Асимптотические методы исследования интегралов с параметром
| Загрузить архив: | |
| Файл: ref-21929.zip (183kb [zip], Скачиваний: 246) скачать |
Введение
Многочисленные задачи математики,математической физики,механики,техники
приводят к необходимости исследовать интегралы вида
прибольших значениях
параметра 
.
Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.
С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких
интеграловне под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается –
это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.
Асимптотические методы,к сожалению,также имеют свои границы.Не следует думать,
чтоасимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить.Но в ряде
случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться
в применении именно этих методов не приходится.
1.Основные формулы
Интегралами Лапласа называются интегралы вида
, (1.1)
где
-вещественнозначная функция,
-большой положительный параметр.Функция
может принимать
комплексные значения.Будем считать для простоты,что 
конечный отрезок и что 
-достаточно гладкие
при 
функции.Тривиальный
случай 
не рассматривается.
рис.1
Пусть 
и достигается
только в точке 
имеетмаксимум в
точке 
можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности
точки максимума
и это приближение
будет тем точнее,чем больше 
можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика
которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.
Пусть 
.Тогда 
;пусть для простоты 
.Тогда
где
- малое фиксированное число,и
.
Следовательно,
.
Заметим,что 
.Последний интеграл равен
(
),
так как
.
Итак,мы получили асимптотическую формулу
(). (1.2)
Пример 1.Вычислим интеграл
.
().
Здесь функция 
на
отрезке[-1,1]имеет максимум в точке 
;также
.Все вышеперечисленные условия выполняются,
следовательно можно ис-
пользовать формулу (1.2).
.
Получили формулу:
().
Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера
Метод Лапласа
непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция 
не
имеетмаксимума на данном интервале.
Представим подинтегральную функцию в виде
и сделаемзамену
переменной, положив
.Тогда имеем:
.
Наш интеграл примет вид:
.
Это интеграл Лапласа: здесь 
и
.Функция 
достигает максимума
при
, причем 
Поэтому по формуле (1.2) получаем
Получили формулу:
Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга
таккак 
для любого
натурального 
Пусть теперь совпадает с одним из
концов отрезка, например 
интегралом по отрезку 
и заменяя
приближеннона этом отрезке функции
,
получаем,что
Заметим,что 
(
) (1.3)
Пример 3.Вычислим интеграл
Здесь функция 
на отрезке[0,2]
имеет максимум в точке
Следовательно, можно применить формулу (1.3):
Получили формулу:
По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для
интеграловЛапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум
следующим причинам:
1).Подытегральная
функция имеет при больших резкий максимум (т.е.
интеграл по
отрезкуI можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки
максимума).
2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более
простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).
2.Простейшие оценки
Лемма 1.1. Пусть
и при некотором 
интеграл (1.1)
сходится абсолютно:
.
Тогда имеет место оценка
.
3.Лемма Ватсона
Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция
(1.4)
где
.Так как в окрестности точки максимума S(x) можно прибли-
женно заменить степенной функцией (вообще говоря),то вычисление асимптотики
интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эталонных интегралов (1.4).
Получим
асимптотические оценки для 
при
Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть 
.Тогда при справедливо
асимптотическое разложение
(1.5)
Главный член асимптотики имеет вид
(1.5´)
Пример 4.Вычислим интеграл
()
Здесь 
, функция 
непрерывна на
[0,
] .Применим формулу (1.5´):
Получили формулу:
()
4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)
Рассмотрим интеграл Лапласа (см.(1.1)).
Теорема
1.1. Пусть 
- конечный отрезок и выполнены условия:
1º.
достигается только в
точке 
.
2º.
3º.
при 
,близких к 
,и 
.
Тогда при справедливо разложение
(1.6)
Коэффициенты
имеет вид
, 
(1.7)
Главный член асимптотики имеет вид
().
Рассмотриминтеграл
().
Пусть при 
имеем 
и функция
достигаетмаксимума
только в точке 
.Тогда присправедлива
формула
.
(1.8)
Пример 5.Вычислим интеграл
Функция 
положительна
для любого ;
и достигает
максимумана этом отрезке в точке 0.Применяя формулу(1.8), получим
Пусть [a,b]- конечный отрезок 
и пусть функция достигает
максимуматолько в точке .Тогда для интеграла
().
справедлива формула
где
, если 
; 
, если совпадаетс одним из концов отрезка.
Пример 6. Найдем асимптотику при 
полинома
Лежандра
где
.
В данном случае 
. Функция 
достигает
максимума при
и
По последней
формуле
находим, что
Пример 7.Покажем,
что при
Здесь 
,
.Применяя последнюю формулу,
получим
5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума
Теорема 1.2. Пусть
- конечный отрезок и выполнены условия:
1º.достигается только в
точке 
.
2º.
3º.при ,близких к ,и .
Тогда присправедливо разложение
(1.9)
Коэффициентыимеет вид
(1.10)
Главный член асимптотики (1.9) имеет вид
().
Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, за
исключением одного:
Тогда при справедливо разложение
(1.11)
Главный член асимптотики имеет вид
.
(1.12)
Пример 8.Покажем,
что при
.
Имеем 
, так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),
где
Функция достигает максимума
при
, причем
Интеграл выяисляется по формуле (1.12):
Получили формулу:
Пример 9.Покажем, что при
Воспользуемся тождеством
Тогда сумма примет вид
.
В данном случае 
; остается применить теорему 1.3.
6.Программа и численные результаты
Следующая программа вычисляет интеграл по формуле Симпсона и методом
Лапласа:
unit
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
GroupBox1: TGroupBox;
Label1: TLabel;
Edit1: TEdit;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit4: TEdit;
Label5: TLabel;
StatusBar1: TStatusBar;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
GroupBox2: TGroupBox;
Panel1: TPanel;
Panel2: TPanel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;
n: integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите нижнюю границу';
end;
procedure TForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите верхнюю границу';
end;
procedure TForm1.Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите точность для метода Симпсона';
end;
procedure TForm1.Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите параметр в интеграле Лапласа';
end;
procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='';
end;
function f(x,lam:extended):extended; //Подинтегральная функция
begin
f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);
end;
function simpson(a,b:extended;n:integer):extended;
var s,h:extended;
m,mn:integer;
begin
h:=(b-a)/n;
s:=f(a,lam)+f(b,lam);
mn:=4;
for m:=1 to n-1 do begin
s:=s+mn*f(a+h*m,lam);
if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;
end;
simpson:=s*h/3;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
a:=StrToFloat(Edit1.Text);
b:=StrToFloat(Edit2.Text);
eps:=StrToFloat(Edit3.Text);
lam:=StrToFloat(Edit4.Text);
n:=3;
r:=simpson(a,b,n);
repeatr2:=r;
n:=n+2;
r:=simpson(a,b,n);h:=(b-a)/n;
until
(abs(r-r2) Panel1.Caption:=FloatToStr(r); lap:=2/lam; Panel2.Caption:=FloatToStr(lap); end; procedure
TForm1.Button2Click(Sender: TObject); begin Close; end; procedure
TForm1.Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X, Y: Integer); begin StatusBar1.SimpleText:='Вычисление
интеграла'; end; procedure
TForm1.Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X, Y: Integer); begin StatusBar1.SimpleText:='Выход из программы'; end; end. Пример 3.Для интеграла при Пример 1.Для интеграла получены
результаты: Пример
4.Для интеграла полученырезультаты: Литература Федорюк М.В. «Асимптотика:
интегралы и ряды». М.:Наука, 1977. 
получены результаты:
