Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов).

В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:

Y(x)’=A(x)·Y(x) + F(x),

где Y(x) - вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ - вектор-столбец производных искомых функций, A(x) - квадратная матрица коэффициентов, F(x) – вектор внешних воздействий на систему.

Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:

Y(x)’=A(x)·Y(x),

но метод справедлив и для неоднородной системы.

Условия на левом крае записываются в виде:

L·Y(0) = L,

где Y(0) - вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.

Аналогично записываются условия на правом крае:

R·Y(1) = R,

где Y(1) - вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.

В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(х¬0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)

Y(x)=K(х¬0)·Y(0),

где K(х¬0)=exp(Ax)

при условии, что матрица A=constant.

При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:

Y(x)=K(х¬0)·Y(0),

где K(х¬0)=K(х4¬x3) · K(х3¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0),

где K(хj¬xi)=exp(A(xi)x),

то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.

2. Про половину констант.

Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных уравнений имеет размерность 8, то есть 8 уравнений. То есть эта система дифференциальных уравнений будет состоять из 8-ми уравнений и матрица А(x) коэффициентов системы дифференциальных уравнений будет иметь размерность 8х8, а векторы Y(x), Y(x)’, F(x) будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8.

Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных уравнений:

Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y5(x)c5 + Y6(x)c6 + Y7(x)c7 + Y8(x) + Y*(x).

Но решение может искаться в виде с половиной констант, то есть в следующем виде:

Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y*(x)

или

Y(x) =Yматрица(x) · с + Y*(x),

где векторыY1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x) – это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений (системы, где F(x)=0), а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, а с1, с2, с3, с4 - это константы, которые надо вычислить. Здесь Yматрица(x)= |Y1(x),Y2(x),Y3(x),Y4(x)|, а с это вектор |с1,с2,с3,с4|.

3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

L·Y(0) = L,

где матрица Lпрямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей Lорт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки:

Lорт·Y(0) = Lорт,

где в результате ортонормирования вектор L преобразован в вектор Lорт.

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в книгах по численным методам.

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу Lорт до квадратной матрицы U:

                                                                            | Lорт |

                                                                     U =|--------|

                                                                            |   N     |,

где матрица Nразмерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу Lорт до невырожденной квадратной матрицы U размерности 8х8.

В качестве строк матрицы N можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.

Завершим ортонормирование построенной матрицы U, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу Uорт размерности 8х8 с ортонормированными строками:

                                                                             | Lорт|

                                                                Uорт =|--------|

                                                                             | Nорт|.

Можем записать, что

                                        Yматрица(0) = (Nорт)транспонированная = (Nорт)тр.                            

Тогда:

Y(0) =Yматрица(0) · с + Y*(0),

или

Y(0) = (Nорт)тр · с + Y*(0).

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия Lорт·Y(0) = Lорт и получим:

Lорт· ( (Nорт)тр · с + Y*(0) ) = Lорт.

Отсюда получаем, что константы с уже не на что не влияют, так как Lорт· (Nорт)тр = 0 и остаётся только найти Y*(0) из выражения:

Lорт· Y*(0) = Lорт.

Но матрица Lорт имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

                                                              | Lорт |                | Lорт |

                                                              |-------| · Y*(0) =|--------|

                                                              |Nорт|                |    0    |,

где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

                                                                        | Lорт | -1    | Lорт |

                                                      Y*(0) =      |--------|  ·   |--------|                                                   

                                                                        |Nорт|        |    0    |.

Тогда итоговая формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычисления имеет вид:

                                                                             | Lорт | -1    | Lорт |

                                         Y(0) = (Nорт)тр · с + |--------|   ·   |--------|                                             

                                                                            |Nорт |         |    0    |.

Пока материалы повторяли рассуждения со странички .

Далее пойдут новые рассуждения.

Кажется из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то ее обратная матрица это есть ее транспонированная матрица (не могу посмотреть в литературу, чтобы проверить, но, кажется, это так и есть). Тогда последняя формула приобретает вид:

Y(0) = (Lорт)тр · Lорт + (Nорт)тр · с

или

                                                                                                         | Lорт |

                                                      Y(0) = [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] · |--------|

                                                                                                         |    с    |

То есть получена формула для начала вычислений с левого края, чтобы искать решение в виде только с половиной констант.

