Обучение решению младших школьников нестандартным олимпиадным задачам

Примечание	от автора: Олимпиадные задачи. Нестандартные задачи для младших школьников
	Загрузить архив:
	Файл: ref-23545.zip (174kb [zip], Скачиваний: 71) скачать

Введение

Особенности текстовых задач и их решения во многом опре­деляют их роль и место в процессе обучения.

Так, в частности, если бы целью обучения математике мож­но было считать лишь ознакомление детей с числами, арифмети­ческими действиями, их свойствами, существующими между ни­ми связями и отношениями, т. е. только с математической сторо­ной дела в чистом виде, то, вообще говоря, можно было бы и вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничить­ся изучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с использованием абстрактной математической формы их выраже­ния. Текстовые задачи сами по себе ничего нового в раскрытие этих общих математических фактов не вносят и внести не могут.

Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обу­чении математике, формирование отвлеченных теоретических знаний естественно вести па основе обобщения накопленного детьми опыта жизненных наблюдений и практических действий, систематизируемого и обогащаемого под руководством учителя. Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо понятные детям жизненные ситуации, могут в этих условиях оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями, закономерностями, которые составля­ют предмет начального курса математики.

В этом смысле текстовые задачи играют как бы подсобную роль в курсе математики наряду с такими средствами, как ис­пользование различных наглядных пособий, проведение практиче­ских работ и пр.

1. Структура решения задачи.

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественноввестипроблемнуюситуацию.   Разрешив   систему   специально подобранныхзадач,ученикзнакомитсяссущественнымиэлементаминовых алгоритмов,   овладевает   новымитехническими    элементами. Применять математические   знания   в   жизненных   ситуациях   учат   соответствующие практические задачи. Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используются разного рода схемати­ческие записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необхо­димо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осущест­вить,— это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого про­изводят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этаппроцесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произ­ведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на во­семь этапов:

1-й этап — анализ задачи;

2-й этап — схематическая запись задачи;

3-й этап — поиск способа решения задачи;

4-й этап — осуществление решения задачи;

5-й этап — проверка решения задачи;

6-й этап — исследование задачи;

7-й этап — формулирование ответа задачи;

8-й этап — анализ решения задачи.

Приведенная схема дает лишь общее представление о про­цессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

Историческисложилось,чтонараннихэтапахразвитияматематики решение задач было целью обучения.Ученикдолженбылзаучитьобразцыи затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решалисьтиповые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмическиразрешимыхзадач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

      Многообразные ситуации, возникающиена математическом    и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так инестандартным задачам.

2. Нестандартные задачи.

Наибольшие затруднения у школь­ников, как правило, вызывают реше­ния нестандартных задач, т.е. задач, алгоритм решения которых им неизве­стен. Задачи этого типа требуют отученикамобилизациипрактическивсего набора знаний, умения анализировать условие, строитьматематическуюмодель решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически,одной специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученикапо целой теме.

Однако одна и та же задача мо­жет быть стандартной или нестан­дартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных за­дач учащихся, или нет. Так, задачи на нахождение суммы конечного числа членов арифметической прогрессии для школьников начальных классов - нестандартные, а для старшеклассни­ков - стандартные. Любая задача, взя­тая изолированно, сама по себе явля­ется нестандартной, но если с ней рядом поместить несколько подобных задач, то она становится стандартной. В основе решений многих из них лежат: принцип Дирихле, понятие ин­варианта, запись чисел в различных системах счисления, теория графов, свойства геометрических и магичес­ких фигур, правила построения уникурсальных кривых, признаки дели­мости чисел, законы математической логики и арифметических операций, правила комбинаторики и т.п.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. Это чрезвы­чайно простое положение применяет­ся при доказательстве многих важных теорем теории чисел. В самой простой и шутливой форме принцип Дирихле выглядит так: «Если в п клетках сидит не менее т + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит не менее двух кроли­ков». Более строго он формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1 (принцип Дирихле). Пусть дано п классов и т предметов. Если т > n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждый класс попадало не более одного предмета, то всего в рассматриваемых классах бы­ло бы не более п предметов, что проти­воречило бы условию (т > п). Теорема доказана.

