Диагностика математических понятий у учащихся

	Загрузить архив:
	Файл: ref-25386.zip (228kb [zip], Скачиваний: 172) скачать

Содержание

Введение                                                                                                                     5

1 Теоретико-методологические основы исследования                                          9

1.1 О подходах к введению математических понятий                                        9

1.1.1 Конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный подходы            9

1.1.2 Деятельностный подход                                                                                10

1.1.3 Исследовательский подход                                                                          12

1.1.4 Как быть с «нерабочими» определениями?                                               18

1.2 Роль дефиниций в математической деятельности учащихся                      20

1.2.1 Отыскание описательного определения, не расширяющего объем

понятия                                                                                                                      20

1.2.2 Формулировка определения путем обобщающего описания                    21

1.2.3 Формулировка определения посредством конструктивного описания   25

1.2.4 Формулировка определения, основанная на аналогии и переносе          27

1.2.5 Формулировка определений на основе классификации                          28

1.2.6 Формулировка определения путем выделения частного случая30

1.2.7 Формулировка определения посредством обобщения известного определения                                                                                                           31

1.3 Формирование математических понятий у учащихся32

2 Экспериментальные исследования диагностики математических

понятий у учащихся                                                                                                 43

2.1 Значение вопроса при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики                                                                                              43

2.2 К вопросу о диагностике математического понятия "величина"               47                                                           2.3 Диагностика уровня сформированности математических понятий (метод ключевых понятий)                                                                                               56

2.4 Исследование процесса сравнения понятий учащимися 11 класса65

Заключение                                                                                                               67
Список используемых источников                                                                         69

Введение

Формирование научных понятий — одна из главных задач обучения математике в школе. Под математическим понятием будем подразумевать систему логически взаимосвязанных упорядоченных суждений, высказанных о некотором математическом объекте. Эти суждения называются свойствами и признаками понятия и составляют его содержание. Формирование конкретного понятия тесно связано с усвоением учащимися соответствующего математического объекта и возникновением общего представления о нем. Усвоить понятие — значит, усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности.

Но чаще всего ребята называют признаки и свойства математических понятий, которые были подробно рассмотрены в соответствующих пунктах учебника, т.е. являлись объектом специального изучения. Другие суждения о понятии (с которыми учащиеся знакомятся в процессе решения задач или при изучении других понятий), как правило, не включаются в его содержание и усваиваются как отдельные факты, вне связи с понятием. Кроме того, школьники не владеют приемами деятельности, позволяющими успешно рассуждать, решать задачи, т.е. применять понятие в деятельности.

Это связано с тем, что в школьной практике формирование понятии как целенаправленный процесс осуществляется слабо [6]. Анализ конспектов уроков учителей показал, что «формирование понятия» как цель урока учителями даже не ставится (цели более узкие: изучить теорему, научить решать некоторые виды задач и др.), а уроки обобщения и систематизации знаний, на которых должны обобщаться и логически упорядочиваться знания о формируемых понятиях, чаще всего превращаются в уроки повторения по данной теме. Это (и многое другое) ведет к фрагментарности знаний, неумению применять их на практике.

Одной из причин такого положения является сложившееся и укоренившееся в методике обучения математике за последние десятилетия неверное представление о понятии и его формировании, при котором математический объект и математическое понятие не различались, а формирование понятия связывалось с его определением [6].

Поэтому при изучении основных понятий курса математики в средней школе необходимо своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания, основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, как это часто бывает. Это важно потому, что в школе закладывается основной понятийный аппарат, на базе которого впоследствии будут строиться более сложные математические теории.

Исходя из этого перед учителем математики стоят две задачи.

Первая – правильно формировать математические понятия.

Вторая – делать экспертную оценку сформированности понятийного аппарата изученных тем.

Первой задаче соответствует традиционно применяемые на уроках различные подходы к введению и формированию математических понятий [6]. Дидактический материал, предлагаемый для этого, обширен и разнообразен [28]. Для второй задачи нет четко определенных и отработанных методов. Отчасти она решается на уроке устным опросом при повторении пройденных тем. Но, очевидно, этот метод не позволяет охватить всех учащихся класса и является лишь эпизодическим. Поэтому организация диагностики математических понятий у учащихся является актуальной, что и послужило причиной выбора этой темы в качестве выпускной работы.

Объект исследования – математические понятия.

Предмет исследования – диагностика математических понятий у учащихся.

Цель исследования – найти методы диагностики сформированности понятийного аппарата, показать их эффективность в процессе обучения математике.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу, посвящённую проблеме диагностики математических понятий у учащихся и найти методы диагностики сформированности понятийного аппарата;

2) рассмотреть основные подходы к введению математических понятий;

3) раскрыть роль определений в математической деятельности учащихся;

4) показать, как конструи­руется собственно методическая концепция формиро­вания математических понятий;

5) показать значение вопросов при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики;

6) выявить уровень сформированности понятия "величина" у учащихся IIIкласса

7) рассмотреть метод ключевых понятий, который хо­рошо отвечает задаче оценки сформированности понятийного ап­парата;

8) выявить, как изменяется определение понятий в процессе их усвоения на примере учеников XI класса;

9) проанализировать результаты экспериментальных исследований.

Работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка использованных источников.

В первом разделе " Теоретико-методологические основы исследования " рассматриваются различные подходы к введению математических понятий: конкретно-индуктивный, абстрактно-дедуктивный, деятельностный и исследовательский подходы; раскрывается роль дефиниций в математической деятельности учащихся, а также показывается, как конструируется собственно методическая концепция формирования математических понятий, описываются методические требования к формированию понятий.

Практическая часть представлена во второй главе работы  "Экспериментальные исследования диагностики математических понятий у учащихся". Здесь показано значение вопроса при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики и представлены различные методики с целью определения сформированности математических понятий в соответствии с нормативными характеристиками в различных классах.

В результате теоретического и экспериментального исследования установлено, что очень важно при изучении основных понятий своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания, основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, так как в школе закладывается основной понятийный аппарат. При этом, я думаю, существенную роль играет то, как учитель смог сформировать то или иное понятие. Но не каждое понятие нужно вводить основательно, так как некоторые понятия (предел, непрерывность и предел функции) сложны и плохо усваиваются учащимися. Лучше высвободившееся время уделить формированию общего представления о новых математических понятиях, основываясь на знании их геометрического и физического смысла (в случае производной) или на наглядных представлениях учащихся (в случае предела и непрерывности функции). Это будет честнее, чем требовать от учеников запоминания недоступных их пониманию определений, которые в дальнейшем все равно не применяются.

1 Теоретико-методологические основы исследования

1.1 О подходах к введению математических понятий

1.1.1 Конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный подходы

В методике под введением математического понятия подразумевают этап ознаком­ления учащихся с новым математическим объектом, заканчивающийся его определением. В специальной литературе до недавнего времени рассматривались два подхода к введению математических понятии: конкретно-индуктивный (переход от частного к общему, от примеров - к определению) и абстрактно-дедуктивный (переход от общего к частному, от определения — к примерам) [6].

Основное достоинство первого подхода заключается в том, что при введении нового понятия учитель опирается на знания и жизненный опыт учащихся, что само по себе предполагает их активное участие в работе. Этот подход способствует развитию индуктивного мышления школьников.

В методической практике сложилось неверное представление о том, что определение можно «открыть». По этому поводу Г.Фрейденталь писал: «Как можно определить нечто, коль скоро не знают, что определяют?» [33]. А.С.Мищенко заметил, что внешне деятельность «по открытию определения» на уроке выглядит вполне современно, побуждает учеников к анализу ситуации, как говорят «актуализирует» их мыслительную деятельность. В действительности, указанный способ «введения понятия» утомляет детей и создает неверное представление о науке математике в целом. Все усилия на этом этапе должны быть направлены на закрепление употребления понятий (соответствующих терминов, обозначений) и их свойств в строгих математических формулировках для того, чтобы опираться на них в процессе математических рассуждений [18]. Основная роль определений в математике - служить начальным звеном в дедуктивном упорядочении суждений о некотором понятии.

Абстрактно-дедуктивный подход обычно используется, когда определение нового объекта не сложно по структуре, а сам объект знаком ученикам. В этом случае его существенные свойства легко обнаруживаются у объектов, рассматриваемых в качестве примеров. Этот подход более экономичен по времени, но после введения нового определения со сложной структурой требуется некоторая (нередко значительная) работа по его усвоению. Так, часть определений курса геометрии и математического анализа школьники усваивают только после целенаправленной работы, основанной на изучении их структуры [20].

Например, распознавание прямой, перпендикулярной плоскости, несложно. У учащихся есть представления о предметах, расположенных вертикально относительно поверхности земли. Затруднения школьников при изучении данной темы связаны, прежде всего, с изображением пространственных объектов на плоскости и сложностью структуры самого определения, формулировка которого содержит слово «любой»: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости. Отметим, что абстрактно-дедуктивный подход можно применить при введении любого понятия. Принято считать, что он развивает теоретическое мышление школьников.

Оба рассмотренных подхода основаны на абстракции отождествления –процессе отвлечения от исходных, различающихся свойств предметов и выделении их одинаковых, тождественных свойств. Эти подходы в достаточной степени обеспечивают реализацию ориентировочной функции понятия, позволяющей уверенно подводить под понятия конкретные объекты.

1.1.2 Деятельностный подход

Сущность данного подхода заключается в том, что, взяв за основу некоторое свойство (или несколько свойств) математического объекта в качестве основания классификации, учащиеся под руководством учителя проводят классификацию математических объектов по этому основанию [6]. В результате такой работы одному из получившихся классов присваивается некоторое название и дается определение объектов данного класса, т.е. начинается формирование нового понятия [10], [22].

Рассмотрим применение деятельностного подхода при введении понятий «параллелограмм» и «трапеция».

Учитель. Из каких элементов состоит четырехугольник?

Ученик. Из сторон и углов.

Учитель. Какие отношения можно рассматривать для отрезков - сторон четырехугольника?

Ученик. Отношения равенства, параллельности, перпендикулярности.

Учитель. Наша задача — изучить четырехугольники с точки зрения наличия у них параллельных сторон. Существует ли четырехугольник с одной парой параллельных сторон?

Ученик. Да.

Учитель. Как это доказать?

Ученик. С помощью построения такого четырехугольника.

(Один из учеников строит фигуру на доске, остальные - в тетрадях.)

Учитель. Существует ли четырехугольник с двумя парами параллельных сторон?

Ученик. Да.

(Делаются соответствующие построения.)

Учитель. Можно ли построить четырехугольник с тремя и более парами параллельных сторон?

Ученик. Нет.

Учитель. Почему?

Ученик, Смежные стороны имеют общую точку, поэтому параллельными могут быть только противоположные стороны. А их две пары.

Учитель. Существует ли четырехугольник, у которого нет параллельных сторон?

Ученик. Существует.

(Выполняются построения на доске и в тетрадях.)

Таким образом, всего получилось три различных вида четырехугольника: с одной парой параллельных сторон – трапеция, с двумя – параллелограмм, и четырехугольник, не имеющий ни одной пары параллельных сторон, у него нет специального названия.

Далее учитель вводит термины «параллелограмм» и «трапеция», рассказывает о том, что эти четырехугольники изучались с древности. Они имеют много интересных и полезных с практической точки зрения свойств, поэтому для дальнейшей работы нужно ввести их строгие определения. Учащиеся без труда отвечают на вопрос, какой четырехугольник называется параллелограммом, поскольку знают основание классификации. Затем формулируется определение трапеции. После этого начинается изучение свойств и признаков введенных понятий [6].

Деятельностный подход способствует пониманию учащимися метода научного познания действительности, учит основам классификации. Он предполагает активное участие школьников в познавательной деятельности. С другой стороны, этот метод требует немалых затрат времени. Кроме того, он дает хороший результат лишь там, где классификация объектов по определяющему признаку возможна и целесообразна [13]. Так, деятельностный подход уместен, когда вводится отношение между объектами, например, при изучении угла, вписанного в окружность; взаимного расположения прямой и окружности, двух плоскостей и т.д.

1.1.3 Исследовательский подход

Если рассмотренные выше подходы позволяют лишь ввести новое понятие, то исследовательский подход направлен на его формирование в целом (как системы взаимосвязанных логически упорядоченных суждений). При этом можно организовать познавательную деятельность учащихся таким образом, чтобы воспроизвести (с некоторой долей достоверности!) деятельность ученого-математика, направленную на изучение нового объекта и образование понятия [6]. Напомним, что при исследовательском подходе совместная деятельность учителя и учащихся включает следующие этапы:

- постановка цели деятельности;

- эмпирическое изучение нового математического объекта, поиск его свойств;

- формулирование найденных свойств в виде гипотез;

- введение нового термина, определение математического объекта;

- проверка истинности высказанных предположений путем отыскания их доказательств;

- поиск признаков исследуемого объекта (рассмотрение обратных утверждений);

- уточнение логических связей между суждениями, схематизация содержания нового понятия; усвоение этого содержания;

- обучение применению нового понятия в деятельности: решение опорных задач, выделение общих приемов деятельности, способствующих применению понятия (например, отыскание эвристик);

- применение понятия в нестандартных ситуациях [26].

Покажем, как может осуществляться исследовательский подход при изучении понятия «равнобедренная трапеция».

Традиционно это понятие вводится в теме «Трапеция». Но его подробное рассмотрение можно отложить до момента, когда будет изучаться теорема Пифагора, поскольку именно в последней теме понятие трапеции широко применяется при решении задач [6].

Класс разбивается на группы. Перед началом беседы учитель раздает ученикам (каждому или по одному на группу) чертежи равнобедренной трапеции.

Учитель. Назовите основные элементы трапеции.

Ученик. Стороны, углы, диагонали.

Учитель. Сегодня на уроке мы попробуем изучить данный четырехугольник, как, возможно, много веков назад это сделали ученые-математики. Вспомните, что интересует геометров при изучении фигур в первую очередь?

Ученик. Соотношения между ее сторонами и углами.

Учитель. Так кто же сформулирует цель нашего исследования?

Ученик. Цель — выявить соотношения между элементами трапеции, т.е. между сторонами и углами. А также изучить другие особенности фигуры.

Учитель. Математики уже в древности знали немало свойств и признаков этого четырехугольника. Возьмите в руки линейки, транспортиры. Измерьте, а затем сравните стороны, углы трапеции, ее диагонали. Сформулируйте гипотезы о свойствах этих элементов трапеции.

После работы в группах беседа возобновляется.

Учитель. Каким свойством обладают боковые стороны трапеции?

Ученик. Они равны.

Учитель. Каким свойством обладают углы этой трапеции?

Ученик. Углы при каждом основании трапеции равны. Учитель. Каким свойством обладают диагонали трапеции?

Ученик. Они равны.

Учитель. Какие еще особенности этой трапеции вы заметили?

Ребята могут добавить, например, такие суждения:

- высоты трапеции, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от нее равные прямоугольные треугольники;

- диагонали разбивают трапецию на два равных и два равнобедренных треугольника.

Если ученики называют свойства, которыми обладает любая, а не только равнобедренная, трапеция, то учитель дает соответствующие пояснения и не включает эти свойства в список [6]. Беседа возобновляется.

Учитель. Можно ли считать, что мы с вами изучили данную фигуру?

Ученик. Нет. Пока у нас есть только гипотезы.

Учитель. Что же нужно сделать дальше?

Ученик. Надо их доказать.

Учитель. Но ученые доказывают теоремы. Сформулируйте хотя бы одну из них.

Поскольку учащиеся не могут использовать термин «равнобедренная трапеция» (который еще не введен), они предлагают суждения типа: «Если боковые стороны трапеции равны, то ее углы при основаниях также равны», «Если боковые стороны трапеции равны, то ее диагонали равны» и т.д. Учитель должен обратить внимание школьников на большое количество утверждений и на тот факт, что одни из них следуют из других [35]. Например, при условии, что окажутся верными утверждения: если боковые стороны трапеции равны, то и углы при основании равны и если углы при основании трапеции равны, то ее диагонали равны, будет верно утверждение: если боковые стороны трапеции равны, то ее диагонали равны.

Далее дается определение равнобедренной трапеции, а гипотезы оформляются в виде схемы (рисунок 1.1).

Трапеция с равными боковыми сторонами

       Углы при                      Диагонали                           Другие

основании равны                равны                             отмеченные свойства

Рисунок 1.1 –Гипотезы о свойствахтрапеции с равными боковыми сторонами

После этого каждая группа получает задание: сформулировать и доказать одну из теорем о свойствах равнобедренной трапеции, а также обратную ей теорему. (Заметим, что в данном случае все приведенные выше утверждения и обратные к ним являются истинными.) Можно дать это задание на дом (причем свойства, рассмотренные в учебнике, учащиеся должны попробовать доказать другим способом), тогда оно проверяется на следующем уроке. Очевидно, что не все ученики смогут его выполнить, а в некоторых случаях задание может оказаться непосильным на данном этапе изучения. Отметим, что в процессе решения задач, а также при изучении других тем, начатая работа может быть продолжена [6].

На следующем этапе у учащихся формируется умение применять понятие «равнобедренная трапеция» в речи, в рассуждениях при решении задач. Школьники должны научиться проговаривать импликативные высказывания в общеутвердительной, более соответствующей естественному языку, форме. Например, формулировку теоремы: если трапеция равнобедренная, то ее углы при основании равны, им следует произносить так: в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Кроме того, учащиеся должны уметь правильно перечислять свойства равнобедренной трапеции.

Обучение применению понятия можно начать с рассмотрения опорных задач по данной теме, решение которых приводит к общим приемам деятельности. Например, к приемам, способствующим применению понятия «равнобедренная трапеция» можно отнести следующие [11]:

-проведение высот из вершин меньшего основания (при этом образуются два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник, рисунок 1.2);

Рисунок 1.2                           

-проведение из вершины меньшего основания отрезка, параллельного боковой стороне (трапеция разбивается на параллелограмм и равнобедренный треугольник, рисунок 1.3);

Рисунок 1.3

-проведение из вершины меньшего основания отрезка, параллельного диагонали трапеции (при этом образуется равнобедренный треугольник, равновеликий трапеции, рисунок 1.4).

Рисунок 1.4

Для актуализации каждого из приемов необходимо подобрать соответствующую задачу, решение которой не было бы громоздким.

В систему упражнений полезно также включить задачи, при решении которых требуется доказать, что трапеция является равнобедренной, т.е. на использование различных признаков понятия [17]. При этом необходимо учить школьников правильно отвечать на вопрос: по каким признакам можно распознать равнобедренную трапецию среди других четырехугольников? (Например, по равенству диагоналей, углов при основании и др.)

Естественно, формирование понятия «равнобедренная трапеция» будет продолжаться и в дальнейшем. Его содержание будет пополняться новыми признаками и свойствами:

- равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии;

- равнобедренную трапецию можно вписать в окружность;

- при пересечении диагоналей равнобедренной трапеции получаются два подобных равнобедренных треугольника и др.

Покажем, как можно применить исследовательский подход к формированию понятия «квадратичная функция» [6]. В средней школе основное внимание уделяется построению и чтению графика квадратичной функции. Решение же более сложных задач (к примеру, задач ЕГЭ с параметрами) требует от учащихся владения достаточно широким спектром ее свойств. В частности, знания того, как влияют коэффициенты, входящие в формулу квадратичной функции, на расположение ее графика относительно системы координат [11].

Исследование с целью отыскать такого рода зависимости можно провести в форме самостоятельной групповой работы.

После выполнения работы подводятся итоги. Учащиеся сообщают результаты своих исследова­ний и с помощью учителя делают обобщения.

1.1.4 Как быть с «нерабочими» определениями?

Из вышесказанного вовсе не следует, что каждое понятие нужно вводить так основательно. В школьном курсе математики имеются понятия, которые традиционно привлекают внимание методистов. В частности, речь идет о таких понятиях математического анализа, как предел, непрерывность функции и производная, определения которых сложны и плохо усваиваются учащимися [6]. Ученики не только не понимают, но и не могут воспроизвести их по памяти. При этом они достаточно успешно используют свойства этих понятий в своей математической деятельности.

Иногда у учащихся формируется неверное представление об изучаемых понятиях, они путают их определения со свойствами. Так, в книге Б.Ц.Бадмаева приводится пример с определением смежных углов [1]. Как показал проведенный автором эксперимент, никто из учащихся не смог воспроизвести его правильно. Все они считали, что смежные углы - это углы, сумма которых равна 180°. Тем не менее усвоение учащимися этого понятия никогда не вызывало нареканий. Дети успешно распознают смежные углы, опираясь на наглядный образ, и используют их свойство в рассуждениях.

Можно привести еще немало примеров, когда ученики, не зная определения понятия, умеют применять последнее в деятельности. Это касается таких понятий геометрии, как многогранник, цилиндр, конус и др. А в алгебре понятие «число», с которым ребята работают ежедневно, вообще не определено. И это никого не смущает. Дело в том, что определения этих понятий нерабочие, поскольку не применяются в рассуждениях, при решении задач и нужны лишь для построения теории понятия, т.е. для логического упорядочения суждений о нем. Учащиеся же успешно работают с понятием, основываясь на наглядном образе соответствующего объекта, созданном порою задолго до того, как понятие начали изучать в школе.

Определения предела и непрерывности функции на промежутке плохо усваиваются учащимися не только потому, что сложны по структуре. Исследования показывают, что понятие непрерывности функции на промежутке в сознании школьников опирается на наглядные представления о поведении графика функции, а соответствующее определение на практике не работает: все свойства непрерывных функций в дальнейшем разъясняются без опоры на него [20].

Определение производной в школе также является нерабочим. Время, затраченное учителем на разучивание алгоритма его применения к выводу некоторых формул дифференцирования, проходит для большинства учащихся впустую, такая работа не способствует даже запоминанию формул. На наш взгляд, в школе упомянутые выше понятия мате­матического анализа можно ввести без строгих определений. А высвободившееся время лучше уделить формированию общего представления о новых математических понятиях, основываясь на знании их геометрического и физического смысла (в случае производной) или на наглядных представлениях учащихся (в случае предела и непрерывности функции). Это будет честнее, чем требовать от учеников запоминания недоступных их пониманию определений, которые в дальнейшем все равно не применяются [6].

В классах с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях в общеобразовательной школе можно строить и теорию пределов, и теорию производной. Но даже в этом случае не стоит много времени уделять изучению определений (по той же причине).

В математических классах необходимо рассказывать о роли определения в построении теории понятия, а в тех случаях, когда возможно, привлекать учащихся к построению теории понятия на основе другого его определения [17].

Со способными ребятами из обычных классов такую работу полезно проводить на занятиях кружка. И делать это лучше на геометрическом материале, поскольку в геометрии теории понятий выстроены аксиоматически. Так, после изучения понятия «равнобедренная трапеция» можно предложить учащимся самостоятельно разработать его теорию, взяв за основу, например, следующее определение: трапеция называется равнобедренной, если ее диагонали равны. Подобная ра­бота полезна как в методологическом плане, так и с точки зрения развития предметных умений школьников.

Итак, подчеркнем, что правильное вве­дение математических понятий, формирование каждого из них как системы взаимосвязанных упорядоченных суждений, разумное сочетание логического и содержательного аспектов в процессе изучения понятий, - все это способствует их успеш­ному усвоению и применению в практической де­ятельности.

1.2 Роль дефиниций в математической деятельности учащихся

1.2.1 Отыскание описательного определения, не расширяющего объем понятия

На наглядном уровне понятие прямоугольника хоро­шо известно 12-летним ученикам. Они встречались с ним уже в начальных классах. Само слово «прямоугольник», обороты речи типа «форма прямоугольника» они слышат и употребляют в повседневном общении. На уроке, который описан у С.Крыговской[14], учитель стремился упорядочить знания учеников о прямоугольниках (по­нятие параллелограмма им было уже известно). Он спросил: «Какую геометрическую фигуру вы назовете прямоугольником?» Из известных ученикам свойств прямоугольников они пытались отобрать те, которые, по их мнению, характеризуют прямоугольники наибо­лее естественным образом. Среди ответов содержались следующие: «Прямоугольник – это четырехугольник», «...это параллелограмм», «..это четырехугольник, имею­щий прямые углы» (или «прямые углы и равные про­тивоположные стороны», «прямые углы и равные диаго­нали»). Ответы учеников – исходный материал для об­суждения, направляемого учителем в нужное русло.

Во время обсуждения выяснилось, достаточно ли све­дений в каждом ответе, чтобы иметь полное представ­ление о прямоугольнике, надо ли включать в опреде­ление все данные, считают ли учащиеся прямоугольни­ком такой объект, как квадрат. Возникла возможность изменить ошибочные мнения, провести обоснования. При этом ученики овладевали полезными приемами анализа данных, подведения итогов, выделения условии и т. п.

Но нахождение определений в процессе беседы и уточнения позиции не расширяет области известных ученикам математических объектов [20]. Деятельность учи­теля и учащихся выступает здесь как средство упоря­дочения некоторых фактов, развития математической речи, анализа ситуаций. Применять этот прием введе­ния определения, разумеется, можно лишь в случае, если ученики активно участвуют в обсуждении, и при условии,   что   такой   процесс   вызывает   живой   интерес класса, как это было на уроке, где проводилось опи­санное выше обсуждение. Ученики спорили, сравнивали ответы, приводили контрпримеры, сопровождали их ри­сунками на доске.

1.2.2 Формулировка определения путем обобщающего описания

Расширение известного ученикам круга математиче­ских понятий в ряде случаев можно связать с нахож­дением определения путем обобщающего описания. Приведем несколько примеров [14].

а) На пятом году обучения ученики знакомятся с по­нятием выпуклой фигуры. В одном из классов это бы­ло организовано так. Рассматривались контурные кар­ты нескольких вымышленных стран. Ученики отвечали на вопросы: «Всегда ль можно соединить две точки страны на карте прямым путем, не пересекающим гра­ницу?» По этому признаку ученики разделили страны на два типа: безопасные и опасные. Жители безопас­ной страны могут, не покидая ее, добраться по прямой из любой точки страны в любую другую; для опасной страны такого пути может не быть. Учитель ввел тер­мин выпуклая фигура для изображений безопасных стран. После небольшого числа упражнений ученики научились различать выпуклые и невыпуклые фигуры.

Теперь ребят попросили написать письмо другу — уче­нику того же класса (ученики обмениваются письмами попарно) и рассказать в нем, как надо понимать выра­жение выпуклая фигура. Оказалось, что текст своего письма многим пришлось дополнять устным разъясне­нием. Ребята были довольно критически настроены по отношению к чужим формулировкам, так что возникшее обсуждениеполучилось живым   и  поучительным.

Анализ формулировок привел к интересным заключе­ниям. В письмах сказались разные уровни владения вы­разительными средствами языка, которые выделил Г. Фрейденталь [33]. Например, встречался «язык рисун­ков»: в качестве объяснения ученик поместил рисунки выпуклых и невыпуклых фигур. Появлялись и не всег­да удачные попытки использовать «язык структур от­ношений». В данном случае это выражалось в том, что рисунок выпуклом или невыпуклой фигуры дополнялся изображениями отрезков, соединяющих некоторые точки этих фигур.

Попадались и правильно построенные опи­сания, например: «Из одной точки фигуры в другую всегда можно провести отрезок, содержащийся в выпук­лой фигуре. В невыпуклой фигуре бывает, что это не­возможно». Видно, что в этом ответе отражен опыт «путешествий» по вымышленным странам. Отметим так­жеиспользование   кванторов  «всегда»,   «бывает».

Нет нужды на данном уровне освоения понятия стре­миться к полной формализации. Здесь самое важное – переход от рассмотрения исходного сюжета к матема­тическим представлениям. Введение формального опре­деления, его усвоение, расширение и уточнение объема введенного понятия можно провести только в дальней­шей беседе и при умелом руководстве ею. Допустим, учитель спрашивает: «Выпуклая ли фигура отрезок?» Некоторые ученики отвечают отрицательно: «Отрезок не выпуклый, он прямой». Тогда учитель задает второй вопрос: «Можно ли каждую его точку соединить с лю­бой другой отрезком, целиком в нем содержащимся?» Ответ, конечно, утвердителен. «Значит... — учитель де­лает многозначительную паузу, подготавливая учеников к парадоксальному для них выводу,— отрезок тоже вы­пуклая фигура». В такой беседе учитель нацеливает ре­бят на формальный путь применения ими же предложен­ных определений. Это пока что еще очень осторожный шаг вперед в направлении осознания роли определений в математике [34].

б) С периодическими функциями 14-летние ученики еще не встречались. На одном из уроков учитель решил дать им представление о таких функциях до система­тического   изучения     тригонометрии,     так   как   ребятаобычно отождествляют класс периодических функций с классом функций тригонометрических.

