Графические системы. Grapher

ПримечаниеGrapher - это программа для построения и обработки графиков
Загрузить архив:
Файл: ref-23499.zip (248kb [zip], Скачиваний: 421) скачать

План

1. Введение…………………………………………………………………..стр. 3

2. Общая характеристика программы……………………………………...стр. 4

3. Использование встроенного калькулятора……………………………...стр. 5

3.1. Решение системы уравнений и неравенств…………………….стр. 6

4. Применения, связанные с темой «Теория пределов. Дифференцирование функций одной переменной»……………………………………………….стр. 7

5. Применения, связанные с темой «Исследование функций с помощью производной»………………………………………………………………...стр. 9

6. Применения, связанные с темой «Аналитическая геометрия на плоскости»…………………………………………………………………..стр. 11

7. Применения, связанные с темой «Интегральное исчисление функций одной переменной»…………………………………………………………стр. 12

8. Применения, связанные с темой «Ряды»……………………………….стр. 13

9. Применения, связанные с темой «Теория вероятностей и математическая статистика»………………………………………………………………….стр. 15

10. Заключение……………………………………………………………...стр. 17

11. Список литературы……………………………………………………..стр. 18

Введение

Grapher - это программа для построения и обработки графиков. При таком маленьком размере программа имеет невообразимо много функций и возможностей. Также хочется отметить практически полную безошибочность и удобство в использовании.

Программа умеет:
1)Строить графики уравнений, функций, неравенств, уравнений с параметром и др.
2)Поддерживаются прямоугольная и полярная система координат
3)Также можно строить график по таблице (создается внутри программы или вводится из файла)
4)Позволяет обрабатывать графики: производная, интеграл, экстремумы, нули функции, касательные, пересечения, аппроксимация.
5)График можно сохранить в виде рисунка, документа Grapher( *.agr) или таблицы
6)Есть стандартные функции масштабирования, поиска, выделения цветом и т.д. В результате мы получаем незаменимую программу для построения и обработки графиков, т.е. для школьников 10-11 класса и всех остальных тоже.

Мощная и простая в использовании программа для построения графиков и их анализа. Поддерживает построение графиков функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств. До 100 графиков в одном окне. Вычислительные возможности: регрессионный анализ, нахождение нулей и экстремумов функций, точек пересечения графиков, нахождение производных, уравнений касательных и нормалей, численное интегрирование. Большое количество параметров графиков и координатной плоскости. Имеет возможности печати, сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Программа построена на идеологии многодокументного интерфейса и работает под Windows 95/98/NT. Поддерживает русский интерфейс. Пользователи из России могут в некоммерческих целях использовать программу бесплатно. Действительно: удобно, просто и понятно. И возможностей много... В частности, может сохранять графики в EMF формате. На домашней странице доступно несколько дополнительных языковых модулей, помимо русского и английского. В настоящее время имеется достаточное число компьютерных программ, предназначенных для построения на плоскости графиков функций, заданных математическими формулами. Они используются как для научных, так и для образовательных целей. Данный реферат посвящен графопостроителю Advanced Grapher, обладающему широкими дополнительными возможностями. Здесь указаны разнообразные применения программы Advanced Grapher в курсе высшей математики в технических вузах, в основном в качестве виртуальной моделирующей среды. Реализация этих предложений внесла бы определенный вклад в дело подготовки студентов к интенсивному использованию математических методов в своей практической и научной деятельности, к применению современных программных средств и информационных технологий для инженерных расчетов и графических построений.

Общая характеристика программы.

Программа Advanced Grapher позволяет не только строить разнообразные графики на плоскости, но и проводить исследование функций, находить приближенно корни алгебраического уравнения и точки экстремума функции одной переменной, получать аналитическое выражение для производной, выполнять численное интегрирование, графически решать неравенства, осуществлять регрессионный анализ и т.д. Автор программы - Михаил Серпик. Она имеет русский интерфейс ( Help – на английском языке), свободно распространяется в России. Скачать программу можно с сайта или , там же можно скачать и другие графопостроители.