Пример 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них оказались два шари­ка одного цвета?

Решение. Достанем из мешка три ша­рика. Если бы среди этих шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров - это очевидно и противоречит тому,что  мыдостали три шарика.

С другой стороны, ясно, что двух шариков может и не хватить.

В этой задаче «кроликами» являют­ся шарики, а «клетками» - цвета: белый и черный.

Ответ: 3 шарика.

Пример 2. Докажите, что в любой компании из 7 человек есть двое, име­ющих одинаковое число знакомых в этой компании.

Доказательство. Вариантов числа знакомых всего 7: от 0 до 6. При этом если у кого-то 6 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. Так что есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Пример 3. Докажите, что равносто­ронний треугольник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Доказательство. Каждый из мень­ших треугольников не может накры­вать более одной вершины большого треугольника, поэтому в силу принци­па Дирихле равносторонний треуголь­ник нельзя накрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Теорема 2 (обобщенный принцип Дирихле). Если в n классах находится не менее к * n + 1 предметов, то в ка­ком-то из данных классов есть по крайней мере к + 1 предмет.

Доказательство проведем методом от противного. Если бы в каждом клас­се было не более к + 1 предмета, то во всех классах было бы не более кп предметов, что противоречило бы ус­ловию. Теорема доказана.

Пример 4. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яб­лок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с ябло­ками одного и того же сорта.

Решение. 25 ящиков-«кроликов» рас­садим по трем «клеткам»-сортам. Так как 25 = 3-8 + 1, то в силу теоремы 2 для п - 3, к = 8 и получим, что в какой-то «клетке»-сорте не менее 9 ящиков.

Пример 5. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно на­крыть квадратом со стороной 20 см.

Доказательство. Разобьем данный квадрат на 25 квадратов со стороной25 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 бро­шенной.

Теорема 3. Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число, не боль­шее S/n, так и число, не меньшее S/n.

Доказательство следует из обоб­щенного принципа Дирихле.

Пример 6.Пятеро друзей получили за работу 1 550 рублей. Каждый из них хочет купить себе фотоаппарат ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них не удастся это сделать.

Решение. Если бы каждый из друзей мог купить фотоаппарат, то у них в сумме было бы не менее 5320 = 1600 рублей. Друзья получили 1 550 рублей, следовательно, по крайней мере один из них не сможет купить фотоаппарат.

ИНВАРИАНТ. Главная идея приме­нения инварианта заключается в сле­дующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять опре­деленные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некото­рую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значе­ния этой величины для двух указан­ных объектов не равны, то ответ на за­данный вопрос отрицателен.

Пример 7. На доске написано 11 чи­сел - 6 нулей и 5 единиц. Предлагает­ся 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два чис­ла и, если они были одинаковы, допи­сать к оставшимся числам один ноль, а если разные - единицу. Какое число останется на доске?

Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, ка­кой она и была вначале. Действитель­но, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций ос­тавшееся число должно быть нечет­ным, т.е. равным 1.

Ответ: 1.

В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел.

Главное в решении задач на инва­риант - придумать сам инвариант. Это настоящее искусство, которым можно овладеть лишь при наличии известного опыта в решении подоб­ных задач. Здесь важно не ограничи­вать фантазию. При этом следует помнить, что: а) придумываемые величины должны быть инвариантны; б) эти инварианты должны давать разные значения для двух данных в условии задачи объектов; в) необхо­димо сразу определить класс объек­тов, для которых будет определяться наша величина.

Пример 8. На плоскости располо­жено 11 шестеренок (рис. 1), соединен­ных по цепочке. Могут ли все шесте­ренки вращаться одновременно?

Решение. Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «чет­ные» — против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие. Значит, шестеренки одновременно вращаться не могут. и др.

МАГИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. Этот вид головоломок мы можем встретить на страницах многих учебников матема­тики для начальных классов.

Магические фигуры делятся на пло­ские и пространственные, так как су­ществуют магические квадраты, тре­угольники, прямоугольники, много­угольники и круги, а также и магиче­ские кубы.