Учитель поставил задачу построить схематически гра­фики функций:

1)

2)

3)

После построений ребята заметили, что графики име­ют общую важную особенность. Один из учеников дал ее интересное описание: можно сделать шаблон части графика; в первом случае длина шаблона равна 1, во втором – 2, в третьем – 6; если передвигать его вдоль оси абсцисс, то можно изобразить весь график. Для функции достаточно перемещать шаблон на 1 в обо­их направлениях, для - на 2 в обоих направлениях, для - на 6 в положительномнаправлении.

Учитель попросил описать выделенное свойство, пользуясь не геометрическими, а арифметическими по­нятиями, т. е. как свойство функций, а не их графи­ков. Затем он сообщил, что рассматриваемое свойст­во называется периодичностью, и попросил дать опре­деление периодической функции (в классе речь шла только о периодических числовых функциях). Так математический мир ученика обогатился новыми объек­тами [14].

Работа над определением на данном этапе не может считаться законченной. Следует убрать несущественные признаки, связанные с конкретными примерами, рас­смотреть контрпримеры, поработать над текстом. Осо­бое внимание надо обратить на то, чтобы основанием для полведения итогов служила формулировка определе­ния, данная самими учениками, формулировка, вырабо­танная в ходе обсуждения, постоянных уточнений и ис­правлений. Еще раз подчеркнем важный момент ана­лизируемого подхода: ученики в качестве данных име­ли геометрические объекты (графики функции), а опи­сание требовалось получить на ином языке – арифме­тическом. Замена языка является здесь некоторым эле­ментом формализации, доступным для   14-летних учеников [23].

Обратим внимание на один общий вопрос. В описываемыхпримерах учитель не шел по пути непосредст­венного предъявления четкого, окончательного текста. Напротив, несмотря на заведомые трудности, он искал подходящие дидактические приемы, направленные на конструирование учениками собственного опреде­ления, ибо оно и усваивается, и запоминается легче. Такими приемами служили: разложение сложных пред­ставлений на отдельные простые ситуации, побужде­ние учеников к активному анализу конкретных образ­ных ситуаций в сочетании с последующим применени­ем к ним уже известного математического аппарата. Использовались также идеализация, экстраполяция, преобразование определения к виду цепочки шагов, об­легчающих его применение и усвоение.

Такой способ обучения целесооб­разно применять на любом уровне, если есть необхо­димость в уточнении научного понятия [25]. Нам не раз приходилось наблюдать такой момент: ученик, харак­теризуемый как неспособный, который и сам призна­вал себя таким, при работе над определением смог преодолеть весьма существенный барьер в формиро­вании математического мышления. При этом процесс был настолько естественным, что ученик барьера не заметил и оперировалобобщенными   математическими понятиями так же свободно, как в начальной школе он учился правильно жестикулировать, рисовать и чи­тать.

1.2.3 Формулировка определения посредством конструктивного описания

Этот способ введения понятия содержит две ха­рактерные черты [14]:

1) исходным пунктом служат нечет­кие очертания, первая идея об объекте, который в дальнейшем станет предметом определения; формули­ровка определения является не столько описанном чего-то готового, сколько очередной модификацией объекта, возникающего «на глазах»;

2) человек, дающий опре­деление, обладает некоторой свободой в предъявлении отдельных частей всей конструкции.

При простом описании ученик выбирает одно из известных ему свойств определяемого объекта и счита­ет его условием в дефиниции. При обобщенном описании это условие проявляется в предлагаемых к рассмотрению примерах, а затем оно используется как общее условие в дефиниции. В конструктивном же описании условие в дефиниции дается самим уче­ником.

Приведем пример этого процесса, который наб­людали в классе 14-летних учеников [16]. Учитель задал вопрос: «На плоскости даны точка и множество. Что следует понимать под расстоянием от данной точки до данного множества?» Ученики спорили, делали рисун­ки, предлагая разные подходы. Все они стремились к тому, чтобы описать «самый короткий путь от точки до фигуры». Наконец один из учеников представил си­туацию следующим образом: «Имеется круг с цент­ром в данной точке. Круг растет, как мыльный пузырь, расширяется и расширяется, пока не коснется множе­ства. Радиус этого круга и есть расстояние от его центра до данного множества». В этот момент вмешал­ся учитель и предложил применить это определение к различным случаям:

а) фигура представляет собой внутренность некоторого круга, а точка находится вне этого круга;

б) фигура произвольна, а точка принад­лежит этой фигуре;

в) фигура – внутренность какого-то квадрата, а точка выбрана на контуре квадрата.

Сопо­ставление привело учеников к последовательным уточ­нениям, усовершенствованию текста определения. В конце концов, предложена дефиниция: «Пусть существу­ет круг с центром в данной точке и не содержащий внутри себя точек данного множества. Тогда расстоя­ние от данной точки до данного множества – радиус самого большого такого круга. Если же такого круга не существует, то расстояние от точки до фигуры рав­но нулю».

Конечно, это еще не очень удачное определение. Но на данном этапе обучения, когда ученики не знают понятия границы числового множества, а стиль препо­давания геометрии навязывает им определенные обра­зы в качестве исходных, эта их дефиниция может счи­таться не только формально верной, но и адекватной тому, что желали назвать расстоянием от точки до множества. (Заметим, что приведенное определение по отношению к плоскости эквивалентно определению, ос­нованному на понятии нижней грани числового множе­ства) [14]. Для учеников было очевидно существование «са­мого большого» круга, не содержащего внутри себя точек множества, для случая, когда данное множество непусто, а центр круга не принадлежит ни данному множеству, ни его краю (т. е. замыканию).

Представленная ситуация отличается от предыдущих степенью свободы учеников в их высказываниях о предмете изучения, в изменении точек зрения, в ходе которого «проигрывались» различные определения, про­исходило уточнение интуиции, связанной очень общим пониманием расстояния как меры «самого короткого пути.

1.2.4 Формулировка определения, основанная на аналогии и переносе

Разнообразные проявления инициативы учеников в обсуждении определений можно наблюдать при пере­ходе от планиметрии к стереометрии. Применяя к из­вестным плоским объектам (фигурам и преобразова­ниям) «операцию увеличения размерности», учащиеся конструируют их пространственные аналоги.

Приходилось наблюдать, как 17-летние ученики самостоятельно разрабатывали понятия, доказывали теоремы, относящиеся к трехмерной мере Жордана, опираясь на аналогию с известной им плоской теорией меры (размерность поднимается путем замены квадра­тов на кубы) [14]. Также самостоятельно ученики определя­ли ряд топологических понятий (окрестность точки, внутренность множества, область), заменяя круг ша­ром, а окружность сферой.

Но и ученики младше 17 лет при изучении локально-дедуктивного курса геометрии также могли произво­дить подобный перенос. Например, в ходе беседы они смогли преобразовать определение параллельных прямых (на плоскости) та­ким образом, что оно стало отвечать их представлению о параллельности в пространстве. В ходе такой беседы школьники определили перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей. Такая дея­тельность имеет большую общеобразовательную цен­ность. Ученики начинают понимать, что некоторые оп­ределения можно без изменений перенести из планимет­рии в стереометрию (отрезок, луч). Они видят также, что при переходе из плоскости в пространство некото­рые определения нужно дополнить условием «лежать в плоскости» (окружность, шестиугольник). Но есть и такие определения, которые, будучи «перенесенными в пространство» без изменений, приводят к более общим понятиям(ломаная) [3].

В некоторых случаях возможны различные способы переноса. Демонстрация этих случаев приводит учени­ков к мысли об условном характере определений. На­пример, если считать тетраэдр аналогом треугольника и «поднять по размерности» медиану грани тетраэд­ра, то получится сечение тетраэдра плоскостью, прохо­дящей через медиану грани и противоположную верши­ну. Ученики, однако, не решаются на эту операцию, хотя легко соглашаются с тем, чтобы назвать медианой тетраэдра отрезок, концы которого - вершина тетра­эдра и центр тяжести противоположной грани. Тогда из теоремы о делении медиан треугольника точкой их пересечения, «поднимая размерность» получаем ана­лог – теорему о делении медиан тетраэдра точкой их пересечения в отношении 1:3. Высказанную гипотезу следует подтвердить доказательством.

Учитель должен ограничить свое участие в такого рода рассуждениях. Ему необходимо следить лишь за тем, чтобы беседа имела деловой характер, отсекать несерьезные и бессмысленные высказывания. Особую роль играет участие в таких обсуждениях слабоуспе­вающих учеников, которые могут проявить в них свою творческую активность [14].

1.2.5 Формулировка определений на основе классификации

Классификация естественно приводит к определению. Покажем это на примере урока с 15-летними ученика­ми, с которыми предварительно было изучено понятие изометрии как преобразования «плоскости в плоскость» [14], сохраняющего расстояния, а также понятие осевой сим­метрии как особого рода изометрии, имеющей ровно одну прямую неподвижных точек. Другие примеры изо­метрии с учащимися еще не рассматривались в основ­ном курсе геометрии, но из пропедевтического курса они знали   о   физическомдвижения,имели   наглядные представления о параллельном переносе и повороте на плоскости.

На уроке учитель объяснил, что любая изометрия плоскости является осевой симметрией или результатом последовательного выполнения двух или трех осевых симметрии. Эту теорему он предложил использовать для классификации множеств изометрий на основе ко­личества и взаимного расположения осей симметрии. Попытка достигнуть цель привела к возникновению основ будущей классификации (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 –Классификация изометрий

Учитель подчеркнул, что некоторые из позиций этой таблицы могут содержать одинаковые преобразования.

Классификация нуждается в исключении таких случа­ев. На чертежах учащиеся рассмотрели поочередно все позиции и пришли к следующим выводам:

I – множест­во осевых симметрий;

II – множество параллельных пе­реносов;

III – множество нетождественных поворотов.

Множества IV и VII оказались пустыми. Учащиеся уви­дели, что композиция трех осевых симметрии с осями, имеющими общую точку или параллельными, является осевой симметрией. Множество V ученики описали как состоящее из последовательного выполнения параллель­ного переноса и осевой симметрии. Относительно мно­жества VI было установлено, что оно состоит из пово­ротов с последующей осевой симметрией.

Дальнейшее исследование, однако, показало, что каждый поворот с последующей осевой симметрией можно представить как параллельный перенос с последующей осевой симметрией. В конечном итоге класси­фикация множества изометрий свелась к позициям I, II, IIIи V (причем позицию V надо дополнить условием , которые определили нечто вроде «геометрии сим­метрии» [25]. Учитель задал вопрос: «Как можно было бы определить в рамках этой классификации («нашей гео­метрии») параллельный перенос и поворот?» В ответ ученики сформулировали определение, основанное на композиции осевых симметрии. Такое определение яви­лось одним из проявлений математизации, направлен­нойнаиспользование принятойклассификации.

1.2.6 Формулировка определения путем выделения частного случая

Старшеклассникам, познакомившимся с тетраэдром, учитель предложил выделить особые, интересные, по их мнению, виды тетраэдров. Поступили предложения:

- равнобедренный тетраэдр, то есть тот, у которого в од­ной вершине сходятся три равных ребра (аналог рав­нобедренного треугольника);

- равносторонний тетраэдр, значит, имеющий только равные ребра   (аналог равностороннего треугольника);

- прямоугольный тетраэдр, имеющий такой трехгран­ный угол, у которого каждые два ребра перпендику­лярны   (аналог  прямоугольного треугольника).

Учитель сказал, что эти определения в математике не приняты, но выделенные учениками формы заслу­живают внимания, поскольку изучение таких тетраэд­ров приводит к интересным наблюдениям.

Например: в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, про­тивоположной трехгранному углу с прямыми плоски­ми углами, равен сумме квадратов площадей осталь­ных граней. Это аналог теоремы Пифагора для тет­раэдров.

1.2.7 Формулировка определения посредством обобщения известного определения

Объясняя на уроке понятие предела функции в точ­ке, учитель рассмотрел функцию

и сравнил ее с функцией Дирихле:

	прирациональном
прииррациональном.

Ученики заметили основную разницу: первая функция в каждой точке имеет левый и правый пределы (в ин­туитивном смысле), но они не совпадают. Учитель со­общил, что в математике имеются соответствующие тер­мины, и назвал их, а определения предложил сформулировать самостоятельно. Модифицируя определение предела функции на промежутке путем «ослабления» соответствующих условий, учащиеся получили форму­лировку нового определения – предела функции в точке.

Приведенные примеры не исчерпывают всех ситуаций, способствующих формированию у уча­щихся умения давать определения понятий. Они, одна­ко, показывают возможности включения учеников в разнообразную деятельность, заслуживающую внима­ния и учителей, и методистов. Сказанное не означает, что при обучении нельзя знакомить учеников с готовы­ми определениями. Наоборот, оба пути равноправны. В любом случае правильно организованная деятель­ность учеников служит для них школой применения языка математики, элементов математического метода, некоторых эвристических приемов.

Описанные приемы работы с определениями в боль­шей мере относятся к старшим классам средней шко­лы. Но осторожно вводить соответствующие методиче­ские приемы можно и раньше. Не следует только стре­миться к преждевременной формализации и настаи­вать на этих приемах в случае, когда они не оправ­дывают себя. Это относится также и к самостоятель­ной формулировке определений учениками. Недостат­кам, присущим чрезмерной формализации, не следует противопоставлять сложности, связанные с организаци­ей математического творчества. К успеху может приве­сти только разумное сочетание формализованных и эв­ристических сторон в обучении математике.

1.3 Формирование математических понятий у учащихся

Цель этого пункта – показать, кик конструи­руется собственно методическая концепция формиро­вания математических понятий, которая отлична как от логических, так и от психологических теорий обра­зования понятий, хотя при ее конструировании исполь­зуются и логика, и психология [28].

Рассмотрение этого вопроса важно и потому, что умственное развитие, в сущности, и есть способность переосмысливать старые и генерировать новые поня­тия. В контексте сказанного приоритетной проблемой теории и методики обучения математике является про­блема формирования понятий.

Обратимся прежде к логическим теориям, описыва­ющим процесс формирования понятий. Опишем три основные концепции [28].

I концепция. Процесс конструирования поня­тия протекает как поиск всех необходимых условий, которых достаточно для однозначного определения тре­буемого класса объектов.

Пример. Каждое из условий: "быть четырехугольни­ком", "иметь равные стороны", "иметь равные углы" — толь­ко необходимо для определения квадрата. Любая пара назван­ных условий также только необходима. Но все вместе они необходимы и достаточны для определения класса квадратов.

При определении понятии часто используют ближайшее родовое по отношению к нему понятие. Таким понятием для квадрата является понятие прямоугольника (ромба). Учиты­вая это, можно дать более экономное определение квадрата как прямоугольника с равными сторонами или ромба — с равными углами. В контексте данного логического подхода содержание понятие отождествляется с его определением [20].

II концепция. Понятие рассматривается как ло­гическая функция, заданная на множестве суждений и принимающая значения "истинно" или "ложно" [7]. Образование понятия заключается в поиске его необходимых условий. В данной концепции единицей содержания понятия выступает отдельное необходимое условие, а потому содержание понятия не совпадает с его определением.

III концепция. Под содержанием понятия по­нимают сообщаемую им (семантическую) информа­цию [23]. Единицей содержания выступают классы объек­тов, исключаемые понятием из универсума, т.е. из мно­жества объектов, в терминах которого определяйся рассматриваемое понятие [29].

Примеры

1 Пусть И — множество натуральных чисел, а – условие, определяющее делимость натурального числа на 2. Данное условие делит универсум, т.е. множество натуральных чисел, на два взаимоисключающих и совместно исчерпывающих универсум класса:

И

где А – множество чисел, делящихся на 2;

      - множество чисел, не делящихся на 2.

Условие аопределяет понятие «множество четных чи­сел». Это понятие исключает класс , поэтому содержание понятия «множество четных чисел» равно классу его составляет класс А.

2 Пусть И – множество четырехугольников, а – условие «иметь равные стороны», в – «иметь равные углы». Условие а разбивает универсум (множество И) на класс «четырех­угольники с равными сторонами» (А) и его дополнение — класс «четырехугольники с неравными сторонами» (. Ус­ловие вразбивает множество Ана классы: «четырехуголь­ники с равными сторонами и равными углами» (В) и «четырехугольники с равными сторонами и неравными углами" (). Класс (четырехугольники с неравными сторонами) условием вразбивается на класс С – «четырехугольники с неравными сторонами и равными углами» и класс — «четырехугольники с неравными сторонами и неравными уг­лами».

Содержание понятия «квадрат» эквивалентно сумме клас­сов . Объемом понятия является класс В. Усво­ить понятие «квадрат» - это, прежде всего, уметь распозна­вать четырехугольники, образующие классы В, , С, , выводить следствия из принадлежности четырехугольника одному из указанных классов и строить четырехугольники, относящиеся к данным классам. В процессе выполнения пе­речисленных действии усваивается информация, выделяющая квадраты из множества четырехугольников, т.е. словесная формулировка определения понятия [13].

Наблюдения за работой учителей математики при­водят к выводу о том, что формирование математичес­ких понятий в школе не вписывается в чистом виде ни в одну из описанных выше логических концепций. Но элементы каждой из нихприсутствуют в практике обу­чения математике. Такое положение можно объяснить тем, что логические концепции сами по себе далеко не исчерпывают всех составляющих процесса формирова­ния понятия. Они не могут объяснить учителю, каковы этапы формирования понятия, какие умственные дей­ствий адекватны каждому этапу.

Эти вопросы исследуются в психологии, где, в час­тности, отмечается значимость овладения следующими умственными действиями: подведением объекта под понятие (распознавание), отысканием следствий (из факта принадлежности объекта понятию). Так, Н.Ф.Талызина к компонентам указанных умственных действий относит: перечисление необходимых и достаточных свойств объектов данного класса; установление того, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает; заключение о принадлежности объекта к данному понятию; выведение следствий; классифи­кацию; конструирование объектов с учетом варьиро­вания отношений [32].

Ряд психологов (Н.А. Менчинская, Е.Н. Кабанова - Меллер и др.) рекомендуют при формировании понятий осуществлять варьирование несущественных признаков, тем самым способствуя усвоению существенных.

Овладение действием предполагает адекватную ему задачу, поэтому конструирование системы задач, ори­ентированных на усвоение понятия, является весьма важной проблемой для такой науки, как методика пре­подавания математики. Однако не все авторы учебни­ков математики для школы должным образом понима­ют эту проблему.

Рассмотрим например, понятие "вне­шний угол треугольника". Ни в учебнике Л.С. Атанасяна и др. "Геометрия 7–9" [8], ни в учебнике Л.С.Анатасяна "Геометрия 10–11" [9] нет задач на распознавание и конст­руирование внешних углов треугольника. Причем как в одном, так и в другом учебнике приведены задачи, ре­шение которых основано на теореме о внешнем угле треугольника. Возникает вопрос: будут ли ученики, обучающиеся по названным учебникам, допускать ошиб­ки в распознавании внешнего угла треугольника?

С целью получения ответа было проведено наблюде­ние [28].

На уроке опытная учительница много внимания уделяла построению внешнего угла треугольника, при­чем использовала не только стандартные ситуации. Ученики строили и углы, расположенные под горизон­тальной стороной треугольника.

В конце урока наблюдающий предложил ребятам ответить на вопрос: "Какой из углов - 1, 2 или 3 — является внешним углом треугольника ABCна рисунке 1.6?"

