Общая характеристика аксиоматики Гильберта

	Загрузить архив:
	Файл: ref-23177.zip (77kb [zip], Скачиваний: 74) скачать

    ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА

Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той поста­новки, которая имела место до него.

Евклид в своих «Началах» наметил идеал строго логического изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить ми­нимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и от­чётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть выве­дено из аксиом исключительно логическим путём без всяких обра­щений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития гео­метрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько было труд­но осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности пре­одоления влияния очевидности, наглядных представлений на логический процесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.

Наше пространственное воображение, наглядные представле­ния и конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутником нашего мышления. Они в логическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительной ориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по которому следует направить логические рассуждения для окон­чательного доказательства истины и проверки фактов, добытых при помощи наблюдения и опыта.

Короче говоря, «созерцание намечает, логика проверяет; со­зерцание предсказывает, логика устанавливает; созерцание откры­вает, логика доказывает» (В. Ф. Каган).

Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при вы­боре аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция, наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логического доказательства, в построении той цепи умозаключений и аргументов, которые обос­новывают доказываемое предложение. Одна логика не может объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, а не другие. Здесь мы имеем широкое поле дей­ствия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).

Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными нагляд­ными представлениями, то это ведёт к потереобщности и к сужению поля применимости геометрических истин и логи­ческих рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реального мира, которые отражаются в наших наглядных пред­ставлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении объек­тов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.

Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в гео­метрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые являются существенными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакой роли в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представле­ниями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многими другими несущественными для логиче­ских выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков и установление их логи­ческих зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется вы­деление минимума исходных предпосылок геометрии и проверка их на непротиворечивость, независимость и полноту.

Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный перечень аксиом геометрии, а также разработать принципы про­верки их на непротиворечивость и независимость и сохранить общность геометрических истин, мы прежде всего должны поза­ботиться о максимальном устранении влияния наглядных пред­ставлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного и безразличного для логического построения гео­метрии, добиваясь наибольшей общности и применимости полу­чаемых выводов к изучению объектов реального мира.

И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на .основные' понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались со­вершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к вполне определённым конкретным объектам — точкам, прямым, плоскостям и т. Д., которые связаны с вполне определёнными про­странственными представлениями, то для Гильберта основные по­нятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без п р я м ы х определений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильберта являются в этом смысле косвенными оп ре делениями основных понятий.

Гильберт, начиная изложение своих «Оснований геометрии», предполагает существование трёх различных систем вещей, при­рода которых безразлична: «вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С,...;вещи второй системы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с,...;вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их а, р, 7, •••'. точки называются также э л е ментами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плос­кости называются элементамипространственной геометрии или элементамипространств а».

Далее, предполагается, что «точки, прямые, плоскости нахо­дятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти отно­шения словами «лежат», «между», «параллельный», «конгруэнтный» и «непрерывный)⁴; точное и для математических целей полное опи­сание этих отношений даётся аксиомами геометрии».

Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и акси­омы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами с перемен­ным содержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость» и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, а могут обозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит», «между», «конгруэнтный», также понимаемые определённым об­разом, удовлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются все аксиомы Гиль­берта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаются справедливыми, независимо от природы рас­сматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимость повторять доказательства теорем для каждой системы объектов.

Это приводит нас к возможности различных истолкований од­ной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с обычными пространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет, мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.

«Пространственное представление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оно определяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на ко ко­тором могут быть получены новые результаты, новые абстрактные формулировки.

Однако в готовой уже системе ссылки на ту или иную конкрет­ную интерпретацию не должны иметь место. Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необ­ходимыми при постройке аксиоматического здания, но которые убираются, когда оно закончено» (Р. Б а л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).

Обычное понимание геометрических элементов и отношений меж­ду ними является лишь одним из таких возможных истолкований. Так, например, аксиома «Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая» может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимая под «точками» пары вещественных чисел (х, у), под «прямой» — уравнение ах + + by+£==0, а под термином «прямая проходит через точку» — тот факт, что числа х, у удовлетворяют указанному уравнению. Можно также под «точками» понимать обычные прямые, проходя­щие через данную точку О, а под «прямой» — плоскость, проходя­щую через две такие прямые, и опять указанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.

Другим примером может служить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Пони­мая под «плоскостью» орисферу, под «прямой» —• орицикл на ори­сфере, под «точкой» — точку на орисфере, мы получаем новое ис­толкование всех аксиом Евклида.

Этот процесс совершенно аналогичен процессу абстрагирования , в алгебре, когда, например, под символом а + Ь сперва понимает­ся лишь обычное сложение двух конкретных чисел, а затем сложе­ние любых чисел, а затем под а, Ь и + понимаются объекты и от­ношения другой природы, как, например, сложение векторов, мат­риц, тензоров и т. д.

Однако не нужно думать, что при таком абстрактном понима­нии геометрия теряет реальную почву. Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретных истолкований геометрии расширяет область её приложений.

Если раньше геометрия развивалась применительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах не сообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объекты выступают, мы в геометрии изучаем свой­ства количественных отношений и пространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометрия была изобретена и развита с той целью, чтобы изучить свойства физического пространства, но её истины имеют, однако, более общее значение и остаются в силе и для многих объектов, которые каче­ственно отличны от объектов, связанных с обычными нашими гео­метрическими представлениями.

Огромная степень абстракции не уменьшает, а неизмеримо умножает возможности применения геометрии к изучению зако­номерностей реального мира. «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит,— если оно правильное, от истины, а подходит к ней... Все научные (правильные, серьезные, не вздор­ные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» (В. И. Ленин).

Таковы общие замечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которые читатель должен иметь постоянно в виду.

С указанной точки зрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрической абстрактно-логической системы чер­тежи и обычные пространственные представления являются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь ло­гических рассуждений и позволяют проверить правильность ло­гического вывода на конкретном материале.

