Лекции по Физической оптике чл.-кор Курбатова Л.П.


Сдавался/использовался	1996г., 3 курс Факультета Физической и Квантовой Электроники МФТИ.
	Загрузить архив:
	Файл: kurbatov.zip (50kb [zip], Скачиваний: 35) скачать

2Московский Физико-Технический Институт

2Факультет Физической и Квантовой Электроники

_3Л. Н. КУРБАТОВ.

_3КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА.

_2Москва 1993

_2Составители|

_2Осипов Т.Ю.

_2Федотов В.Н.

_2Ученов А.В.

_2Чудинов А.В.

_2Магулария Е.А.

_2Борисова И.Г.

_2Соловьев Д.В.

_2Терешок И.Б.

_2Редактировал и подготовил к выпуску

_2Исаков Д.А.

2- 3 -

_ГЛАВА 1.

_21.Применяемые обозначения. Некоторые формулы, связывающие

_2перечисленные величины.

2Электромагнитная теория

2E - напряженность электрического поля;

2H - напряженность магнитного поля;

2D - электростатическое смещение;

2B - магнитная индукция;

2P = - вектор Пойнтинга,плотность потока мощности;

2V - световой вектор , заменяет вектор E , когда нет необходимости

2учитывать электромагнитную природу света.

2Величины , описывающие волну

2c - скорость света в вакууме;

2- длина волны в вакууме;

2- частота света;

2- круговая частота;

2k - волновое число (или волновой вектор).

2Связь между этими величинами :

2- фазовая скорость, где n - показатель преломления

2среды;

2- групповая скорость, где под k понимается kn в среде

2с дисперсией.

2Квазичастицы - фотоны.

2- энергия, p - импульс, s - момент импульса - спин.

2Связь волновых и фотонных величин дается формулами :

2Определим оптический диапазон длин волн в широком смысле,

2как ультрафиолетовую (УФ), видимую и инфракрасную области

2(ИК). Границами видимой области являются 0.4мкм и 0.76мкм,

2граница УФ, ИК, рентгеновского и радиодиапазона условны.ИК-об-

2ласть подразделяется на поддиапазоны : 0.76-1.5 мкм - ближний,

21.5-12мкм - средний, 12-120мкм - дальний. Излучение с длиной

2волны 120-1000мкм оптики включают в дальний ИК-диапазон, но

2существует другое название - субмиллиметровый поддиапазон.

_22. Равновесное тепловое излучение. Фотоны.

2Тепловое движение электрических зарядов в любом теле соз-

2дает электромагнитное излучение, интенсивность которого за-

2висит от температуры и оптических свойств тела. Происхождение

2этого излучения представляется на основе моделей тела в виде

2системы осцилляторов, излучающих электромагнитные волны во

2внешнее поле и поглощающих энергию из поля. Если в среднем

2мощность излучения в поле равна мощности, приходящей из поля,

2то система тело-поле находится в равновесии, и излучение тела

2называется равновесным. Условие равновесия выполняется в замк-

2нутой изотермической полости. Такая полость ведет себя как

2абсолютно черное тело(АЧТ), т.к. луч, проникший в полость изв-

2не, будет полностью поглощен при многократных отражениях и

2рассеяниях на стенках полости.

2Напомним о законе Кирхгофа: отношение излучательной

2способности любого тела (выраженной в ед. мощности с ед. пло-

2щади) к его поглощательной способности(доля поглощенного излу-

2чения) является универсальной функцией температуры и частоты

2излучения. Поглащательная способность АЧТ равна 1. Отсутствие

2- 4 -

2зависимости от материала стенок полости АЧТ делает его эталон-

2ным излучателем.

2Проблема нахождения вида универсальной функции, выражающей

2распределение мощности излучения по спектру при заданной тем-

2пературе АЧТ была решена на основе квантовой гипотезы Планка,

2согласно которой испускание и поглощение электромагнитного из-

2лучения происходит дискретно(фотонами). Фотон имеет спин 1,

2что соответствует круговой поляризации волны. Фотоны относятся

2к классу бозонов. Статистика Бозе-Эйнштейна исходит из положе-

2ния, что любое состояние системы может быть занято любым

2числом частиц. Вероятность рождения фотона в данном состоянии

2w пропорциональна числу уже имеющихся фотонов n в этом состоя-

2нии плюс 1. Наличие единицы означает, что фотон может возник-

2нуть, если других фотонов в этом состоянии нет (процесс спон-

2танной эмиссии).

2Еще один вывод квантовой механики заключается в том, что

2энергия гармонического осциллятора равна ,

2где m - целое число. При m=0 осциллятор имеет энергию .

2Это "нулевые" колебания.

2Наличие фотонов в данном состоянии увеличивает вероят-

2ность рождения нового фотона. Эта стимулированная или индуци-

2рованная эмиссия служит основой генерации лазерного излучения.

_23. Формула Планка.

2На рис. 1.1 стрелками изображены процессы поглощения и

2испускания двух типов (спонтанного и стимулированного) для

2двухуровневой системы. Число актов поглощения за 1с. пропорци-

2онально числу атомов в нижнем состоянии , а число актов

2испускания пропорционально числу атомов в верхнем состоянии

2. Вероятности переходов вверх и вниз одинаковы - они опреде-

2ляются волновыми функциями нижнего и верхнего состояний.

2При равновесии число переходов вверх равно числу переходов

2вниз . Учтем теперь принцип Больцмана

2и далее

21.1

2Тогда для энергии фотона

21.1а

2Нужно знать, сколько состояний в интервале частот

2имеет электромагнитное поле в полости АЧТ ? При квантовом под-

2ходе каждому состоянию приписывается обЪем в фазовом прост-

2ранстве, равный ,как следствие соотношения неопределен-

2ностей Гейзенберга

2Нас интересуют состояния в сферическом слое dp (рис.1.2).

2Его объем равен , а число состояний

2равно

2Заменив , получим

2Каждое состояние характеризуется еще и спином, то есть по-

2ляризицией вправо или влево по кругу, поэтому полное число

2состояний вдвое больше.

2Итак, число состояний в интервале частот равно

2- 5 -

2Выражение называется спектральной плотностью

2состояний. Умножив среднюю энергию одного состояния на число

2состояний, получим энергию электромагнитного поля в единице

2объема в интервале частот

21.2

2Это и есть знаменитая формула Планка.

2Формулу Планка целесообразно переписать для плотности по-

2токов мощности излучения, иначе говоря энергетической свети-

2мости

2Формула Планка для энергетической светимости приобретает

2вид 1.2а

2Заменим на получим

21.2б

2Эта функция табулирована. График ее на рис.1.3. Определив

2положение максимума распределения, получим закон Вина

21.3.

2Проинтегрировав распределение Планка по всем длинам волн, по-

2лучим закон Стефана-Больцмана для всего спектра излучения АЧТ,

2согласно которому полная (интегральная) энергетическая свети-

2мость пропорциональна 4-ой степени абсолютной температуры

21.4.

2Для отличия теплового излучения реальных тел от излучения

2АЧТ вводится коэффициент излучения ("коэффициент се-

2рости"). Это отношение энергетических светимостей реального

2тела и АЧТ. Ясно, что коэффициент излучения всегда меньше 1.

2Наименьшей величиной обладают полированные металли-

2ческие поверхности (зеркала). Для золотого зеркала - 0.02.

2Близкой к АЧТ является поверхность, покрытая сажей (0.98). Бе-

2лая бумага и кожа человека имеют =0.93 и 0.98 соответственно

2при температурах 20 и 32 градуса Цельсия.

_24. Флуктуации теплового излучения.

2Как и во всех областях метрологии, при измерении слабых

2потоков излучения флуктуации определяют предельные возможности

2измерительного устройства.

2Приведем формулы для среднего числа квантов и дисперсии

2числа квантов

21.6

2В случае формула дисперсии приобретает вид,

2присущий классической статистике Пуассона для случайных

2величин 1.7.

2Для коротковолновой области Планковского спектра и среднего

2ИК-диапазона справедлива именно эта формула.

2В случае дисперсия принимает вид

2То есть средняя квадратичная флуктуация энергии равна kT. Этот

2результат относится к длинноволновому ИК-диапазону и радиодиа-

2пазону.

_25. Тепловой шум.

2В 1928г. Джонсон обнаружил, что любой резистор в электрон-

2ных схемах представляет собой источник флуктуирующего напряже-

2ния, которое получило название "шум Джонсона" или тепловой

2- 6 -

2шум. Шум Джонсона привлекал все больше внимания, как фактор,

2ограничивающий параметры измерительных устройств.Тепловой шум

2имеет универсальный характер и не зависит от природы материала

2резистора, средний квадрат флуктуирующего напряжения по форму-

2ле Найквиста

21.8.

2Так на резисторе 1Мом при температуре 295К и ширине полосы 1Гц

2шум - 0.13мкВ.

_26.Понятие о тепловидении (термографии).

2Инфракрасная область на два порядка шире видимой. Вполне

2понятно желание освоить методы получения оптической информации

2ИК-области. Излучение тела с температурой ниже 390 К уже

2совсем невидимо. Зато в ИК-области оно дает мощное излучение,

2несущее много информации о своем источнике. Проблема визуали-

2зации слабо нагретых объектов по их собственному ИК-излучению

2получила название тепловидения или термографии. Объектами наб-

2людения будут тела с температурой вблизи 300К. По закону Вина

2получим, что максимальная интенсивность излучения будет при

2длине волны около 10мкм. Тепловидение в условиях поверхности

2Земли сталкивается с непрозрачностью атмосферы для многих ин-

2тервалов длин волн. К счастью, в спектре поглощения атмосферы

2имеются "окна прозрачности". Для тепловидения важны окна

23-5мкм и 8-12мкм. Излучение тел с температурой 300К попадает в

2окно 8-12мкм.

2В ИК-области контрастность картины хуже, чем в видимой.

2Еще одна особенность тепловидения связана с различиями коэффи-

2циентов излучения отдельных деталей сцены. Установлено, что

2различие в коэффициентах излучения на 1% эквивалентно разности

2температур 1К. Все эти обстоятельства приводят к сильным разли-

2чиям между видимым изображением, к которому мы привыкли, и

2тепловизионным. Несмотря на это оно полезно не только для ноч-

2ных, но и для дневных наблюдений. Так как в области 8-12 мкм

2имеется менее 0.1% общего излучения Солнца - это "хвост" План-

2ковского распределения.

2Аппараты, служащие для получения тепловизионных изображе-

2ний, называются тепловизорами. Схема простейшего тепловизора

2изхображена на рис 1.5. На нем показаны ИК-объектив из герма-

2ния, сканнер в виде 2-х зеркал, фотоприемное устролйство (ФПУ)

2и индикаторный блок. Так как этот ФПУ имеет один молоразмерный

2чувствительный элемент, развертка изображения должна вестись

2по 2-м координатам. Тепловизоры с одним фоточувствительным

2элементом в ФПУ не достигают той чувствительности, которая не-

2обходима для многих применений. Поэтому используются ФПУ с

2многоэлементными линейками чувствительных элементов. каждый

2элемент линейки осматривает свою строку. Но возникают труд-

2ности, связанные с неоднородностью параметров фоточувствитель-

2ных элементов линейки. Неприятности параллельное сканирование

2встречает при появлении дефекта хотя бы в одном из элементов

2линейки.

2В последние годы часто применяется последовательное скани-

2рование, реализующее режим временной задержки и накопления

2(ВЗН). При последовательном сканировании линейкма работает как

2один элемент, поэтому нужно сканирование по двум координатам.

2При N- элементах линейки сигнал растет в N раз, а шум только в

2корень из N раз.

2Дальнейшее развитие техники сканирования пошло путем ком-

2бинации параллельного и последовательного сканирования. При

2этой системе ФПУ имеет несколько линеек, и каждая из них рабо-

2- 7 -

2тает в режиме ВЗН. Мечта разработчиков тепловизоров - двумер-

2ная система чувствительных элементов ФПУ (матрица, двумерная

2решетка).

2Фоточувствительные элементы приемников излучения для теп-

2ловизоров делаются на основет нескольких полупроводниковых ма-

2териалов. Для области 3-5мкм используются антимонид индия и

2селенид свинца, а для области 8-12мкм твердый раствор теллури-

2дов кадмия и ртути (КРТ) и легированный германий. Фотоприемни-

2ки из перечисленных материалов должны охлаждаться, поэтому в

2состав ФПУ тепловизора включается микрокриогенное устройство -

2малогабаритные газовые холодильные машины. Воспроизведение

2изображэения по сигналам ФПУ реализуется несколькими методами.

2С помощью управления лучом миниатюрного кинескопа, свечение

2линейки из полупроводниковых светодиодов, а можно записывать

2информацию в память ЭВМ или на специальной электрохимической

2бумаге.

2Для примера заметим, что в ручной тепловизионной ночной

2визир человека можно увидеть в полной темноте на расстоянии

2300 м. Объекты обычной военной техники видны ьна расстоянии

22-3км.

2Тепловизоры применяются в народном хозяйстве, промышлен-

2ности и медицине. Состовляются тепловые карты местности, в

2авиации созданы системы переднего обзора, позволяющие видеть

2турбулентности атмосферы, для машиностроения очень полезна ди-

2агностика распределения температур по микросборкам и по аппа-

2ратуре в целом. Обнаруживаются места утечек тепла из зданий и

2из трубопроводов. Легко представить себе, какую информацию для

2врача может дать термограмма человека.

_ГЛАВА 2.

Электромагнитные волны в свободном пространстве и

в диэлектрическом световоде.

_21.. В этом разделе мы рассмотрим кроме задачи о плоских

2волнах задачи о волнах в цилиндрических диэлектрических свето-

2водах.

2Запишем систему уравнений Максвелла

22.1

2Будем искать решение в виде плоской волны

2где -волновой вектор, имеющий компоненты

2Легко видеть, что при заданном виде решения

2подставив эти равенства в уравнения Максвелла, получим

2Равенства показывают, что векторы

2образуют правовинтовую систему координат. Кроме того

2Перемножая эти равенства, получим формулу Максвелла для

2показателя преломления 2.2.

2- 8 -

2Для немагнитных сред 2.2а,

2тогда для показателя преломления 2.2б.

2Рассмотренная поперечная электромагнитная волна в свобод-

2ном пространстве называется волной ТЕМ. Нас будет интересовать

2коэффициент отражения волны ТЕМ от границы раздела двух диэ-

2лектриков. Формулы для коэффициентов отражения и пропускания

2были впервые выведены Френелем.

2При нормальном падении волны на границу раздела (рис.2.1)

2для вывода нужно использовать граничные условия, согласно ко-

2торым тангенциальные составляющие полей должны быть непрерыв-

2ными на границах раздела. На рис. 2.1 направление вектора

2отраженной волны противоположно направлению векторов

2в падающей и прошедшей волнах - это из требования о пра-

2вовинтовой системе

2При нормальном падении можно записать граничные условия в

2виде

2На основании 2.2

2Далее имеем

2Обозначив коэффициент отражения по амплитуде

2получим формулу Френеля

2Коэффициент отражения по мощности (интенсивности) волны

22.3

2Если волна отражается от оптически более плотной среды, то

2есть n2>n1, то коэффициент отражения по амплитуде становится

2отрицательным. Это означает изменение фазы отраженной волны на

2180 градусов - "потеря полуволны".

2Можно аналогично рассмотреть случай произвольного угла па-

2дения. Коэффициент отражения волны с вектором электрического

2поля в плоскости падения

22.4,

2где и углы падения и отражения. Мы видим,что при

2коэффициент отражения обращается в 0 - падение под

2углом Брюстера. Легко убедиться

2где n -относительный коэффициент преломления 2-х сред.