Начиная работу с программой, надо выбрать готовый шаблон с системой координат или создать новый, используя кнопку Свойства документа на панели инструментов. Изменить систему координат и ее настройки можно в любой момент работы с данным чертежом. Одновременно на чертеже можно изобразить до 100 геометрических объектов (это могут быть графики функций, заданных явно или неявно в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах, так называемые графики таблиц, а также заштрихованные области, лежащие между двумя графиками функций или являющиеся множествами решений системы неравенств). Построенные объекты фиксируются в Списке функций в левой части окна программы. Если убрать галочку в Списке функций против некоторых объектов, то эти объекты исчезнут (временно) с плоскости чертежа (это удобно для объяснения учебного материала).

Укажу еще несколько важных моментов. Можно вычислить значения любой функции вида x и y тем или иным способом, затем по таблице построить график функции (в виде ломаной, ломаной с узлами, отдельных точек, сглаженной кривой). Программа Advanced Grapher позволяет также выделить и увеличить нужную прямоугольную область на построенном чертеже (используется кнопка Выбрать интервал на панели инструментов), эту операцию можно повторить несколько раз. С помощью кнопки Трассировка можно вывести значение функции в дискретном наборе точек данного графика, а с помощью кнопки Добавить метку можно делать надписи, установив указатель в место надписи.

Оставаясь в рамках функциональных возможностей программы Advanced Grapher, сравним ее, например, с универсальными пакетами Mathcad или MatLAB. Безусловно, чтолегче освоить и удобнее использовать в повседневной практике программу Advanced Grapher, чем эти пакеты. В то же время ознакомиться с современными математическими пакетами желательно. Среди графопостроителей стоит отметить программу Graph Plotter . Ранняя версия 1.0 имеет русский интерфейс и распространяется свободно в России. Большинство функциональных возможностей Graph Plotter совпадает с возможностями Advanced Grapher, часть – дополняет, часть – отсутствует. Среди дополнительных возможностей программы Graph Plotter интересны следующие. Она позволяет вычислять пределы функций, автоматически строить график функции вместе с асимптотами и отмеченными точками экстремума и точками разрыва. Для выделенной в списке функции выдаются результаты ее анализа (уравнения наклонных и вертикальных асимптот, координаты точек максимума и точек минимума, а также точек разрыва).

Использование встроенного калькулятора.

Калькулятор программы Advanced Grapher появляется (или исчезает) в левой части основного окна, если нажать кнопку Калькулятор на панели инструментов. Калькулятор имеет три основных назначения.

  1. Арифметические вычисления проводятся следующим образом: надо установить курсор в поле калькулятора, набрать с клавиатуры числовое выражение (например, 8-6 или ln(2) ) и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ в виде: =2 или =0,6931471706. Другие примеры см. на рис.1.
  2. С помощью калькулятора можно определить, истинно или ложно неравенство или равенство двух чисел. Используются клавиши: < (это означает меньше), > (больше), = (равно); или пары клавиш, набираемых без пробела: < = (меньше или равно), > = (больше или равно), < > (неравно). Надо набрать с клавиатуры исследуемое неравенство, например, 23^2<5, и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ: =0 (т.е. неравенство ложно). Другой пример: набрать 43>=12 и нажать клавишу Enter, при этом в следующей строчке появится ответ: =1 (т.е. неравенство истинно).
  3. Можно выполнять логические операции умножения, сложения и отрицания (их обозначения при наборе с клавиатуры and, or, not), в качестве операндов берутся 1 (истина) и 0 (ложь). Например, в поле калькулятора набрать 1 and0 и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ: =0 (т.е. ложно). Или набрать not0 и нажать клавишу Enter. При этом в следующей строчке появится ответ: =1 (т.е. истинно). Можно набирать и сложные логические выражения: (1 and0) and(1 or0) и т.д. Так мы можем составить таблицу истинности для сложного высказывания, зависящего от нескольких простых высказываний.

Рис 1. Примеры выполнения действий на калькуляторе

Решение системы уравнений и неравенств.

Пусть надо решить графически систему из двух неравенств:

Второй способ (с помощью оператора логического умножения and). Надо нажать кнопку Добавить функцию, в диалоговом окне выбрать вместо y ) и выбрать >0 вместо =0. В результате получится область решений системы (см. рис. 2). Но при этом граничная линия

Аналогичные построения выполняются и для других систем из уравнений и неравенств.