Изучение аксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых, читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно очерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий пе­дагог должен в результате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьный курс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он увидит, что целый ряд предложений, которые со всей тщательностью, до тонких де­талей доказываются при строго логическом изложении, в школь­ном преподавании принимаются без доказательства .просто как са­мо собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треуголь­ника и т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям учащихся, к требованиям практики и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросов геометрии предостережёт педагога от ряда ошибок и слепого следования учебнику; учитель будет понимать, где даётся мнимое доказатель­ство," а где действительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, а где настоящее определение; он не будет видеть полного доказательства там, где имеется неизбежный пробел, и будет от­крыто и сознательно, а не слепо допускать в случае необходимости 1акие отступления.

Аксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:

Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания) (8аксиом).

Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4 аксиомы).

Группа III. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).

     Группа IV. Аксиома непрерывности (1 аксиома).

Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).

Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношении порядка и содер­жания аксиом групп IVи Vмы допускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).

§ 3. ГРУППА I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ

Как уже говорилось, у Гильберта основными элементами гео­метрии являются неопределяемые понятия «точка», «прямая», «плоскость». Между этими элементами в первой группе аксиом устанавливается некоторое отношение, выражаемое неопределяе­мым понятием «лежать на», связывающим точку и прямую, а также точку и плоскость. Так, мы говорим: «Точка лежит на пря­мой или на плоскости». Но то же отношение выражается словами: «прямая проходит через точку» или «плоскость проходит через точку». Для единообразия терминологии вводится единый термин «принадлежности» или «и н ц и д е н т н о с т и». Мы говорим: «Точка и прямая принадлежат друг другу или инцидентны друг другу». При этом никакого конкретного смысла в понятие «принадлежности» или «инцидентности» мы не вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы. Аксиомы соеди­нения представляют собой косвенное определение "понятия инци­дентности.

Мы всё же наряду с этими терминами будем употреблять при­вычные выражения, связанные с обычными наглядными представ­лениями: «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» и т. д. Будем также говорить: «на прямой а существует точка Л». Если точка А принадлежит прямой а и прямой Ь, то мы также будем говорить: «Прямые а и dимеют общую точку Л» или «Пря­мые а и d пересекаются в точке A». Если прямая а принадлежит двум точкам А и В, то мы будем говорить: «Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки A и В».

Формулируем теперь аксиомы первой группы.

I.1. Д л я любых двух точек А и В с у щ е с т в у е т прямая, принадлежащая каждой изних.

(В обычной терминологии: через любые две точки А и В прохо­дит прямая.)

I.2. С у щ е с т в у е т не болееоднойпрямой, принадлежа щ е и каждой издвухданн ы х

т о ч е к А и В.

Если аксиома I.1 утверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 утверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюда непосредственно следует теорема: «Через любые две точки проходит одна и только одна пря­мая, т. е. прямая вполне определяется двумя точками». Эту прямую .можно обозначать через АВ или В А.

   I.3 . На каждой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежа­щие однойпрямой.

Аксиомы 1_{1 3} устанавливают связь между понятиями «точка» и «прямая». Следующие аксиомы выражают связи между этими понятиями и понятием «плоскость».

I₄. Для любых трёх точек А, В, С, к е принад­лежащих однойпрямой,существует плос­кость, принадлежащая каждой из этих то­чек; каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, сущест­вует не более однойплоскости,принадле­жащей каждой из трёхточек А, В, С.

Из аксиом I₄ и I₅ непосредственно вытекает предложение:

Теорема. «Через всякие три точки А, В, С, не лежащие на од­ной прямой, проходит одна и только одна плоскость». Эту плос­кость можно обозначить через"ABC.

I₆. Если две точки Aи В прямой а принад­лежат п л о с к о с т и а, т о и каждая точка пря­мой а принадлежит плоскости а.

Определение. Относительно прямой а, каждая точка которой принадлежит плоскости а, будем говорить, что «прямая а принад­лежит плоскости а» или что «прямая а лежит на плоскости а» или что «плоскость а проходит через прямую а».

Таким образом, понятие «принадлежности» в отношении прямой и плоскости является определяемым понятием.

I₇.Еслидве плоскостиа и (3 имеют общую
точку A,то они имеют по меньшеймере ещё
одну общую точку В.

I₈.Существуют   поменьшеймеречетыре
точки, не принадлежа щ и е однойплоскости.

Аксиомы 1₁-₃называются   плоскостными,   аксиомы

I₄_₈ —пространственными.

Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспе­чивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки, лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскости чрезвычайно бедны точками. Если бы мы ис­ходили из наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомы требование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотного множества точек. Теперь же, посколь­ку это требование отсутствует, существование бесконечного мно­жества точек на прямой должно быть строго доказано.

Заметим ещё, что аксиомы 1_1—4 соответствуют первому посту­лату Евклида. Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.

Следствия аксиом соединения

Рассмотрим теперь несколько теорем, которые могут быть до­казаны с помощью лишь одних аксиом первой группы.

Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.

Доказательство:

Предположим, что две различные прямые а и Ь имеют две общие точки А и В. Но по аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки A и В. Следовательно, прямые а и Ь со­впадают, что противоречит условию. Таким образом, две прямые а и dлибо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.

Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точ­ки, или имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

Доказательство:

Пусть две различные плоскости M и V  имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиома I₇). Точки A и В определяют единственную прямую, про­ходящую через эти точки (аксиомы I.1—I.2). Эта прямая AВ принад­лежит каждой из плоскостей аир (аксиома I₆). Никаких других общих точек плоскости M и V не имеют, ибо если предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостей V и M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I₄_₅ существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящая через точки A, В, С, а по­тому плоскости VиM должны совпасть, что противоречит условию.

Теорема 3.3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Доказательств о:

Если предположить, что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней две общие точки A и В, то по аксиоме I₆ каждая точка прямой а должна лежать в плоскости M, т. е. прямая а лежит в плоскости M, что противоречит условию.

Теорема 3.4. Через прямую и не лежащую на ней точку про­ходит одна и только одна плоскость.

Доказательств о:

Пусть дана прямая a и не лежащая на ней точка А, На прямой aсуществуют по меньшей мере две точки В и С (аксиома 1₃). Точки А, В и С не лежат на одной прямой.

