Компьютерная графика на уроках математики

	Загрузить архив:
	Файл: ref-24101.zip (1414kb [zip], Скачиваний: 204) скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический  университет имени Максима Танка»

Кафедра математики и методики преподавания математики

Компьютерная графика на уроках математики

Курсовая работа

по методике преподавания математики

студента 502 группы

математического факультета

Носко Георгия Георгиевича

Руководитель:

доцент,

кандидат педагогических наук

Солтан Геннадий Николаевич

Минск 2006

Содержание

I. Постановка задачи  ………………………………….3

II. Введение  ……………….……………………………4

a. Наглядность на уроках математики ………..4

b. Применение компьютера в образовании ….. 5  

III. Программные средства для проведения уроков …..   9

a. Математические пакеты ….………………… 9

b. Учебные программы ….…………………….. 14

c. Презентации PowerPoint ….………………… 17

d. Собственные разработки учителей …………19

IV. Заключение  ….…………………….………………… 22

V.Приложения. Разработка уроков по математике…. 25

a. Приложение_1. Преобразование графиков в математическом пакете MathCAD  ………….. 25

b. Приложение_2. Использование предметных программ   ……………………………………..28  

c. Приложение_3. Презентации PowerPoint….30

d. Приложение_4. Использование собственных разработок учителя…………………………..34

VI. Литература ….…………………….………………….. 35

Постановка задачи.

Показать методические возможности компьютера и компьютерной графики в обучении школьников на уроках математики. Разработать варианты её реализации по конкретной теме учебной программы.

Введение

Наглядность на уроках математики

Наглядность – золотое правило дидактики

Я. А. Коменский

Важное место при изучении математики, геометрического материала в школе занимает наглядность.

Целью метода наглядности в школе является обогащение и расширение непосредственного, чувственного опыта учеников, изучение конкретных свойств предметов, создание условий для перехода к абстрактному мышлению, опоры для самостоятельного учения и систематизации изученного. Наглядные методы применяются на всех этапах педагогического процесса.Их роль – обеспечение всестороннего, образного восприятия, создание опоры намышление.

Средства наглядности разнообразны: предметы и явления окружающейдействительности, действие учителя и учеников, изображения реальныхпредметов, процессов (рисунков, картины), модели предметов (вырезки из картона и др.), символические изображения (карты, таблицы, схемы).

Однако человечество не стоит на месте, а продвигается вперёд. Современный период развития цивилизованного общества характеризует процесс информатизации. В современный мир пришли компьютерные технологий, и как следствие одним из приоритетных направлений процесса информатизации современного общества является информатизация образования – внедрение средств новых информационных технологий в систему образования.

Применения компьютера в образовании

В методике преподавания математики вопросы применения компьютера в обучении учащихся средней школы являются актуальными.

Прежние попытки вести обучение с помощью компьютерных программ, предпринимавшиеся еще в начале и середине 80-х годов, потерпели неудачу, потому что несовершенство программных средств не позволяло получить явное преимущество компьютерных технологий перед традиционными формами обучения. Другой важной причиной являлось то, что компьютер не являлся доступным средством обучения. Ни учителя, ни учащиеся не были готовы принять компьютер как регулярное учебное средство.

В настоящее время ситуация меняется, современные персональные компьютеры и программы позволяют не только устраивать простейшие тесты, но и моделировать учебные ситуации, с помощью анимации, звука, фотографической точности. Производство обучающих игр и программ быстро развивается в новую отрасль. Назрела насущная необходимость вовлечения компьютера в массовое образование.

Прогресс общества заставляет постоянно совершенствовать и четко организовывать каждый урок, применять современные средства информации, рационально использовать учебное время. При подготовке к уроку учитель всегда руководствуется намерением добиться наилучших результатов обучения, сделать урок наиболее насыщенным содержанием и эмоционально. Ведь от эмоциональности ученика зависит работа его памяти. « Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы» писал Спенсер.

