для i-гo периода вычисляется по формуле:

(23)

K_i₍_p) > 1, если уровень повышается; K_i₍_p)< 1, если уровень понижается; при K_i₍_p)=1 уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

(24)

или

(25)

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

(26)

где T_i₍_p) - темп прироста для i-го периода;

T_i_(п_p)= T_i₍_p) – 100% (27)

или

(28)

где T_i(пp) — темп прироста для i-гo периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах.

Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамики с равноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведется по всем периодам наблюдения):

(29)

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:

(30)

где t - число периодов времени, при которых значение уровня y_t не изменяется. Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

(31)

где n - число уровней ряда.

При анализе временных рядов часто возникает необходимость, кроме определения основных характеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя y_t от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом y_t и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

(32)

Задавая различные значения

r₁, r₂, r₃,…

На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве

отn/4доn/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение показателя y_t сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига

В ряде случаев используется упрощенная формула для вычисления коэффициента автокорреляции:

(33)

где средний уровень ряда (см. формулу (32)).

2.4 Прогнозирование экономических показателей.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:

Прогноз на основании трендовых моделей(кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки. Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т.е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемойвеличины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осуществляется путем расчета доверительного интервала - такого интервала, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения прогнозируемого экономического показателя. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании с использованием кривых роста опирается на выводы и формулы теории регрессий. Методы, разработанные для статистических совокупностей, позволяют определить доверительный интервал, зависящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого показателя, от времени упреждения прогноза, от количества уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки) прогноза.

2.4.1.Трендовые модели на основе кривых роста.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики - на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образований одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

- ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

- условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

(полином первой степени)

(полином второй степени)

(полином третьей степени)

и т.д.

Параметр а₁ называют линейным приростом,

параметр а₂ - ускорением роста,

параметр а₃ - изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле u_t = y_t - y_t-i, t = 2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны а₁.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u₂, u₃, …на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле будут постоянной величиной.

Можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

(34)

где a и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.

Модифицированная экспонента имеет вид

(35)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать неко торого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

(36)

где а, b -положительныепараметры, причем b меньше единицы;

параметр k - асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривойиспользуются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

; (37)

другие виды этой кривой:

; . (38)

где а и b — положительные параметры;

k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной рядy₁ , y₂ , … ,y_n.

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

(39)

. . . . . . . .

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда

; (40)

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...)

; (41)

где

Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины

, (42)

и если для какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

, (43)

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам

, . (44)

Затем вычисляются первые средние приросты

t = 2, 3, … , n-1; (45)

вторые средние приросты

, (46)

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

; ; ; .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

Таблица 1

Выбор кривой роста в соответствии с изменением приростов и производных показателей

Показатель	Характер изменения показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний прирост	Примерно одинаковы	Полином первого порядка
Первый средний прирост	Изменяются линейно	Полином второго порядка
Второй средний прирост	Изменяются линейно	Полином третьего порядка
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются линейно	Модифицированная экспонента
	Изменяются линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются линейно	Логистическая кривая

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

2.4.1.2. Методы определения параметров отобранных кривых роста.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

система нормальных уравнений имеет вид:

(47)

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени

имеет вид

, (48)

и т.д.

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.

2.4.1.3. Определение адекватности трендовой модели.

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствамслучайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю,независимость значений уровней случайной компоненты.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда необходимо рассмотреть набор разностей

(t = 1, 2, …, n) (49)

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε_tрасполагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε_m полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности ε_tи сравнивая значения этойпоследовательности с ε_m, будемставить знак «плюс», если значение ε_t, превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение ε_t опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность ε_t была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком малым.

Протяженность самой длинной серии обозначается через K_max, а общее число серий - через ν. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровня значимости:

; (50)

, (51)

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной.

Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности ε_t считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.

ε_t-1 < ε_t > ε_t+1, (52)

и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е.

ε_t-1 > ε_t < ε_t+1. (52’)

В обоих случаях ε_t считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности ε_t обозначим через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия выражаются формулами:

; . (53)

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

, (54)

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии (γ₁) и эксцесса (γ₂),так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

; ; (55)

; ; (56)

В этих формулах

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

; (57)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

; (58)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.

Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Наиболее простой из них - основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S.

R = ε_max - ε_min,. (59)

Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

. (60)

где _t;

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_α статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

. (61)

Расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формулеи в дальнейшем использовать значение

Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с верхним d₂ и нижним d₁ критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

2.4.1.4. Точность прогноза трендовой модели.

Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие:

среднее квадратическое отклонение

, (62)

средняя относительная ошибка аппроксимации

, (63)

коэффициент сходимости

, (64)

коэффициент детерминации

. (65)

в приведенных формулах n - количество уровней ряда,

k - число определяемых параметров модели,

На основании указанных показателей можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической динамики наиболее точной, хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому - другая.