В самом деле, если допустить противное, то проходящая через них прямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямая а, проходящая через точки В и С. Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит условию. Итак, точки А, В и С не лежат на од­ной прямой, а потому через них проходит единственная плоскость а (аксиома 1₄ и 1₅). Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит через прямую а (аксиома 1₆). Итак, плоскость а про­ходит через прямую а и точку А.

Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, прохо­дит одна и только одна плоскость.

Доказательство:

Пусть а и Ь — две прямые с общей точкой С. На прямой Ь су­ществует по меньшей мере ещё одна точка В, отличная от С (ак­сиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо в противнем случае прямые а и Ь, имея общие точки В и С, совпадали бы в силу акси­ом Ii_2. На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Эта плоскость проходит через точки С и В, а следовательно, и через прямую Ь (аксиома 1_6/).

По аксиоме I₄ на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существование на плоскости трёх точек.

Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство:

Пусть дана плоскость M. По аксиоме I₄ на плоскости существует точка А. По аксиоме I₃ существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат на плоскости M, то тео­рема доказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости M, то найдена вторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости V(аксиомы I₄_₅). Плоскость , имея с плоскостью а общую точку A, имеет с ней ещё одну общую точку D(аксиома 1₇). Остаётся дока­зать существование ещё одной точки на плоскости а.

По аксиоме I₈ существует точка М, не лежащая в плоскости V.

Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежит в плоскости V(aксиомаI₆), а точка М не лежит в этой плос­кости. Если точка М лежит на плоскости M, то теорема доказана. Если точка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, Bи М, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плос­кость I(аксиомы 1₄-₈), имеющая с плоскостью а одну общую точку А. По аксиоме 1₇ плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, Dи Fплоскости M не лежат на одной пря­мой. Действительно, если бы A, Dи Fпринадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки A и Dплоскости I.3, эта прямая по аксиоме I₆ лежала бы в плоскости V, а проходя через точки A и F, ока принадлежала бы плоскости у, т. е. эта прямая была бы общей прямой плоскостей V и M. Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и долyна на совпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает, что точки A, Dи Fне лежат на. одной прямой.

Как впоследствии будет доказано , при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказать существование бесконечного множества точек у прямой или плоскости. Но если мы воспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами по­рядка, то это окажется возможным.

§ 4. ГРУППА IIАКСИОМЫ ПОРЯДКА

В аксиомах второй группы описываются основные свойства не­определяемого понятия «лежать м е ж д у», выражающего не­которое отношение трёхточек, лежащих на одной прямой. Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного со­держания и наглядного представления мы с термином «лежать между» не связываем.

II₁. Еслиточка В лежит между точкой Aи точкой С, то A,В,С — различные точки одной прямой и В лежит также между С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, а даётся условно («если...»). В следующей аксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.

II₂. Если Aи В—дветочки,тонапрямойЛВ всегдасуществуетпоменьшеймереодна такаяточкаС, чтоВлежитмеждуAиС.

II₃. Изтрёхточекпрямойнеболееодной точкилежитмеждудвумядругими.

Эта аксиома означает, что для трёх точек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между A и С, A ле­жала между В и С и С лежала между A и В. Может иметь место не более одного из указанных положений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом в аксиоме не гово­рится и будет впоследствии доказано.

Заметим, что аксиома II₃ означает незамкнутостьпрямой. Если точки A, В и С лежат, например, на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.

Определение. Система двух точек прямой A и В называется отрезком AB или ВA; точки A и В называются концами отрезка; точки, лежащие между А и В (если такие точки существуют), на­зываются точками отрезка АВ или внутренними точками отрезка АВ; все остальные точки прямой АВ называются в н е ш­ нимии точками к отрезку АВ.

Заметим, что аксиомы II.1-3 неутверждают  существования

внутренних точек отрезка, но из аксиомы П₂ вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.

АксиомыIII.1-3 называются  линейнымиаксиомами порядка;

следующаяаксиома  являетсяплоскостной.

П₄. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С — т р ит о ч к и, не лежащие на одной прямой, и а — пря­мая в плоскости ABC, н е п р о х о д я щ а я ни че­рез одну из то ч е к А, В, С. Тогдаеслипрямая а проход ичерезвнутреннююточку отрез­ка АВ, тоонапроходит такжечерез внут­реннюю точкуодного и толькоодного из двух других отрезков, АС или ВС).

Напомним, что в «Началах» Евклида совершенно отсутствуют аксиомы, соответствующие аксиомам расположения Гильберта. Перейдём теперь к рассмотрению важнейших теорем, которые вытекают из аксиом первой и второй групп. Прежде всего займёмся установлением существования бесконечного множества точек на отрезке. Как известно, в школьном преподавании этот факт при­нимается без доказательства.

Теорема 4. 2. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит "между двумя другими.

Доказательство:

Пусть A, В, С — точки одной прямой, причём А не лежит между В и С и С не лежит между A и В. Докажем, что обязатель­но В лежит между A и С. По аксиоме I₃ существует точка D, не ле­жащая на прямой АС (черт 102). По акси­оме П₂ на прямой BDсуществует такая точка G, что Dлежит между В .и G. По аксиоме Паша П₄, применённой к точ­кам В, С, Gи прямой AD, последняя пере­секает отрезок GCв точке Е, лежащей мгжду Gи С. Аналогично докажем, что прямая "CDпересекает отрезок AGв точ­ке F. Применяя аксиому П₄ к точкам Л, G, Е и прямой CF, убедимся, что точка Dлежит между А и Е. Наконец, применяя аксиому П₄ к А, Е, С и прямой BG, докажем, что В лежит между Л и С. В силу аксиомы П₃ теоре­ма 4.2 полностью доказана.

Деление прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости, пространства на два полупространства

Перейдём теперь к рассмотрению ряда других предложений, которые в школьном преподавании всегда считаются само собой разумеющимися,— предложений о делении прямой на два луча, плоскости на две полуплоскости и пространства на два полупро­странства. Введём следующую терминологию.

Определение. Пусть А, В, О — три точки прямой. Если О ле­жит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой по разные стороны от О, если О не лежит между A и В, то говорят, что A и В лежат на прямой с однойстороны от точки О.