Урок – это основная форма организации обучения. Поэтому он должен быть продуман во всех деталях, чтобы они логично следовали одна из другой, чтобы учащиеся понимали, почему, что и зачем они делают на занятии. Полезно помнить и о принципе: «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».

Готовясь к уроку, учитель проводит анализ учебного материала, сопоставляет различные варианты текстов, подбирает приемы и методы преподавания, продумывает формы работы, прогнозирует результаты обучения. Приходится продумывать и варианты размещения материала на доске, как использовать рабочую площадь доски, чтобы провести три-четыре урока, не убирая записи, и т.д.

Но прошли уже те времена, когда учитель на уроке использовал только доску, мел и таблицы. С появлением компьютера и мультимедийного проектора появились новые возможности сделать урок интереснее. И уже не осталось сомнений, надо ли использовать презентации на уроках, так как такие уроки во многом выигрывают перед традиционным приемом «доска-мел».

Использование информационных технологий на уроках математики позволяет активизировать визуальный канал восприятия учебной информации, разнообразить сам учебный материал, расширить формы и виды контроля учебной деятельности. Информационные технологии могут применяться на уроках математики различных типов, а также на различных этапах урока.

Компьютер обладает большими возможностями в реализации принципа наглядности на уроках математики. С его помощью можно изобразить плоские, объемные фигуры, предъявить фигуры в статичном и динамичном режиме. К компьютерным изображениям могут быть приложены определенные задания для выполнения их учащимися, что дает возможность отойти от обычной созерцательности и вовлечь учащихся в активную работу по изучению учебного материала. Компьютер помогает не только ученику, но и учителю, особенно при контроле знаний школьников. Это тестовые задания. Обеспечение постоянного контроля, учитывающего как давно приобретенные знания и умения учащихся, так и те, что должны быть приобретены после выполнения данной работы, значительно сокращает время, когда ученик бездействует.

Когда основная часть класса занимается компьютером, силы и внимание учителя освобождаются для работы с теми ребятами, кому нужны или дополнительные объяснения, или новые более сложные задачи. Таким образом, возрастает эффективность труда учителя без увеличения его нагрузки.

Многослайдовые презентации задуманы для сопровождения выступления и эффективны на любом уроке вследствие значительной экономии времени, возможности демонстрации большого объема информации, наглядности и эстетичности. Такие уроки вызывают познавательный интерес у учащихся к предмету, что способствует более глубокому и прочному овладению изучаемым материалом, повышает творческие способности школьников.

В процессе подготовки информационного материала немаловажно учитывать факторы, которые влияют на процесс запоминания, на развитие познавательного интереса – жесты, мимика, поза, тон, речь учителя, разнообразие типов памяти у учеников, и предусматривать методы ее совершенствования. Поэтому с помощью мультимедийной презентации можно очень эффективно преподнести объяснение нового материала, показать приемы и методы решения задач, организовать повторение изученного. Ученик видит на экране то, о чем говорит учитель, у него есть возможность зафиксировать в тетради необходимую для запоминания информацию.

Компьютер вызывает неизменный интерес у учащихся и его использование при изучении математики. Компьютер же является новым мощным учебно-техническим устройством, значительно повышающим производительность как самого учителя, так и каждого ученика в отдельности. Между учителем и машиной создается симбиоз, в котором каждый делает то, что лучше может сделать. При этом ведущая роль остается за учителем.

Программные средства для проведения уроков.

В данной курсовой работе я хочу рассказать, какими средствами может пользоваться учитель на уроках математики. Условно программные средства, которые помогут преподавателю при использовании компьютера, можно поделить на следующие категории. Это:

· различные математические пакеты;

· компьютерные учебные программы;

· презентации;

· программы, разрабатываемы с помощью языков программирования.

Каждое из этих компьютерных средств актуально и отчасти взаимозаменяемо. Выбор учителя зависит в большей степени от собственных пристрастий и знаний. В зависимости от подготовленности учителя, его умения работать с тем или иным программным продуктом и предопределяет его выбор.

Я остановлюсь подробно на каждом из четырех приведенных мною компонентах, представляющих собой программные средства.