2Отсутствие отражения для одного из состояний поляризации

2использовалось для получения поляризованного света, затем при

2изготовлении лазерных трубок(кювет).

_22. Волны в стекловолоконных световодах.

2На рис.2.2 изображен отрезок цилиндрического световода,

2состоящего из сердцевины с коэффициентом преломления

2и оболочки с коэффициентом преломления , причем

2. Луч, вошедший в плоский торец световода, будет

2испытывать многократные полные внутренние отражения, если угол

2падения удовлетворяет условию , где

2Величина называется числовой апертурой световода. За-

2тухание волны в этом простейшем световоде проявится на рассто-

2яниях порядка нескольких км. Более сложные структуры светово-

2- 9 -

2да, в которых создается градиент состава стьекла, обеспечивает

2распространение волны с допустимым затуханием на расстояния

2более 100км.

2Зачем нужна оболочка световода? Во-первых, это связано с

2проникновением волны на глубину порядка длины волны во вторую

2среду, во-вторых, с передачей информации по световоду в виде

2очень коротких световых импульсов (рис.2.2). Вычисления пока-

2зывает, что уширение импульса вследствие разности хода

2аксиальных и наклонных луучей выражается формулой

2где длина пути в световоде в км., и

2разность показателей преломления внутренней и внешней сред.

2Дальнейшее сокращение импульсов достигается, когда "профиль"

2показателя преломления становится параболическим или более

2сложным (рис. 2.3).

2Решение для двухслойного световода получается в аналити-

2ческой форме. Для аксиальной составляющей полей получены фор-

2мулы

2для сердцевины

2для оболочки

2где и - функция Бесселя и Ханкеля

2порядка k. Аргументы функцийзависят от двух параметров k и m.

2При k=0 решения распадаются на два класса: ТЕ-моды не имеют

2продольного электрического поля, ТМ-моды не имеют продольной

2составляющей магнитного поля. При k=0 обращаются в 1 и распре-

2деление полей не зависит от азимута. На рис.2.5 изображены ра-

2диально-симметричные моды. Кроме того изображена более сложная

2мода -"гибридная", она наиболее полезна, когда нужно обеспе-

2чить одномодный режим.

_23.Применение световодов.

2За последнее десятилетие имелся быстрый прогресс в технике

2оптической связи, ставший возможным в результате создания све-

2товодов с малым поглощением, новых типов полупроводниковых ла-

2зеров и фотоприемников.Наиболее впечатляющим достижением

2явился ввод в эксплуатацию в 1988г. трансатлантической воло-

2конно-оптической линии связи (ВОЛС) между США и Европой длиной

27000 км. Эта линия обеспечивает возможность вести одновременно

240000 телефонных разговоров. Ведутся работы по сооружению ти-

2хоокеанской ВОЛС от Японии до Гавайских островов длиной 12000

2км.Кроме гигантских ВОЛС имеются сотни линий меньшей длины и

2множество внутриобъектовых и бортовых ВОЛС.

2Основным материалом световодов служит кварцевое стекло с

2предельно достижимой чистотой,легированное двуокисью германия

2и другими примесями.

2Оксиды, образующиеся при реакции, оседают в виде стекла на

2тонком стержне из такого же материала,какой хотят получить.

2Управляя составом реагиирующей смеси, можно нарастить толстый

2стержень с заданным градиентом состава. Толстый стержень

2поступает в прецизионную установку для вытягивания более тон-

2ких стержней. Повторяя процедуру вытягивания, получают волокно

2диаметром 10-100мкм в виде многокилометровых отрезков. В ближ-

2нем ИК-диапазоне 1.3-1.6мкм стекло имеет минимальный коэффици-

2ент поглощения и минимальную дисперсию.

2Потери мощности излучения в световоде характеризуются

2числом децибел на 1км. Рекордно малое затухание составляет

2несколько сотых дБ/км. При передаче информации на большие

2- 10 -

2расстояния в линии делаются ретрансляторы, состоящие из пары

2фотоприемник с усилителем(лазер).

2Информация передается по световоду в цифровой форме в виде

2последовательности импульсов излучения полупроводникового ла-

2зера. Для передачи одного звукового канала требуется передать

264кБит/с, поэтому при стандартной информационной емкости кана-

2ла 256МБит/с по одному световоду можно передать 4000 звуковых

2каналов. Для большей скорости передачи0 2 информации делается

2кабель, включающий несколько световодов. Конструкция опти-

2ческого кабеля показана на рис.2.6. Она обеспечивает абсолют-

2ную герметичность и защищенность световодов от механических

2повреждений и рассчитана на десятки лет пребывания на дне оке-

2ана.

2Вторым типом световодных изделий для переноса изображения

2являются волоконно-оптические пластины (ВОП), состоящие из

2миллионов коротких световодов. Технология ВОП основана на мно-

2гократных вытягиваниях и спеканиях, приводящих к получению

2стержня, который разрезается на пластинки требуемой толщины.

2Интерес к ВОП возник при разработке оптико-электронных

2систем, в которых требуется перенос изображения. Простейшим

2примером может служить фотографирование экрана электронно-лу-

2чевой трубки. Если люминофор нанесен на плоскую поверхность

2сравнительно толстого переднего стекла трубки, а не на ВОП, то

2подавляющая доля света теряется. ВОП также очень полезны при

2стыковке электронно-оптических усилителей изображения с пере-

2дающими телевизионными трубками и при многих аналогичных про-

2цедурах. Также очень удобны ВОП, выполняющие поворот изображе-

2ния на 180 градусов. Задача поворота на 180 градусов изящно

2решается ВОП, в котором задняя поверхность повернута относи-

2тельно передней на 180 градусов.

_ГЛАВА 3. Квазимонохроматический свет.

21. В этой главе для описания электромагнитной волны

2используется "световой" вектор V. Аналог вектора Пойнтинга -

2интенсивность излучения . Тогда спектральный состав из-

2лучения будет характеризоваться функцией . На рис.3.1

2изображены три спектральных распределения интенсивности: дель-

2та-функция, узкополосное и широкополосное. Если ширина спектра

2значительно меньше центральной частоты полосы, то излучение

2называется квазимоно0х2ромотическим. В общем случае широкого

2спектра говорят о полихроматическом излучении.

2Если световое колебание описывается функцией V(t), то пря-

2мое преобразование Фурье представляет его как суперпозицию

2бесконечного числа одночастотных колебаний с амплитудами .

2Обратное преобразование дает возможность вычислить эти ампли-

2туды:

2Отрицательные амплитуды не имеют физического смысла. Их нали-

2чие связано с тем, что тригонометрические функции выражаются

2по формулам Эйлера.

2Для квазимонохроматического света прямое преобразование

2дает

2Под знаком интеграла остаются колебания с частотами много

2меньшими, чем центральная частота. Поэтому интеграл представ-

2ляет собой медленно изменяющуюся функцию:

2- 11 -

2Итак, квазимонохроматический свет описывается формулой:

2где амплитуда является сравнительно медленно меняющейся функ-

2цией времени.

2Введем понятие о форм-факторе спектральной линии, обозна-

2чаемом функцией . Она определяет спектральное распределе-

2ние интенсивности в пределах линии , причем вводится

2условие нормировки

2Тогда , где Io полная интенсивность в пределах

2спектральной линии.

2Смысл форм-фактора можно понять на примере излучения в

2двухуровневой системе. Нижний уровень можно считать неуширен-

2ным, а верхний уширенным в узкую зону. Тогда будет ха-

2рактеризовать априорную вероятность переходов электрона с раз-

2личных компонент уширенного уровня, 0 2 что соответствует

2испусканию фотонов с различными частотами.

_22. Естественная ширина линии.

2Согласно принципу Гейзенберга . В двухуровневой

2системе нижний уровень может быть занят электронами неограни-

2ченно долго, следовательно его ширину можно считать пренебре-

2жимо малой. Занятость возбужденного уровня зависит от вероят-

2ности перехода электрона на нижний уровень.Уш0и2рение спектраль-

2ной линии,вызванное принципиально неустранимой причиной, какой

2является соотношение неопределенностей, принято называть

2естественной.

2Спад населенности верхнего уровня происходит по тому же

2зако0н2у, что и радиоактивный распад, поэтому можно считать, что

2излучение состоит из цугов волн с затухающей амплитудой

2при t>0, и V(t) = 0 при t<0.

2Спектр излучения

2Нижний предел интегрирования в этом случае можно считать рав-

2ным нулю, так как затухающие колебания начинаются в момент

2t=0. Выполнив вычисления, получим:

2Вторым членом в скобках можно пренебречь, так как в его знаме-

2натель входит сумма частот, в то время как в первом члене -

2разность частот. Интенсивность компоненты равна

2Графи0к2е функции изображен на рис. 3.2. Такая форма линии

2называется Лоренцевой. Формула (3.6) позволяет найти ширину

2линий на уровне 1/2 от максимума. Она равна ,

2т.е. между шириной линии и временем затухания колебания су-

2ществует связь типа соотношения неопределенности.

2Для форм-фактора получаются выражения

2из которых следует, что

2Таким образом, максимальное значение форм-фактора обратно

2пропорционально ширине линии.

2- 12 -

_23. Доплеровское уширение.

2Тепловое движение атомов и молекул в активных средах газо-

2вых лазеров приводит к эффекту Доплера и уширению на порядок

2спектральных линий.

2Как известно , где - частота

2излучения покоящегося атома, дельта ню - изменение частоты при

2эффекте Доплера, - составляющая скорости атома по направле-

2нию наблюдения (рис. 3.3), с - скорость света.

2Распределение по скоростям является Максвелловским

2где m - масса атома, N - число атомов в единице объема. Оче-

2видно, что каждая группа атомов со скоростями в интервале

2дает свой вклад в общее излучение, пропорциональный числу

2атомов в этой группе. Поэтому

2Подставив вместо ее значение из формулы Доплера , получим

2Форма линии, уширенной эффектом Доплера, является Гауссо-

2вой. Удобна для расчетов формула

2Для форм-фактора можно получить выражение

2При Доплеровском уширении каждому интервалу частоты соот-

2ветствует своя группа атомов, а при естественном уширении каж-

2дый атом дает свою уширенную линию. Уширение, аналогичное

2естественному, называется однородным, а аналогичное Допле-

2ровскому - неоднородным.

_24. Спектры цугов волн.

2Первым примером будет ограниченный во времени отрезок гар-

2монического колебательного процесса изображенный на рис.3.4.

2Примем, что

2Применив преобразование Фурье, получим

2Спектральное распределение интенсивности имеет вид, изображен-

2ный на рис. 3.4. В этом случае целесообразно определить ширину

2полосы частот как интервал между первыми нулями . Тогда

2получим соотношение неопределенности

2Второй пример относится к Гауссовым цугам, когда

2где характеризует длительность импульса.

2Выполнив преобразование Фурье, получим спектр с Гауссовым

2форм-фактором:

_25. Уширение спектральных линий при столкновении атомов в

2- 13 -

_2газах.

2При обсуждении вопроса о естественной ширине спектральной

2линии мы не вникали в проблему о факторах, определяющих время

2жизни возбужденного состояния.

2Ск0о2рость изменения заселенности возбужденного уровня при

2спонтанных переходах подчиняется уравнению

2где - вероятность перехода за единицу времени (коэффициент

2Эйнштейна). Решение дает

2Квантовая механика позволяет вычислить коэффициент Эйнштейна,

2если известны волновые функции возбужденного и нормального

2состояний.

2Мы ограничимся ролью столкновения атомов и молекул в га-

2зах.

2Если считать , что каждое столкновение разрушает возбуж-

2денное состояние, то время жизни его будет определяться време-

2нем между столкновениями. При больших давлениях оно становится

2значительно меньше времени спонтанного распада, и ширина

2спектральной линии будет определяться соотношением неопреде-

2ленности.

2Уширение в результате столкновений находит применение в

2инфракрасных лазерах, перестраиваемых по частоте.

2Мы видели, что характерные времена процессов, вызывающих

2уширение, обратны соответствующим вероятностям. Если все про-

2цессы независимы, то можно записать результирующее характерное

2время в виде

2где в общем случае предполагается наличие уширения верхнего и

2нижнего уровней от различных внешних факторов. Ширину линии

2можно вычислить, считая, что она сохраняет Лоренцеву форму.

_26. Спонтанное и стимулированное излучение.

2Следуя Фейнману, очень просто получить формулу для средне-

2го числа фотонов в данном состоянии

2Такая же формула была получена при рассмотрении квантового

2осциллятора методом, который применил сам Планк.

2Для преобладания стимулированной эмиссии нужно получить

2неравновесное состояние среды. Рассматривается система с двумя

2уровнями энергии.

2Условие баланса скоростей эмиссии и поглощения фотонов

2получается из предположения, что скорость спонтанного излуче-

2ния пропорциональна числу возбужденных атомов среды в состоя-

2нии с энергией ; введя коэффициент Эйнштейна , запишем ее

2в виде ; скорость поглощения пропорциональна произведе-

2нию числа атомов в нормальном состоянии на плотность энергии

2равновесного излучения , введя коэффициент , запишем

2ее в виде ; скорость стимулированного излучения про-

2порциональна числу атомов в возбужденном состоянии и плот-

2ности равновесного излучения, введя коэффициент , выразим

2ее как

2Из (5.4) найдем

2- 14 -

2Учтя, что в соответствии с принципом Больцмана

2получим формулу

2Для совпадения с формулой Планка должны выполняться соот-

2ношения

2Исходя из (5.2), можно найти по времени спада люминисцен-

2ции среды при возбуждении импульсом коротковолнового света или

2электронным лучом. Тогда

_27. Коэффициенты поглощения и усиления.

2Рассмотрим плоскую электромагнитную волну с частотой ,

2распространяющуюся в направлении X, являющуюся одним из типов

2колебаний (мод), которые могут существовать в среде. Определим

2плотность мощности Р(x), поглощаемую в слое dx. В соответствии

2с определением коэффициента В, имеем

2Связь эпсилон(х) и Р(х) дается формулой

2Тогда

2Его решение имеет вид

2где введено обозначение

2Все изложенное относилось к одночастотному излучению,

2спектр которого выражался дельта-функцией. В действительности,

2спектральные линии испускания или поглощения более или менее

2уширены. Поэтому в выражении (5.12) нужно добавить в правой

2части множитель . Таким образом

2В силу условия нормировки форм-фактора

2Совершенно аналогично можно получить формулу для стимули-

2рованного излучения (процесса обратного поглощению), при этом

2получится формула для коэффициента усиления

2В общем случае изменения мощности волны при распростране-

2нии в среде будет выражаться

2Если нас интересует усиление электромагнитной волны, то

2N2>N1.

_28. Квантовый усилитель бегущей волны.

2Среда с инверсией заселенности энергетических уровней уси-

2ливает электромагнитную волну. По мере роста интенсивности

2- 15 -

2волны истощается инверсная населенность, т.е. опустошение

2верхнего уровня самой волной при конечной скорости возбуждения

2внешнего источника.Поэтому экспоненциальный закон сп0р2аведлив в

2ограниченном диапазоне интенсивностей, а далее происходит пе-

2реход к насыщению.

2Полупроводниковый усилитель представляет собой кристаллик

2арсенида галия или иного материала, в котором создан р-n пере-

2ход. Его грани имеют антиотражающее покрытие. Как и в лазере,

2подача положительного смещения на р-n переход вызывает инжек-

2цию носителей заряда в область кристалла, где они становятся

2неосновными и сильно неравновесными. В процессе рекомбинации

2носителей заряда возникает излучение с энергией примерно рав-

2ной ширине запрещенной зоны. Если бы грани кристалла действо-

2вали как зеркала, начался0 2 бы процесс генерации лазерного из-

2лучения. Но этого не происходит: внешний сигнал, вошедший в

2активную область кристалла испытывает усиление за счет стиму-

2лированного излучения.