Теорема 4.6. Каждая точка О прямой а делит все остальные точ­ки этой прямой на два класса так, что любые две точки, принад­лежащие одному и тому же классу, лежат с одной стороны от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О.

Доказательство этой теоремы является простым, но громозд­ким. Наметим лишь ход доказательства. Возьмём на данной пря­мой произвольную точку A, отличную от О, и разобьём все точки прямой на два класса: к первому классу отнесём точку A и все те точки, каждая из которых лежит вместе с A по одну сторону от О, а ко второму классу — все те точки, из которых каждая ле­жит с точкой A по разные стороны от О. Далее доказываем, что всякая точка данной прямой, кроме О, попадает в один и только один из этих классов. Затем, пользуясь теоремами 4.2, 4.3 и 4.4, доказываем, что если В и Сточки одного и того же класса, то точка О не лежит между В и С, если же точки В и С принадлежат разным классам, то О лежит между В и С.

Теорема 4.6 позволяет ввести понятие луча.

Определение. Множество всех точек прямой а, лежащих по од­ну и ту же сторону от точки О, т. е, принадлежащих к одному классу, называется лучом или полупрямой, исходящей из точки О, называемой началом или вершиной луча.

Таким образом, теорема 4.6 говорит о том, что каждая точ­ка прямойделит её на два луча.

Определение. Пусть в плоскости к дана прямая а и две точки А и В, не лежащие на прямой а. Если отрезок АВ не пересе­кает а, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от а; если отрезок АВ пересекает а, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4. 7. Каждая прямая а в плоскости а делит все точки этой плоскости, не лежащие на прямой а, на два класса так, что любые две точки, принадлежащие одному классу, лежат с одной стороны от а, а всякие две точки, принадлежащие разным клас­сам,, лежат по разные стороны от а.

Доказательство:

Пусть А точка плоскости а, не лежащая на прямой а. Разобьём все точки плоскости а, не принадлежащие прямой а, на два класса. К первому, классу отнесём точку А и все те точки,

которые вместе с А лежат по одну сто­рону от а. Ко второму классу отнесём все те точки, которые с точкой А лежат по разные стороны от а.

Каждая точка плоскости а, не при­надлежащая а, попадает в один и толь­ко один из указанных классов, ибо какова бы ни была точка В плоскос­ти а, возможны лишь два случая: либо отрезок АВ пересечёт прямую а, либо не пересечёт.

Покажем, что любые две точки одного класса лежат с одной стороны от а.

Пусть В и В'—две произвольные точки первого класса (черт. 104), т. е. отрезки А В и АВ' не пересекают а. Если точки А, В, В' не лежат на одной прямой, то отрезок ВВ' не пересекает а, ибо если предположить противное, то отсюда следовало бы по аксиоме П₄, что прямая а пересекает один из отрезков: АВ или АВ', что противоречит условию.

Если точки А, В, В' лежат на одной прямой /, то возможны лишь два случая: либо / пересекает а, либо не пересекает. Если / пересекает а в некоторой точке S, то точки А и В, а также А и В' лежат с одной стороны от 5, а потому и точки В и В' лежат с одной стороны от S, т. е. отрезок ВВ' не пересекает а, а значит, В и В' лежат с одной стороны от а. Если же / не пересекает а, то и отрезок ВВ' не пересекает а, и снова точки В и В' лежат с од­ной стороны от а.

Пусть теперь С и С' — точки второго класса. Докажем, что они также лежат с одной стороны от а.

Если A, С, С' не лежат на одной прямой, то прямая а, пересе­кая отрезки АС и АС', по аксиоме П₄ не может пересечь отре­зок СС'.

Если А, С, С' лежат на одной прямой /, то эта прямая пересе­кает а в некоторой точке S, причём Sлежит между A и С, а также между А и С', т. е. А и С, а также Л и С' лежат на / по раз­ные стороны от S, а поэтому по теореме 4.6 точки С и С' лежат по одну сторону от Sи, следовательно, отрезок СС' не пересекает а.

Пусть, наконец, В — точка первого класса, С — второго класса, Это значит, что отрезок АВ не пересекает а, а отрезок АС пере­секает а. Докажем, что В и С лежат по разные стороны от а.

Если А, В, С не лежат на одной прямой, то по аксиоме П₄ прямая а пересекает отрезок ВС, ибо она пересекает отрезок АС, но не пересекает отрезка АВ.

Если А, В, С лежат на одной прямой /, пересекающей прямую а в точке 5, то Л и В лежат по одну сторону от S, а точки A и С — по разные. Следовательно, по теореме 4.6 точки В и С ле­жат по разные стороны от S, т. е. отрезок ВС пересекает а, а это значит, что В и С лежат по разные стороны от а.

, Каждый из двух рассмотренных классов точек называется   

п о луплоскостью плоскости а. Таким образом, каждая прямая делит плоскость на двеполуплос­кости.

Сформулируем ещё аналогичную теорему для пространства.

Определение. Пусть а — некоторая плоскость и точки Л и В не лежат в плоскости а. Если отрезок AВ не пересекает а, то го­ворят, что точки A и В лежат по однусторону от плоскости а, если отрезок AВ пересекает а, говорят, что точки A и В лежат по разные стороны от а.

Теорема 4.8. Каждая плоскость а. разделяет все точки про­странства, не лежащие на а, на два класса так, что любые две точ­ки А и В одного и того же класса лежат по одну сторону от а, а лю­бые две точки А и В разных классов лежат по разные стороны от а.

Таким образом, каждая плоскостьразделяет пространство на двеобласти, называемые полупространствами.

Определение. П apа л у ч е йh, k, выходящих из точки О и не при надлежащих однойпрям о и, называется углом, которыйобозначается знаком < (h, k) и л и < (k,h). ЕслиAи В — т о ч к и, лежащие соответственно на лучах hи k, то угол обозначается т а к ж е < AОВ и л и < ВОA

Точка   О называется   вершинойугла, лучи hи k сторонами угла ).

