Исследование прочности на разрыв полосок ситца


	Загрузить архив:
	Файл: ref-21916.zip (56kb [zip], Скачиваний: 127) скачать

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московской области

Международный Университет природы

общества и человека «Дубна»

Филиал «Котельники»

Кафедра естественных и гуманитарных наук.

К У Р С О В А Я Р А Б О ТА

«Исследование прочности на разрыв полосок ситца»

по дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнила студентка

Второго курса 262 ЭТ группы

Одинцова Е.С.

Проверила:

___________Поздеева С.Н.

2006г.

Содержание

1.Введение………………………………………………….3стр.

2.Цель работы………………………………………………3

3.Постановка задачи………………………………………. 3

4.Исходные данные……………………………………….. 4

5.Распределение случайной величины на основе

опытных данных………………………………………… 4

6.Построение эмпирической функции распределения….. 9

7.Статистические оценки параметров распределения……12

8.Проверка гипотезы о нормальном распределении,

Изучаемой случайной величины…………………………16

9.Заключение…………………………………………………19

10. Список литературы………………………………………..20

1. Введение.

Математическая статистика – наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данныхс целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Задачи математической статистики:

1)нахождение функции распределения по опытным данным.

2)из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.

3)Статистическая проверка гипотез:

в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.

2. Цель курсовой работы.

Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.

3.Постановка задачи

В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для

обработки статистических данных:

1)построение полигона частот и относительных частот

2)построение гистограммы частот и относительных частот

3)построение эмпирической функции распределения.

4)нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и

нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения.

5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

4. Исходные данные

Вариант 14

Прочность на разрыв полосок ситца (в дан.):

32 31 34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32

34 33 31 30 30 32 32 34 31 31 35 32 34 33 32 31

34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32 34 33

31 30 34 32 31 29 32 34 33 31 30 32 32 31 36 32

34 33 31 30 32 33 31 28 32 34 33 31 30 32 33 30

35 32 34 33 32 30 31 33 30 33 32 34 33 31 30 32

33 30 31 32 34 33 31 30 32 33 30 31 32 33 33 31

30 32 33 30 31 32 33 30 34 33 31 30 32 33 30 31

32 33

5. Распределение случайной величины на основе опытных данных

Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.

Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.

Результат измерения называется- варианта.

Число появления каждой варианты называется частотой.

Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.

x_i- варианта (значение, полученное в процессе измерения)

n_i- частота (сколько раз появилась каждая варианта)

Р^*_i– отношение частоты объёму выборки

x_i

n_i

Pi^* n

130

Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.

x_i<x≤x_i+1	(27;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
n_i	4	47	56	22	1
P_i^*	4/130	47/130	56/130	22/130	1/130

Размах колебания: х_min=28

х_max=36

R= 36-28=8

Статистическое распределение можно изобразить графически:

Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.

Полигоном частотназывается ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (О_х) - варианта иординатой (О_у) – частота.

Cтроим полигончастот.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (О_х) – варианта и ординатой (О_у) – относительная частота.

Строим полигон относительных частот.

Полигон относительных частот

Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x_ii+1

(27;29]

(29;31]

(31;33]

(33;35]

(35;37]

n_i

h_i = n_i

Δx

4/2

47/2

56/2

22/2

1/2

Δx=2

56⁄ 2

47⁄ 2

22⁄ 2

4/2

1/2

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала)и площадью численно равной относительной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x_ii+1

(27;29]

(29;31]

(31;33]

(33;35]

(35;37]

Р^*_i

4/130

47/130

56/130

22/130

1/130

h_i = P^*_i

Δx

4/260

47/260

56/260

22/260

1/260

Δx=2

h*i

56∕ 260

47⁄ 260

22⁄ 260

4∕ 260

1 ∕ 260

6. Построение эмпирической функции распределения

Статистическая функция распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х

F^*(х) = Р^* = P^*(X

Статистическая функция распределения ( эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрывасовпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.

ΣP_i* = 1

i=1

1) ∞ < х ≤ 28

F^*(x)=P^*(X<28)=0

2) 28

F^*(x)=P^*(X<29)=P^*(X=28)=1/130

3) 29

F^*(x)=P^*(X=28)+ P^*(X=29)=1/130+3/130=4/130

4) 30

F^*(x)=P^*(X<31)= P^*(X=28)+ P^*(X=29) P^*(X=30)+1/130+3/130+18/130=22/130

5) 31

F^*(x)=P^*(X<32)= P^*(X=28)+ +P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130

6) 32

F^*(x)=P^*(X<33)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31) P^*(X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130

7) 33

F^*(x)=P^*(X<34)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130

8)34

F^*(x)=P^*(X<35)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33) P^*(X=34)=

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130

9) 35

F^*(x)=P^*(X<36)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33) P^*(X=34)+ P^*(X=35)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130

10) x>36

F^*(x)=1

0, -∞<х≤28

1/130, -∞<х≤29

4/130, 29<х≤30

22/130, 30<х≤31

F^*(x) 51/130, 31<х≤32

83/130, 32<х≤33

107/130, 33<х≤34

125/130, 34<х≤35

129/130, 35<х≤36

1, х>36

Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат:

на оси Ох=х_i

на оси Оу=F^*(x)

129/130

125/130

107/130

83/130

51/130

22/130

4/130

1/130

7.Статистические оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:

1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;

2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;

3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;

Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.

Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценкаоцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.

Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

_ х₁+х₂+….+х_N

х_г= =

=Σx_i

i=1

Если же значение признака х₁,х₂,…….х_кимеют соответственно частоты N₁,N₂……..N_k, то средняя генеральная вычисляется по формуле:

_ х₁×N₁+x₂×N₂+…...x_k×N_k

х_г==

=Σx_i×N_i

i=1

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.

х₁+х₂+….х_n

х_в= =

ⁿ

=Σx_i

i=1

Выборочной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.

Если же значение признака х₁,х₂,….х_k имеет соответственно частоты n₁,n₂,….n_k, то выборочная средняя определяется по формуле:

_ х₁×n₁+x₂×n₂+…+x_k×n_k

х_в=______________________ =

=Σx_i×n_i

i=1

x_i	28	29	30	32	32	33	34	35	36
n_i	1	3	18	29	32	24	18	4	1

_ 28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1

_в= =

130

=4158 = 31,98

130

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

_ _ _

_ (х₁-х_в)² + (х₂-х_в)² + ….(х_n-х_в)²

D_в= n =

ⁿ _

=Σ(х_i-x_в)²

i=1

Если же значение признака х₁,х_2…..x_kимеет соответственно частоты n₁,n_2….n_k, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

_ _ _

_ (х₁-х_в)²× n₁ + (х₂-х_в)² ×n₂+ ….(х_k-х_в)²×n_k=

D_в= n

^k _

=Σ(х_i-x_в)²× n_i

i=1

_ (28-31,98)²×1+(29-31,98)²×3+(30-31,98)²×18+(31-31,98)²×29+

D_в= +(32-31,98)²×32+(33-31,98)²×24+(34-31,98)²×18+(35-31,98)²×

×4+(36-31,98)²×1 =

130

= 291,972 =2,24

130

Среднее выборочное квадратичное отклонение- это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

_ __

σ_в = D_в

σ_в =√ 2,24 = 1,5

Нормальный закон распределения случайной величины

Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:

1 -(x-a)²

F(x) = σ √2¶ × e 2σ²

SHAPE* MERGEFORMAT

8.Проверка гипотезы о нормальном распределении

изучаемой величины

Гипотезу Н₀ выдвигаем в качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н₀ выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.

Для исследования воспользуемся критерием χ²Пирсона.

Вычисляем χ²для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:

SHAPE* MERGEFORMAT

x_i-x_в

Z_i= _

σ_в

x_i₊₁-x_в

Z_i₊₁= _

σ_в

х_в=31,98

D_в=2,24

σ_в=1,5

N интервал I	xi	ni	xi	xi^2	xi-xв	xi+1-xв	Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi)	ni=nPi	ni-ni*	(ni-ni*)^2	(ni-ni)^2/ni
1	27	4	28	784	-4,98	-2,98	-3,32	-1,987	-0,4991	-0,4699	0,03	3,7999	0,2001	0,04004	0,01053712
2	29	47	30	900	-2,98	-0,98	-1,987	-0,653	-0,4699	-0,2357	0,23	30,446	16,554	274,03492	9,00068699
3	31	56	32	1024	-0,98	1,02	-0,653	0,68	-0,2357	0,2357	0,47	61,282	-5,282	27,899524	0,45526458
4	33	22	34	1156	1,02	3,02	0,68	2,0133	0,2357	0,4699	0,23	30,446	-8,446	71,334916	2,34299796
5	35	1	36	1296	3,02	5,02	2,0133	3,3467	0,4699	0,49913	0,03	3,7999	-2,7999	7,83944	2,06306482
Σ		130													13,8725515

^k (n_i-n_i^*)²

χ²_набл.=Σ

ⁱ⁼¹ n_i

χ²_набл=13,8725515

Далее находим χ² с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.

К=S-3

5-3=2

χ²_крит.=6,0

χ²_набл=13,8725515 > χ²_крит=6,0

Гипотеза не принимается.

9. Вывод

В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.

Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот.
Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.

0ценили параметры распределения:

- выборочную среднюю

- выборочную дисперсию

- выборочное среднее квадратичное отклонение.

После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределенапо нормальному закону.

Литература

1.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.

2.Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.

3.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

4.Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев,И.М.Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г.Шершнев.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФАРМА-М, 2005.-656с.-(Высшее образование).