Данные показатели точности моделей рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели целесообразно использовать так называемый ретроспективный прогноз - подход, основанный на выделении участка из ряда последних уровней исходного временного ряда в количестве, допустим, n₂ уровней в качестве проверочного, а саму трендовую модель в этом случае следует строить по первым точкам, количество которых будет равно n₁ = n – n₂. Тогда для расчета показателей точности модели по ретроспективному прогнозу применяются те же формулы, но суммирование в них будет вестись не по всем наблюдениям, а лишь по последним n₂ наблюдениям. Например, формула для среднего квадратического отклонения будет иметь вид:

, (66)

где n₁ уровней.

Оценивание прогнозных свойств модели на ретроспективном участке весьма полезно, особенно при сопоставлении различных моделей прогнозирования из числа адекватных. Однако оценки ретропрогноза - лишь приближенная мера точности прогноза и модели в целом, так как прогноз на период упреждения делается по модели, построенной по всем уровням ряда.

Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателяопределяется по формуле:

, (67)

где y_t — фактическое значение уровня временного ряда для времени t;

n - количество уровней в исходном ряду;

k - число параметров модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительного интервала можно использовать аналогичную формулу для парной регрессии, таким образом доверительный интервал прогноза U_y в этом случае будет иметь вид

, (68)

где L - период упреждения;

(n+L)-й момент времени;

n - количество наблюдений во временном ряду;

t_α - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

Если выражение

(69)

обозначить через К, то формула для доверительного интервала примет вид

. (70)

Значения величины К для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда табулированы.

Формула для расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом:

. (71)

Аналогично вычисляются доверительные интервалы для экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста, имеющих асимптоту (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты известно.

Таким образом, формулы расчета доверительного интервала для трендовых моделей разного класса различны, но каждая из них отражает динамический аспект прогнозирования, т.е. увеличение неопределенности прогнозируемого процесса с ростом периода упреждения проявляется в постоянном расширении доверительного интервала.

2.4.1.5. Верификация прогноза.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики с использованием трендовых моделей весьма важным является заключительный этап — верификация прогноза. Верификация любых дескриптивных моделей, к которым относятся трендовые модели, сводится к сопоставлению расчетных результатов по модели с соответствующими данными действительности — массовыми фактами и закономерностями экономического развития. Верификация прогнозной модели представляет собой совокупность критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценивать качество получаемого прогноза. Однако чаще всего на этапе верификации в большей степени осуществляется оценка метода прогнозирования, с помощью которого был получен результат, чем оценка качества самого результата. Это связано с тем, что до сих пор не найдено эффективного подхода к оценке качества прогноза до его реализации.

Проверка точности одного прогноза недостаточна для оценки качества прогнозирования, так как она может быть результатом случайного совпадения. Наиболее простой мерой качества прогнозов при условии, что имеются данные об их реализации, является отношение числа случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числу прогнозов. Данную меру качества прогнозов k можно вычислить по формуле

, (72)

где р — число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q — число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Однако в практической работе проблему качества прогнозов чаще приходится решать, когда период упреждения еще не закончился и фактическое значение прогнозируемого показателя неизвестно. В этом случае более точной считается модель, дающая более узкие доверительные интервалы прогноза.

2.4.2. Адаптивные модели прогнозирования

Как уже выше отмечено, в основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций - непременное условие успешного прогнозирования. При этом необходимо, чтобы учитывались лишь те тенденции, которые еще не устарели и до сих пор оказывают влияние на изучаемый процесс.

При краткосрочном прогнозировании, а также при прогнозировании в ситуации изменения внешних условий, когда наиболее важными являются последние реализации исследуемого процесса, наиболее эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней временного ряда.

Адаптивные модели прогнозирования - это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Инструментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых роста, является математическая модель с единственным фактором «время».

При оценке параметров адаптивных моделей в отличие от рассматриваемых ранее моделей «кривых роста» наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Все адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (СС-модели) и авторегрессии (АР-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня, т. е. информационная ценность наблюдений признается тем большей, чем ближе они к концу интервала наблюдений. Такие модели хорошо отражают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом виде не позволяют отражать колебания.

Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование уровней временного ряда в моделях, базирующихся на схеме СС, определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации), значения которых могут изменяться от нуля до единицы. Высокое значение этих параметров (свыше 0,5) означает придание большего веса последним уровням ряда, а низкое (менее 0,5) - предшествующим наблюдениям. Первый случай соответствует быстроизменяющимся динамичным процессам, второй - более стабильным.

В авторегрессионной схеме оценкой текущего уровня служит взвешенная сумма не всех, а нескольких предшествующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблюдениях не ранжированы. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними.

Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.

В практике статистического прогнозирования наиболее часто используются две базовые СС-модели - Брауна и Хольта, первая из них является частным случаем второй. Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами.