Рисунок 1.6 – Распознавание внешнего угла треугольника

Лишь один из 33 учащихся класса назвал угол 3. Причина ясна: ученики стро­или объекты, принадлежащие данному понятию, не выполнив предварительно ни одного упражнения на распоз­навание объектов, т.е. на подведение под понятие [28]. С точки зрения логики в качестве определения мо­гут быть приняты различные системы необходимых и достаточных свойств понятия. Поэтому в методике возникает вопрос о выборе такой системы. Например, понятие параллелограмма в различных учебниках гео­метрии определяется по-разному: четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно парал­лельны; пересечение двух полос с непараллельными краями;четырехугольник, имеющий центр симмет­рии,   и т.д.

С точки зрения методики, приведенные определения неравноценны. Они обладают разной сте­пенью наглядности, т.е. определяемый объект по-раз­ному просматривается через определения. Учитывая значимость образного компонента в процессе форми­рования понятия, методисты должны заключить, что в школьном курсе математики желательны такие опре­деления, которые позволяют воображению легко кон­струировать образы определяемых объектов. С точки зрения указанного требования наиболее удачным яв­ляется традиционное определение параллелограмма. Такой вывод согласуется с результатами психологичес­ких исследований: в свернутом виде распознавание может осуществляться по внешне выраженным, нагляд­ным признакам используемых объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществлялось на уровне развернутого выполнения действия [20].

Опишем теперь методические требования к форми­рованию понятия [28].

Начальным этапом является мотивация. Сущ­ность этого этапа заключается в подчеркивании значи­мости рассматриваемого понятия, и возбуждении инте­реса к нему. Мотивация может осуществляться как по­средством привлечения средств нематематического со­держания, так и в ходе выполнения специальных уп­ражнений, объясняющих необходимость развития мате­матической теории. Например, появление обыкновен­ных дробей, как правило, мотивируется потребностями практики. Введение смежных углов можно объяснить рассмотрением не только отдельных фигур, но и их объ­единений. Рассмотрение взаимного расположения пря­мой и окружности приводит к трем случаям, один из которых характерен тем, что окружность и прямая име­ют только одну общую точку. Указанный случай и обус­ловливает введение понятия касательной к окружности.

Следующий этап - выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется в основном посредством упражнений [28]. Например:

1 Арифметическая и геометрическая прогрессии могут быть введены путем выполнения упражнений на запись чис­ловых последовательностей, заданных определенными свойствами, либо на выявление свойств, которыми обладают указанные последовательности.

2 Ознакомление с существенными свойствами трапеции может осуществляться следующим образом. Заранее готовится рисунок 1.7.

                                 

       а)                           б)                       в)                            г)

                            

        д)                        е)                       ж)                    и)                          к)

Рисунок 1.7 – Задание к ознакомлению с существенными свойствамитрапеции

Рассматривая этот рисунок, учащиеся должны ответить на вопрос: "Какие из данных фигур имеют общие свойства?" Ребята замечают, что в четырехугольниках а, б, г, д, и, к две противоположные стороны параллельны, а две другие - нет. После этот им сообщается, что такой четырехугольник назы­вается трапецией. Введение понятия трапеции может быть осу­ществлено и путем выполнения упражнений на построение раз­личных четырехугольников, в том числе и четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие - нет.

Итогом этого этапа является формулировка опреде­ления понятия. Еще раз подчеркнем, что на рассмот­ренном этапе термин обозначает не столько понятие, сколько соответствующие наглядные представления.

На этапе усвоения объектом изучения дол­жно стать каждое существенное свойство, используе­мое в определении. Обеспечивается это требование с помощью упражнений, в частности на распознавание объектов, принадлежащих понятию. Пусть, например, а и в— видовые отличия понятия А, соединенные конъюнктивной связкой, т.е. .

Тогда условие непринадлежности понятию А имеет вид: . Зная условие принадлежности и непри­надлежности понятию, нетрудно сконструировать уп­ражнения, формирующие действие распознавания объектов, принадлежащих понятию. Это упражнения вида  

Примеры

Проиллюстрируем конструирование упражнении на при­мере понятия биссектрисы угла [20]. Логическая структура опре­деления этого понятия такова:

Луч ОС - биссектриса угла АОВ	(1) луч ОС исходит из вершины угла АОВ
(2) луч ОС делит угол пополам

Исходя из структуры определения, осуществляем конст­руирование упражнений:

1 Луч ОС исходит из вершины угла АОВ, aAOCCOB. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ? ((1) (

2 Некоторый луч делит угол пополам, а его начало не совпадает с вершиной угла. Является ли луч биссектрисой данного угла? ((2)

3 Луч ОС исходит из вершины угла АОВ и делит ею по­полам. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ? ((1) (2).)

При конструировании указанных упражнений сле­дует предусмотреть и вариативность расположения объектов (см. пример с внешним углом треугольника), так как применение действия в одной ситуации не гарантирует успех при его применении в другой ситуа­ции, отличной от первой [28]. Отразить это требование в словесно заданных упражнениях невозможно, поэтому используют упражнения на готовых чертежах. Выпол­няя такие упражнения, учащимся приходится вычле­нять на рисунках объекты, принадлежащие данному понятию, рассматривать объекты с точки зрения других понятий.

По отношению к понятию биссектрисы угла обсуждаемая система упражнений на готовых чертежах мо­жет быть представлена следующим вопросом:

«Какие из лучей, обозначенных на рисунке 1.8, являются биссект­рисами данных углов?»

                                        

а)                     б)                        в)                      г)                     д)

                      

е)                     ж)                         и)                     к)                       л)

Рисунок 1.8 – Рисунок купражнению для определения понятия биссектрисы угла

Другим действием, адекватным содержанию поня­тия, является действие выведения следствий из при­надлежности объекта понятию [13].

Пример

Известно, что четырехугольник MNPQ - тра­пеция (NPи MQ— ее основания). Назовите следствия, выте­кающие из данных условий в силу определения трапеции.

Необходимы комплексные упражнения, выполнение которых основано не только на использовании суще­ственных свойств понятия, но и на отыскании следствий.

Примеры

1 Известно, что некоторый луч исходит из вершины угла. Следует ли отсюда, что этот луч является биссектрисой угла? Если нет, то измените условие так, чтобы из него следовало, что луч является биссектрисой данного угла.

2 Луч ОС исходит из вершины угла АОВ, а

AОCВ.

Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ? Если нет, изме­ните условие так, чтобы луч ОС являлся биссектрисой угла АОВ.

Следующий этап — использование понятия в конкретных ситуациях [28]. На этом этапе, прежде всего, осуществляется знакомство со свойства­ми и признаками понятия, с его определениями, экви­валентными принятому; используются изученные свойства и признаки понятия.

Учащиеся усваивают умение переходить от понятия к его существенным свойствам и обратно, переосмысливают объекты с точки зрения других понятий, в частности учатся переосмысливать элементы чертежа с точки зрения другой фигуры и т.д. Здесь важно использовать блоки задач, объединенных какой-либо общей идеей [20].

Упорядочение задач может быть осуществлено по­средством обобщения и конкретизации, привлечения аналогии, взаимно обратных задач.

Блоки задач могут конструироваться следующими способами:

а) результаты решения предыдущей задачи исполь­зуются в решении последующей;

б) результаты решения предыдущей задачи исполь­зуются в условии последующей;

в) предыдущие задачи являются элементами после­дующей;

г) решение совокупности задач осуществляется од­ним и тем же методом.

С блоками задач можно ознакомиться по статьям Г.И. Саранцева [27]. Организация задач в соответствии с указанными направле­ниями возможна даже в рамках действующих учебни­ков, однако полная их реализация требует существен­ной доработки задачного материала, как в его содержа­нии, так и в последовательности расположения. При этом оказывается, что многие задачи могут быть составлены самими учащимися, что важно в плане ин­теллектуального развития учеников.

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации ма­териала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий.

Это достигается следующими путями [28]:

- установлением связей между отдельными понятия­ми, теоремами;

- разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

- обобщением понятия;

- конкретизацией понятия.

В качестве средств представления информации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графи­ки, рисунки, схемы, обобщающие рефераты и т.д.

Учитывая, что упражнения являются основным сред­ством формирования понятий в средней школе, сопоста­вим в виде таблицы каждый этап формирования понятия и соответствующие ему видыупражнений (таблица 1):

Таблица 1 – Этапы формирования понятия и соответствующие ему видыупражнений

Этапы формирования понятия	Упражнения, реализующие их
Мотивация введения понятия	Упражнения на применение изученных понятий и теорем Упражнения практического характера
Выделение существенных свойств понятия	Упражнения на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам
Усвоение логической структуры определения понятия	Упражнения с моделями фигур Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия Упражнения на выделение следствий из определения понятия Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий)
Применение понятия	Упражнения на составление родословной понятия
Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями	Упражнения на применение понятия в различных ситуациях Упражнения на систематизацию понятий

Итак, процесс формирования математических поня­тий в средней школе оказывается более сложным по срав­нению с его видением на основе логики и психологии. Поэтому очень важно после формирования математических понятий продиагностировать уровень сформированности.

2 Экспериментальные исследования при диагностике математических понятий у учащихся

2.1 Значение вопроса при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики

Учителя на уроках много задают вопросов учащимся. Тем самым они преследуют несколько целей [30]:

- активизируют внимание учащихся всего класса,

- выясняют знание учебных тем,

- подсказывают верный ход решения задачи,

- уточняют ответы учащихся.

Но продуманная и точная постановка вопроса может служить также диагностике математических понятий у учащихся. Поясню мысль на нескольких примерах [31].

Урок геометрии в IX классе. Тема «Абсолютная величина и направление вектора». Первый час по теме отводился изложению нового материала. На втором часу — семинар. Идет опрос по всем определениям и теоремам. Цель учителя — выяснить, насколько прочно учащиеся усвоили обязательные сведения. Вопросы учителя требуют от учащихся не рассуждений, а знания формулировок:

Какие полупрямые называются одинаково направленными?