Определение. Пусть дан угол (h, k). Дополним лучи hи kдо полных прямых лучами hи k(черт. 105). Все точки плоскости, проходящей через эти прямые (теорема 3.5), отличные от точки О и не лежащие на лучах hи k, делятся углом на две области: все точки, которые лежат с той же стороны от прямой h, h, что и точ­ки луча k, и с той же стороны от прямой k, k, что и точки луча h,

называются внутренними точ­ками угла (h, k}, а их совокупность называется внутреннейоблас­тью угла; все остальные точки плоско­сти называются внешними, а их совокупность — внешней областью. Можно показать, что прямые h, k и

h, kплоскостьна 4 области, по-

парно не имеющие общих точек, это внутренние области углов (h, k), (k, h),

(h, k), (k, h).

Сформулируем без доказательства следующую теорему. Теорема 4. 9. Если А и В — внутренние точки угла, то отре­зок А В не пересекает сторон угла и не проходит через вершину угла; если А — точка луча h, а В — точка луча k, то все точки отрезка АВ — внутренние точки угла, если А — внутренняя, а В — внешняя точка угла, то отрезок АВ пересекает одну сторону угла или проходит через вершину угла О.

Определение. Пусть h, k, L— три луча с общей вершиной О, лежащие в одной плоскости. Будем говорить, что луч L лежит между лучами hи kили что Lпроходит внутри угла (h, k), если все точки луча L являются внутренними точками этого угла.

Теорема 4.10. Всякий луч I, проходящий внутри угла КОВче­рез его вершину О, пересекает отрезок KB; обратно, всякий луч, проходящий через вершину угла и точку отрезка KB, соединяю­щего две точки К и В, лежащие на сторонах угла, есть внутренний' луч угла КОВ.

Теорема 4. 11. Из трёх лучей h, k, Iс общей вершиной О, рас­положенных в общей полуплоскости относительно прямой, прохо­дящей через О, один и только один лежит, между двумя другими.

Рассмотрим ещё понятие ломаной и многоугольника.

Определение. Совокупность конечного числа отрезков АВ, ВС, CD, . . ., KLс общими концами В, С, . . ., К называется л о м а н о й, составляющие отрезки называются звеньями лома­ной, начальная точка А и конечная Lназываются концами

ломаной. Если А и Lсовпадают, то ломаная называется много­угольником, причём А, В, . . ., Lназываются верши­нами многоугольника, звенья ломаной — сторонами многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат в од­ной плоскости, то многоугольник называется плоским. Плос­кий многоугольник называется просты м, если: 1) все его вершины различны, 2) ни одна из его вершин не лежит внутри ка­кой-либо стороны, 3) никакие две несмежные его стороны не пе­ресекаются.

Например, многоугольники, изображённые на чертеже 107, не являются простыми.

Укажем на важнейшее свойство простого многоугольника.

   Теорема 4. 12. Всякий простой многоугольник делит все точки плоскости, отличные от точек многоугольника, на две области: любые две точки первой области (внутренней) всегда можно соеди­нить ломаной, не пересекающей многоугольник, и не существует прямой, целиком лежащей внутри этой области; любые две точки второй области (внешней) также можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник, и существует пряная, целикои лежа­щая в этой области; если две точки принадлежат разньм областям, то всякая ломаная, их соединяюш₁ая, пересекает многоугольник.

§ 5. ГРУППА Ш. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ

В «Началах» Евклида в учении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с пред­ставлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, а также предполагает рас­смотрение всех промежуточных положений фигуры.

В первой главе мы уже говорили о неприменимости такого по­нимания движения к геометрическим фигурам.

В учении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное поло­жение фигуры.

Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.

В современном научном изложении учение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является про­изводным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.

Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гиль­берта понятие движения является производным и может быть со­вершенно исключено из геометрии, так каково используется в гео­метрии только для установления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает ника­кого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и углами, удовлетворяющее аксиомам третьей группы.

Что касается терминов «равенство» или «конгруэнтность», то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматри­ваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при рас­смотрении плоских или пространственных фигур мы не можем утверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут кон­груэнтны и целые фигуры*).

Итак, вводим неопределяемое понятие «конгруэнтный» в при­менении к отрезкам и углам, свойства которого выражаются в сле­дующих аксиомах:

Ш.1 Если А и В — две точки прямой аиА' — точка натой жеилидругойпрямой а' , то существует на прямой а' по даннуюсторону от точки A' такая точка В', чтоотрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', чтообозначает­ся знаком АВ=А'В'. Всегда АВ=ВА.

Короче говоря: «Каждый отрезок может быть «отложен» на лю­бой прямой в ту или другую сторону от любой её точки».

Заметим, что в аксиоме П^ утверждается лишь существование точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.

   Ш₂. Если АВ = А'В'и АВ^А"В", то А'В' = А"В".

   Ш₃. Пусть АВ и BC — Два отрезка прямой а без общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С' — два отрезка прямой а' (отлично и от а' или с ней совпа­дающей) также без общих внутренних точек. Если

АВ=А'В', ВС^В'С', то АС = А'С'.

Короче: «суммы» соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.

Ш₄. Пусть дан угол (h, k) в плоскости а, а также определённая относительно прямой а' полупло­скость плоскости а', пусть К—луч прямой а', вы­ходящий из точки О'. Тогда на плоскости к' суще­ствует один и только один луч k', такой, что <(h, k) конгруэнтен угол (h', k') и при этом все внутреннее точки угол (h', k') лежат в данной полуплоскости а'.

Короче говоря: «Каждый угол может быть однозначно отло­жен в' данной плоскости по данную сторону при данном луче».

Ш_.5. Если для двух треугольников ABCи А'В'С' имеют место конгруэнции: АВ=А'В', AC=A'C', ^ ВАС == ^ В^’ А'С', т о ^ ABC= ^ А'В'С',

Теоремы о конгруэнтности отрезков, углов и треугольников

Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме Ш.1, а также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.

Теорема 5. 1. Точка В', о существовании которой говорится е аксиоме III₁—единственная.

      Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
AB=BA(свойство рефлективности).
Доказательство:

По аксиоме III.3 AB^ВA и ВA=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ', где В'—точка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш₂ из AВ=ВA и АВ=АВ' следует, что ВA=AВ'. Но так как ВA=АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.

Теорема 5.3.   Если АВ=А'В', то и А'В'^АВ (свойство сим­метричности).