Магические (волшебные) квадраты -квадратные таблицы натуральных чи­сел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сум­му чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Существуют различные классификации магических квадратов. Квадраты делятся - в зависимости от прогрессии, которую образуют числа, -на арифметические и геометрические; в зависимости от числа клеток вдоль противоположных его сторон - на не­четные (3, 5, 7, 9 и т.д.), нечетно-четные (6, 10, 14, 18 и т.д.) и четно-четные (4, 8, 12, 16 и т.д.); в зависимости от расста­новки чисел в квадрате - на магические обычные, магические с особыми свойст­вами и сверхмагические (супермагиче­ские). Легко показать, что магических квадратов 2x2 нет. Существует только один магический квадрат 3x3 (осталь­ные такие квадраты получаются из не­го поворотами и симметриями), магиче­ских квадратов 4x4- 800, 5x5-почти 250 тысяч. Однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

Отметим основные свойства магиче­ских квадратов.

Свойство 1.Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Пример 9. В квадрате на рис. 2,а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2,б получается из него прибавле­нием 17 к каждому числу, его волшеб­ная сумма равна 15 + 3*17 = 66; умно­жив все числа в новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 2,в), магическая сумма которого      равна 2*66 = 132.

рис.2

Свойство 3.Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрес­сии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сна­чала составить его из простейших чи­сел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5,..., а затем путем умножения, деления, увеличения или же умень­шения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадра­тов с самыми разнообразными магиче­скими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3).

рис.3

Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если пере­ставить его столбцы и ряды, располо­женные симметрично относительно центра квадрата.

Построение нечетных магических квадратов. Существует очень много различных методов построения маги­ческих квадратов:

индийский метод (рис.4),

рис.4

сиамский метод,

метод Баше (рис.5)

рис.5

Нужно также сказать о треугольниках с магическим периметром (рис.6).

рис.6

и о магических кругах (рис.7). Но на них мы не будем подробно останавливаться, т.к. суть решения этих задач однотипна.

рис.7

Задачи в «математическую копил­ку учителя».

13. Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.

14.В квадрате 4x4 расставьте четыре одинаковых буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каж­дом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква.

15.В квадрате 4x4 расставьте 16 букв (четыре буквы а, четыре Ь, четы­ре с, четыре d) так, чтобы в каждом горизонтальном   рядуи   в   каждом вертикальном ряду буква встречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадрат раз­мером 4x4.

16. Переставьте числа в треугольни­ке, показанном на рис. 6, так, чтобы сумма чисел в каждом треугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каж­дой трапеции (по 5 ячеек) - 22.

17. Задача Эйнштейна. Девять кру­гов расположены так, как показано на рис. 8,а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежа­щих в вершинах каждого из семи изо­браженных на рисунке треугольников, была одна и та же.

рис.8

Ответ показан на рис. 8,б.

18. Заполните числами кружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис.9,а).

Ответ показан на рис, 9,6.

рис.9

3. Олимпиадные задачи.

Эффективной формой внеклассной работы по математике являет­ся олимпиада. В нашем представлении это не единовременное меро­приятие в отдельно взятой школе, а целая система соревнований. Укажем ее важнейшие особенности.

1.Олимпиада должна занимать значительный промежуток вре­мени, по возможности — целый учебный год.

2.   Олимпиада должна быть массовой, с тем, чтобы каждый школь­ник мог принять в ней участие. Причем надо стремиться к обеспече­нию равных возможностей для всех детей, независимо от того, где они учатся: в городе, районном центре или в малой деревне.

3.Олимпиада должна носить многоступенчатый характер -от масштаба отдельного класса до объединения нескольких территорий (в начальных классах таким объединением может быть несколько районов).

Такое построение олимпиады позволяет участвовать в ней всем школьникам. При этом выигрывают не только победители, но и участники.

Необходимо провести подготовительные мероприятия и всей олимпиады в целом, и отдельных ее этапов.