2Усилители бегущей волны световодного типа представляют со-

2бой отрезки волоконного световода из материала, легированного

2ионами редкоземельных элементов, дающих собственное излучение

2на тех же волнах, как и подлежащие усилению. Возбуждение ред-

2коземельных ионов достигается подсветкой световода полупровод-

2никовым лазером.

_ГЛАВА 4.Лазеры (краткий обзор).

2Любой квантовый усилитель входит в режим генерации при на-

2личии достаточной положительной обратной связи. В лазере для

2этого активная среда размещается в интерферометре Фабри-Перо

2(с плоскими или сферическими зеркалами).

2Инвертированная среда при каждом проходе усиливает волну,

2повышая плотность фотонов, причем аксиальные моды (волны с

2волновым вектором вдоль оси) усилятся больше, чем внеаксиаль-

2ные.Поскольку вероятность рождения фотонов пропорциональна ко-

2личеству уже имеющихся, то в итоге останутся только аксиальные

2моды,и из широкой спектральной линии спонтанного излучения вы-

2делится узкая линия стимулированного излучения аксиальной мо-

2ды.

2Встречные волны аксиальных мод образуют стоячую волну. На

2расстоянии между зеркалами должно уложится целое число полу-

2волн(интерферометр с плоскими зеркалами).

2Поэтому интерферометер имеет много собственных частот, соот-

2ветствующих резонансам, которые он и выбирает из широкого кон-

2тура усиления(см.рис.4.3). При достаточно слабой инверсии мо-

2жет остаться только одна центральная мода.

2Условие самовозбуждения лазера.

2где - мощность аксиальной моды "затравочного" спонтанного

2излучения, - мощность аксиальной моды после прохода "ту-

2да и обратно"; - коэффициент усиления средой; -

2коэффициент ослабления; , - коэффициенты отражения зер-

2кал;

2Для самовозбуждения нужно :

2Отсюда

2- 16 -

2Основные типы лазеров:

21. гелий-неоновый. Разряд в чистом неоне не может привести

2к инверсии, но атом гелия имеет метастабильное состояние с

2энергией близкой к требуемой для возбуждения атома неона. При

2столкновениях эта энергия передается атомам неона.Возможные

2испускаемые длины волн: 0.63, 1.15 и 3.39 мкм. Мощность пучка

2составляет единицы мВт. Применяются в оптическом приборострое-

2нии, исследовательской работе и метрологии (оптический гиро-

2метр).

22. аргоновый. В отличие от первого мощность излучения

2составляет 500 Вт, но при этом КПД менее 0.1%. Дает несколько

2линий в сине-зеленой части спектра.

23. на парах меди. Дает мощное излучение в желтой и зеленой

2частях спектра. Работает в импульсном режиме.

24. углекислотный. Активная среда - смесь углекислоты, азо-

2та и гелия. Для создания инверсной заселенности энергия от

2возбужденной молекулы азота передается молекуле углекислоты.

2Гелий вводят в смесь для создания высокой теплопроводности

2(т.к. перегрев током разряда при больших мощностях,генерируе-

2мых лазером, затрудняет получение инверсии). Возбужденная мо-

2лекула углекислого газа совершает колебания трех типов. Однов-

2ременно с колебаниями происходит вращение молекулы. Кванты

2вращательной энергии значительно меньше квантов колебательной

2энергии, что приводит к многоуровневому спектру излучения.

2Множество вращательно-колебательных переходов позволяет пе-

2рестраивать лазер по частоте с помощью селективного резонато-

2ра, состоящего из двух неселективных зеркал и дифракционной

2решетки, выделяющей нужную спектральную линию. Спектр излуче-

2ния лежит в области 10.6мкм - 9.6мкм.Существующие лазеры с

2мощностью непрерывного излучения около десятков кВт и им-

2пульсные лазеры с энергией в импульсе в сотни кДж, при КПД до

230%. Используются в машиностроении, лазерных локаторах и даль-

2номерах, для контроля состава атмосферы.

2В конструкции лазера обычно используется замкнутый кон-

2тур, по которому циркулирует газовая смесь, проходящая для ре-

2генерации через устройство для каталитического окисления окиси

2углерода (образуется при разложении углекислоты электрическим

2разрядом).

25. "эксимерный".Активная среда - смесь инертных газов с

2парами соединений, содержащих галоиды. Принцип получения ин-

2версной заселенности заключается в переходе молекулы из устой-

2чивого возбужденного состояния в неустойчивое нормальное, пе-

2рейдя в которое молекула диссоциирует. Создав в смеси условия

2для химической реакции образования молекул типа криптон-фтор,

2ксенон-фтор и т.д.,мы получаем инверсию, т.к. в нормальном

2состоянии таких молекул нет. Образование возбужденных молекул

2идет при сильном электрическом разряде и сжатом газе с добав-

2кой гелия при давлении выше 1 атм., или при облучении сжатого

2газа быстрыми электронами.

2Дают импульсное УФ-излучение. Самое коротковолновое излу-

2чение получается в системе аргон-хлор(175 нм), а самое длинно-

2волновое в системе ксенон-фтор(351 нм). длительность импульсов

210 - 50 нс. Мощность до нескольких ГВт. Используются для изго-

2товления эпитаксиальных пленок полупроводников.

26. лазеры на активированных кристаллах и стеклах:

2- рубиновый: излучение на длине волны 0.69 мкм.

2- на стеклах, легированных ниодимом: для создания

2- 17 -

2инверсии активный элемент облучается импульсной лампой белого

2света. Излучение вблизи 1.06 мкм.

2- на сапфире, активированном титаном: может перестраива-

2ться по длине волны в широкой области.

_ГЛАВА 6. Полупроводниковые лазеры и их применение.

_21..К методам возбуждения электронной подсистемы полупровод-

2ника относятся инжекция через p-n переход,ионизация быстрыми

2электронами и фотоионизация. Основные достижения в области по-

2лупроводниковых лазеров основаны на первом методе.

2Первые инжекционные лазеры были созданы в 1962г. на основе

2арсенида галлия. Их простая конструкция(рис.6.1): пластинку

2арсенида галлия n типа, полученная диффузией цинка, разделяют

2на кристаллики около 1мм; грани,перпендикулярные плоскости p-n

2перехода,служат зеркалами резонатора. Арсенид галлия имеет

2высокий показатель преломления ( 3.7 ), поэтому френелевское

2отражение составляет около 30%. Этого достаточно для получения

2генерации (например, при коэффициенте усиления 22 1/мм и длине

2резонатора 0.4мм усиление составляет 4500). Технологические

2доработки приводят к приборам с исключительно ценным комп-

2лексом качеств: малые размеры области свечения,высокая яркость

2даже при малой мощности излучения, высокий КПД,простота моду-

2ляции излучения током питания, квазимонохроматичность излуче-

2ния и возможность интеграции с другими твердотельными прибора-

2ми на общей подложке. Последнее требуется, например,в прием-

2но-передающих модулях волоконно-оптических систем связи,вклю-

2чающих в себя лазер и фотодиод. Для усовершенствования приме-

2няют полупроводниковые гетероструктуры (системы контактирующих

2на атомном уровне различных полупроводников с неодинаковой

2щелью, но с предельно малым различием постоянных кристалли-

2ческой решетки, напр.:арсенид галлия - арсенид галлия-алюми-

2ния) и квантово-размерные структуры (настолько тонкослойные

2структуры, что движение в них электронов является двумерным).

2С энергетической точки зрения тонкий слой между слоями с

2несколько большей щелью является потенциальной ямой с верти-

2кальными стенками, в которой возникают устойчивые состояния,

2соответствующие стоячим волнам электронной волны. Оптическим

2аналогом квантово-размерной системы является интерферометр

2Фабри-Перо.

2Простейшая структура лазера с одной квантовой ямой изобра-

2жена на рис.6.2.

2Мощность лазеров с гетероструктурами квантовой ямой дове-

2дена до единиц Вт в непрерывном режиме при комнатной темпера-

2туре, КПД достигает 50%.Повышение мощности достигается при по-

2мощи многоэлементных лазерных линеек (решеток).

2Для уменьшения расходимости светового пучка вместо зеркал

2на Френелевском отражении применяются структуры типа дифракци-

2онной решетки, нанесенной на поверхность кристалла. По анало-

2гии с отражением рентгеновских лучей от кристаллов эти дифрак-

2ционные зеркала называются Брэгговскими. Лазеры этого типа - "

2лазеры с распределенной обратной связью". Диаграмма направлен-

2ности их имеет ширину порядка 1 градуса, что существенно упро-

2щает оптическую систему формирования выходного пучка.

2Предыдущее изложение относилось к лазерам на основе арсе-

2нида галлия с щелью 1.47эВ, что соответствует длине волны

20.84мкм.

2Развитие ВОСС потребовало перехода к длинам волн 1.3 -

21.6мкм для уменьшения поглощения волн кварцевым стеклом и

2уменьшения дисперсии. Для этого применяются сложные полупро-

2- 18 -

2водниковые системы из 4-х компонентов индий-галлий-фос-

2фор-мышьяк на подложке из фосфида индия.

_22.Квазиуровни Ферми. Условие инверсии для полупроводников.

2В системе фермионов в равновесном состоянии уровни Ферми

2всех подсистем равны. В сильно неравновесных системах стимули-

2рованное излучение доминирует над спонтанным. Вводя избыточные

2по сравнению с равновесным состоянием носители заряда в С- и

2V- зоны,мы заставляем их занимать более высокие состояния,

2т.к. по принципу Паули нижние уровни уже заняты носителями за-

2ряда. Поэтому в первый момент избыточные носители("горячие")

2не подчиняются распределению Ферми.

2Однако в процессе "остывания" за время порядка 1нс уста-

2навливается распределение Ферми, отличающееся от равновесного

2значением энергии Ферми. После этого избыточные носители су-

2ществуют в зонах в течение времени на несколько порядков боль-

2ше времени остывания. Энергию Ферми для такого состояния назы-

2вают "квазиуровнем Ферми". Очевидно, что квазиуровни Ферми для

2электронов и дырок не совпадают, как в равновесном состоянии.

2Определим условия для положения квазиуровней Ферми при

2преобладании стимулированной эмиссии над поглощением. Для это-

2го рассмотрим баланс переходов из С-зоны в V-зону и обратно.

2Число переходов за 1с пропорционально произведению вероят-

2ностей занятости состояния в С-зоне и V-зоне. Аналогично для

2скорости переходов обратно. Коэффициенты пропорциональности

2одинаковы для переходов "вниз и вверх". Здесь нужно использо-

2вать формулу распределения Ферми-Дирака. При инверсии число

2переходов "вниз" должно быть больше числа переходов "вверх".

2Поэтому условие инверсии

2где и функции, выражающие распределения Ферми для

2электронов соответственно в С- и V-зонах. Введя вместо уровней

2Ферми квазиуровни и , запишем их в виде

2Для выполнения неравенства нужно, чтобы

2Отсюда следует

2Но есть энергия испускаемого фотона, которая не может быть

2меньше ширины щели (при выбранной нами модели собственного по-

2лупроводника). Поэтому

2означающее, что квазиуровни должны быть расположены ниже по-

2толка V-зоны и выше дна С-зоны.

2Полученный результат не содержит информации о количествен-

2ном соотношении скоростей переходов с излучением и поглощени-

2ем. Решение этой задачи дается интегралом

2Этот интеграл аналогичен рассмотренному в главе 5 при рассмот-

2рении спектра спонтанного излучения. Положительный знак ре-

2- 19 -

2зультата соответствует преобладанию стимулированных излуча-

2тельных переходов, а отрицательный - преобладанию переходов с

2поглощением. Для непосредственного измерения удобно ввести ве-

2личину эффективной плотности тока :

2где j - плотность тока, - внутренняя квантовая эффектив-

2ность, d - толщина области, где происходит рекомбинация.

2Результаты вычислений баланса излучательных переходов и

2переходов с поглощением и последующих вычислений коэффициентов

2усиления и поглощения изображены на рис.6.3 применительно к

2арсениду галлия.

2Зная коэффициент усиления, можно определить порог генера-

2ции лазерного излучения, когда усиление компенсирует потерю

2излучения. Вблизи порога начнется генерация на одной моде, со-

2ответствующей максимуму усиления, а при увеличении тока нач-

2нется генерация и на других модах, если они не подавляются ре-

2зонатором.

_23. Условие перехода к генерации. Двойная гетероструктура.

2Для перехода к генерации лазерного излучения нужно обеспе-

2чить положительную обратную связь при помощи резонатора, поз-

2воляющего повысить плотность фотонов для определенных типов

2колебаний (мод) и реализовать принципиальную особенность фото-

2нов, заключающуюся в повышении вероятности рождения фотона

2пропорционально плотности уже имеющихся. Поэтому резонатор

2способствует рождению фотонов, соответствующих по частоте

2собственных колебаний резонатора. Начало генерации обычно

2соответствует максимуму спектрального контура усиления, причем

2появляется одномодовое излучение, а затем при повышении тока

2усиление становится достаточно высоким для начала генерации

2других мод. Спектр приобретает многомодовую структуру, изобра-

2женную на рис.6.4.

2При сильном возбуждении полупроводника без резонатора по-

2является излучение со сплошным спектром (суперлюминисценция).

2Полупроводниковые излучатели, в которых реализуется такой ре-

2жим, называются суперлюминисцентными светодиодами.

2Общее условие перехода к генерации:

2где R1 и R2 - коэффициент отражения зеркал резонатора, l -

2длина резонатора, ?? - коэффициент усиления и ?? - коэффициент

2поглощения на примесях и при рассеянии на неоднородностях. Для

2полупроводникового лазера нужно учесть, что выше порога гене-

2рации связь коэффициента усиления и эффективной плотности тока

2линейна

2Кроме того, следует уменьшить коэффициент усиления факто-

2ром Г ("фактор оптического ограничения") за счет ухода части

2излучения за пределы активного слоя.

2Для снижения пороговой плотности тока нужно уменьшить тол-

2щину активного слоя d и увеличить Г. Эти соображения реализо-

2ваны в гетероструктуре, использующей контактирующие слои по-

2лупроводников с разным химическим составом (арсенида галлия с

2- 20 -

2арсенидом галлия-алюминия).

2Очень важно, что показатель преломления у арсенида гал-

2лия-алюминия меньше, чем у арсенида галлия, и на их границе

2может иметь место полное внутреннее отражение. Поэтому слой

2арсенида галлия между двумя слоями арсенида галлия-алюминия

2образует световод. Кроме того, арсенид галлия-алюминия прозра-

2чен для излучения арсенида галлия, т.к. обладает большей шири-

2ной щели.

2Наконец, особенности контакта двух полупроводников с раз-

2ными щелями способствуют накоплению избыточных неосновных

2носителей заряда в активном слое. Этот процесс поясняется на

2рис.6.5.

2Первая диаграмма относится к равновесному состоянию. Вто-

2рая соответствует прямому смещению ( - на n-области). Будем

2считать, что p-область заземлена. Подъем части диаграммы для

2n-области заставит электроны устремиться в p+ -область, обрат-

2ный переход затруднен возникшим потенциальным барьером. Уйти в

2p-область они также не могут, т.к. барьер на границе p+ и

2p-областей сохранился. Дырки в p+ -области также остаются "за-

2пертыми", т.к. их выходу препятствуют барьеры, а на выходе из

2p-области барьера нет.

2Таким образом, двойная гетероструктура создает пространс-

2твенное ограничение для фотонов, заставляя их распространяться

2по световоду в активной области, и для электронов и дырок,

2"запирая" их p+ -области.

_24. Примеры конструкций полупроводниковых лазеров.