Математические пакеты

В наши дни бурное развитие получили интегрированные системы компьютерной математики для персональных компьютеров. Они совмещают в себе современный интерфейс пользователя, решатели математических задач и мощные средства графики. Эти системы вторглись в наиболее интеллектуальную сферу деятельности человека – решение особо сложных математических и научно-технических задач. Существуют пакеты символьной и численной математики. Наиболее популярные и известные пакеты – это Mathematica, Maple, MathCAD.

Примеры построения различных графиков, плоскостей и множеств в пакете Mathematica:

Plot[Sin[x],{x,-4p,5p}]

<

Данное изображение можно вращать в реальном времени.

MandelbrotFunction[x+y I]

ParametricPlot[{Sin[2 t], Sin[3 t]},{t,0,2*p}];

f1 := Plot[x^2, {x, 0, 2}]   f2 := Plot[√x, {x, 0, 2}]

Хотя данные системы предназначены для сложных математических расчетов, они сделаны таким образом, что пользоваться ими для своих нужд может любой: школьник, учитель, профессор, инженер и другие.

В своей работе я не буду описывать, как можно находить корни (в том числе и комплексные) уравнений n-й степени или систем уравнений, вычислять производные или интегралы. Я хочу показать, только то, что может пригодиться учителю на уроках математики.

Математические пакеты наиболее целесообразно использовать при исследовании различных графиков, так как математические пакеты имеют мощные графические средства.

Одна из таких тем – преобразование графиков. Данную тему я рассмотрю в математическом пакете MathCAD 2001i (см. приложение_1).

Например, при рассмотрении растяжения с коэффициентом kпреподаватель на одном графике «рисует» графики двух функций y=sin(x) и y=k^.sin(x), где k задается равным 3. Во время презентации картинка кажется статичной, но при изменении учителем коэффициента (находящегося за пределами чертежа) график изменяется. Это происходит за доли секунды, поэтому учителю не надо тратить время на перерисовку графика с другим значением k, как если бы он рисовал на доске мелом.

Если типом урока является урок-исследование, то использование математического пакета дает большие преимущества в наглядности, простоте, и позволяет затрачивать больше времени на исследование графиков, а не на их рисование.

Данная система позволят создавать анимацию, а также вращать трехмерные объекты.

Как отмечалось выше, системы вычислительной математики можно использовать на уроках математики не только для построения графиков и изучения их свойств. В пакете Mathematica можно, например, разрабатывать тестирующие системы для учеников.

Примером может служить следующая программа, разработанная студенткой математического факультета:

Ученик выбирает действие (сложение, вычитание, умножение или деление) с которым он бы хотел поработать, количество примеров, а затем вводит ответ. Система автоматически подсчитывает количество правильных ответов и выдает результат.

Каждый преподаватель, затратив небольшое время на изучение пакета, также сможет выбрать для себя то, что он считает целесообразным применять на уроках математики.

Компьютерные учебные программы

Следующая категория программных средств – это компьютерные учебные программы, созданные профессиональными фирмами.

В настоящее время компьютерный рынок насыщен различными предметными программами. Основные программные продукты для учителей математики предлагают российские фирмы: КУДИЦ - электронный учебник «Планиметрия» и «Стереометрия»,«Физикон» – «Открытая математика. Планиметрия» и «Открытая математика. Стереометрия»,«1С» - «Репетитор. Математика»,«КиМ» - «Репетитор по математике».

Большой популярностью среди учителей математики г. Минска пользуются программные продукты белорусских разработчиков: фирмы «Инфотриумф» - ПМК «Алгебра 10 класс» и ИПС «Математика в задачах и решениях», фирмы «Инис Софт» - ПМК «Математика. Средняя школа».

Каждый из этих программных продуктов построен с применением различных языков программирования и представлен в виде связанных гипертекстовых страниц HTML. Данный подход разумен по следующим причинам – на любой машине установлен web-браузер – программа для просмотра веб-страниц (страниц формата HTML).В программах применяются язык Java– наиболее перспективный в настоящее время язык программирования, а также технология Flashи ActionScript.