Рис.2. Решение системы неравенств с помощью логического умножения

Применения, связанные с темой «Теория пределов. Дифференцирование функций одной переменной».

Перечислим те действия в программе Advanced Grapher, которые можно использовать в учебном процессе по дисциплине «Математика» в техническом вузе. После знака здесь и далее указаны соответствующие конкретные области применения.

1. Построение графиков функций, заданных явно уравнениями

2. Построение графиков функций

3. Построение графиков функций

4. Построение графиков функций

5. Построение последовательности точек на оси Ox (нажать кнопку Добавить график таблицы, заполнить столбцы с клавиатуры или использовать команду Заполнить). Построение в виде отдельных точек графиков функций n (с помощью кнопки Добавить график таблицы), трассировка графиков. Составление для таких функций таблицы значений при больших n (с помощью кнопки Таблица значений) Понятие последовательности. Вычисление предела последовательности

6. Построение графика функции x, близких к нулю. Составление таблицы значений последовательности n Вычислительный эксперимент, связанный с первым и вторым замечательным пределом

7. Составление таблицы значений отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента близко к нулю (с помощью кнопки Таблица значений) Вычислительный эксперимент, связанный с понятием производной в точке

8. Построение касательных и нормалей к графику функции

9. Вычисление первой и второй производной, а также их значений в отдельных точках (с помощью кнопок Производная и Таблица значений) Правила дифференцирования функций. Производные высших порядков

Построим, например, график функции 0.05.

Рис 3. Изучение первого замечательного предела

Применения, связанные с темой «Исследование функций с помощью производной».

1. Построение графиков функций

2. Построение графиков функций

3. Построение графиков функций

4. Вычисление второй производной функции

5. Построение графиков функций

6. Построение графика функции

Для примера построим график функции Y ( x ) выберем нужную из трех построенных функций (вторую производную). Найдем нули второй производной (на указанном промежутке), это -3, 0, 3. Знаки второй производной в соответствующих интервалах определяем по ее графику. Делаем окончательный вывод о промежутках выпуклости и вогнутости данной функции и наличии точек перегиба. С помощью кнопки Трассировка находим координаты точек перегиба, это (-3,-3), (0,2), (3,7). Или же нажмем кнопку Таблица значений, выберем в диалоговом окне нужную функцию из построенных функций и вычислим ее значения от -3 до 3 с шагом 3.

Рис 4. Построение графика функции и отыскание нулей ее второй производной

Применения, связанные с темой «Аналитическая геометрия на плоскости».

1. Задание и настройка подходящей декартовой или полярной системы координат на плоскости (кнопка Свойства документа). Построение кривых на плоскости, заданных явно уравнениями

2. Построение прямых на плоскости, заданных уравнением с угловым коэффициентом, общим уравнением (как график неявной функции

3. Построение кривых второго порядка, заданных каноническими или неканоническими уравнениями (как функций, заданных неявно уравнением

4. Построение двух прямых на плоскости, отыскание точки пересечения двух прямых (с помощью кнопки Пересечения) Графическое решение системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

5. Построение области решений системы линейных неравенств с двумя переменными (двумя способами, описанными выше) Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Построим, например, кривую второго порядка, заданную уравнением

(см. рис. 5). По чертежу определяем, что это эллипс. Для уточнения его параметров приведем уравнение к каноническому виду:

Следовательно, центр эллипса находится в точке D (-1;1), оси эллипса параллельны координатным осям, и их тоже можно построить. Фокусы находятся в точках

Рис.5. Построение кривой второго порядка

Применения, связанные с темой «Интегральное исчисление функций одной переменной».

