Теорема о линейной сходимости градиентного метода с постоянным шагом


Сдавался/использовался	2003г., Курск, ДВГУ
	Загрузить архив:
	Файл: ref-21651.zip (28kb [zip], Скачиваний: 90) скачать

Доклад по математическим методам в экономике

“Теорема о линейной сходимости градиентного метода с постоянным шагом”

ДВГУ

[1]. Для функции F(x) = f¢(x) воспользуемся аналогом формулы Ньютона— Лейбница

F(y) = F(x) +

1

0

F¢[x + s(y - x)](y- x) ds,

или, для x = x* и y = xⁿ, учитывая, что f¢(x*) = ,

[3]f¢¢(x) £L при всех x ÎR^m. Кроме того (в силу 5)[4]), по условию f¢¢(x) ³l при тех же x. Поэтому, так как

l||h||² £ (f¢¢[x* + s(xⁿ -x*)]h, h) £ L ||h||²,

выполнено неравенство

[1]1) Теорема единственности для строго выпуклой функции.

Задача f(x) ® min ,со не может иметь более одного решения.

2) Теорема о разрешимости для сильно выпуклой функции.

Задача f(x) ® min, с функцией разрешима.

[2]3)[f¢(x)]¢ = f¢¢(x). Поясним: здесь [f¢(x)]¢ — производная функции x ® f¢(x), действующей из R^m в R^m, а f¢¢(x) — вторая производная функции f: R^m ® R^m.

[3]4) Пусть F: R^m ®R^k . Тогда F удовлетворяет условию Липшица с константой L, в том и только том случае, если ||F¢(x)|| £L при всех x( существует и обратное утверждение).

[4]5) f Î C² сильно выпукла с константой c в том и только том случае, если f¢¢(x) ³ c при всех x Î R^m.