Рассмотрим программный продукт компании «Физикон» «Открытая Математика 2.5. Стереометрия».

Программа содержит следующие разделы – содержание, модели, 3D-чертеж, поиск, справочник и помощь.

Ниже представлен список тем (глав), содержащихся в данной программе. При помощи ссылок мы можем перейти к нужной нам теме, изучить материал либо показать его учащимся.

Многие объекты являются динамическими, в программе их можно двигать, приближать или удалять, поворачивать и так далее.

К достоинствам программных продуктов можно отнести следующее:

-программа содержит весь или почти весь материал, необходимый для проведения урока;

-программа содержит огромное количество тем, разбитых на уроки, по школьной программе;

-учителю не нужно дополнительно изучать какие-либо языки программирования или математические пакеты;

-работать с программой очень легко и удобно;

-большая наглядностьпри подаче материала на уроке.

К недостаткам же можно отнести то, что 1) эти программные продукты не являются бесплатными, и 2) учитель не может каким-либо образом изменить материал, изложенный в программе.

С помощью программы «Открытая Математика 2.5. Стереометрия» я разработал урок по теме «Ортогональное проектирование» – см. Приложение_2.

Презентации Power Point

Какой бы сложной и скучной ни была тема урока, она станет интересна школьнику, если учебный материал на экране представлен в красках, со звуком и другими эффектами. Самое простое – это использование видеопроектора, как старого доброго кодоскопа. При этом все можно сделать в любом доступном редакторе намного красочнее, крупнее, нагляднее, ведь здесь нет ограничения в использовании цветов, причем экономятся бумага и время, так как не надо писать никаких плакатов и таблиц.

Наиболее доступна и проста для создания таких уроков среда Power Point. Работать в этой среде учат на компьютерных курсах, которые прошли многие учителя. Создать простые слайды для урока при наличии практики можно за час. Это особенно удобно использовать на таких уроках, как геометрия, физика. Учитель освобождается от необходимости рисования какого-то чертежа непосредственно на уроке, что экономит время, и потом, чертеж на экране – совсем не то, что изображено в спешке мелом на доске. Это крупно, ровно, красочно, ярко. Объяснять новую тему по такому чертежу – одно удовольствие. Удобно использовать готовые уроки, которых сейчас великое множество. Все школы получили диски по различным предметам, их можно использовать в качестве самоучителя, справочника по данному предмету. Просто необходимо определиться с содержанием урока, а установить программу на компьютер и запустить её - дело пяти минут. Преимущество наглядного урока объяснять не стоит.

Немного сложнее создание анимационных слайдов в среде Power Point. Очень удобно, например, на сложном чертеже по геометрии в процессе объяснения показать, выделить, на какие треугольники или другие элементы следует обратить внимание, чтобы в определенное время появилась нужная информация. Можно наложить звук, например, для проведения математического диктанта, релаксации или для других целей. Здесь достаточно перенести в свой класс или зал один системный блок с клавиатурой или мышкой и видеопроектор. Этот способ не требует от детей особых навыков работы с компьютером. Учитель же должен уметь создать тестовый документ и установить его на все машины. Элементарный тестирующий документ может быть создан в Microsoft Word с помощью гиперссылок. Более красочно он выглядит в Power Point, создается так же, с помощью гиперссылок. Результат теста будет виден сразу на экране компьютера у каждого ребенка.

Таким образом, презентации PowerPoint – наиболее удобный и простой способ проведения уроков с помощью компьютера. Преимущества презентаций заключается в следующем:

-требуется небольшое время для их создания;

-просты в использовании;

-занимают небольшие объемы;

-большие возможности по настройке и динамизации объектов;

-исправление ошибок и неточностей даже во время объяснения материала;

В курсовой работе в Приложении_3 приведены два урока по геометрии (на темы «Четырехугольник» и «Построение сечений многогранников методом следов»), сделанные с помощью программы PowerPoint.