1. Составление таблицы значений последовательности

2. Вычисление определенного интеграла от функции

3. Построение криволинейной трапеции, ограниченной на данном отрезке сверху и снизу двумя графиками функций вида

4. Построение области, ограниченной несколькими линиями. Построение криволинейного сектора в полярных координатах. Вычисление определенного интеграла (с помощью кнопки Интегрирование) Вычисление площади плоской пластинки в декартовых или полярных координатах с помощью определенного интеграла

5. Построение кривой на плоскости, заданной параметрическими уравнениями, явным уравнением

6. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом от функции

7. Построение графика функции вида

Рассмотрим для примера интеграл

Рис. 6. Построение криволинейной трапеции и вычисление определенного интеграла

Применения, связанные с темой «Ряды»

1. Составление таблицы значений последовательности n (с помощью кнопки Добавить график таблицы или Таблица значений) Вычислительный эксперимент, связанный с понятием сходимости ряда

2. Построение графика функции

3. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора данной функции двумя способами. (Первый способ: найти с помощью кнопки Производная аналитические выражения для производных первого, второго и т.д. порядков от данной функции и вычислить значения этих производных в точке

4. Построение графика функции

5. Вычисление коэффициентов Эйлера-Фурье (вычисление определенных интегралов с помощью кнопки Интегрирование). Построение графика функции и частичных сумм ее ряда Фурье на данном промежутке Составление рядов Фурье. Разложение функций в ряд Фурье

Для примера построим график функции

Рис. 7. Приближение функции ее многочленом Тейлора

Применения, связанные с темой «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Построение многоугольника распределения дискретной случайной величины в виде ломаной с узлами (с помощью кнопки Добавить график таблицы) Дискретные случайные величины

2. Построение графика функции распределения, нахождение ее производной, т.е. плотности распределения, с помощью кнопки Производная. Построение графика плотности распределения

3. Построение графика плотности распределения

4. Построение графиков плотности нормального распределения при разных значениях параметров. Вычисление определенного интеграла от плотности нормального распределения (с помощью кнопки Интегрирование) Нормально распределенная случайная величина, вычисление вероятности ее попадания в интервал

5. Составление таблицы значений для функции Лапласа или приведенной функции Лапласа (с помощью кнопки Интегрирование) и построение по этой таблице графика (с помощью кнопки Добавить график таблицы) Свойства функции Лапласа и приведенной функции Лапласа

6. Внесение в таблицу значений случайной величины N опытов, и нахождение оценок числовых характеристик случайной величины (использовать кнопку Добавить график таблицы и команду info в появляющемся диалоговом окне). Аналогично для значений

7. Внесение в таблицу имеющихся экспериментальных значений двух зависимых случайных величин X и Y (использовать кнопку Добавить график таблицы). Нахождение (с помощью кнопки Регрессионный анализ) уравнения регрессии и построение линии регрессии вида

8. Генерация случайных чисел (нажать кнопку Вычисление функций, ввести в поле Формула функцию random (1) и вычислять ее значение при

Пусть, например, даны координаты точек попадания в прямоугольную мишень при 6 выстрелах, т.е. выборка значений системы случайных величин X и Y.

Рис.8. Точечные оценки числовых характеристик случайных величин

Заключение.

Итак, мы рассмотрели многочисленные примеры того, как изучение различных разделов математики может сопровождаться графическими иллюстрациями, вычислительными экспериментами, таблицами, расчетами, выполненными с помощью программы Advanced Grapher. Так, при изучении дифференциальных уравнений можно строить поле направлений и интегральные кривые, при изучении дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных можно строить линии уровня, области определения функций двух переменных, области интегрирования при вычислении двойных интегралов и т.д. Считаю, что в вузах преподавателям стоит широко использовать программу Advanced Grapher на лекциях, практических и лабораторных занятиях по математике, а также при разработке тем студенческих научных и курсовых работ. Это будет способствовать тому, чтобы студенты успешно применяли математические методы при изучении различных специальных дисциплин, а после окончания вуза – в своей практической и научной деятельности.

Список литература

  1. Тодоров П. Компьютерные шпаргалки.
  2. Миндиярова Н. Н. Использование программы Advanced Grapher при решении уравнений и неравенств. http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb_artic=211495
  3. Азевич А. И. A dvanced Grapher на уроке и после него // Математика в школе. - 2001. - N 6. - С. 65-69.
  4. Денисенко О.І., Пінчук В.П., Кул iков О.Ф. Методичні вказівки та індивідуальні за вдан ня для лабораторних робіт з курс ів ”Інформатика” та " Обчислювальна техніка та програмування” по темі: “Використання програми Advanced Grapher для дослідження функцій та побудови графіків” для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання. Запоріжжя: ЗНТУ, 2002.-29 с.