Доказательство:

Пусть AВ=A'В'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,

т.о аксиоме III₂A'В'=AВ.

Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и Д'В' конгруэнт­ны друг другу.

Теорема 5. 4. Если AВ=A'В' и A'В'=A"В", то ДВ=A"В". (свойство транзитивности в другой форме).

Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треуголь­ников.) Если у двух треугольников ABCи А'В'С' имеем (черт. 109) AВ=A'В', AС=A'С',           угол A=углуA', то AВС=A'В'С'

Теорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треуголь­ников.) Если у двух треугольников ABCи А'В'С' имеем (черт. 110)

AВ=A'В', ^А=^А', ^В=^В', то AВС= A'В'С'.

Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике углы при осно­вании конгруэнтны.

Доказательство:

Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и A'В'С', причём вершины последнего соответственно совпадают с верши­нами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=A'С', ВС=В'С', ^AСВ=^А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=A'В'С', а поэтому ^ВAС=^В'A'С', т. е. ^ВAС=^AВС.

Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся «наложением» или «вращением», т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгру­энтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использова­ния понятия движения характерно и для всех прочих доказа­тельств.

Прежде чем получить доказательство третьего признака кон­груэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других теорем.

Определение. Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два угла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.

Теорема 5. 9. Если угол ^ (h, k) конгруэнтен углу (h'. k'), то и угол, смежный первому углу, конгруэнтен углу, смежному c вторым углом.

Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9

Теорема 5. 11, Пусть h, k, Iи h', k', I' — лучи, исходящие соответственно из точек О и О', и каждая из этих троек лучей расположена в одной плоскости; пусть при этом лучи h, kи h', k' расположены либо те и другие по одну сторону от луча I, соответственно /', либо те и другие — по разные стороны. Тогда из ^(h, l)==^(h', Г) и -4(/, k)=^(t', k) следует ^ (h, k) = = ^.(h', k').

Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треуголь­ников.) Если у треугольников ABCи А'В'С'

АB = А'B', АС = А'С', ВС=В'С', то

треуг.ABC=треуг.A'B'C'

Теорема 5.13. Если ^(h. k) =^(h', k') и  ^ (h, k)=^(h", k"),

mo ^ (h', k') = ^ (h", k").

Теорема 5. 16. Прямой угол существует. Доказательство:

Возьмём произвольный угол (A, k). По аксиоме Ш₄ по дру­гую сторону от луча А, нежели луч k, существует такой луч (черт. 116). Взяв на луче kнекоторую точку A, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОА^=

В е Черт. 116.

= ОВ (аксиома Ш^. По тео­реме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, кото­рой принадлежит луч А. При этом возможны 3 слу­чая: либо точка пере­сечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу h, до­полнительному к А.

Теорема 5. 17.

Теоремы о делении отрезка и угла пополам и другие

Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:

Теорема 5. 19. Каждый угол можно разделить пополам и при­том единственным образом.

Вводя далее обычные определения биссектрисы угла, а так­же медианы и высоты треугольника, мы можем доказать сле­дующие теоремы:

Теорема 5.20. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть медиана и высота.

Теорема 5.21. Через всякую точку плоскости проходит единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой плоскости.

Далее можно доказать теоремы.

Теорема 5.22. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются между собой.

Теорема 5.23. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответственные или внутренние на­крест лежащие углы, то они не пересекаются.

Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая а и не ле­жащая на ней точка А, то в плоскости а через точку А про­ходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.

Сравнение отрезков и углов

Для отрезков и углов можно ввести соотношения «больше» и «меньше» при помощи следующих определений.

Определение. Пусть даны два отрезка AВ и A'В'. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=A'В', то говорят, что отрезок А' В' меньше отрезка ЛВ или что отрезок AВ больше отрезка A'В', что записывается так: A'В'A'В'.

Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CDимеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB=CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ

Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:

в)Если AВ = A'В', CD

г)Если AВ>СО, то AВ> CD.

Такими же свойствами обладают понятия «большие», «меньше» в применении к углам. Затем вводим понятия «острый» и «ту­пой» углы.

Теорема о внешнем угле треугольника и другие

Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.

Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соот­ветственно конгруэнтны двум сторонам другого, а углы, заклю­чённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то про­тив большего из этих углов лежит и большая сторона (и обрат­ная теорема).

Движение

Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определе­ние.

Определение. Движениемназываетсятакое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок пре­образуется в конгруэнтный отрезок.

Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь раз­личный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.

III.1 Каждую т о ч к" у пространства движе­ние преобразует в точкутого же про­странства,

III.₂.Еслипрямая а  ил еж а щ а я на ней точ­ка А движением преобразуются впрямую а и точку A', то точка А' лежит на прямой а'.

Заметим, что последовательное применение двух преобразо­ваний называется произведением этих преобразований.

III₃. Совокупностьвсех движений обра­зует группу, т. е.:

а)Произведение двух движений есть так­
же движение.

б)Существует   движение,     при    котором
каждаяточка  преобразуется сама  в  себя.
Такоедвижение   называется   тождествен­ным и играетрольединицыгруппы движе­ний.

в)Для каждогодвижениясуществует об­
ратное движение,   произведениекоторого
сданным   движениемдаёт   тождественное
движение.

г) Про из в еден и е   движений   ассоциативно,   т. е. удовлетворяет   сочетательному закону.

  III₄ Если три точки A,_B, С, и з которых В лежит между А и С, п р и движении преобра­зуются в точки А', В', С', то В' л е ж и т между А' и С.

   III.5 Существует одно и только одно движе­ние, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определён­ную полуплоскостьотносительноэтого луча соответственно в другую данную точку у А', в определённыйлуч с вершиной в А' и в определённуюполуплоскостьотноси­тельно этого луча

Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, прикотором отрезок АВ переходит в отрезок В А.

   III.7 С у щ е с т в у е т   движение, при котором (h, k) п е р е х о д и т в (k, К).

   III.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самихсебя, то каждаяточкаэтоголучапреобразует­ся сама в себя.

При помощи предложений Ш',-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем_£_движениях. Сформулируем некоторые из них:

1)Каждое движ е н и е   преобразуетпрямую
в прямую, луч в луч, угол в угол, плоскость
в   плоскость,    полуплоскость    в   полупл-­
скость, полупространство в полупространство.