Собственные разработки учителей

Четвертый вид программ помогающих проводить уроки математики – это небольшие программы, написанные на каком-либо языке программирования самими учителями либо их знакомыми. Эти программы обычно имеют небольшие размеры и предназначены для решения одной или нескольких однотипных задач, их исследования или введения. Также такие программы часто используют для проверки знаний у учащихся – так называемые тестирующие программы или даже системы.

Этот вид программных средств обладает большим достоинством – учитель сам может создать программу так, как ему нужно для введения того или иного понятия или задачи. В любой момент, заметив неточности, учитель может переписать программу так, чтобы она выдавала нужные значения, правильно строила графики, даже при частных или критических случаях. Накопленный опыт учителя помогает при проектировании программы создать её более удобной для использования в школе, учитывая психологические и умственные способности конкретного класса и даже конкретного ученика.

Данный вид компьютерных средств чаще направлен на исследование какой-либо сложной задачи. Учащиеся визуально исследуют чертеж, либо какие-то его элементы, индуктивно находят решение, а затем математически доказывают (решают) задачу.

Примером данных программ, может служить программа, созданная преподавателем Людмилой Михайловной Смолиной. Данная программа строит замечательные точки треугольника, а также прямую Эйлера (это прямая, проходящая через центр окружности, описанной около данного треугольника, точку пересечениямедиан треугольника и его ортоцентр).    

Чертеж в окошке – живой: можно менять вид треугольника, потянув мышкой за любую вершину. Чтобы вернуть рисунок к первоначальному виду, надо просто обновить страничку.

Либо программа, строящая окружность девяти точек:

Хочется отметить, что компьютерной графикой, различными мультимедийными технологиями на уроках математики злоупотреблять не стоит. Ученики должны следить за действиями живого человека – как правильно рассовать чертеж, как провести ту или иную линию – все это учитель также должен демонстрировать на доске, используя мел, а не компьютерную мышку. Уроки математики не должны преподаваться только с помощью компьютера и на компьютере, живое общение не заменит ни одна программа.

Поэтому использование на уроках небольших программ, собственных разработок учителей, более сообразно, чем весь урок поводить, используя только компьютерную графику.

Однако данный тип программ имеет один большой недостаток: чтобы создать рабочую программу, учитель должен владеть навыками программирования и создания компьютерных программ. При создании больших проектов, законченных и правильно оформленных программ сил, времени и знаний у учителя, как правило, не хватает.

Мои программы описаны в приложении_4.

Заключение

В данной курсовой работе я показал, какими средствами может пользоваться учитель на уроках математики. Разделил и описал программные средства, которые помогают учителям при использовании компьютера на уроках математики. Создал с помощью различных компьютерных программ примерные планы проведения уроков с использованием мультимедийных технологий. Показал достоинства и недостатки каждого типа программного средства при изучения математики в школе.

Можно отметить выгодные особенности работы с учебной программой.

1. сокращается время при выработке технических навыков учащихся;

2. увеличивается количество тренировочных заданий;

3. достигается оптимальный темп работы ученика;

4. легко достигается уровневая дифференциация обучения;

5. учащийся становится субъектом обучения, ибо программа требует от него активного управления;

6. в учебную деятельность входит компьютерное моделирование реальных процессов;

7. обучение можно обеспечить материалами из удаленных баз данных, пользуясь средствами телекоммуникаций;

8. диалог с программой приобретает характер учебной игры, и у большинства детей повышается мотивация учебной деятельности.