Важно условие эффективности подготовки — это желание учите­лей работать совместно с организаторами олимпиады. Нужно ра­зумное сочетание соревнования и мер поощрения как детей, так и учителей. Организационные мероприятия олимпиады должны допол­няться инициативой учителя.

Олимпиада в начальный период обучения занимает важное место в развитии детей. Именно в это время происходят первые самостоя­тельные открытия ребенка. Пусть они даже небольшие и как будто незначительные, но в них - ростки будущего интереса к науке. Реа­лизованные возможности действуют на ребенка развивающе, стиму­лируют интерес не только к математике, но и к другим наукам.

Олимпиада, фактически, проходит в течении года. Она проходит в несколько этапов:

1)   заочный (подготовительный) тур;

2)   школьный тур;

3)   районный тур;

4)   межрайонный тур.

5)   краевой.

5)   меж краевой.

6)   федеральный.

7)   соревнования всероссийского уровня.

Основным материалом для олимпиад являются задачи.

- Разумеется, задачи не должны дублировать материал учебника, а во многих случаях они носят нестандартный характер и иногда могут соответствовать принципу опережающего обучения. Главное, чтобы ребенок смог проявить смекалку.

- Эффектны простые задачи, требующие неожиданного поворота мысли.

- Нужны достаточно инте­ресные задачи.

- Иногда можно предложить практические задания или задачи отвлеченного характера, но очень важно, чтобы они увлекли детей, поставили перед ними вопросы, полезные для дальнейшего умственного развития.

- Целесообразно в задачах прибегать к образам из окружающего мира, а иногда к сказочным сюжетам. Не надо пре­небрегать и игровыми ситуациями.

Задачи, которые используются на олимпиадах являются, в большинстве своем, нестандартными, это связано именно с тем, чтобы увидеть, как ребенок мыслит, ход мысли, может ли решать логически, а не по заученной схеме. Приведенные выше примеры нестандартных задач, также используются на олимпиадах и не только.

Ниже приведены примеры олимпиадных задач.

Задача 1: В некотором месяце вторников больше чем понедельников и больше чем сред. Какой это мог быть месяц?

Задача 2: За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11– за победу на областной олимпиаде и 13– за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды?

Задача 3: В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя– на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле– два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Задача 4: Число состоит из 36 цифр. Разрешается разбить его на группы из шести цифр и переставить эти группы как-нибудь. Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что эта большая перестановка делится на 49. Задача 5: По кругу сидят 2001 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи– лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов?

Задача 6: Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали +1 или –1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число +1.

Заключение

Данные, которые были обработаны в ходе поиска литературы, позволяют нам говорить о недостаточной освещенности в литературе проблемы обучения младших школьников нестандартным олимпиадным задачам. В работе были изложены только некоторые примеры задач, которые могут использоваться, и используются в ходе проведения олимпиад. Также были прописаны некоторые особенности проведения олимпиад и принципы, которых необходимо придерживаться для лучшего усвоения учениками материала. Исходя из описанных принципов, учитель сам строит методику обучения этим задачам. Олимпиадные задачи с каждым годом меняются, усложняются. В этой связи необходимо с каждым годом, если учитель решил обучать младших школьников олимпиадным нестандартным задачам, повышать свой уровень, умение решать эти самые задачи, находить множество способов решения этих задач. Исходя уже из своих знаний, умений, логики, он и строит обучение, подготавливает учеников к таким видам задач.

Литература

1.Моро, М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах. Пособие для учителя. Изд. 2-е, перераб. и доп. / М.И.Моро, А.М.Пышкало; - М.; «Просвещение», - 1978.- 336 с.

2.Столяр А.А. Педагогика математики. - Минск: Высшая школа, 1986.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приходит. - Минск: Высшая школа, 1991. Пойа Д. Как решать задачу. - Львов, 1991.

3.Тонких А.П. Теоретические основы решения нестандартных и занимательных задач в курсе математики начальных классов./Александр Павлович Тонких // Начальная школа: плюс-минус. – 2002. - №5. – С.47-58.

4.Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: - М.: Просвещение, 1983.
Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: - М.: Просвещение, 1989.