Математика для института
| Загрузить архив: | |
| Файл: mat.zip (341kb [zip], Скачиваний: 41) скачать |
ГЛАВА 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с периодом 
Функция имеет на промежутке 
конечное число точек
разрыва первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к
значению самой функции, а в точках разрыва к величине 
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале 
2) F(x) - кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном 
принимает значения
равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому
формулу для можно записать в виде:
(
так как
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
Подставим найденные коэффициенты в получим:
и вообще
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая
гармоника 
2-ая
гармоника 
3-ая
гармоника 
4-ая
гармоника 
5-ая
гармоника 
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
но
при 
не существует,
поэтому рассмотрим случай когда n=+1
:
см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
(т.к. 
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложениечетной функции в ряд
Данную
выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до 
смотри рис.2
Рис.2
поэтому разложение покосинусуимеет вид:
Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:
На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:
и вообще
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая
гармоника
2-ая
гармоника
3-я
гармоника 
4-ая
гармоника
5-ая
гармоника
А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):
Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)
но
при 
не существует, поэтому
рассмотрим случай когда n=+2 :
см. разложение выше)
и случай когда n=-2:
( т.к. 
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с данной
функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до
смотри рис.3
Рис.3
поэтому разложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
и при n=2:
Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде
и вообще
Найдем первые пять гармоник для данного разложения:
1-ая
гармоника
2-ая
гармоника 
3-ая
гармоника
4-ая
гармоника
5-ая
гармоника
И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см.гл.1) для ряда получаем:
,
(т.к. 
тогда комплексный ряд имеет вид:
ГЛАВА 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Проверка условий представимости
Данную ранее функцию (см. гл. 2)
доопределим на всей прямой от 
до 
как равную
нулю(рис.4).
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x)возрастает на 
- кусочнo-монотонна.
f(x)= const на 
и 
< 
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
ГЛАВА 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
где 
и разлагаемаяфункция
должнабытьпредставлена
наотрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до 
необходимо произвести
замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы
полинома прибавляя поочередно 
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.
ГЛАВА 5
ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямое
преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.
Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение:
В
нашем случае 
k-ых
точках будет:
для
нашего случая 
a=0).
Составим табличную функцию:
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Табл. 1
Прямым
дискретным преобразованием Фурье вектора 
n=0,1,...,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная,
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
2,4 |
2 |
1 |
0 |
0.4 |
0 |
1 |
2 |
|
|
0.318 |
0.25 |
0.106 |
0 |
0.021 |
0 |
0.009 |
0 |
Табл. 2
Амплитудный
спектр 
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули 
и составим таблицу по
обратным дискретным преобразованиям:
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0.785 |
1.571 |
2.356 |
3.142 |
3.927 |
4.712 |
5.498 |
|
|
0 |
0.707 |
1 |
0.707 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0.708 |
1 |
0.707 |
8e-4 |
5e-5 |
5e-4 |
3e-4 |
Табл. 3
Из
приведенной таблицы видно, что 
приближенно равно
Построим графики используя табл.3, где F(k), а f(k) рис. 6 :
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.
ГЛАВА 1
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения
Функция
f(x), определенная на всей числовой оси
называется периодической, если
существует такое число 
х
выполняется равенство 
Тназывается периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1)Сумма, разность,произведениеи частноепериодических функций периода Тесть периодическая функция периода Т.
2)Если функция f(x)период Т
, то функция f(ax)
имеет период 
3)Если f(x) - периодическаяфункция
периода Т , то равны любые два
интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и
b справедливо равенство 
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если
f(x)
разлагается на отрезке 
в равномерно
сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2, . . .
Тригонометрический
ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а
коэффициентами ряда
Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка
разрыва функции 
называют точкой
разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой
функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1
(Дирихле). Если периодическая с
периодом 
функция непрерывна или
имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [
f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно
функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к
среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция
удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА
2. Если f(x) периодическая
функция с периодом , которая на отрезке [ f(x) в точках разрыва к
среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой
теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперьf(x)- нечетнаяфункция с периодом 2L,удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x)
разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежуткето 
, где 
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x)соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций 
непрерывных на отрезке
[a,b], называется ортогональной
системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности
попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
где n=1,2,...
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение
называется комплексной
формой ряда Фурье функции f(x), если 
определяется равенством
где 
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длиннойlс концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1),
удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)
u(x,t)=X(x)T(t),
(4) , где 
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя
это условие X(0)=0, X(l)=0,
докажем, что 
отрицательное число,
разобрав все случаи.
a)Пусть 
X”=0 и его
общее решение запишется так:
откуда
и 
б) Пусть 
получим
в) 
Если 
то
Уравнения имеют корни :
получим:
где
-произвольные
постоянные. Из начального условия найдем:
откуда
(n=1,2,...)
(n=1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,...).
и,следовательно
n=1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
n=1,2,...),
где 
и 
произвольные
постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял
уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным
условиям, т. е. подберем и 
так , чтобы выполнялись
условия
Эти
равенства являются соответственно разложениями функций 
и 
на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит
что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом,
решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается
формулой
где
(n=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1)абсолютной интегрируемости на 
2)на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3)в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая,
что 
а также свойство
интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:
,
где a(u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функцииf(x) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b(u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).
Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:
двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n=1,2,... , k=1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор 
при этом, 
Этап I
1 Постановка задачи
Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способаповышение надежности основной схемы до уровня 0.95
а) б)
Рис. 1.1
Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.
Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.
|
№ элемента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Надежность |
0.6 |
0.6 |
0.6 |
0.3 |
0.7 |
0.4 |
0.3 |
0.5 |
0.1 |
|
Надеж.(резер.) |
0.3 |
0.3 |
0.3 |
0.15 |
0.35 |
2 Теоретическая часть
Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведениемдвух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Произведениемнескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.
А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :
1. Вероятность любого события находится в пределах:
2. Если А и В несовместные
события 
3. Если имеется счетное множество несовместных событий А1, А2, ... Аn,
... 
Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если
при
то
Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:
Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
Для независимых событий правило умножения принимает вид:
Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.
Рис. 2.1
Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А1, А2, ... Аn, где Ai={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.
Рис. 2.2
От события В={система будет работать} перейдем к противоположному:
есть произведение двух
событий:
По правилу умножения для независимых событий:
3 Практическая часть
Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :
, а также резервной схемы (рис. 1б) :
Рассмотрим первый способ
подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока
Рис. 3.1
Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :
, где
Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения :
Шаг первый, при N=1
< 0.95
Шаг второй, при N=2
< 0.95
Шаг третий, при N=3
< 0.95
Шаг четвертый, при N=4
< 0.95
Шаг пятый, при N=5
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ
подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается
заданная вероятность
Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :
, где
, а 
Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения :
При N=1 :
< 0.95
При N=2 :
< 0.95
При N=3 :
< 0.95
При N=4 :
< 0.95
При N=5 :
< 0.95
При N=6 :
> 0.95
Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.
Этап II
1 Постановка задачи
- найти неизвестную константу функции f(x);
- выписать функцию распределения, построить их графики;
- найти математическое ожидание и дисперсию;
- найти вероятность попадания в интервал (1;4).
2 Теоретическая часть
Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.
Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:
Основные свойства функции распределения:
1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента,
при 
2) 
3) 
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :
Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):
Основные свойства плотности распределения f(x):
1. Плотность распределения -
неотрицательная функция 
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведенийвсех возможных ее значений на вероятности этих значений.
Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).
Дисперсия случайной величиныесть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:
Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:
3 Практическая часть
Для нахождения неизвестной константыcприменим выше описанное свойство:
, откуда 
, или
Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:
- на интервале 
- на интервале
- на интервале 
Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Следуя постановке задачи найдем
математическое ожидание 
и дисперсию 
для случайной величины
X :
Производя еще одну замену 
приходим к
первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание
с.в. Х равно :
Также находим дисперсию :
И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :
Этап III
1 Постановка задачи
Дана случайная выборка объема n=100 :
|
104.6 |
95.2 |
82.0 |
107.7 |
116.8 |
80.0 |
100.8 |
124.6 |
99.4 |
101.4 |
|
100.6 |
86.3 |
88.2 |
103.8 |
98.5 |
111.8 |
83.4 |
94.7 |
113.6 |
74.7 |
|
114.3 |
86.9 |
106.6 |
94.9 |
105.9 |
88.6 |
96.6 |
93.7 |
90.8 |
96.5 |
|
110.2 |
100.0 |
95.6 |
102.9 |
91.1 |
103.6 |
94.8 |
112.8 |
100.1 |
95.3 |
|
113.9 |
113.9 |
86.1 |
110.3 |
88.4 |
97.7 |
70.1 |
100.5 |
90.9 |
94.5 |
|
109.1 |
82.2 |
101.9 |
86.7 |
97.4 |
102.1 |
87.2 |
94.71 |
112.4 |
94.9 |
|
111.8 |
99.0 |
101.6 |
97.2 |
96.5 |
102.7 |
98.6 |
100.0 |
86.2 |
89.4 |
|
85.0 |
86.6 |
122.7 |
101.8 |
118.3 |
106.1 |
91.3 |
98.4 |
90.4 |
95.1 |
|
93.1 |
110.4 |
100.4 |
86.5 |
105.4 |
96.9 |
101.9 |
83.8 |
107.3 |
107.5 |
|
113.7 |
102.8 |
88.7 |
112.5 |
79.4 |
79.1 |
98.1 |
103.8 |
107.2 |
102.3 |
2 Теоретическая часть
Под случайной
выборкой объема n понимают
совокупность случайных величин 
, не зависимых между
собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых
условиях независимых измерений.
Упорядоченной
статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в
которой расположены в порядке возрастания 
.
Размах выборки есть величина r=Xn-X1, где Xn - max , X1 - min элементы выборки.
Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :
тогда частота попадания в отрезок 
, где Vi
- число величин попавших в отрезок 
получим высоту для
построения гистограммы.
Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее mx* и статистическую дисперсию Dx* .
Которые находим как
Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :
Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :
то есть оценка 
для m является несмещенной.
Найдем дисперсию этой оценки :
Эффективность
или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной
величины X .Если распределение
нормально, то оценка 
для мат. ожидания m является и эффективной.
Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений Xi от среднего :
Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений:
, где правая часть есть среднее арифметическоезначений случайной величины X2 сходится по вероятности к
ее мат. ожиданию: 
Проверим ее на несмещенность,
подставив в вместо его выражение и
произведем действия:
Так как D* не зависит от выбора начала координат то отцентрируем
все случайные величины . Тогда
Найдем мат. ожидание величины D*:
Но 
Отсюда видно,
что величина D* не
является несмещенной оценкой для дисперсии D;
ее мат. ожидание не равно D, а
несколько меньше. Пользуясь оценкой D*
вместо D, будет проходить систематическая
ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку 
тогда мы получим
несмещенную оценку для дисперсии:
При больших n
поправочный коэффициент становится близким к
единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени
(оценок) этих характеристик нужно взять:
3 Практическая часть
Упорядоченная выборка где n=100 количество
замеров :
|
70.1 |
74.7 |
79.1 |
79.4 |
80.0 |
82.0 |
82.2 |
83.4 |
83.8 |
85.0 |
|
86.1 |
86.2 |
86.3 |
86.5 |
86.6 |
86.7 |
86.9 |
87.2 |
88.2 |
88.4 |
|
88.6 |
88.7 |
89.4 |
90.4 |
90.8 |
90.9 |
91.1 |
91.3 |
93.1 |
93.7 |
|
94.5 |
94.7 |
94.7 |
94.8 |
94.9 |
94.9 |
95.1 |
95.2 |
95.3 |
95.6 |
|
96.5 |
96.5 |
96.6 |
96.9 |
97.2 |
97.4 |
97.7 |
98.1 |
98.4 |
98.8 |
|
98.6 |
99.0 |
99.4 |
100.0 |
100.0 |
100.1 |
100.4 |
100.5 |
100.6 |
100.8 |
|
101.4 |
101.6 |
101.8 |
101.9 |
101.9 |
102.1 |
102.3 |
102.7 |
102.8 |
102.9 |
|
103.6 |
103.8 |
103.8 |
104.6 |
105.4 |
105.9 |
106.1 |
106.6 |
107.2 |
107.3 |
|
107.5 |
107.7 |
109.1 |
110.2 |
110.3 |
110.4 |
111.8 |
111.8 |
112.4 |
112.5 |
|
112.8 |
113.0 |
113.6 |
113.9 |
113.9 |
114.3 |
116.8 |
118.3 |
122.7 |
124.6 |
Размах выборки r=Xn-X1=124.6-70.1= 54.5
На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.
Табл. 3.1
|
Интервалы |
Число попаданий в интервал |
Частота попаданий в
интервал |
Высоты интервалов для гистограммы |
|
1. 70.10- 75.55 2. 75.55- 81.00 3. 81.00- 86.45 4. 86.45- 91.90 5. 91.90- 97.35 6. 97.35 - 102.80 7. 8. 9. 10. |
2 3 8 15 17 23.5 13.5 11 5 2 |
0.020 0.030 0.080 0.150 0.170 0.235 0.135 0.110 0.050 0.020 |
0.0036697 0.0055045 0.0146788 0.0275229 0.0311926 0.0431192 0.0247706 0.0201834 0.0091743 0.0036697 |
|
Сумма1.000 |
По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределениеподчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания
,
для оценки дисперсии
Полагая в выражении нормальной плотности
и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случаевоспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :
Табл. 3.2
|
x |
f(x) |
|
1. 70.10 2. 75.55 3. 81.00 4. 86.45 5. 91.90 6. 97.35 7. 8. 9. 10. 11. |
0.0010445 0.0036354 0.0097032 0.0198601 0.0311717 0.0375190 0.0346300 0.0245113 0.0133043 0.0055377 0.0017676 |
и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1
Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х в k-й интервал по формуле
Табл. 3.3
|
|
|
|
1. 70.10- 75.55 2. 75.55- 81.00 3. 81.00- 86.45 4. 86.45- 91.90 5. 91.90- 97.35 6. 97.35 - 102.80 7. 8. 9. 10. |
0.0115694 0.0344280 0.0790016 0.1398089 0.1908301 0.2009057 0.1631453 0.1021833 0.0493603 0.0183874 |
Для проверки правдоподобия
гипотезы воспользуемся критерием согласия 
для этого возьмемданные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в
формулу :
Рис. 3.1
Определяем
число степеней свободы (10-1-l)=7,
где l - число независимых
условий(количество параметров
подлежащих оценки в нашем случаиих l=2, это mx, Dx
- для нормального распределения). По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С.,
Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей и ее инженерные приложения.” - М.: Наука,
1988 находимпри r=7, p=0.95 для уровня
значимости 
и видим, что 
, но даже меньше.
Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.