Далее запишем R·Y(1) = Rи Y(1)=K(1¬0)·Y(0) совместно:

R·K(1¬0)·Y(0) = R

И подставим туда выражение для Y(0):

                                                                                                                | Lорт |

                                                      R·K(1¬0)· [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] · |--------|= R

                                                                                                                |    с    |

Таким образом мы получили выражение

                                                                                         | Lорт |

                                                                                    B· |--------|= R

                                                                                         |    с    |,

где матрица Bимеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B1 и B2. Тогда можем записать:

B1· Lорт + B2 · c = R

Отсюда получаем, что

c = (B2)обратная · ( R-B1· Lорт )

Таким образом найдены искомые константы c и краевая задача сведена к задаче Коши. А как решать задачи Коши (начальные задачи) это известно.

4. Про «жесткие» краевые задачи.

При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных уравнений они иногда оказываются «жёсткими».

Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала.

Для решения таких краевых задач с «жёсткими» дифференциальными уравнениями обычно применяют специальные приёмы-методы.

«Жёсткие» краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова. Познакомиться с «методом переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке .

5. Метод половины констант для «жестких» краевых задач.

Запишем

                                                                                                                | Lорт |

                                                      R·K(1¬0)· [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] · |--------|= R

                                                                                                                |    с    |

совместно с K(1¬0)=K(1¬x3) · K(х3¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0) и получим:

                                                                                                                            | Lорт |

       R·K(1¬x3) · K(х3¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0) · [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] · |--------|= R

                                                                                                                            |    с    |

Эту систему можем записать в в иде

R· вектор= R

Выполним ортонормирование строк этой системы линейных алгебраических уравнений, что не изменит, не затронет вектор. Получим:

Rорт · вектор= Rорт

Далее из вектора вычленим матрицу K(1¬x3):

Rорт · K(1¬x3) · другой_вектор= Rорт

или

D· другой_вектор= Rорт

Мы опять получили систему линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей Dи можем опять выполнить ортонормирование строк этой матрицы, что не затронет другой_вектор. Получим:

Dорт · другой_вектор= R2орт

И так далее по очереди вычленяем матрицы K(х3¬x2), K(х2¬x1), K(х1¬0). В результате получаем систему:

                                                                                 | Lорт |

                          ортонормированная_матрица · |--------|= R(орто_несколько_раз)

                                                                                 |    с    |

Таким образом мы получили выражение

                                                                                     | Lорт |

                                                               Bортонорм · |--------|= Rортонорм

                                                                                     |    с    |,

где матрица Bортонорм имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B1ортонорм и B2ортонорм. Тогда можем записать:

B1ортонорм· Lорт + B2ортонорм · c = R

Отсюда получаем, что

c = (B2ортонорм)обратная · ( R-B1ортонорм· Lорт )

Таким образом найдены искомые константы c и «жесткая» краевая задача сведена к «жесткой» задаче Коши. А как решать «жесткие» задачи Коши (начальные задачи) это можно посмотреть в интернете.

6. Метод Алексея Юрьевича Виноградова решения «жестких» начальных задач (задач Коши).

Запишем

Y(x1)=K(х1¬0)·Y(0)

Матрица обратная матрице K(х¬0) это матрица K(0¬x). Тогда можем записать:

K(0¬x1)·Y(x1)=Y(0)

Проортонормируем построчно эту систему уравнений и получим

K(0¬x1)орт·Y(x1)=Y(0)орт

Далее запишем

Y(x1)=(K(0¬x1)орт)обратная·Y(0)орт

И так далее односторонней прогонкой во всех точках по очереди, начиная с x=x1.

Алексей Юрьевич Виноградов

12 июля 2006

J

Пишите комментарии к методу на адрес

AlexeiVinogradov@yandex.ru

Полезная ссылка (): - Метод «переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования» Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач.

Полезная ссылка (): - Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач. Метод придуман вечером 17 марта 2006 года. Метод ещё не обсчитан на компьютерах, но имеет чёткое обоснование и может быть полезен для тех, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого метода (сам я заниматься программированием не имею возможности).

Интересная ссылка (): - художественный и стилистический сайт Алексея Юрьевича Виноградова.

Полезная ссылка (): - Формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычислений методом ортогональной прогонки С.К.Годунова для краевых условий совершенно любой степени сложности, чего до этого не мог делать никто (позволительны для использования становятся произвольные формы записи дифференциальных уравнений через любые физические параметры и можно решать задачи с краевыми условиями при любых линейных зависимостях между физическими параметрами краевой задачи, например, возможны сложные упругие опирания по силам-перемещениям и моментам-углам для оболочек).