История открытия комплексных чисел

	Загрузить архив:
	Файл: ref-21910.zip (13kb [zip], Скачиваний: 82) скачать

Реферат

на тему:

«История открытия комплексных чисел».

Выполнили ученики 10 а класса

Савинской средней

Школы №1

Сметанин Илья и

Лихачёв Вячеслав.

План:

1. Понятие о комплексном числе.

а) Почему появились?

б) Алгебраическая форма комплексного числа.

2. Из истории.

3. Заключение.

4. Список используемой литературы.

1. Понятие о комплексном числе.

Почему появились? Процесс расширения понятий числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой : каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новых чисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать не на прямой, а на плоскости.

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чиселa и b . Два комплексных числа (a;b) и (c;d) называются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d.

Алгебраическая форма комплексного числа. Запись a+biназывается алгебраической формой комплексного числа z=(a; b); при этом число a называется действительной частью комплексного числа z, а bi – его мнимая часть. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т. е. .

Если мнимая часть комплексного числа a+biотлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом a=0 , т. е. число имеет вид bi, то оно называется чисто мнимым; если у комплексного числа a+bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число a.

2. Из истории.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .Термин «комплексные числа»так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от

латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней    n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): .

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карно.

3. Заключение

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами

4. Список используемой литературы:

1) «Математика» Гусев В.А., Мордкович А.Г.                                                 ( «Просвещение» 1990 г.);

2) «Справочник по элементарной математике» М.Я. Выгодский (Москва 1966 г.);

3) «Энциклопедический словарь юного математика»

(http://lib.ru)