2Примеры конструкций полупроводниковых лазеров приведены на

2рис. 6.1, 6.2, 6.9-6.12. Характерен рис.6.2, где показана

2структура одноэлементного гетеролазера с одним квантово-раз-

2мерным слоем, причем изображен профиль показателя преломления

2в активной области и в ограничивающих слоях гетероструктуры.

2Длина узкой полоски активной области составляет доли мм.

2На рис.6.9 изображена более сложная конструкция лазера с

2активной областью из четверного соединения двух составов, из-

2лучающей на длинах волн 1.18мкм и 1.52мкм. Вышележащий слой

2фосфида индия p-типа и нижележащий слой n-типа образуют вместе

2с активным слоем двойную гетероструктуру. Сама активная об-

2ласть расположена на "столике", который зарощен слоями фосфида

2индия, служащими для предотвращения диффузии избыточных носи-

2телей заряда в боковом направлении. Таким образом, они оказы-

2ваются "запертыми" в пределах активной зоны, что соответствует

2повышению эффективной плотности тока. Рядом показана зависи-

2мость мощности излучения от тока через структуру при различных

2температурах. По шкале оси абсцисс можно судить о величине по-

2рогового тока.

2Рис.6.11 дает представление о конструкции лазера с дифрак-

2ционной решеткой (отражателем Брегга). Решетка наносится не на

2активный слой, а на нижележащий волновой слой. Это делается

2для предотвращения появлений дефектов в активном слое.

2Рис.6.12 изображает схему фазированной решетки из несколь-

2ких лазеров, которые могут обмениваться излучением благодаря

2наличию связей между ними. В результате обмена устанавливается

2общее поле и лазеры начинают излучать в фазе друг с другом,

2что приводит к улучшению диаграммы направленности.

_25. Применение полупроводниковых лазеров.

2Самый крупный потребитель лазеров - бытовая и специальная

2видеотехника.

2- 21 -

2Вторая область массового применения - волоконно-оптические

2линии связи (ВОЛС). Общая структура ВОЛС включает приемо-пере-

2датчики и кабель со световодами, а на длинных линиях еще пов-

2торители-ретрансляторы. Расстояние между ретрансляторами

2достигает 100 км. - такой прозрачностью обладают световоды из

2легированного кварцевого стекла.

2Приемо-передатчики представляют собой модули, содержащие

2лазер, стыкуемый со световодом, фотодиод и электронные мик-

2росхемы. Принципиальная схема изображена на рис.6.13.

2Созданы ВОЛС, в которых используется оптическое усиление

2сигнала. Для этого служит отрезок световода из стекла, легиро-

2ванного ионами примесей, которые возбуждаются излучением по-

2лупроводникового лазера на арсениде галлия. Этот отрезок явля-

2ется усилителем бегущей световой волны сигнала от основного

2лазера-передатчика.

2Среди других применений отметим ряд типов волоконно-опти-

2ческих датчиков различных физических величин. Все эти устройс-

2тва по сути являются волоконно-оптическими интерферометрами,

2регистрирующими разность фаз, которая возникает при воздейс-

2твии внешних факторов на чувствительный элемент.

_ГЛАВА 7

_21.. При изложении материала о приемниках оптического излу-

2чения будем использовать сокращения: ФП - фотоприемник, ФПУ -

2фотоприемное устройство, ФЭПП - фотоэлектрический полупровод-

2никовый приемник, ТФП - тепловой фотоприемник.

2ФП классифицируются по механизму реакции на излучение,

2т.е. преобразования оптического сигнала в электрический. Фо-

2тонные (квантовые): эл. сигнал возникает при прямом преобразо-

2вании энергии фотона в первичную реакцию ФП (например: фотоди-

2оды, фоторезисторы, фотоэмиссионные приемники, усилители изоб-

2ражения). Тепловые: энергия фотона преобразуется в теплоту, и

2реакция ФП создается в результате повышения температуры его

2чувствительного элемента.

2Принцип действия фотодиодов основан на разделении полем

2контактной разности потенциалов избыточных (неравновесных) не-

2основных носителей заряда, созданных при поглощении фотонов

2(см.рис.5.8). Фототок добавляется к току равновесных неоснов-

2ных носителей.

2Принцип действия фоторезисторов основан на изменении соп-

2ротивления чувствительного элемента при поглощении фотонов.

2Можно конструктивно объединить фоточувствительный элемент

2с предусилителем. Такие приборы называются фотоприемными уст-

2ройствами. Чувствительные элементы ФПУ могут быть сделаны из

2любого материала, применяемого в фотоэлектронике, а электрон-

2ный тракт состоит из обычных кремниевых компонентов. Многие

2ФПУ имеют по одному чувствительному элементу, но большая часть

2применений требует наличия многих чувствительных элементов(

2напр. ФПУ для систем телевидения).

2К фотонным приемникам эмиссионного типа относятся все при-

2боры с внешним фотоэффектом эмиссии в вакуум. Среди них широко

2используются фотоэлектронные умножители(ФЭУ) и электронно-оп-

2тические преобразователи(ЭОП).

2К тепловым фотоприемникам(ТФП) относятся болометры разных

2типов, радиационные термоэлементы и пироэлектрические ТФП.

2Болометры преобразуют оптический сигнал, воспринимаемый

2резистивным чувствительным элементом(ЧЭ), в теплоту. Повышение

2температуры изменяет сопротивление элемента, регистрируемое

2- 22 -

2электронной схемой. Часто используются приборы с двумя рядом

2расположенными одинаковыми чувствительными элементами, один из

2которых принимает сигнал, а другой остается неосвещенным. В

2этом случае используется мостовая схема, позволяющая уменьшить

2влияние изменений температуры окружающей среды. Чувствительные

2элементы неохлаждаемых болометров изготовляются из композиций

2оксидов металлов, обладающих полупроводниковыми свойствами,

2или из тонких пленок металлов. В охлаждаемых болометрах

2используются элементы из германия и кремния, легированные при-

2месями. Для повышения коэффициента поглощения излучения на по-

2верхность ЧЭ наносится слой черни. Спектральная область

2чувствительности болометра определяется свойствами черни и

2прозрачностью окна прибора, его можно считать неселективным в

2широкой области спектра. Недостатком болометров является боль-

2шая инертность с характерным временем порядка 1мс. По чувстви-

2тельности к слабым сигналам неохлаждаемые болометры уступают

2фотоэлектрическим ФП на 2-3 порядка. Полупроводниковые боло-

2метры, охлаждаемые до гелиевых температур, имеют очень высокую

2обнаружительную способность.

2Важным фактором, определяющим качество болометра, является

2термический коэффициент сопротивления материала ЧЭ. Были раз-

2работаны сверхпроводящие болометры с очень резкой зависимостью

2сопротивления от температуры в области сверхпроводящего пере-

2хода.

2Пироэлектрические ФП (ПФП) основаны на температурной за-

2висимости поляризации сегнетоэлектрических кристаллов, которые

2обладают постоянной поляризацией. Сигнал ПФП состоит в измене-

2нии плотности заряда на поверхности образца при нагревании.

2Образец пироэлектрика в виде пластинки с электродами на гранях

2подобен заряженному конденсатору. Нагревание пластинки сигна-

2лом излучения изменяет заряд и во внешней цепи проходит им-

2пульс тока. Если сигнал не модулирован, то тока во внешней це-

2пи не будет, т.е. ПФП реагирует только на изменение сигнала.

2ЧЭ для ПФП делаются обычно из триглицинсульфата или танталата

2лития. ПФП имеют большую инертность, чем фотоэлектрические ФП.

2И0м2ется возможность0 2 повысить быстродействие ПФП ценой снижения

2чувствительности.

_22. Материалы, используемые при изготовлении ФЧЭ фоторе-

_2зисторов и фотодиодов.

2Успехи современной микроэлектроники в основном связаны с

2хорошо разработанной технологией кремния и отчасти арсенида

2галлия. Для области 3-5мкм одним из основных материалов счита-

2ют антимонид индия. Для области 8-12мкм оптимальным материалом

2является твердый раствор теллуридов кадмия и ртути с составом

20.2 по кадмию.

2В среднем ИК-диапазоне до 10мкм можно использовать ряд

2собственных полупроводников, а в дальнем - примесные полупро-

2водники. В области 8-12мкм пригодны собственный полупроводник

2КРТ и примесный германий с ртутью.

_23.Конструкция фотоэлектрических полупроводниковых приемников

_2излучения(ФЭПП).

2Одноэлементные неохлаждаемые ФЭПП в простейшем случае не

2имеют герметизирующего корпуса. ФЧЭ защищается от внешних воз-

2действий тонкой пластинкой, на которую наносится отражающее

2покрытие, заставляющее излучение проходить через чувствитель-

2ный слой дважды. Герметизация достигается с помощью полимерно-

2го герметика и обеспечивает сохранение свойств ФЧЭ при дли-

2- 23 -

2тельном пребывании во влажной атмосфере. Более сложные ФПП

2имеют металлический корпус с окном. Для устранения потерь на

2отражение на окна наносится антиотражающее покрытие. Иногда к

2ФЧЭ приклеивается иммерсионная линза. Она позволяет собрать

2излучение на ФЧЭ малого размера, имеющий меньшие шумы и боль-

2шую чувствительность. Фотодиоды для ВОЛС имеют для ввода излу-

2чения короткий отрезок световода, который стыкуется с линией с

2помощью разъема.

_ГЛАВА 8.

_21. ВАХ фотодиода. Структура фотодиода. Лавинный фотодиод.

2При освещении p-n перехода излучением, вызывающем переходы

2зона-зона, в каждой области происходит генерация свободных

2носителей заряда (фотоносителей), которые не отличаются от

2"темновых", созданных тепловым движением. Они также "скатыва-

2ются" с потенциального барьера в сою область, где становятся

2избыточными. Поэтому реакцией кристалла на фотоионизирующую

2радиацию является рост тока насыщения и формула для ВАХ прини-

2мает вид

2где Iф - фототок. Величина Iф связана с плотностью мощности

2монохроматического фотоионизирующего излучения формулой

2где - квантовая эффективность, т.е. доля фотонов, создав-

2ших фотоносители в области настолько близкой к ОПЗ и p-n пере-

2ходу, чтобы принять участие в токе неосновных носителей через

2переход.

2Ампер-ваттная чувствительность для фотодиодов определяется

2как фототок, вызванный излучением с мощностью равной единице.

2Учитывая (8.1):

2ВАХ фотодиода изображена на рис 8.1. Обратим внимание на

2две возможности измерения мощности оптического сигнала. Первая

2состоит в режиме обратного смещения с выходом на ток насыщения

2и измерении разности токов при освещении и без него, а вторая

2- в измерении напряжения без внешнего смещения. Первый режим

2называется фотодиодным, а второй фотовольтаическим. При фото-

2диодном режиме кристалл действует аналогично фоторезитору, а

2при фотовольтаическом аналогично фотоэлементу - источнику ЭДС.

2Величину фотоЭДС Eф легко вычислить, положив в формуле ВАХ

2I=0. В результате

2- 24 -

2Если , то и связаны линейной зависимостью. Как и

2всякий источник напряжения, фотодиод имеет внутреннее сопро-

2тивление, на котором получается падение напряжения, поэтому

2фотовольтаический режим в чистом виде реализуется при большом

2внешнем сопротивлении. Фотодиод следует делать на основе

2пластинки p-типа и создавать на одной из ее поверхностей тон-

2кий слой n-типа. Излучение должно входить через слой n-типа и

2поглощаться в материале p-типа.

2Многие фотодиоды кроме высокой квантовой эффективности

2должны иметь малую инерционность, иначе говоря, большую ширину

2информационной полосы частот. За последние десятилетия были

2разработаны лавинные фотодиоды(ЛФД), представляющие собой по-

2лупроводниковые аналоги вакуумных ФЭУ. В отличие от обычных

2фотодиодов они имеют внутреннее усиление сигнала, которое соз-

2дается ударной ионизацией полупроводника ускоренными электро-

2нами или дырками. Для этого в структуре ЛФД должны иметься по-

2ля с напряженностью порядка 100кВ/см.

_22. Шумы фотоэлектрических полупроводниковых приемников

_2излучения (ФЭПП).Мощность эквивалентная шуму (МЭШ).

2Существуют два вида случайных процессов, связанных с кван-

2товой природой излучения, а именно, фотонный шум и тепловой

2шум резисторов. Есть также дробовой и генерационно-рекомбина-

2ционный шумы, существующие как при наличии освещенности фото-

2чувствительного элемента ФЭПП, так и без нее. Кроме этих шумов

2существует Фликкер-шум (1/f-шум), возникающий в результате

2различных явлений, которые можно в той или иной степени устра-

2нить технологическими приемами.

2Определим МЭШ. Начнем с радиационного шума. Обозначив МЭШ

2через имеем в соответствием с формулой Шотки

2Если бы измерительная схема, включая фотоприемник, не имела

2шумов, то, при единичной ширине полосы, пропускаемой электрон-

2ным трактом, можно было бы зарегистрировать сигнал из несколь-

2ких фотонов. Фоторезистор, не имеющий темнового тока, но даю-

2щий усиление фототока по сравнению с фотодиодом в

2раз, имеет МЭШ в два раза большую,чем фотодиод. Это видно из

2вычисления, аналогичного проведенному для фотодиода :

2Перейдем к радиационному шуму, вызванному внешней подсветкой

2излучением фона с мощностью Pф.

2Повторяя те же вычисления получим для фотодиода

2Выразив мощность фоновой подсветки формулой

2где Eф - плотность потока фотонов фона и A - площадь ФЧЭ, по-

2лучим формулу для МЭШ фотодиода при ограничении флуктуации мо-

2нохроматической фоновой подсветки

2Аналогичная формула для фоторезистора, имеющего фотоэлект-

2рическое усиление G имеет вид

2- 25 -

2Коэффициент фотоэлектрического усиления сократился, а МЭШ ока-

2залась в корень из 2 раз больше, чем доя фотодиода.

2При использовании ФЭПП в аппаратуре космического назначе-

2ния плотность потока фотонов фона может быть снижена на много

2порядков и доминируюшим становится тепловой шум. Выполнив

2простое вычисление по той же схеме получим формулу для МЭШ при

2ограничении тепловым шумом:

2где R и T - сопротивление и температура ФЧЭ.

2При ограничении флуктуациями темнового тока фоторезистора

2МЭШ вычисляется по формуле

2в которую входит коэффициент фотоэлектрического усиления G. В

2предыдущих формулах он сокращался, что означало одинаковое

2усиление фототока и его флуктуаций, но здесь он способствует

2снижению МЭШ.

2Надо заметить, что фотоэлектрическое усиление полезно не-

2зависимо от влияния на МЭШ, т.к. повышение сигнала при наличии

2помех всегда желательно.

_23. Обнаружительная способность.

2Понятие о МЭШ очень хорошо характеризует качество ФЭПП, но

2более целесооразно выбрать новую меру качества так, чтобы в

2нее не входили и . Это достигается введением понятия об

2удельной обнаружительной способности

2Исключение и равносильно условию, что A=1кв.см и

2= 1Гц.

2Как видно из определения, величина измеряется едини-

2цами . Используя формулы для МЭШ получим:

2- при ограничении фотодиода флуктуациями фона в пределах

2телесного угла :

2- при ограничении фоторезистора флуктуациями фона в пределах

2телесного угла :

2- при ограничении тепловым шумом :

2где произведение - простая мера качества p-n переходов.

2Для идеального ФЭПП вычисляется по формуле

2где введено , - предельная длина волны (квантовая эф-

2фективность равна 1 во всем диапазоне длин волн от0 до и

2равна нулю при более длинных волнах).