Следует учесть и недостатки:

1. диалог с программой обычно лишен эмоциональности;

2. программисты не всегда могут учесть особенности конкретной группы учащихся;

3. не обеспечивается развитие речевой, графической и письменной культуры учащихся;

4. помимо ошибок в изучении целевого предмета, которые ученик делает и на традиционных уроках, появляются еще технологические ошибки - ошибки работы с программой;

5. материал, как правило, подается в условной, сильно сжатой и однообразной форме;

6. контроль знаний ограничен несколькими формами - тестами или программированными опросами;

7. от учителя целевого предмета требуются специальные знания;

Хотелось бы ещё сказать пару слов об учебных программах. Учебная программа не должна быть “книжкой на экране”. Она дополняет учебники, используя все возможности современных компьютеров. Хорошая программа должна не столько разъяснять учебную ситуацию, сколько моделировать ее, давая простор для воображения учащегося. Если программа предлагает какой-то круг задач, то она должна предоставлять учащемуся все доступные ему средства решения этих задач. Программа должна представлять материал в естественном виде (по крайней мере, для данного целевого предмета). Не должно вводиться обозначений, не общепринятых форм записи, предназначенных только для облегчения программирования. Иными словами, работа с программой должна быть минимально нагружена компьютерной спецификой и условностями. Напротив, общение учащегося с программой должно быть максимально приближено к традиционным методам обучения, продиктованным спецификой целевого предмета.

Клейн когда-то говорил: «Пусть каждый математик работает в том направлении, к которому лежит его сердце». Поэтому, продумывая урок и внеклассное мероприятие, хочется, чтобы учебный материал и приемы учебной работы были достаточно разнообразны, что способствовало бы повышению у учащихся познавательного интереса. Использование компьютерной графики – один из самых лучших способов достичь этого.

Приложения

Приложение_1.

В математическом пакете MathCAD 2001iразработан план-конспект урока по алгебре по теме «Преобразование графиков».

Графиком функции f называют множество всех точек (x ; y)

координатной плоскости, где y = f ( x ), а x "пробегает" всю

область определения функции f.

Преобразования графиков

1) параллельный перенос на вектор (0;b) вдоль оси ординат

Для построения графика функции f( x ) + b , где b - постоянное число,

надо перенести график f на вектор ( 0 ; b ) вдоль оси ординат.

  

График  y = x^2 - 5 (на чертеже синего цвета) построен смещением каждой точки

графика  y = x^2 на 5 единиц вниз.

2) Растяжение вдоль оси Oy с коэффициентом k

Для построения графика функции y = kf(x) надо растянуть график функции

y = f(x) в k раз вдоль оси ординат.

Если|k|<1, то растяжение с коэффициентом k часто называют сжатием

3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а;0)

График функции y=f(x-a) получается из графика f переносом (вдоль ос абсцисс)

на вектор (а;0)

Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k

Для построения графика функции y=f(x/k) надо подвергнуть график функции f

растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс

Приложение_2

План-конспект урока по теме «Ортогональное проектирование»

Ход урока

Определение3.10.

Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется Доказательство

Заметим, что проекции фигуры на произвольные из параллельных плоскостей равны, так как могут быть совмещены параллельным переносом в направлении проектирования. Теперь рассмотрим теорему для случая, когда проектируется треугольник.

Первый случай. Плоскость проекции проходит через сторону треугольника (чертеж3.7.1), Пр_α(ΔABC)=ΔABO, CD – высота ΔABC. По теореме о трех перпендикулярах OD|AB, то есть OD – высота ΔABO. Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB, поэтому ∟CDO – линейный угол двугранного угла AB. Пусть ∟CDO=φ, тогда OD=CDcosφ,

что и требовалось доказать.

Если сторона AB не лежит в плоскости проекции, но параллельна ей, доказательство аналогично

Второй случай. Ни одна сторона ΔABC не параллельна плоскости проекции (чертеж3.7.2). Проведем отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD, параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем:

SΔAB1D1=SΔABDcosφ,SΔB1C1D1=SΔBCDcosφ.

Складывая или вычитая эти равенства в зависимости от того принадлежит точка D отрезку AC или лежит вне него, имеем

SΔAB1C1=SΔABCcosφ,

что и требовалось доказать.

Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна плоскости проекции. Проекцией Δ в этом случае является отрезок, площадь которого равна нулю. Косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью Δ равен так же нулю. Значит формула

Если проектируется многоугольник, то разбиваем его на треугольники и для каждого применяем доказанную теорему

Приложение_3

Выдержки из презентации «Четырехугольники.ppt»

Тема «Четырехугольники»

ØЧетырехугольником называется фигура, которая состоит изчетырех точек и четырех последовательно соединенных отрезков.

ØВершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Вершины не являющиеся соседними, называются противолежащими.

ØОтрезки, соединяющие противолежащие вершины называются диагоналями.

ØПериметромчетырехугольника называется сумма длин всех сторон.

Ø P = AB+BC+CD+AD

Вариант1

ØНачертите четырехугольник MQST.

ØПроведите диагонали. Запишите название диагоналей.

ØЗапишите соседниеи противолежащие вершины

ØНайдите периметр четырех угольника ASDL, если AS=7,34, SD=4,29,DL=6,03, AL=5, 75

Выдержки из презентации «метод следов.ppt»

Тема: Построение сечений многогранниковметодомследов.

nОсновные понятия:

nСекущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника.

nСечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

SHAPE  * MERGEFORMAT SHAPE  * MERGEFORMAT

nСекущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

nДве плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости).

nПолучение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).

nТочки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости.

ПРИМЕЧАНИЕ. Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!

Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.

Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости.

Теперь обращаем внимание, что ребро куба В1С1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е.

Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и FÎD1C1, EK.

Далее видим, что ребро куба А1В1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G.

Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»!

Причем, GM∩АА1=Н

Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба.

Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.

SHAPE  * MERGEFORMAT

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

M

N

K

E

F

G

H

SHAPE  * MERGEFORMAT

K

M

N

Заключение

nДанный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».

nПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций. Но это уже тема нового урока!

Приложение_4.

Программа «Описанные треугольники» (Triangle.exe)

Данная программа может применяться при проведении урока по теме «Описанная окружность». Учитель спрашивает у учащихся: «Около любого ли треугольника можно описать окружность?» Затем учащиеся пробуют с помощью программы найти такой треугольник, около которого было бы нельзя описать окружность. Не найдя такого треугольника, учащиеся формулируют утверждение: Около любого треугольника можно описать окружность. Затем с помощью учителя приводят строгое доказательство данного утверждения.

Программа «Paint» (Paint.exe)

Для проведения рефлексии в программе Paint ученикам можно предложить нарисовать рисунок, отображающий его настроение на уроке.

Эта программа не только сохраняет картину, нарисованную учащимся, но позволяет также увидеть, как ребенок рисовал этот рисунок.

Литература

1.Педагогика: педагогические теории, системы, технологии: Учеб. Пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений / Под ред. С.А.Смирнова, М., 1998 г. – 512с.

2.Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; под ред. А.Н.Колмогорова. – 4-е издание. – М.: Просвещение, 1994 г. – 320с.

3.Программы для учреждений,обеспечивающих получение общего среднего образования с 12-летнимсроком обучения. Математика, V-X классы. – Мн.: НМЦентр, 2004г.

4.Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. сред. шк. / АтанасянЛ.С., БутузовВ.Ф. и др. – М.: Просвещение, 1994г. – 335 с.

5.Геометрия: Учебное пособие для 9 класса с 12-летним сроком обучения / ШлыковВ.В. – Мн., 2006г. – 205с.

6.Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред. шк. / АтанасянЛ.С., БутузовВ.Ф. и др. – М.: Просвещение, 1992г. – 207 с.

7.ДьяконовВ.Mathematica 4: учебный курс – СПб: Питер, 2001г. – 656 с.

8.БидасюкЮ.М. Mathsoft^®MathCAD 11. Самоучитель, М., 2004г. – 224с.

9.Информационные технологии в образовании: Материалы научно-практической конференции. Составители: ЛунинаТ.П.,ГорбуноваЛ.Н., Саранск, 2004г. – 177с.

10.: Под редакцией КиселеваБ.Г., Интернет-ресурс .

11.Планиметрия. Итоговое повторение: Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования / ЛисоваМ.И., ПирюткоО.Н. – Мн., 2004 г. – 416с.