В моделях Брауна и Хольта параметры сглаживания характеризуют степень адаптации модели к изменению ряда наблюдений Они определяют скорость реакции модели на изменения, происходящие в развитии. Чем они больше, тем быстрее реагирует модель на изменения. Обычно для устойчивых рядов их величина большая, а для неустойчивых — маленькая. В различных методах прогнозирования используется различный подход к их определению. Их можно взять фиксированными, а наилучшее значение определить методом подбора, чтобы ошибка прогноза на один шаг вперед была наименьшей. При использовании компьютера это не представляет труда.

Альтернативу этому подходу составляет динамическое изменение параметров сглаживания. В методах эволюции и симплекс-планирования параметры адаптации постоянно меняются на каждом шаге. Для каждого параметра сглаживания формируется несколько значений.

В авторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и случайной компоненты.

Идентификация АР(р) модели состоит в определении ее порядка р. Одной из предпосылок построения модели этого типа является применение их к стационарному процессу. Поэтому в более широком смысле идентификация модели включает также выбор способа трансформацииисходного ряда наблюдений, как правило, имеющего некоторую тенденцию, в стационарный (или близкий к нему) ряд. Один из наиболее распространенных способов решения этой проблемы — последовательное взятие разностей, т.е. переход от исходного ряда к ряду первых, а затем и вторых разностей. «Чистые» авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционнуюфункцию(АКФ). Вэтом случае в качестве порядка модели выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину. Однако на практике редко встречаются процессы, которые легко было бы идентифицировать. Поэтому порядок модели обычно определяется методом проб из нескольких альтернатив. В число кандидатов включаются модели, у которых порядок соответствует ЧАКФ, превышающей стандартное отклонение 1/N. При обработке разностных рядов иногда ориентируются на АКФ, выбирая модели, у которых порядок соответствует максимальному ее значению, при условии, что оно превышает стандартное отклонение.

Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. АР-модели вообще не предназначены для описания процессов с тенденцией, однако они хорошо описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей.

3. Практическая часть

3.1. Постановка задачи

Дан временной ряд:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y_t	43	47	50	48	54	57	61	59	65	62

Необходимо сделать предварительный выбор наилучшей кривой роста:

Построить линейную модель , определив ее параметры методом наименьших квадратов.

3.2. Построение модели.

Вначале построим график 2 зависимости y_tот t:

y_t

график 2. Исходный временной ряд.

Для выбора полиномиальной кривой методом Тинтнера, как было указано выше в п.2.4.1.1, необходимо сделать предположение, что исходный временной ряд состоит только из тренда и случайной компоненты. Проверка этого предположения будет описана ниже при расчете адекватности модели.

Следуя схеме вычислений по методу Тинтнера, вычислим приросты до 4-го порядка по формуле (39). Полученные значения приведены в таблице 2.

Таблица 2

Значения временного ряда и его приросты.

t	y_t
1	43
2	47	4
3	50	3	-1
4	48	-2	-5	-4
5	54	6	8	13	17
6	57	3	-3	-11	-24
7	61	4	1	4	15
8	59	-2	-6	-7	-11
9	65	6	8	14	21
10	62	-3	-9	-17	-31

Затем находим дисперсии исходного ряда (k=0) по формуле (40), и для разностных рядов (k=1,2,3,4) по формуле (41). После этого вычисляем отклонение каждой последующей дисперсии от предыдущей по формуле (42). Значения этих величин приведены в таблице 3.

Таблица 3

Значения дисперсий и отклонений для исходного ряда и приростов.

k
0	54,0444
1	7,72222	46,3222
2	5,85417	1,86806
3	6,11429	0,26012
4	6,22143	0,10714

Как можно видеть, разности дисперсий уменьшаются с увеличением k и при k=3 достигают приемлемых величин, следовательно, ряд можно аппроксимировать функцией степениk-1=2.

Однако следует исследовать данный временной ряд также методом характеристик прироста, т.к. этот метод, являясь более универсальным, может наложить болеестрогое условие на степень полиномиальной кривой.

Вначале требуется произвести сглаживание исходного временного ряда простой скользящей средней. В литературе [1], рекомендуется использовать интервал сглаживания m=3. Значения сглаженного временного ряда рассчитываются по формулам (43) и (44). Далее вычисляются первые и вторые средние приросты по формулам (45), (46). Соответствующие значения временного ряда и приростов приведены в таблице 4.