2Для теплового приемника излучения имеем

_24.Гетеродинный (когерентный) прием излучения оптического

_2диапазона.

2ФЭПП,рассмотренные в главе 8, пригодны для приема излуче-

2- 26 -

2ния независимо от степени когерентности.Но одночастотный свет

2во всех отношениях аналогичен одночастотному излучению радио-

2диапазона и для его приема можно применять метод гетеродиниро-

2вания.В отличие от гетеродинирования обычный метод получил

2название прямого детектирования.Напомним ,что идея гетеродини-

2рования состоит в смещении двух гармонических сигналов, разли-

2чающихся по частоте, на квадратичном детекторе. Один из них

2подлежит приему, а другой, более мощный, создается местным ге-

2нератором - гетеродином, входящим в приемное устройство. При

2смещении возникает разностная частота, сигнал которой поступа-

2ет в электронный тракт усиления и обработки. В оптическом диа-

2пазоне квадратичным детектором служит ФЭПП с достаточно высо-

2ким быстродействием, а процесс смещения осуществляется простой

2суперпозицией сигналов на его ФЧЭ.

2При гетеродинном приеме МЭШ пропорциональна (1), а не (2),

2как при прямом детектировании , и равна (3).

2Гетеродинный прием имеет существенные принципиальные преи-

2мущества по сравнению с прямым детектированием, но его реали-

2зация обычно встречает трудности согласования волновых фронтов

2сигнала и гетеродина.

_ГЛАВА 9.

_Фотоэлектрические приемники изображения.

2К приемникам оптического изображения относятся электрон-

2но-оптические преобразователи (ЭОП), полупроводниковые матрицы

2с системой считывания сигналов с отдельных элементов и вакуум-

2ные телевизионные трубку со считыванием сигнала электронным

2лучом.

2ЭОП предназначены для усиления и визуализации изображений

2слабо светящихся объектов, недоступных прямому наблюдению че-

2ловеческим глазом. ЭОП служит основой приборов ночного видения

2и многочисленных видов аппаратуры научного и народнохо-

2зяйственного назначения. Основная идея преобразования и усиле-

2ния изображения состоит в превращении оптического изображения

2в электронное и затем снова в оптическое. Если исходное изоб-

2ражение было невидимым - ультрафиолетовым или инфракрасным до

2длины волны 1 мкм -, то оно преобразуется в видимое. Усиление

2получается путем ускорения электронов сильным электрическим

2полем. Эти процессы были впервые реализованы в 1934 г., в при-

2боре , получившем название "стакан Холста" /см. рис. 9.1/.

2Полупроводниковые фотоматрицы для телевидения и тепловиде-

2ния представляют собой приборы с зарядовой связью (ПЗС) .

2Основная идея ПЗС состоит в накоплении фотоэлектронов (или фо-

2тодырок) в миниатюрном конденсаторе со структурой ме-

2талл-окись-полупроводник (МОП) и передаче накопленного заряда

2по цепочке таких конденсаторов, управляемых электрическими им-

2пульсами. Заряд каждого конденсатора соответствует освещен-

2ности проектируемого на него элемента изображения (пикселя).

2Пройдя по цепочке конденсатора этот заряд, несущий информацию

2о данном пикселе, попадает в общий усилитель и далее служит

2видеосигналом.

2ПЗС фотоматрица по пороговой освещенности значительно

2уступает ЭОП, способному регистрировать отдельные фотоны . По-

2этому в последние годы были созданы гибридные системы с ЭОП на

2входе и стыкованной с ним ПЗС фотоматрицей.

2- 27 -

_ГЛАВА 10.

_Интерференция квазимонохроматического света.

_Многолучевая интерференция.

_21. Закон интерференции квазимонохроматического света.

2Излучение, удовлетворяющее условию , где цент-

2ральная частота полосы, называется квазимонохроматическим в

2отличие от идеального монохроматического одночастотного излу-

2чения. Закон интерференции одночастотного света легко получа-

2ется суммированием колебаний в двух интерферирующих волнах.

2Представим себе, что мы наблюдаем интерференцию при помощи

2интерферометра Маха-Цендера /рис. 10.1/, в котором исходная

2волна разделяется на две светоделителем, причем для одной из

2них вводится временная задержка , соответствующая разнос-

2ти хода а затем обе волны сводятся вместе. Не учитывая

2векторный характер световых колебаний можем записать интенсив-

2ность результирующей волны в виде

2где

2Соответствующие интенсивности равны

2отсюда следует, что

2Заметим, что первые два члена дают "фотометрическое" сложение,

2а третье описывает интерференцию. Интерференционная картина

2будет представлять собой систему светлых и темных линий, сое-

2диняющих те точки, в которых результат интерференции одинаков.

2Контраст интерференционной картины (или видность) определяется

2по формуле

2Подставив значения и в соответствии с законом

2интерференции, получим, что С=1 или 100% .

2Закон интерференции для квазимонохроматического света по-

2лучается по той же схеме, как для одночастотного света. При

2этом будем считать, что процессы изменения амплитуд со време-

2нем стационарны, то есть результаты усреднения по времени не

2зависят от начала отсчета времени. Вычисление дает

2- 28 -

2Интерференционный член имеет вид

2где представляет собой функцию взаимной

2корреляции величин и .

2Функция описывает степень связанности двух изменяю-

2щихся случайно величин. Нормированная функция взаимной корре-

2ляции

2Физический смысл легко понять, рассмотрев интерференцию

2двух волн с одинаковой интенсивностью и вычислив видность ин-

2терференционной картины. Оказывается, что С= .

2называют степенью когерентности. Для идеального одночастотного

2света она равна 1,при фотометрическом сложении равна 0,а для

2монохроматического света имеет промежуточное значение.

_22.Теорема ван-Ситтерта-Цернике.

2Можно ли наблюдать интерференционную картину от источника,

2излучение которого заведомо некогерентно, например, от Солнца

2или любого нагретого тела ? Этот вопрос получил положительный

2ответ в исторически первом интерференционном опыте Юнга, в ко-

2тором наблюдалась интерференционная картина при суперпозиции

2волн от двух дырок, проколотых в непрозрачном экране

2/рис.10.3/.Наша задача будет состоять в теории опыта Юнга,ре-

2зультатом которой является теорема ван-Ситтерта-Цернике.На

2рис.10.4 в плоскости изображен плоский некогерентный

2источник, а в плоскости экран с двумя дырками.

2Будем считать, что на пути волн установлен светофильтр,

2пропускающий полосу частот, удовлетворяющую условию квазимо-

2нохроматичности. Для выяснения вопроса, получится ли достаточ-

2ная интерференционая картина при суперпозиции волн от дырок Р1

2и Р2 на экране, нужно найти функцию взаимной корреляции коле-

2баний в Р1 и Р2.

2Выделим на плоскости источника элемент площади и

2запишем колебания в точках Р1 и Р2, создаваемые сферическими

2волнами от элемента :

2Для определения колебаний от всех элементов поверхности

2источника запишем суммы:

2Подставив суммарные колебания, получим

2Вторая сумма с разными индексами n и m равна нулю, так как

2мы считаем источник пространственно не когерентным .Первую

2сумму можно преобразовать в интеграл по площади источника,

2введя плотность интенсивности и заменив на

2При условии ,что источник расположен достаточно далеко от

2- 29 -

2экрана с дырками :

2где введены безразмерные координаты p=(x1-x2)/R, q=(y1-y2)/R.

2При сделанных предположениях произведение R1*R2 можно за-

2менить на R*R и вынести за знак интеграла .В заключение можно

2распространить пределы интегрирования до бесконечности, так

2как за пределами источника в плоскости

2Конечный результат имеет вид

2Функция взаимной корреляции с точностью до множителя является

2двумерным Фурье-преобразованием от распределения интенсив-

2ностей по площади источника.

_23.Применение теоремы ван-Ситтерта-Цернике к источнику в

_2виде равномерно светящегося круглого диска .

2На рис.10.5 применим полярную систему координат в

2плоскостях и X,Y :

2Для отрезка , показанного на рис.10.6 имеем:

2Тогда интеграл приобретает вид, хорошо известный в теории

2Бесселевых функций

2Напомним, что Бесселева функция первого рода и нулевого

2порядка равна интегралу

2и что существует формула, связывающая Бесселевы функции перво-

2го и нулевого порядка

2В нашем случае

2График функции показан на рис.10.6. При =3.83

2видность интерференционной картины обращается в 0, затем

2несколько возрастает и снова обращается в 0.

2Т.к. , то

2- 30 -

2Введя угловой размер светящегося диска получим

2конечный результат

2Иначе говоря, на поверхности волнового фронта можно выде-

2лить кружок, в пределах которого имеется пространственная ко-

2герентность. Диаметр этого кружка когерентности равен

_24.Звездный интерферометр Майкельсона и измерение

_2угловых размеров звезд.

2Схема звездного интерферометра изображена на рис.10.7.

2Увеличивая базу перемещением зеркал, можно как бы проходить по

2кружку когерентности. Эксперименты состояли в визуальном наб-

2людении интерференционной картины при увеличении базы. Интер-

2ференционная картина становилась все менее контрастной и, на-

2конец исчезала,а затем снова появлялась при значительно мень-

2шем контрасте. Т.о., величина b1 становилась известной, и фор-

2мула 10.9 давала возможность вычислить угловой размер звезды.

2Майкельсон измерил угловые диаметры ряда звезд, в частности,

2звезды Бетельгейзе, угловой диаметр которой составил 0.05 угл.

2сек.

_25.Радиоинтерферометр.

2На рис.10.7 изображена схема радиоинтерферометра на основе

2двух радиотелескопов. Размер базы пока ограничен размерами

2Земли, но имеются сведения о выносе радиоинтерферометров в

2космос .Реализовать непосредственную суперпозицию радиосигна-

2лов от двух далеко расположенных телескопов невозможно, поэто-

2му электронная система каждого телескопа должна обеспечивать

2их магнитную запись с привязкой к сигналам точного глобального

2времени,после чего можно наблюдать в лабораторных условиях ин-

2терференцию электрических сигналов от двух магнитных записей.

_26.Фурье-спектроскопия.

2Фурье-спектрометр состоит из интерферометра Майкельсона с

2механизмом плавного перемещения одного из зеркал (по оси X),

2фотоприемного устройства (ФПУ), аналого-цифрового преобразова-

2теля и компьютера с дисплеем и графопостроителем (см

2рис.10.9). Пусть распределение интенсивности в спектре иссле-

2дуемого излучения выражается функцией , вид котор ой под-

2лежит определению. Перемещая зеркало по оси X, мы изменяем

2разность хода и тем самым интенсивность излучения на ФПУ. за-

2висимость тока ФПУ от перемещения зеркала (интерферограмма)

2преобразуется двоичным кодом и записывается в памяти компьюте-

2ра. Переменная составляющая тока , вызванная излучением с

2частотой , будет равна

2где -ампер-ваттная чувствительность, а общий ток от всех

2частот выразится интегралом

2Совершая обратное преобразование Фурье, получим

2- 31 -

2Ошибка при распространении верхнего предела по X до беско-

2нечности оказывается незначительной.

_27.Многолучевая интерференция.

2На рис.10.10 изображена схема хода лучей при фокусировке

2выходящих лучей в фокальной плоскости линзы. Легко показать,

2что разность фаз соседних лучей, от которой зависит результат

2интерференции, равна

2где d-толщина пластинки, -угол преломления и n-показатель

2преломления. При нормальном падении будет

2Найдем теперь результат интерференции всехпрошедших лучей

2и паолучим формулу Эйри.

2На рис.10.11 показана часть рис.10.10, где введены следую-

2щие обозначения коэффициентов отражения и пропускания по амп-

2литудпе: r-для отражения от пластинки в воздух, r'=-r-для от-

2ражения от поверхности пластинки в пластинку, t-для пропуска-

2ния из воздуха впластинку и t'-для пропускания из пластинки в

2воздух. Если принять амплитуду падающей волны за 1, то надписи

2на схеме дадут амплитуды сответствующих лучей. Заметим так же,

2что r'=-r в силу различия условий отражения, а коэффициент от-

2ражения по мощности от поверхнолсти пластинки

2Коэффициент пропускания по интенсивности T=t*t'.Очевидно, что

2R+T=1. Ряд, выражающий результат интерференции при сделанных

2обозначениях, имеет вид геометрической прогресии

2откуда

2введем обозначение

2тогда формула Эйри примет вид

2Величина F называется фактором резкости.

2Коэффициент пропускания обращается в 1 при условии

2Стопроцентное пропускание получается при условии ,

2где q-целое число, или

2На оптической толщине пластинки должно укладываться целое

2число полуволн, что совпадает с условием образования стоячих

2волн. Ширина резонансных полос на уровне 1/2 от максимума рав-

2на

2Отсюда видно, что узкие максимумы получаются при высоком

2коэффициенте отражения поверхности.

_28. Интерферометр Фабри-Перо как спектральный прибор и

_2резонатор.

2Рассмотрим сканирующий интерферометр. Зеркала сканирующего

2интерферометра могут перемещаться параллельно самим себе при

2- 32 -

2помощи прокладки из пьезоэлектрического материала. Изменение

2базы настраевает прибор на определенную длину волны,для кото-

2рой система максимально прозрачна.Направив прошедшее через ин-

2терферометр излучение на фотоприемник и подав его сигнал на

2осцилограф, получим наглядную картину контура спектральной ли-

2нии.

2Интерферометр Фабри-Перро используется как резонатор с

2межмодовым расстоянием

2и добротностью

_29.Просветление оптики.

2По мере усложнения оптических систем с целью снижения хро-

2матической и геометрической аббераций, проблема контраста ста-

2новилась все более актуальной, и в 30-е годы получила техноло-

2гическое рещение, состоящее в нанесении на поверхности опти-

2ческих деталей тонких пленок с оптической толщиной 1/4 длины

2волны. При этом условии лучи, отраженные от передней и задней

2поверхностей пленок имеют разность хода в 1/2 длины волны. Для

2пролного гашкния отраженной волны материал пленки должен иметь

2показатель преломления, равный среднему геометрическому из по-

2казателей преломления подложки и среды на входе.

_210. Интерференционное зеркало.

2Обычно применяемые металлические зеркала при самой совер-

2шенной технологии не могут иметь коэффициент отражения, близ-

2кий к 100%, т.к. электромагнитная волна проникает на глубину

2скин-слоя и индуцирует в металле токи оптической частоты,выде-

2ляющие джоулево тепло.Границы раздела диэлектриков свободно от

2жтого недостатка, но коэффициент Френелевского отражения очень

2мал. Выход был найден путем создания многослойных структур из

2чередующихся слоев двух диэлектриков с неодинаковыми показате-

2лями преломления. типичной парой являются сернистый цинк и

2криолит, имеющие показатели преломления соответственно 2.3 и

21.3. Все отражения усиливают друг друга при интерфыеренции. На

2рис. 10.17 изображена схема хода лучей, возникащих при многок-

2ратных отражениях. Среда на входе (воздух) имеет показатель

2преломления n0, подложка - n3. Между ними m пар слоев с пока-

2зателями преломления n1 и n2. Коэффициент отражения системы

2равен

2Полученная формула показывает, что при большом числе

2слоев коэффициент отражения стремится к 100% независимо от

2того, будет ли n1>n2 или n1

_211. Интерференционный светофильтр.

2Для лазерной техники, например, для дальнометрии и лока-

2ции, необходимы светофильтры с очень узкой полосой пропускания

2и достаточно высоким пропусканием в максимуме. Этим требовани-

2ям удовлетворяют интерференционные светофильтры, которые

2представляют собой тонкопленочные интерферометры Фабри-Перо.