2)Любое движение можно свести к после-­
довательному   осуществлению   двух   част-­
ныхслучаев движения: сдвига и вращения
околоточки,   т. е.   любоедвижение   можно
рассматривать   как   произведение сдвига
и   вращения.

3)Задание   двух   конгруэнтныхтетраэд­-
ров   вполне   определяет   движение,преоб­
разующеепервыйтетраэдрвовторой, т. е.
положение      пространственной       фигуры
вполне    определяется   четырьмя   её   точка­
ми,   не   лежащими в одной   плоскости.

4)Заданием двухконгруэнтныхтреуголь­ника.

Определение. Две фигурыназываются кон­груэнтными, еслисуществуеттакое дви­жение, котороепреобразуетпервую ф и гуру во вторую.

Таким образом, мы можем резюмировать связь между поняти­ями конгруэнтности и движения следующим образом: при на­личии аксиом Гильберта I—IIаксиомы к о н­ груэнтности Гильберта III_1-5 и аксиомы движения Ш₁-₈ являютсяэквивалентными.

§ 6. ГРУППА IV(ПОГИЛЬБЕРТУ V). АКСИОМЫ  НЕПРЕРЫВНОСТИ

Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них «просветов.» или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в тече­ние всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIXстолетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие не­прерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в во­просах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизмен­но прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём уже подробно говорилось в первой главе.

Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог по­лучить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся уже нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую про­блему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, пло­щадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, а не на логических основаниях. В связи с последним обстоятель­ством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ-

ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-

ставлениям, не получившим точной математической формулировки

в аксиомах.

Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непре­рывность функции была в логическом отношении построена «на песке».

Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (1831—1916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших умозаклю­чений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым осво­бодил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геомет­рическим представлениям, ибо теперь свойства системы действи­тельных чисел становились логическими следствиями общего определения действительного числа.

        С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание анали­тическойгеометрии и математического анализа (теория пределов).

       Вскоре после Дедекинда  понятиенепрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» выразил непрерывность прямой в виде, отличном от указанныхтеорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется  аксиомой Дедекинда, /а вместо неё вводит две.аксиомы — аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности экви­валентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом I—IIIгрупп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:

IV. ЕсливсеточкиотрезкаАВ, включая иегоконцы, распределенынадвакласса так, что:

1) каждаяточкаотрезкапринадлежит одномуитолькоодномуизэтихклассов,
точкаЛпринадлежитпервомуклассу,
аточкаВ—второмуклассу;

каждаяточкапервогокласса,отлич­наяотА, лежитмеждуA и

любойточкоивто рого класса, т о на отрезке АВ

су щеотвуетодна и толькооднатакаяточка С, что в с я-
кая точка, лежащая между A и С, п р и я а д л е ж и т первомуклассу, авсякаяточка, лежащая   между   С и В,    принадлежит     второму классу.   Сама   точка   С   принадлежит   либо
первому, либо второму класс у.                     !

(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)

Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка).

Замечания: 1) Строго говоря, требование единст­венности точки С является лишним, ибо может быть дока­зано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С_1; производящая сечение отрезка ,4В, и для определённости предпо­ложим, что С лежит между А и С₁ Так как Qлежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В. Пусть, теперь M — любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По тео­реме 4-4 эта точка М лежит между А и С _х,

т. е. попадает в пер­вый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, зна­чит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.

2)В условии аксиомы IVговорится, что каждая точка первого
класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждаяточка

вто­рого класса, отличная от В, лежит между В
и любой точкой  первогокласса.

В самом деле, пусть Yесть некоторая точка второго класса и X— любая точка первого класса. По условию аксиомы точка Xле­жит между А и Y, в то же время Yлежит между A и В; сле­довательно, по теореме 4.4 точка Yлежит между Xи В.

3)   Далее,   можнодоказать,    что    ни    одна
точка   одного   из   классовне   лежит между
к а к о й - л ибопаройточекдругогокласса. Действительно, допустим, что точка Yвторого класса лежит между точками Х₁ и X₂ первого класса. Тогда по условию аксио­мы Х₁ лежит между Aи К, а К по допущению лежит между X₁ и .₂, отсюда по теореме 4.3 Yлежит между А и Х_а, т. е Х₂ не лежит между А и Y(теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х₂ по условию аксиомы лежит между А и У. По­лученное противоречие и доказывает требуемое.

4)Заметим, наконец, что аксиому Дедекиндаможно
высказатьдля  всейпрямой,для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежа­щие относительно А по другую сторону, нежели Б, а ко второму
классу — все точки прямой, лежащие относительно Впо другую
сторону, нежели A.

Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения — постулат Архимеда и принцип Кантора.

IV.1. (ПостулатАрхимеда.)Пусть   АВ и CD— д в а произвольных отрезка и пусть на луче AВ с вершиной в Aвзяты точки A1,A₂, A₃,..., р а с п оложенные- так,что A₁лежит между Aи A₂, т очкаA2 лежит между A₁иA₃ и т. д., причём о т-езки  AA₁,   А1А2, A₂A₃,...   конгруэнтны   отрезу CD. Тогда   существует  такой номер п , что точка     С    лежит    между   A и A1

Если воспользоваться понятиями «меньше» и «больше», то по­стулат Архимеда можно высказать следующим образом.   Каковы бы ни были отрезки   A В и CD, в с е г д ам о ж н о   на    прямой   последовательно   отло­витьотрезокCD только  раз.   чтобы   полу­денный отрезок былбольше отрезкаAВ.   Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произве­денияCD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:

Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что nCD>AВ.

IV.2. (Принцип вложенных отрезков Кан­тора.)

Пусть на произвольнойпрямой а дана бесконечная последовательность отрез­ков A_vВ_г, A₂В₂, A₃В₃, ..., и з которых каждый по­следующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой а существует одна я только одна точка Z, ле­жащая внутри всех отрезков А₁В_1> A₂B₂, A₃В₃,...

Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V₂ достаточно утверждать су­ществование по крайней мере одной точки Z, ибо единствен­ность этой точки может быть доказана

В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Z_lи Z₂, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В та­ком случае легко доказать, что все точки отрезка Z_lZ._iлежат вну­три всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок Z_XZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит условию принципа Кантора

Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта I—/// ц аксиомы Дедекинда
вытекает постулат Архимеда.                                          

Теорема   6. 2. Из аксиом Гильберта I—/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.

       Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта I—/// и предложения Архимеда IV.1и Кантора IV.2 вытекает  предложение Дедекинда IV

      Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом I—/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и ак­сиомы Кантора

Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для углов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(h, k), а также лучи hkраспределены, на два класса так, что:

1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч hпринадлежит первому классу, а луч k— второму;

2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между hи любым лучом второго класса, то существует один и только один такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между hи I, принадлежит первому классу, а всякий луч, лежащий между Iи k, принадлежит второму классу. Сам луч Iпринадлежит либо первому, либо второму классу.

Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для углов.

Доказательство:

>,Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах hи k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие между hи k, пересекают отрезок АВ во внутренних его точках. Ставя друг другу и соответствие внутренний луч с точкой его пересечения с отрезком АВ, мы приведём во взаимно однозначное соответствие множество всехвнутренних лучей ^ (h, k)   с множеством всех точек отрезка АВ с сохране­нием одинакового взаимного расположения тех и других. При этом разбиению лучей на         Черт. 121. два класса будет соответствовать разбиение

точек отрезка АВ на два класса, удовлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единст­венная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.

Формулировку предложений Архимеда и Кантора для углов предоставляем читателю.

Как уже говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами I—IIIдают возможность ре­шить проблему измерения отрезков и углов, а также установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет установить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, оста­новимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой .

Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окруж­
ностью и проходящая через внутреннюю точку kокружности, пе­-
ресекает эту окружность в двух точках.                        

Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскосmu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках

Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что

n*AD=AB или AD*1/n *AB

§ 7. ГРУППА V(ПО ГИЛЬБЕРТУ IV). АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Совокупность рассмотренных нами аксиом, входящих в груп­пы I— IV, ещё недостаточна для обоснования евклидовой гео­метрии, необходима ещё аксиома параллельности.

Все те предложения геометрии, которые могут быть доказа­ны на основе аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и непрерывности, составляют абсолютную геометрию.

К абсолютной геометрии относится, как мы видели, теорема о том, что через точку, лежащую вне прямой, в определяемой ими плоскости проходит по меньшей мере одна прямая, не пе­ресекающая данной прямой (теорема 5. 24); гарантируя сущест­вование такси прямой, эта теорема, однако, не предрешает, бу­дет ли указанная прямая единственной.

В зависимости от того, примем ли мы в качестве дополни­тельного требования, чтобы указанная прямая была единственной или нет, мы получим соответственно либо геометрию Евклида, либо геометрию Лобачевского. Абсолютная геометрия, основан­ная лишь на аксиомах групп I—IV, является общей частью этих геометрий,

Аксиому параллельности евклидовой геометрии можно сфор­мулировать так:

V. Пусть а-произвольная прямая и А — точка, лежащая вне прямой; тогда в плоскости, определяемой ими, через точку А можно провести не бо­лее одной прямой, не пересекающей а*).

На основании теоремы 5. 24 и аксиомы Vнемедленно заклю­чаем, что через точку А проходит одна и только одна пря­мая, не пересекающая а; эта прямая называется пара л л е л ь н о икпрямой а.

Теперь, опираясь на аксиомы I—V, мы имеем возможность доказать весь ряд теорем собственно евклидовой геометрии. Мы можем доказать 5-й постулат Евклида, теорему, обратную тео­реме 5. 23, теорему о том, что SA = 2d; что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним на смежных. Можно также доказать, что через всякие три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит единствен­ная окружность, что вписанные в окружность углы, опирающие­ся на равные хорды, равны; можно, далее, развить всю теорию подобия фигур, теорию измерения площадей, доказать теорему Пифагора. Всё это позволяет затем обосновать декартову ана­литическую геометрию и тем самым арифметизировать евклидо­ву геометрию.

Лобачевского, в зависимости от присоедине­ния той или иной аксиомы параллельности. Никакой третьей геометрической системы при наличии аксиом I—IVпостроить нельзя.

Возможность геометрии Лобачевского одновременно свиде­тельствует о том, что аксиома Vили эквивалентный ей 5-й по­стулат Евклида не зависят от аксиом I—IV. В связи с этим напомним, что для всех попыток доказательства 5-го постулата было характерно отсутствие правильной постановки этой про­блемы; эта постановка носила неопределённый, расплывчатый характер, ибо не было известно полного перечня аксиом абсо­лютной геометрии, лишь на основе которых и следовало пытать­ся доказывать 5-й постулат.

Теперь, когда в нашем распоряжении имеется полная систе­ма аксиом Гильберта, возможно дать точную формулировку проблемы доказательства 5-го постулата Евклида. Проблема эта заключается в следующем: можно ли на основе аксиом _Гру_ППI—IV доказать аксиому V (или равносиль­ны и е и 5-й п о с т у л а т)    и л и иначе: является ли ак­сиома V независимой от аксиом соединения, по­рядка, конгруэнтности и непрерывности или нет?

Построением своей геометрической системы Лобачевский дал уже известный нам отрицательный ответ на этот вопрос:* аксиому V нельзя вывести из аксиом I— IV. Однако этот результат Лобачевского будет обладать несомненной убе­дительностью лишь в том случае, если мы докажем логическую непротиворечивость его геометрии.

В заключение следует ещё сказать, что если мы в системе
аксиом Гильберта отбросим и заменим некоторые другие аксио-­
мы, то возможны геометрические системы, отличные и от гео­-
метрии Евклида, и от геометрии Лобачевского. Такой, напри­
мер, геометрией является эллиптическая геометрия Римана, в
которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни од­
ной параллельной к данной прямой. Для построения этой гео­-
метрии следует внести изменения в аксиомы II, III, IV групп.
Некоторое представление о двумерной эллиптической геометрии
Римана читатель получит, ознакомившись с содержанием § 9
главы V.