Таблица 4

Значения исходного и сглаженного рядов, а также приросты для сглаженного ряда.

t	y_t	y_t(cглаженная m=3)
1	43	43,16666667
2	47	46,66666667	3,5
3	50	48,33333333	1,6667	-1,83
4	48	50,66666667	2,3333	0,667
5	54	53	2,3333	0
6	57	57,33333333	4,3333	2
7	61	59	1,6667	-2,67
8	59	61,66666667	2,6667	1
9	65	62	0,3333	-2,33
10	62	63,5	1,5	1,167

На графике 3 сопоставлены исходный и сглаженный временные ряды:

y_t

Первый и второй приросты не имеют тенденции к изменению и колеблются около средних значений 2,259 и -0,25 соответственно. Следовательно, согласно таблице 1, можно использовать полином первого порядка, коэффициенты которого находятся по методу наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов описан в п. 2.4.1.2. Подставляя значения из таблицы 2 в систему уравнений (47) получаем:

откуда находим a₀и a₁:

a₀=34,8

a₁=3,6

Таким образом,

В таблице 5 приведены исходные и расчетные значения временного ряда:

Таблица 5

Расчетные и реальные значения временного ряда.

t	_{(расчетн)}	y_t
1	38,4	43
2	42	47
3	45,6	50
4	49,2	48
5	52,8	54
6	56,4	57
7	60	61
8	63,6	59
9	67,2	65
10	70,8	62

Ниже на графике 4 изображены расчетные и реальные значения временных рядов:

y_t

3.3. Адекватность и точность модели

Как отмечалось в п.2.4.1.3, трендовая модель признается адекватной, если остаточная компонента (формула (49)) удовлетворяет свойствам случайной компоненты. Таким образом, необходимо проверить:

случайность колебаний уровней остаточной последовательности
соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения
равенство математического ожидания случайной компоненты нулю
независимость значения уровней случайной компоненты

3.3.1. Случайность колебаний уровней остаточной последовательности будет осуществляться по критерию пиков (поворотных точек) по формулам (53) и (54).

Подсчет числа поворотных точек можно осуществить визуально по графику 5 исходя из условий (52) и (52’).

ε_t

график 5. Остаточная последовательность ε_t.

По графику 5 видно, что точки 2,4,5,6,7,8,9 являются поворотными, следовательно:

Из формулы (53) получаем

Подставляя полученные значения в условие (54) имеем: 7>[2,9], что говорит о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда для критерия случайности с 5%-ным уровнем значимости.

3.3.2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения проверяется с помощью исследования показателей асимметрии и эксцесса по формулам (55) и (56).

Получаем:

Исходя из полученных данных видно, что выполняется условие (57):

поэтому гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

3.3.3. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю выполняется по формуле (60). Выполняя расчет, находим: t=0, что полностью удовлетворяет коэффициентам статистики Стьюдента.

3.3.4. Независимость значения уровней случайной компоненты проверяется с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле (61). Полученное значение для заданной последовательности: d=1,037, что попадает в диапазон табличных значений (d₁2) для n=10, k=1, уровень значимости 5% [4]. Эти данные не позволяют сделать однозначный вывод о неадекватности модели, однако требуют исследований на больших выборках, что невозможно выполнить ввиду отсутствия дополнительных статистических данных.

3.3.5. О точности прогноза построенной трендовой модели (см. п.2.4.1.4) можно говорить условно, т.к. формулы (62)-(65) показывают точность аппроксимации, а ретроспективный прогноз не представляется возможным из-за малого числа наблюдений (n=10). Таким образом:

-или 6,29%;

-R²=1-0,356=0,644.

4. Заключение.

В теоретической части данной работы были рассмотрены некоторые методы экономического прогнозирования; основное внимание было уделено трендовым моделям на основе кривых роста, а также предварительному анализу и обработке временных рядов.

В практической части по значениям исходного временного ряда была построена трендовая модель на основе полинома первого порядка, а также определены ее адекватность и точность. В результате:

5. Список использованных источников.

В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш «Экономико-математические методы и прикладные методы»
О.О. Замков, А.В. Толстопятенко «Математические методы в экономике»
Под ред. А.Г. Гранберга «Статистическое моделирование и прогнозирование»
Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов «Таблицы математической статистики»
В.З. Бродский, Л.И. Бродский «Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей»

t	y_t
1	43
2	47	4
3	50	3	-1
4	48	-2	-5	-4
5	54	6	8	13	17
6	57	3	-3	-11	-24
7	61	4	1	4	15
8	59	-2	-6	-7	-11
9	65	6	8	14	21
10	62	-3	-9	-17	-31

t	y_t
1	43
2	47	4
3	50	3	-1
4	48	-2	-5	-4
5	54	6	8	13	17
6	57	3	-3	-11	-24
7	61	4	1	4	15
8	59	-2	-6	-7	-11
9	65	6	8	14	21
10	62	-3	-9	-17	-31

t	y_t
1	43
2	47	4
3	50	3	-1
4	48	-2	-5	-4
5	54	6	8	13	17
6	57	3	-3	-11	-24
7	61	4	1	4	15
8	59	-2	-6	-7	-11
9	65	6	8	14	21
10	62	-3	-9	-17	-31