2Максимум пропускания получается при условии

2- 33 -

2Длины волн, для которых интерферометр прозрачен, при m=1

2удовлетворяют условиям

2Предположим, что мы хотим выделить длину волны =1мкм,

2относящуюся к близкой ИК-области. Ближайшими соседними про-

2пускаемыми длинами волн будут =0.5мкм в зеленой области

2спектра и =0.33мкм в ближней УФ-области. Зеленое излучение

2легко удалить, поместив последовательно абсорбционный свето-

2фильтр (типа окрашенного стекла), а УФ-излучение поглотиться

2стеклянной подложкой,на которую нанесены пленки, образующие

2интерферометр.

_ГЛАВА 11.

_Дифракция света.

_21. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

2Принцип Гюйгенса-Френеля является сочетанием принципа Гюй-

2генса, согласно которому любая точка волнового фронта испуска-

2ет вторичные волны, с принципом интерференции вторичных волн.

2Проверка справедливости принципа Гюйгенса-Френеля состоит в

2доказательс ве того, что сферический фронт волны в процессе ее

2распространения является сферическим. Следуя Френелю, нанесем

2на исходный сферический фронт систему кольцевых зон с таким

2расчетом, чтобы разность расстояний от соответствующих краев

2соседних зон до очки Р, в которой будет находиться фронт через

2некоторое время, была равна 1/2 длины волны. Так мы получим

2систему кольцевых зон Френеля, в которой каждая зона дает ко-

2лебание в противофазе с соседней. Запишем теперь амплитуды

2световых колебаний на исходном фронте с радиусом r0 и в новом

2положении фронта с радиусом r в предположении, что волна

2действительно остается сферической

2Запишем амплитуду вторичной волны от элемента кольцевой

2зоны j в точке Р с учетом наклона площадки по отношению к нап-

2равлению на точку Р. Введя фактор наклона Кj(Q), зависящий от

2угла Q между нормалью к площадке и направлением на точку Р,

2получим

2Интегрируя это выражение по кольцевой зоне получим

2Теперь применим теорему косинусов

2Далее запишем

2Члены ряда знакопеременны в силу условия, по которому

2строились зоны. Остается оценить

2Мы не знаем закона по которому бывает фактор наклона, но

2это и не нужно, так как известно, что сумма знакопеременного

2- 34 -

2ряда с медленно убывающими членами равна 1/2 cуммы первого и

2последнего членов, а последним членом можно пренебречь исходя

2из геометрии рисунка. Окончательно получаем

2Для полного совпадения полученного результата с ожидаемым

2нужно выполнить условие

2т.е.

2Например, если радиусы зон определяются формулой

2т.е. пропорциональны корням квадратным из номера зоны n, а

2площадь всех зон одинакова. Тогда суммирование вторичных волн

2приводит к знакопеременному ряду:

2где vj означает амплитуды j-ой зоны. Если этот ряд бесконеч-

2ный, то сумма сводится к 1/2 первого члена. Иначе говоря, на

2точку Р "работает" только 1/2 центральной зоны, а вклады всех

2прочих зон взаимно уничтожаются при интерференции.

_22. Теория Кирхгофа.

2Строгое решение задачи о суммировании скалярных вторичных

2волн было найдено Кирхгофом в 1882 г. Его основная идея состо-

2яла в решении волнового уравнения при условии, что функция

2U(x,y,z), выражающая световое колебание, и ее правая производ-

2ная на некоторой произвольной замкнутой поверхности, окружаю-

2щей точку Р, в которой мы хотим найти результат сложения всех

2вторичных волн. При решении конкретных задач эта поверхность

2может быть выбрана наиболее удобным способом, так что часть ее

2будет со падать с волновым фронтом, а другие части будут зак-

2рыты непрозрачными экранами или отодвинуты в бесконечность. Не

2связывая себя выбором формы поверхности (см.рис. 11.4) можно

2использовать известную из математической физики формулу Грина

2для двух функ ий U и U', удовлетворяющих условию непрерывности

2самих функций, их первых и вторых производных по координатам

2внутри объема, охватываемого этой поверхностью, и на самой по-

2верхности. Формула Грина имеет вид:

2где означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к

2поверхности. Обе функции U и U' должны удовлетворять волновым

2уравнениям

2Поэтому объемный интеграл обратится в 0 при правильном вы-

2боре замкнутой поверхности. Если мы примем, что функция U' от-

2носится и выражается обычной формулой U'=eiks/s, то она не

2удовлетворяет условию применимости формулы Грина, так как об-

2ращается в бесконечность при s0, т.е. в точке Р, где мы ищем

2результат суммирования. Положение легко исправляется, если ок-

2ружить точку P малой сферой и считать, то интересующий нас

2объем заключен между произвольной поверхностью и сферой, как

2изображено на рис. 11.4. Теперь можно считать, что

2Разобьем поверхностный интеграл на два - по сфере и по

2замкнутой внешней поверхности. Обозначив радиус сферы через е,

2получим

2- 35 -

2При вычислении интеграла по сфере дифференцирование по нормали

2можно заменить дифференцированием по радиусу сферы. Подставив

2где d - элемент телесного угла, и перейдя к пределу при е0,

2получим

2Тогда

2который называется интегралом Гельмгольца-Кирхгофа. Зная U и

2на произвольной замкнутой поверхности можно вычислить колеба-

2ние в любой точке внутри поверхности. Рассмотрим теперь конк-

2ретную задачу о дифракции расходящейся сферической волны на

2отверстии в непрозрачном экране. Удобно провести поверхность

2по отверстию, затем по непрозрачному экрану и далее по сфере

2большого радиуса R. Если принять, что R к бесконечности, где

2колебание отсутсвует, то единственным вкладом в интеграл будет

2интеграл по отверстию А. Полагая

2имеем

2Рассмотрим производные считая, что отрезки s и r значи-

2тельно больше длины волны. Тогда в подинтегральном выражении

2можно пренебречь дробями 1/s и 1/r. Далее учтем

2Конечным результатом будет формула

2имеющая вид, как при непосредственном применении принципа Гюй-

2генса-Френеля, но с явным выражением для фактора наклона

_23. Дифракция Френеля и Фраунгофера.

2Интеграл Гельмгольца-Киргофа является строгим решением

2дифракционной задачи при любом расположении источника излуче-

2ния и точки наблюдения; соответствующую дифракционную картину

2можно назвать теневым изображением, искаженным дифракцией.Пря-

2мой экран на дает области света и тени, но без резкой границы

2между ними.Решение такой задачи показывает, что в области све-

2та образуются полосы с чередующимеся максимумами и минимумами

2интенсивности, параллельные краю экрана, а в области тени име-

2ет место плавный спад интенсивности. Этот общий случай принято

2называть дифракцией Френеля. Пусть расстояния от экрана до

2источника и до точки наблюдения велики и лучи можно считать

2параксиальными. Для наблюдения дифракционной картины при этом

2используется линза. Такой круг дифракционных явлений относится

2к дифракции Фраунгофера. На рисунке 11.9 показаны экран с от-

2верстием А произвольной формы, на который падает плоская вол-

2на, и плоскость, в которой наблюдается дифракционная карти-

2на.Примем, что распределение амплитуды по отверстию выражается

2функцией U( ) и найдем распределение амплитуды V(P). При вы-

2числении по теореме Пифагора ограничемся линейными и квадра-

2тичными членами по x,y и подставим полученное выражение в

2экспоненциальный множитель; S в знаменате е можно вынести за

2знак интеграла, так как 1/S медленно изменяющаяся функция и мы

2- 36 -

2считаем лучи параксиальными.

2Под знаком интеграла остались два экспоненциальных множителя,

2один из которых линеен по , а второй квадратичен и соот-

2ветствует дифракции Френеля. Для перехода к дифракции Фраунго-

2фера нужно, чтобы . Выясним, при каком условии

2это можно реализовать. Заметим, что является характерным раз-

2мером отверстия. При дифракции Фраунгофера распределение амп-

2литуды колебания по дифракционной картине выражается формулой

2Вид полученной формулы точно совпадает с формулой двумерного

2преобразования Фурье, если распространить пределы интегрирова-

2ния до бесконечности. Это можно сделать, считая, что функция

2U( ) за пределами отверстия везде равна 0. Этот очень важный

2факт означает, что дифракционная картина Фраунгофера является

2Фурье-образом двумерного объекта, на котором происходит диф-

2ракция.

_24. Дифракция на круглом отверстии.

2Разрешающая способность объектива.

2Объективы и линзы обычно имеют круглую форму, поэтому диф-

2ракция на круглом отверстии-оправе объектива вызывает большой

2интерес. Пусть объектив равномерно освещен, т.е. U=const, и

2вычислим интеграл

2Т.е.

2Величина r=R/b есть угловой радиус на экране, соответствующий

2радиусу-вектору R точки Р.

2Идеальный объектив, не имеющий каких-либо аббераций, дает

2в фокальной плоскости не точку, а сложную систему колец.

2Поскольку мы считали, что на отверстие падает параллельный пу-

2чок лучей, созданный точечным источником, то можно сказать,

2что эта система колец является изображением точки. Отсюда сле-

2дует, что при наличии в источнике двух точек, соответствующие

2им системы колец могут восприниматься регистрирующей системой

2как отдельные или слившиеся в зависимости от расположения

2систем, т.е. от угла между направлениями на источники.

2Вычислим угловое расстояние между двумя источниками, удов-

2летворяющее критерию Релея. На рис. 11.9 показаны главная и

2побочная оптические оси объектива, определяющие центры систем

2колец на фокальной плоскости. Мы видим, что минимальный угол

2между направлениями на два точечных источника, которые воспри-

2нимаются как раздельные, равен угловому радиусу первого коль-

2ца. Условие разрешимости по Релею принимает вид формулы Эйри

2Линейную разрешающую способность получим умножив минималь-

2ный угол между направлениями на два точечных источника на фо-

2кусное расстояние объектива. Итак, разрешающая способность оп-

2ределяется отношением длины волны к диаметру объектива. Коэф-

2фициент 1,22 получился как следствие критерия Релея и отражает

2состояние экспериментальной техники конца ХIХ века.

_25. Теория Аббэ.

2При соблюдении условий дифракции Фраунгофера изображение

2- 37 -

2является результатом двукратного и двумерного преобразования

2Фурье. Сам Аббе предложил рассматривать возникновение изобра-

2жения в два этапа: первый этап - это образование картины диф-

2ракционных максимумов в фокальной плоскости линзы при освеще-

2нии объекта параллельным пучком лучей; второй этап - это ин-

2терференция вторичных волн, испускаемых дифракционными макси-

2мумами, в плоскости изображения. Каждому из этих этапов соот-

2ветствует преобразование Фурье. Используем теорему о двукрат-

2ном интеграле

2Доказательство теоремы исходит из формул прямого и обратного

2преобразований Фурье

2На рисунке 11.5 изображены объект типа диапозитива с расп-

2ределением амплитуды U( ), линза, диафрагма в фокальной

2плоскости, плоскость изображений и дифракционные максимумы. В

2фокальной плоскости показаны только оси дифрагированных пуч-

2ков. ( ) - распределение амплитуды в фокальной плоскости U'( )

2- распределение амплитуды в плоскости изображения. Запишем ( )

2в виде

2Аналогично для U'-

2Исключив функцию из этих выражений, получим

2который после перегруппировки сомножителей и перемены порядка

2интегрирования примет вид

2Двойной интеграл в квадратных скобках

2К оставшемуся интегралу также можно применить эту теорему. Он

2равен

2Подставив значения интегралов, получим функцию

2Обратим внимание, что в рамках геометрической оптики отношение

2где М - линейное увеличение, а знак минус означает, что изоб-

2ражение перевернуто. Подставив значения С и С'получим распре-

2деление интенсивности в плоскости изображения

2Мы видим, что при сделанных предположениях вид функции

2распределения интенсивностей в объекте и в изображении одина-

2ков и различаются только масштабом.

_ГЛАВА 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.

_КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ.

21. Электромагнитные волны в проводящей среде.

2Закон поглощения света.

2Рассмотрим задачу в которой среда имеет электропровод-

2ность. При этом электромагнитные волны, распространяющиеся в

2- 38 -

2этой среде, окажутся затухающими, так как колебания полей ин-

2дуцируют в среде переменные токи, выделяющие Джоулево тепло.

2Запишем систему уравнений Максвелла с учетом электропровод-

2ности

2Считаем среду немагнитной. Из уравнений 3 и 4 видно, что как и

2в диэлектрической среде, волна поперечна относительно векторов

2Е и Н. Новые свойства решения вытекают из уравнений 1 и 2.

2Чтобы его получить, нужно иметь волновое уравнение, содержащее

2лишь один из них. Для исключения Н нужно применить операцию

2rot к уравнению 1 и подставить в него rotН из уравнения 2.

2Тогда получится волновое уравнение

2Будем искать решение в виде плоской волны

2Из принятой нами формы решения следует

2Тогда волновое уравнение превращается в простое равенство

2Наличие мнимой части показателя преломления К приводит к зату-

2ханию волны. Поэтому К называется показателем затухания.

2Подставив комплексный показатель преломления в выражение для

2плоской волны, распространяющейся в направлении Х, получим

2Поскольку интенсивность пропорциональна Е2 из (49) получается

2закон поглощения света

2При экспериментальном определении коэффициента поглощения

2материала пластинки нельзя непосредственно пользоваться форму-

2лой (50), т.к. в ней не учтено отражение от граней пластинки.

2Проще всего учесть отражение от одной передней грани. Для это

2две пластинки из одного и того же материала, но с разной тол-

2щиной и . Взяв отношение интенсивностей прошедшего излучения,

2мы исключаем потери на отражение. Выполнив измерения в требуе-

2мом интервале длин волн, мы получим спектр поглощения.

_22. Коэффициент отражения от проводящей среды.

2Формула Френеля для коэффициента отражения при нормальном

2падении(см. гл.2) остается справедливой и при комплексном по-

2казателе преломления m=n-iK. Тогда коэффициент отражения вы-

2числяется по формуле

2При К2>>n2 коэффициент отражения стремится к 100%. Иначе гово-

2ря энергия луча слабо проникает в сильно поглощающую среду и

2почти полностью отражается.

_23. Классическая теория дисперсии.

2Одним из ваэнейших вопросов при изучении распространения

2волн в среде является зависимость их скорости от частоты. Эта

2- 39 -

2задача сводится к определению зависимости ДП и показателя пре-

2ломления от частоты, т.е. дисперсии. Идея вывода дисперсионных

2формул состоит в следующем: воспользоваться формулой элект-

2ростатики для связи диэлектрической проницаемости e с напря-

2женностью электрического поля в среде и вызванной этим полем

2поляризацией Р, т.е. дипольным момент единицы объема. Далее

2вычислить смещение заряда осциллятора в поле волны, т.е. ре-

2шить задачу о вынужденных колебаниях осциллятора и определить

2поляризацию; и, наконец, применить формулу Максвелла для связи

2ДП и показателя преломления. Поле, действующее на отдельный

2осциллятор в среде будем называть эффективным и обозначать

2Еэф. Формулы электростатики для 1-го этапа вывода имеют вид

2Переходим к задаче о вынужденных колебаниях осциллятора.

2Примем, что эффективное и макроскопическое поля равны. Перехо-

2дя ко 2-му этапу вывода запишем уравнение движения одномерного

2осциллятора по оси

2Это уравнение легко решается подстановкой iwt. Смещение осцил-

2лятора получается комплексным

2Поэтому поляризуемость и ДП комплексны. Получаем

2Теперь остается применить соотношение Максвелла между ДП и по-

2казателем приломления. Для разряженного газа можно считать,

2что .В этом случае дисперсионные формулы для

2n и К принимают вид

2Введем обозначение

2и считаем поглощение достаточно слабым. Тогда в облости

2частот, близкой к собственной частоте

2и дисперсионные формулы принимают вид

2При дальнейшем анализе формул (59) нужно учесть, что функция

2изменяется медленно, в то время как функции имеют резо-

2нансный характер. Как видно из определения, представляет

2собой разность собственной частоты резонатора и частоты внеш-

2него электрического поля. Функции

2изображены на рис.12.2.

2В дальнейшем нас будет интересовать ширина Лоренцевой ли-

2нии на уровне 1/2 от максимума. Легко видеть, что она равна g.

2Область, где показатель преломления увеличивается с ростом

2частоты называется нормальной дисперсией, а внутри полосы пог-

2лащения - аномальной дисперсией.

_24. Частные случаи дисперсионных формул.

_24.1. Формула Зельмейера для области прозрачности (g=0).

2- 40 -

2Учтем вклад всех типов осцилляторов в поляризацию среды и

2ддисперсию. Будем считать число осцилляторов каждого типа рав-

2ным N. Поляризация аддитивна и мы можем обощить дисперсионную

2формулу для показателя преломления, записав

2Формула Зельмейера

2справедлива с удивительной точностью даже для прозрачных твер-

2дых тел, хотя все изложенное относилось к разряженныь газам.

_24.2. Плазменное отражение.

2Плазма представляет собой нейтральную среду, имеющую рав-

2ные концентрации положительных и отрицательных зарядов. Поло-

2жим и g=0, что соответствует свободным зарядам и малому

2поглощению , получим

2Величина wp называется плазменной частотой. При (т.е.

2) , а при . Как ни странно, показатель пре-

2ломления в силу соотношения Максвелла оказывается чисто мнимой

2величиной . Подставим ее в формулу Френеля для нормального

2падения (63), получим, что коэффицикнт отражения

2тождественно равен 100%.

2Происхождение плазменной частоты можно понять следующим

2образом: представим себе, что тяжелые положительные ионы плаз-

2мы расположены в фиксированных положениях, образуя слои, а

2между ними движутся свободные электроны; плазма нейтральна,

2плотность заряда =0 и div D =0. Поскольку мы считаем, что

2постоянного поля в плазме нет, D=0. Воспользовавшись связью

2векторов D,E,P, выражающейся формулой электростатики D=E+4пP,

2мы приходим к выводу, что макроскопическое поле в плазме

2E=-4пР. Поляризация среды равна . Напишем уравнение движе-

2ния электронов

2Его решением является , что соответствует кол-

2лективному колебательному процессу с плазменной частотой.

_24.3. Плазменный минимум отражения от полупроводников.

2Плазма в полупроводниках имеет большую концентрацию сво-

2бодных зарядов, зависящую от степени легирования, поэтому

2плазменная частота попадает в оптическую область спектра. В

2твердом теле нужно учитывать вклад в поляризацию от ионов или

2атомов кристаллической решетки. Считая поляризацию аддитивной

2можно просто сложить ДП электронной подсистемы и решетки. Тог-

2да

2При условии (66) ДП всей системы равна 1. Это означает,

2что полупроводник не отражает и не поглощает. В действитель-

2ности при точном расчете коэффициент отражения не обращается в

20, но проходит через резкий минимум.

_24.4. Поглощение на свободных носителях заряда в полупро-

_2водниках

2Все чистые полупроводники имеют область сильного фундамен-

2- 41 -

2тального поглощения, соответствующего переходам из валентной

2зоны в зону проводимости через энергетическую "щель". При

2энергии фотонов, равной щели, коэффициент поглощения резко

2убывает дальнейшем уменьшении энергии фотонов в дальней ИК-об-

2ласти начинается медленный рост (см. рис. 12.1) по закону .

2Показатель степени p зависит от природы полупроводника, но

2обычно мало отличается от 2. Выясним природу сплошного погло-

2щения, возрастающего по закону . Это легко сделать, если

2в формуле (55) для принять и заменить

2по формуле (50). Тогда получится формула

2Свободный заряд не может получить энергию от электрического

2поля волны, но заряды, считающиеся свободными в полупроводни-

2ке, в действительности не совсем свободны, т.к. взаимодейству-

2ют с кристаллической решеткой.

_24.5. Отрицательное поглощение и отрицательная дисперсия.

2Выведенные выше дисперсионные формулы относились к обычной

2среде, в которой верхние энергетические уровни атомов и моле-

2кул практически не заселены. Соответствующие осцилляторы были

2аналогами переходов "вверх" на незаселенные или виртуальные у

2сли заселенность инвертирована, то доминируют переходы

2"вниз". Естественно, что таким переходам следует приписать

2осцилляторы с отрицательной силой и тогда можно использовать

2все выведенные ранее формулы. При полной инверсии, когда на

2нижнем уровне нет заселенности, можно отбросить все положи-

2тельные члены в сумме вкладов осцилляторов в диэлектрическую

2проницаемость, оставив только отрицательные члены. Тогда

2дисперсионные кривые примут вид, изо й на рис.12.3, соот-

2ветствующий отрицательной дисперсии и отрицательному поглоще-

2нию, т.е. усилению. Переход среды при инверсии заселенности от

2поглощения к усилению уже был рассмотрен в гл.4 с привлечением

2коэффициента Эйнштейна В. Теперь мы получили другую интерпре-

2тацию того же явления и одновременно обосновали явление отри-

2цательной дисперсии.

_24.6.Дисперсионная формула для рентгеновской области спектра.

2Собственные частоты осцилляторов - аналогов квантовых

2переходов внешних электронных орбиталей атома - значительно

2меньше частот w ренгеновских фотонов. Это условие, а также

2услови о поглощения позволяет упростить дисперсионную формулу,

2приведя ее к виду (68). Мы видим, что показатель преломления

2становится меньше 1.При достаточно большом угле падения воз-

2можно полное внутренние отражение от твердого тела в вакуум.

2Можно вывести формулу, определяющую критический угол скольже-

2ния для полного внутреннего отражения. Для легких элементов у

2которых атомная масса в два раза больше порядкового номера,

2эта формула имеет вид (68). На рис. 12.5 изображена зависи-

2мость коэффициента отражения от угла скольжения, а на рис.

212.6 зависимость критического угла от длины волны. Разработаны

2зеркальные ренгеновские объективы, позволяющие фокусировать

2ренгеновские лучи и получать изображения.

_ГЛАВА 13.

_Краткие сведения из кристаллооптики.

_Электрооптический эффект Покельса.

2- 42 -

_21. Плоские волны в анизотропой среде.

2Диэлектрическая проницаемость анизотропной среды представ-

2ляет собой симметричный тензор второго ранга. Приведя его к

2главным осям, получим три диагональные компонента ,

2которые связывают электрическую индукцию с напряженностью

2электрического поля соотношениями

2что означает несовпадение направлений этитх векторов.

2Наша задача - изучить свойства решений системы уравнений

2Максвелла

2в виде плоских волнб распространяющихся в диэлектрической не-

2магнитной среде.

2Плоская волна выражается формулой вида

2где , n - показатель преломления и - единичный век-

2тор нормали к волновому фронту.

2Подставив (13.2) в (13.1) получим:

2Отсюда видно, что волны поперечны относительно векторов D и H

2(см. рис. 13.1). D, E, k расположены в одной плоскости, но

2вектор Е непараллелен D. Это приводит к несовпадению направле-

2ний волнового вектора и вектора Пойнтинга.

2Обозначим:

2Тогда

2Подставив Н из первой формулы во вторую получим одну из

2основных формул кристаллооптики

_22. Закон Френеля. Двупреломление.

2Расписав (13.7) в проекциях, получим три выражения типа

2Умножив каждое из них на соответствующую проекцию n и

2вспоминая, что , получим

2что представляет собой закон Френеля, позволяющий вычислить

2показатель преломления для заданного значения направляющих уг-

2лов, если известны значения компонент тензора ДП. В общем слу-

2чае (13.8) имеет 2 разных решения, соответствующих разным

2электромагнитным волнам (двупреломление).

2Два луча, возникающие при двупреломлении, поляризованы в

2перпендикулярных плоскостях.

_23. Оптические оси кристалла.

2Направления, вдоль которых отсутствует двупреломление, на-

2- 43 -

2зываются оптическими осями.

2Рассмотрим поверхность волновых векторв, отложенных от на-

2чала координат. При наличии двупреломления такая поверхность

2состоит из двух полостей, определяемых выражением

2Если они пересекаются, то в соответствующем направлении пока-

2затели преломления одинаковы для обеих волн.

2В общем случае кристаллы имеют две оптические оси, но у

2многих они сливаются в одну, что происходит, если 2 компонента

2тензора ДП одинаковы.Поверхность волновых векторов в этом слу-

2чае состоит из сферы и эллипсоида вращения. Сфере соответству-

2ет обыкновенный луч, для которог показатель преломления не за-

2висит от направления, а эллипсоиду необыкновенный луч (лучи

2обозначаются "о" и "е" соответственно).

2Из рисунка 13.3 следует, что

_24. Кристалл исландского шпата. Пластинка .

2Классическим примером одноосного кристалла является ис-

2ландский шпат (кальцит). Объясним на его примере, как найти

2оптическую ось и направления,по которым колеблются векторы лу-

2чей "o" и "e" (рис.4). Форма кристалла,полученная скалыванием

2по плоскости спайности, есть параллелепипед с углами 72 между

2сторонами параллелограммов. Возмем соответствующий ромбоэдр,

2он симметричен относитльно прямой, проведенной через 2 верши-

2ны, образованные 3 тупыми углами. Любая прямая, параллельная

2этой оси симметрии, будет оптичесой осью. Необыкновенный луч

2имеет вектор Е в плоскости главного сечения, т.е. в плоскости,

2содержащей оптическую ось.

2В любом анизотропном кристалле вектор Е распадается на два

2направления, которые называются главными направлениями. В об-

2щем случае два луча, прошедшие через пластинку, приобретают

2разность фаз на выходе. Когда E падающего пучка образует с

2главными направлениями угол 45 , тогда амплитуды обоих лучей

2одинаковы и разность фаз равна

2где и - показатели преломления для главных направлений.

2Если разность фаз равна , тогда выходящий свет будет

2поляризован по кругу, с направлением вращения вектора E, за-

2висящим от знака разности фаз. Пластинку, создающую разность

2фаз ,т.е. разность хода 1/4 длины волны, называют

2"пластинкой ". Она находит широкое применение для преобра-

2зования линейно поляризованного света в циркулярно поляризо-

2ванный и обратно.

2Одноосные кристаллы применяются для изготовления поляризу-

2ющих призм, напр. призма Николя из исландского шпата. Поляри-

2зующие призмы дают наилучшие результаты, но в обычной практике

2чаще применяются пленочные поляризаторы (поляроиды).

_25. Коэффициент пропускания системы поляризатор - кристал-

_2лическая пластинка - анализатор.

2Система, названная в заголовке раздела, используется в

2электрооптических затворах и модуляторах на основе эффекта По-

2- 44 -

2кельса.

2На рис. 13.7 показано расположение векторов E по отношению

2к плоскостям колебаний, пропускаемых поляризатором и анализа-

2тором (П и А) для двух случаев: 1.- когда П и А ориентированны

2одинаково, и 2.- когда они взаимно перпендикулярны. След

2плоскости, в которой колеблется вектор E, после прохождения

2через П составляет 45 с главными направлениями пластинки. В

2обоих случаях интенсивность лучей, прошедших через пластинку,

2будут одинаковыми и равными 1/2 исходной амплитуды. При выходе

2из системы оба луча будут интерферировать при разности фаз

2Отсюда, коэффициент пропускания системы

2Для П А

_26. Эллипсоид Френеля.

2Эллипсоид Френеля имеет полуоси равные , , , которые

2называются главными показателями преломления. Уравнения эл-

2липсоида в главных осях

2где Х,Y и Z - безразмерные координаты.

2Согласно Френелю, геометрические свойства эллипсоида поз-

2воляют найти два показателя преломления для лучей, возникающих

2при двупреломлении. Для этого нужно рассечь эллипсоид

2плоскостью, перпендикулярной волновому вектору и проходящей

2через центр. Получившееся сечение в общем случае будет эл-

2липсом, полуоси которого будут равны показателям преломления

2двух лучей.

2Для выяснения физического смысла главных показателей запи-

2шем плотность энергии поля в диэлектрике

2Введя обозначения

2получим, что 13.17 совпадает с уравнением эллипсоида Френеля,

2если главные показатели преломления равны

_27. Электрооптический эффект Покельса.

2Рассмотрим влияние электрического поля на показатель пре-

2ломления кристаллов. Дальнейшее изложение будет относиться к

2эффекту Покельса в кристаллах сегнетоэлектриков. Наибольшее

2значение среди них приобрели кристаллы КДП (калий дигидро-

2фосфат) и его аналоги, ниобат лития и отчасти силенит.

2В общем случае эллипсоид Френеля определяется квадратичной

2формой

2При наличии электрического поля коэффициенты изменятся

2и квадратичная форма примет вид

2Основное свойство эффекта Покельса состоит в его линей-

2ности в широком диапазоне напряженности поля, поэтому для из-

2- 45 -

2менмния коэффициентов можно записать

2где величины называются электрооптическими коэффициентами.

2При наличии симметрии по двум индексам число компонент мож-

2носвести к 18. При этом индексы объединяются в один индекс

2m по правилу:

2Тогда матрица электрооптических коэффициентов для КДП приобре-

2тает вид

2Электрооптические коэффициенты имеют порядок величины

2Рассмотрим теперь одноосный кристалл КДП в поле, направ-

2ленном по его оптической оси OZ, причем свет распространяется

2также вдоль оптической оси. До включения поля эллипсоид Френе-

2ля был эллипсоидом вращения с осью OZ

2При включении поля эллипсоид Френеля становится трехосным, а

2кристалл становится двупреломляющим в направлении OZ. Квадра-

2тичная форма эллипса имеет вид

2поэтому показатели преломления будут равны

2Разность фаз двух лучей, возникшая при прохождении ими

2пластинки кристалла толщиной d будет равна

2где - напряжение, приложенное к кристаллу.

2Если одноосный электрооптический кристалл поместить между

2"скрещенными" поляризатором и анализатором, то коэффициент

2пропускания будет

2Зависимость изображена на рис.13.11. Желательно пере-

2нести рабочую точку в среднюю область характеристики, что не

2трудно сделать введя в схему правильно ориентированную

2пластинку " ".

_ГЛАВА 14.

_Продольный магнитооптический эффект Фарадея.

_21. Основные свойства эффекта.

2Продольный магнитооптический эффект состоит в повороте

2плоскости поляризации луча света, проходящего через прозрачную

2среду, находящуюся в магнитном поле. Этот эффект был открыт в

21846 году. Открытие магнитооптического эффекта долгое время

2- 46 -

2имело значение в чисто физическом аспекте, но за последние

2десятилетия оно дало много практических выходов. Также были

2открыты другие магнитооптические эффекты, в частности, хорошо

2известный эффект Зеемана и эффект Керра, проявляющийся в пово-

2роте плоскости поляризации луча, отраженного от намагниченной

2среды. Наш интерес к эффектам Фарадея и Керра обусловлен их

2применением в физике, оптике и электронике. К ним относятся :

2- определение эффективной массы носителей заряда или их

2плотности в полупроводниках;

2- амплитудная модуляция лазерного излучения для оптических

2линий связи и определение времени жизни неравновесных носите-

2лей заряда в полупроводниках;

2- изготовление оптических невзаимных элементов;

2- визуализация доменов в ферромагнитных пленках;

2- магнитооптическая запись и воспроизведение информации

2как в специальных, так и бытовых целях.

2Принципиальная схема устройства для наблюдения и многих

2применений эффекта Фарадея показана на рис. 14.1. Схема состо-

2ит из источника света, поляризатора, анализатора и фотоприем-

2ника. Между поляризатором и анализатором помещается исследуе-

2мый образец. Угол поворота плоскости поляризации отсчитывается

2по углу 6 2поворота анализатора до восстановления полного га-

2шения света при включенном магнитном поле.

2Интенсивность прошедшего пучка определяется законом Малюса

2На этом основана возможность использования эффекта Фарадея

2для модуляции пучков света. Основной закон, вытекающий из из-

2мерений угла поворота плоскости поляризации 6 2, выражается

2формулой

2где 6 2 - напряженность магнитного поля, 6 2 - длина образца, пол-

2ностью находящегося в поле и 6 2 - постоянная Верде, которая со-

2держит в себе информацию о свойствах, присущих исследуемому

2образцу, и может быть выражена через микроскопические парамет-

2ры среды.

2Основная особенность магнитооптического эффекта Фарадея

2состоит в его невзаимности, т.е. нарушении принципа обрати-

2мости светового пучка. Опыт показывает, что изменение направ-

2ления светового пучка на обратное /на пути "назад"/ дает такой

2же угол поворота и в ту же сторону, как на пути "вперед".Поэ-

2тому при многократном прохождении пучка между поляризатором и

2анализатором эффект накапливается. Изменение направления маг-

2нитного поля, напротив, изменяет направление вращения на об-

2ратное. Эти свойства объединяются в понятии "гиротропная сре-

2да".

_22. Объяснение эффекта циркулярным магнитным двупреломлением.

2Согласно Френелю, поворот плоскости поляризации является

2следствием циркулярного двупреломления. Циркулярная поляриза-

2ция выражается функциями 6 2 для правого вращения

2/по часовой стрелке/ и 6 2 для вращения против часо-

2вой стрелки. Линейная поляризация может рассматриваться как

2результат суперпозиции волн с циркулярной поляризацией с про-

2тивоположным направлением вращения. Пусть показатели преломле-

2ния для правой и левой циркулярной поляризаций неодинаковы.

2- 47 -

2Введем средний показатель преломления n и отклонение от него

2. Тогда получим колебание с комплексной амплитудой

2что соответствует вектору E, направленному под углом

2к оси X. Этот угол и есть угол поворота плоскости поляризации

2при циркулярном двупреломлении, равный

_23. Вычисление разности показателей преломления.

2Из теории электричества известно, что система зарядов в

2магнитном поле вращается с угловой скоростью

2которая называется скоростью прецессии Лармора.

2Представим себе что мы смотрим навстречу циркулярно поля-

2ризованному лучу, идущему через среду, вращающуюся с частотой

2Лармора; если направления вращения вектора 6 2в луче и Лармо-

2ровского вращения совпадают, то для среды существенна относи-

2тельная угловая скорость 6 2, а если эти вращения имеют раз-

2ные направления, то относительная угловая скорость равна 6 2.

2Но среда обладает дисперсией и6 мы видим, что

2Отсюда получаем формулу для угла поворота плоскости поля-

2ризации

2и для постоянной Верде

_24. Практические применения эффекта Фарадея.

2Эффект Фарадея приобрел большое значение для физики полуп-

2роводников при измерениях эффективной массы носителей заряда.

2Эффект Фарадея очень полезен при исследованиях степени одно-

2родности полупроводниковых пластин, имеющих целью отбраковку

2дефектных пластин. Для этого проводится сканирование по

2пластине узким лучом-зондом от инфракрасного лазера. Те места

2пластины, в которых показатель преломления, а следовательно, и

2плотность носителей заряда, отклоняются от заданных, будут вы-

2являться по сигналам фотоприемника, регистрирующего мощность

2прошедшего через пластину излучения.

2Рассмотрим теперь амплитудные и фазовые невзаимные элемен-

2ты /АНЭ и ФНЭ/ на основе эффекта Фарадея. В простейшем случае

2оптика АНЭ состоит из пластинки специального магнитооптическо-

2го стекла, содержащего редкоземельные элементы, и двух пленоч-

2ных поляризаторов /поляроидов/. Плоскости пропускания поляри-

2заторов ориентированы под углом 45 друг к другу. Магнитное по-

2ле создается постоянным магнитом и подбирается так, чтобы по-

2ворот плоскости поляризации стеклом составлял 45 . Тогда на

2пути "вперед" вся система будет прозрачной, а на пути "назад"

2непрозрачной, т.е. она приобретает свойства оптического венти-

2- 48 -

2ля. ФНЭ предназначен для создания регулируемой разности фаз

2двух линейно поляризованных встречных волн. ФНЭ нашел примене-

2ние в оптической гирометрии. Он состоит из пластинки магнито-

2оптического стекла и двух пластинок 6" 2", вносящих разность

2фаз 6 2и 6 2. Магнитное поле, как и в АНЭ создается постоян-

2ным магнитом. На пути "вперед" линейно поляризованная волна,

2прошедшая пластинку "6 2" преобразуется в циркулярно поляризо-

2ванную с правым вращением, затем проходит магнитооптическую

2пластинку с соответствующей скоростью и далее через вторую

2пластинку "6 2", после чего линейная поляризация восстанавли-

2вается. На пути "назад" получается левая поляризация и эта

2волна проходит магнитооптическую пластинку со скоростью, отли-

2чающейся от скорости правой волны, и далее преобразуется в ли-

2нейно поляризованную. Введя ФНЭ в кольцевой лазер, мы обеспе-

2чиваем разность времен обхода контура встречными волнами и вы-

2текающую отсюда разность их длин волн.

_ГЛАВА 15.

_Нелинейные оптические явления.

_21. Общие сведения о нелинейных оптических процессах.

2Все ранее рассмотренные оптические явления - интерферен-

2ция, дифракция и другие - были объяснены принципом суперпози-

2ции, согласно которому все электромагнитные волны могут расп-

2ространяться независимо и их совместное действие определяется

2суммированием. Это свойство находит отражение в уравнениях

2Максвелла, которые линейны относительно компонент полей и име-

2ют общее решение в виде суперпозиции частных решений. Все это

2справедливо, если материальные постоянные /диэлектрическая

2проницаемость, магнитная проницаемость и электропроводность/

2среды не зависят от напряженностей полей. В действительности

2это справедливо при слабых полях, но при сильных полях это не

2так.

2С квантовой точки зрения нелинейности возникают, когда в

2элементарном акте участвует не один фотон, а несколько. Тогда

2вероятности процессов будут зависеть от квадрата и более высо-

2ких четных степеней напряженности поля. Возможность экспери-

2ментального обнаружения и исследования 2-фотонных и многофо-

2тонных процессов открылась после изобретения лазеров, способ-

2ных генерировать высокие мощности когерентного излучения, ко-

2торое легко фокусировать на малых площадях. Пользуясь техникой

2гигантских импульсов уже в 1964 г. удалось получить вторую

2гармонику излучения рубинового лазера с длиной волны 0,69 мкм.

2В истории физики этот опыт получил название опыта Франкена.

2Импульс от рубинового лазера направлялся на кристалл кварца и

2выходящее из него излучение падало на светофильтр, пропускаю-

2щий ближнюю ультрафиолетовую область, но полностью отрезающий

2видимую область. Прошедшее через светофильтр излучение регист-

2рировалось фотоэлектронным умножителем, сигнал которого был

2вызван излучением второй гармоники на длине волны 0,345 мкм.

2Механизм многофотонных процессов состоит в изменении пара-

2метров среды в поле мощной световой волны. Деформация частиц

2среды создает на очень короткое время энергетические уровни,

2отсутствовавшие в атомах среды. С участием этих уровней про-

2исходят процессы сложения и распада фотонов.

2Происхождение нелинейности легко понять на основе модели

2среды в виде системы осцилляторов. Учтем второй член в разло-

2жении квазиупругой силы по степеням смещения заряда X.

2Запишем уравнение движения ангармонического осциллятора

2при одновременном наличии двух гармонических электрических по-

2- 49 -

2лей, распространяющихся в направлении оси Z.

2Второе приближение даст вторые гармоники с частотами

2,6 2 и "нулевую" частоту, а также суммарную и разностную

2частоты 6 2 и 6 2. Зная величины 6 2, 6 2,

2, и т.д. Получим поляризации с соответствующими часто-

2тами, которые излучают электромагнитные волны второй гармони-

2ки, разностной частоты и т.д.

_22. Генерация второй гармоники.

2При опыте Франкена с использованием кристалла кварца коэф-

2фициент преобразования во вторую гармонику был ничтожен. Толь-

2ко одна замена кварца на другие кристаллы недостаточна. Решаю-

2щее значение имеет правильный выбор ориентации кристалла и

2направления распространения световой волны. Интенсивность из-

2лучения второй гармоники дается формулой

2При условии 6 2 интенсивность второй гармоники пропорцио-

2нальна квадрату пути в образце. Если это условие не соблюдено,

2то имеют место осцилляции интенсивности. Введя вместо волновых

2чисел показатели преломления 6 2 и 6 2 получим простой результат

2, т.е. показатели преломления для исходного излучения и

2его второй гармоники должны быть равны. Это означает равенство

2фазовых скоростей волн 6 2 и 6 2. Это важнейшее требование назы-

2вается условием синхронизма. Параболическая зависимость ин-

2тенсивности от длины пути в среде получилась по той причине,

2что мы не учитывали ослабления исходного излучения по мере пе-

2рекачки его энергии во 2-ую гармонику. На самом деле параболи-

2ческая зависимость должна смениться переходом к насыщению.

_23. Преобразование ИК - изображений в видимые.

2В разделе 1 мы рассмотрели решение уравнения движения ан-

2гармонического осциллятора в бигармоническом поле. Выражения

2для смещения заряда осциллятора содержали члены с основными

2частотами и их гармониками, а также комбинационные частоты

2и 6 2. Аналогичные члены появляются в выражениях для

2поляризации и испускаемых ею электромагнитных волн.

2Физический механизм процессов можно представить себе как

2модуляцию показателя преломления среды электрическим полем од-

2ной из волн с образованием фазовой бегущей дифракционной ре-

2шетки, на которой дифрагирует вторая волна. Эффект образования

2комбинационных частот лежит в основе практически важных нап-

2равлений в лазерной технике, а именно параметрических преобра-

2зователей инфракрасного излучения в видимое и параметрических

2перестраеваемых генераторов лазерного излучения. В первом из

2них происходит суммирование фотонов /"конверсия вверх"/, а во

2втором распад фотона на два.

2Практическая направленность исследований "конверсии вверх"

2основана на желании регистрировать ИК - сигналы и изображения

2с помощью приемников видимого изображения, которые уже давно

2достигли высокого совершенства и обладают более лучшей обнару-

2жительной способностью, чем приемники ИК - излучения. Полезной

2особенностью "конверсии вверх" является ее ничтожная инерцион-

2ность и возможность регистрации очень коротких сигналов ИК -

2излучения.

2- 50 -

_24. Обращение волнового фронта.

2С математической точки зрения модулированный фронт харак-

2теризуется функцией 6 2, где x одна из координат в

2плоскости фронта. Для превращения модулированного фронта в

2плоский нужно обратить знак фазы, т.е. ввести модуляцию

2. Тогда при умножении две экспоненты дадут 1. Обраще-

2ние фазы достигается отражением от фоторефрактивной среды, по-

2казатель преломления которой зависит от интенсивности света.

2Прямоугольная пластинка из фоторефрактивного материала, обла-

2дающего сильно выраженными нелинейными свойствами и поэтому

2изменяющего показатель преломления при освещении, облучается

2слева и справа мощными опорными лазерными пучками от одного

2лазера. Снизу под углом падает объектный /обращаемый/ пучок. В

2результате интерференции опорных пучков с объектным в среде

2образуется система поверхностей, на которых интерференция при-

2водит к усилению колебаний или их ослаблению. Поэтому каждая

2поверхность будет образована участками с уменьшенным или уве-

2личенным показателем преломления. Инерционность процессов из-

2менения показателя преломления ничтожна и при прекращении

2освещения среда практически мгновенно возвратится в исходное

2состояние. Теперь ясно, что в рефрактивной среде образуется

2объемная динамическая голограмма.

_ГЛАВА 16.

_Эффект Саньяка.

2Идея опыта Саньяка состояла в наблюдении интерференционной

2картины при вращении интерферометра. Прибор Саньяка состоял из

24 зеркал, одно из которых было полупрозрачным и служило свето-

2делителем. Такая схема позволяет реализовать обход контура по

2и против часовой стрелки и свести вместе получившиеся лучи.

2При правильной юстировке прибора оба луча в неподвижном конту-

2ре проходят точно одинаковое расстояние и разности фаз не воз-

2никает. Сделав фотоснимок интерференционной картины можно при-

2вести весь интерферометр во вращательное движение с известной

2угловой скоростью и снова сделать снимок интерференционной

2картины. Оказалось что даже при умеренной угловой скорости

2наблюдается сдвиг интерференционных полос, позволяющий найти

2разность фаз, возникшую при вращении, или, иначе говоря, изие-

2нение эффективной длины периметра контура. Это явление получи-

2ло название эффекта Саньяка. На практике последний позволяет

2измерять угловые скорости.

2В опыте Саньяка оптический контур имел форму квадрата, но

2для упрощения вычислений мы заменим его окружностью и рассмот-

2рим мысленный опыт при котором свет может обходить окружность

2по часовой стрелке и против нее. В реальном эксперименте

2используется многовитковая катушка круглого сечения из воло-

2конного световода. В мысленном эксперименте имеется один ви-

2ток, вращающийся по часовой стрелке с угловой скоростью

2вокруг оси, проходящей через центр витка перпендикулярно его

2плоскости. Примем, что скорость света в витке при обходе по

2часовой стрелке и против неодинаковы и равны 6 2 и 6 2. Наше

2предположение о неравенстве 6 2 и 6 2 связано с особенностями

2распространения света в среде.

2Пусть фотоны стартуют из сечения витка, отмеченного как А,

2против часовой стрелки. Они встретят сечение А в положении В.

2Обозначив время, прошедшее от старта до встречи в В, через

2- 51 -

2, можем написать очевидное равенство для пройденного фото-

2нами пути

2Отсюда

2Для фотонов, распространяющихся по часовой стрелке, получим

2аналогичн6ое 2равенств6о

2Найдем разность времен обхода витка по и против часовой

2стрелки

2так как

2Если отказаться от предположения о неравенстве скоростей

2света по и против часовой стрелки, то формула 16.1 упростится

2и примет вид

2Из вывода формулы 16.2 следует, что она применима, если

2оптический контур расположен в среде с показателем преломле-

2ния, равным 1. Однако анализ показывает что она справедлива

2при любом показателе преломления. поэтому ее можно применять к

2витку световода, хотя фазовая скорость света в световоде

2значительно меньше скорости света в пустоте. Для доказательст-

2ва универсальности формулы 16.2 возвратимся к формуле 16.1.

2Физическая причина различия 6 2 и 6 2 состоит в давно извест-

2ном релятивистском эффекте "увлечения света" движущейся сре-

2дой, открытом Физо в середине прошлого века. Опыты Физо пока-

2зали, что среда передает свету долю своей скорости, равную

2и получившую название коэффициента увлечения Френеля.

2Эффект увлечения добавляет к фазовой скорости 6 2 скорость

2. Подставив в формулу 16.1 значения 6 2 и 6 2 по-

2лучим точно ту же формулу 16.2. Еще одно удивительное свойство

2формулы 16.2 состоит в ее справедливости для контура любой ге-

2ометрии.

2Происхождение "увлечения" можно понять, вспомнив формулу

2сложения скоростей в частной теории относительности:

2Если свет распространяется в среде, то при условии

2скорость света относительно неподвижного наблюдателя будет