Сформулируйте и докажите теорему об одинаково направленных полупрямых. И т. д.

Но уже здесь можно ставить вопросы, ответа на которые ученики не найдут в готовом виде в учебнике. Им нужно хорошо понимать смысл определений, их связь и назначение. Например: для чего мы вспомнили полупрямые в теме о векторах?

Предполагаемый ответ: так как направленность векторов определяется через направленность полупрямых – рождает новый вопрос: а почему мы не можем определить направленность векторов через параллельный перенос, как мы это сделали для полупрямых?

Ответ требует уже серьезных размышлений. Мы должны сравнить вектор с полупрямой. Только ли одинаково на­правлены будут векторы, если они совместятся параллельным переносом? Имеет ли длину полупрямая? А почему нельзя определить направленность через прямые, которые будут совмещаться при параллельном переносе?

Подобные вопросы углубляют понятия учащихся о векторах, раскрывают структуру построения математических понятий [31].

На уроке после темы «Координаты вектора» желательно вновь повторить определения и хотя бы формулировки всех теорем о векторах. Нужно помнить, что для учащихся это не жизненно необходимые знания. Для них они инородны и быстро забываются. Но вопросы уже можно формулировать в другом виде. Например, после вопроса на повторение: какие векторы называются равными? — можно спросить: А при доказательстве каких теорем используется определение равенства векторов? Чтобы ответить на вопрос, даже только сформулировав теоремы, надо хорошо знать, а главное, понимать доказательство. Так что знание доказательств можно проверить, не выслушивая всего доказательства. Кроме того, у учащихся систематизируются знания, что делает их более осмысленными и прочными.

Рассмотрим еще пример. Здесь постановка вопросов носит несколько иную смысловую нагрузку [31].

Урок математики в V классе. Тема «Вычитание». На этом уроке ребята впервые встречаются с точным математическим определением. Желательно заострить на этом моменте внимание учащихся, чтобы создать верный импульс в развитии математического мышления.

Вычесть из одного числа другое ребята могут. Этому их учили с I класса. Но вот как они отвечают (и не могут ответить иначе) на вопрос: что значит: из числа а вычесть число в?: это значит: из а вычесть в; это значит: уменьшить число а на в единиц; это значит: найти разность чисел а ив. Онипонимают,  какнайти разность чисел а и в, но не отвечают на поставленный вопрос. Запишем определение: вычесть из числа а чис­ло в — значит найти такое число х, которое в сумме с в дает а. Вопрос к ученикам: почему это довольно сложное предложение можно считать определением, а ва­ши ответы – нет?

Молчание.

Учитель: Когда вы пытались определить вычитание, вы упот­ребляли слова, которые сами требуют определения.На­пример: «отнять», «уменьшить», «найти разность». А че­рез какое понятие определяется вычитание?

Кто-то догадывается:

-Через сумму.

Учитель: Очень хорошо! Верно! Вычитание определяется че­рез сложение. А сложение?

Следуют ответы, но неверные. Наконец:

- Ни через что не определяется.

Учитель: Верно.Сложение – одноиз  первоначальныхпоня­тий   математикиипонимается   нами   на   основе   нашего жизненного   опыта.    А   все   остальные   арифметические действия так или иначе (деление – косвенно) определяют­ся через сложение.

Еще хочется привести пример типичных ошибок учащихся, их выявление и исправление [1].

Учитель показывает чертеж прямоугольного треугольника, прямой угол которого изображен при вершине, а неу основания, как учащиеся привыкли видеть в учебниках. Оказалось, что отдельные ученики (7-й класс) не узнают в чертеже прямоугольный треугольник, хотя на чертеже указано. Что угол при вершине равен 90⁰, а остальные два угла равны соответственно 60⁰ и 30⁰. Они заходят в тупик: вроде бы не похож треугольник на прямоугольный, а то же время есть у него угол 90⁰. причина затруднения – расхождение в их сознании понятийной и образной характеристик объекта, т. е. хотя и наличествует прямой угол, но на чертеже дано «не то». Недоумение и ошибочный ответ вызваны тем, что определение понятияи наглядный образ объекта (по чертежу в учебнике) запомнились, т. е. все это заучено, но осталось неусвоенным научное содержание геометрического понятия «прямоугольный треугольник», у которого один существенный (необходимый и достаточный) признак – наличие прямого угла, а где он может находится на чертеже, значения не имеет. Такие же затруднения вызывают непривычные изображения любых других геометрических фигур. Как устранить такое распространенное явление, как плохое усвоение понятий, приводящее к ошибкам при выполнении учебных действий? Надо приучить учащихся к самым различным наглядным изображениям объекта изучению при которых не искажалась бы сущность научного понятия. Когда ученики прорешают достаточно много нешаблонных задач, они привыкнут анализировать их с точки зрения теории и не окажутся в тупиковой для себя ситуации. Тогда они, встретив непривычное изображение или незнакомое название предмета. Не будут в растерянности, а сразу начнут сравнивать его признаки с признаками изучаемого в данный момент научного понятия.

Или другой пример [20]. Правильно ответив на вопрос, под каким углом пересекаются диагонали ромба («под прямым»), ученик не может уверенно ответить на простой вопрос, связанный с первым: «Диагонали четырехугольника пересекаются взаимно перпендикулярно. Может ли данная фигура быть ромбом?» Он или отказывается от ответа, или отвечает на него отрицательно, то есть неверно. Некоторые ученики вообще не видят разницы в содержании вопросов, считают, что это один и тот же вопрос. Причина затруднения и ошибок – в недостаточном развитии мышления, в частности, в неумении логически мыслить  и вводить новое знание из ранее известного, а также формально заученное знание данного конкретного вопроса – о пересекающихся диагоналях ромба. Как преодолеть подобные ошибки? Можно продолжать постановку нестандартных вопросов, требующих мышления. Так, например, этот же вопрос можно повернуть и по – другому: если на него (в приведенном варианте) ученик ответил утвердительно, т. е. правильно, то следует вопрос: «А может быть, это квадрат, а не ромб, так как у него ведь тоже диагонали пересекаются под прямым углом?» Усвоивший теорию ученик отвечает уверенно, что «квадрат – это тоже ромб, но не только с равными сторонами, но и с прямыми углами».

Попытка учителя возразить ему, сравнивая определения понятий «ромб» и «квадрат», не произвела не него впечатления: он продолжал настаивать, утверждая: «Определение квадрата не противоречит определению ромба». Тогда учитель говорит: «ведь у ромба нет такого признака, как прямые углы?», на что у ученика немедленно находится ответ: «Ну и что? В определении квадрата зато есть все признаки ромба; равные стороны и взаимно перпендикулярные диагонали». Разгоревшаяся дискуссия вызвала интерес у всех учеников в классе, но с прозвеневшим звонком она была прервана. Учитель расстался с учениками, не разрешив дискуссионную проблему, но попросил их внимательно подумать на досуге, в чем тут дело. «В следующий раз вернемся к этому вопросу», - пообещал он. Можно быт уверенным, что ученики будут обязательно думать и спорить и непременно придут к каким – то своим выводам, правильным или не совсем. На очередном уроке учитель поставил все точки над i, рассудит, кто прав или не прав, и объяснит, почему. И объяснение его ляжет на уже подготовленную психологическую почву – созревшую психологическую готовность учеников узнать истину – ответ на спорный вопрос.

2.2 К вопросу о диагностике математического понятия "величина"

Под руководством В.В.Давыдова группой методистов было, разработано содержание дочислового периода и выделены основные способы действия по формированию математического понятия величины [10].

Критерием понимания величины как особого свойства предметов является то, что при оценке отношений между реальными объектами учащиеся отказываются от непосредственных суждений, выделяют общий для сравниваемых предметов признак и с помощью него устанавливают соответствующие отношения между величинами (<, >, =) [21].

В подходе Б.Д. Эльконина к логико-психологическому строению понятия величины как свойства предметов недостаточно для полноценного формирования понятия величины [36]. Понятие величины необходимо рассматривать через отношение двух основных действий: сравнение и преобразование, которые задаются при аксиоматическом определении математической величины. Таким образом, в подходе Б.Д. Эльконина, критерием сформированности понятия "величина" становится умение ребенка с помощью предмета-посредника (разницы) рассматривать отношение между величинами через их изменение, т.е. уметь переходить от сравнения к преобразованию и обратно.

Анализ методических разработок по математике (экспериментальная программа В.В. Давыдова), проведенный с точки зрения на величину как отношение действий, показал, что в обучении детям недостаточно представлена знаковая характеристика понятия величины. Ориентируясь на отношения <, >, =, учащиеся осуществляют разностное сравнение предметно представленных величин, однако само разностное отношение не является особым предметом действия. Другими словами, учащиеся не выстраивают переход от сравнения к преобразованию с опорой на разницу. Недостаточная разработка подхода к введению величины как совокупности параметров объекта ограничивает возможности учащихся в освоении полного понятия величины.

Задача настоящего исследования состояла в том, чтобы определить, каким образом содержание понятия "величина" представлено в действиях детей.

При конструировании диагностических методик я опиралась как на нормативные характеристики понятия [37], выделенные в результате логико-психологического анализа, так и на требования к построению системы диагностических заданий [19], [15].

В соответствии с критерием предметности теоретического знания необходимо было выделить как существенные признаки понятия, так и несущественные для объективного содержания понятия признаки. Создание в экспериментальной ситуации ориентации ребенка на несущественные признаки, присутствующие в реальной ситуации решения задачи, позволит определить, что является содержанием действий ребенка и совпадает ли оно с содержанием понятия [21].

Следовательно, общий принцип построения экспериментальной ситуации должен состоять в противопоставлении двух возможных способов действия учащегося: натурального отношения к объекту и теоретического отношения к нему.

Если окажется, что уровень знаний, определенный по диагностическим методикам, не соответствует нормативным критериям сформированности математического понятия "величина", то можно будет сделать вывод о том, что существующая система заданий в экспериментальной программе по математике не совершенна и не приводит к полному формированию понятия.

С целью определения сформированности понятия "величина" в соответствии с нормативными характеристиками я применяла методику "Полоски" [21].

Задания, представленные в методике, позволяют выявить, выступает ли для учащихся отношение между величинами (разница) как предмет преобразования — перехода от одной величины к другой. Следовало определить, могут ли дети представить отношение А > В через отношение А = В + С, т.е. дискретное отношение между двумя объектами рассмотреть через непрерывное преобразование одной величины (А) из другой (В).

Кроме того, сконструированная методика необходима для того, чтобы выявить, умеют ли учащиеся моделировать процесс преобразования величин. Процесс преобразования величины в заданиях методики был представлен двумя планами: предметным (ряд бумажных полосок) и символическим (формулы, описывающие процесс преобразования). То, насколько ребенок различает эти два плана и может переходить от одного к другому, позволяет судить о сформированности действия моделирования.

Основной принцип построения методики состоял в выделении и представлении отношения между двумя действиями: с одной стороны, преобразованию объекта противопоставлялось сравнение двух объектов как отдельных вещей, с другой стороны, объекты предъявлялись, "как будто" разные состояния изменения одного объекта [24].

Процесс преобразования был задан возрастающим рядом бумажных полосок. С помощью формулы, описывающей преобразование, требовалось из данного ряда бумажных полосок путем попарного сравнения их между собой выделить отношение между ними (разницу). Трудность данного задания состояла в том, что разницы были отмечены в формуле буквами, однако не были представлены наглядно. Требовалось восстановить разницу как способ перехода от одной величины к другой. Именно в таких заданиях разница, представленная как отношение между двумя величинами, найденная путем сравнения их между собой, позволяет восстановить действие преобразования через сравнение, т.е. выступает как знак, фиксирующий отношение двух действий.

Эксперимент проводился в сентябре-октябре 2006 года. Испытуемыми были 22 ученика 3 класса экспериментальной школы № 3 в поселке Комсомольском Чамзинского района.

Материалом для методики послужили четыре бумажные полоски разной длины, расположенные в порядке возрастания по длине (рисунок 2.1).

  

                                 а     γ      б     γ     в     γ   г

Рисунок 2.1 –Расположение материала задания «Полоски»

Экспериментатор предъявлял инструкцию, в которой содержалось объяснение процесса преобразования: "У меня есть резиночка, которая все время растягивается. Сначала она была такая (показывает на меньшую полоску в начале ряда), затем такая (показывает на следующую), потом вот такая (третья полоска в ряду) и, наконец, стала такая (показывает на самую большую полоску)". Далее экспериментатор записывал под рядом полосок формулу а γ б γ в γ г и задавал следующие вопросы:

- Покажи на полосках, где а, б, в, г.

- С помощью какого математического действия можно написать про растяжение резиночки?

Если испытуемый не мог ответить на вопрос о действии, то экспериментатор записывал следующую формулу под предыдущей (рисунок2.1) и давал объяснение: "Растяжение резиночки из "а" в "г" я описала через сложение". После этого экспериментатор предъявлял ряд заданий.

Задание 1. В данном задании требовалось найти отношения (разницы) между бумажными полосками, обозначенные в формуле буквами. "Покажи на полосках, где м, к, о, е?"

Задание 2. Требовалось по записанным формулам к+о, о+е, к+е найти в предметном плане сумму разниц: "Что значит сумма к+о? Покажи на полосках".

Задание 3. В данном задании требовалось найти соответствие между формулой, замещающей ряд полосок, и формулой, моделирующей процесс изменения длины резиночки. "Давай с тобой поиграем, - говорил экспериментатор, - Мы должны получить одинаковый результат, работая с разными формулами. Я буду работать с формулой а γ б γ в γ г, а ты с формулой м + к + о + е. Я из "б" получаю "в" (показывает на часть формулы б - в), а ты? Покажи часть своей формулы, по которой получится тот же результат, что и у меня". Испытуемый должен показать часть формулы, соответствующей результату изменения по формуле экспериментатора.

Результаты.

В эксперименте участвовало 22 ученика. Из них со всеми заданиями справились 3 человека (13%). С первым заданием 50% детей справились самостоятельно, а 50% лишь после наводящих вопросов экспериментатора перешли от неверного решения к верному.

Верным способом решения задания 1 я считала такое поведение испытуемых, когда они по формуле сложения могли выделить разницу из предметного ряда полосок. Отличительным признаком такого поведения являлся жест испытуемого; пальцами показывается расстояние, на которое отличаются соседние в ряду величины (рисунок 2.2).

                                                        е

                                     о

                   к

а                 б                  в                     г

Рисунок 2.2 – Выделение разниц в задании 1

Я наблюдала типичное поведение при неправильном решении задания. Испытуемые указывали, как правило, на полоски и не пытались находить отношение между величинами. В этом случае формула м + к + о + е ничем не отличалась от формулы а γ в γ с γ д.

Экспериментатор просил ребенка по формуле сложения выполнить действие с полосками. Испытуемый прикладывал полоски по длине в одну линию (рисунок 2.3).

                           

   м           к          о          е                                          м+к+о+е

Рисунок 2.3 – Отождествление разниц с полосками

После того, как экспериментатор спрашивал, до какой длины растягивалась полоска, учащиеся убеждались, что они неверно нашли величины и нарушили условие задачи.

Важно отметить, что такая подмена условий задания свидетельствует о том, что испытуемые непосредственно соотносят предметы и буквенное обозначение величин, не обращая внимания на математический знак сложения. Если разница наглядно не представлена, то испытуемые не могут ее выделить. В этом случае разница не является способом перехода от одной величины к другой, а выступает предметом — таким же, как и сравниваемые предметы.

При выполнении задания 1 я добивалась понимания и предметной фиксации разницы с помощью жеста (двумя пальцами испытуемый показывал тот отрезок, на который увеличивалась одна из полосок). После этого учащиеся переходили к выполнению задания 2. От общего числа испытуемых только 40% детей смогли правильно выполнить задание 2.

При верном решении мы наблюдали следующие способы поиска суммы разниц:

- либо учащиеся сначала показывали пальцами отрезок (разницу), а затем объединяющим жестом присоединяли отрезки друг к другу (рисунок 2.4,а);

- либо полоски накладывались детьми одна на другую, а общая разница выделялась как часть одной из полосок (рисунок 2.4,б).

                 

                 а)                                                                          б)

Рисунок 2.4 – Варианты верного решения задания 2

При неверном выполнении задания наблюдалось два типа ответов. В первом случае за сумму разниц принималась одна из полосок (рисунок 2.5, а).

Во втором случае, когда экспериментатор просил показать сумму разниц, испытуемые показывали только одну из разниц (например, вместо о + е выделялся отрезок о или е (рисунок 2.5, б.).

  

    о           о+е         к           к+о                  к+е         о+е       о+е=е     к+е=е

                              а)                                                   б)

Рисунок 2.5 –Варианты неверного решения задания 2

Видно, что в таких случаях испытуемые не могут работать с разницей. Даже если происходит верное выделение одной из разниц (случай 2), то испытуемый все равно не может найти сумму, т.е. предметно показать общее отношение. Эти данные свидетельствуют о том, что для детей не произошло отделение отношений от самих вещей, не существует вне предметов и должно быть представлено наглядно.

Выполнение задания 3 оказалось самым трудным для учащихся, т.к. требовалось работать уже не в плане предметного ряда полосок, а находить отношение между двумя видами записи одного и того же процесса преобразования величины резиночки.

Только 30% от общего числа испытуемых (6 детей) смогли верно выполнить это задание. Эти испытуемые действовали без опоры на предметный ряд и не принимали во внимание провоцирующий фактор, что одна формула записана точно под другой.

Напротив, для другой группы испытуемых из 18 участников эксперимента (70%) такая запись провоцировала на буквальное повторение действий экспериментатора, работающего с первой формулой.

Испытуемые совмещали части двух формул и отвечали, например, что переход от "в" к "г" означает, по их формуле,о+е (рисунок 2.6).

   а→б                б→в      в→г                              м+к      к+о       о+е

Рисунок 2.6 – Неверное соотнесение формул в задании 3

Оказалось, что значки " — " и " + " означают одно и то же действие: переход от одной вещи к другой.

Таким образом, обнаруженный факт натурального понимания разницы, отношение к ней как к вещи в ряду других вещей означает, что процесс изменения вещей и процесс действий с отношениями между вещами оказываются слиты в мышлении детей.

Итак, результаты проведенного эксперимента показывают, что к третьему классу обучения только 20% учащихся (выполнивших задание 1 и 2) могут не только выделить отношение, которое не представлено предметно, но и моделировать процесс преобразования этих отношений.

Однако 50% учащихся (по результатам решения заданий 1) не могут самостоятельно выделить отношение между двумя предметами, т.е. не могут отделить отношение между вещами от самих вещей. Это позволяет сделать вывод о преобладающем натуральном подходе в отношении к математическому понятию "величина".

Данные эксперимента указывают на недостаточную разработку как логико-психологического анализа понятия "величина", так и методического оформления заданий по формированию полноценного понятия величины.

Уместно привести положение Б.Д. Эльконина о том, что знаковость как центральная характеристика понятия величины не формируется спонтанно, а должна стать объектом специального формирования [36].

Подтверждается мое предположение о том, что введение понятия величины, основанное на действиях уравнивания и сравнения, недостаточно. Необходимо принять во внимание положение о том, что введение величины должно быть основано на отношении двух действий: сравнения и преобразования. Это положение требует поиска особой формы представленности для ребенка действия по преобразованию величины объекта, на основе которого возможно было бы осуществлять переход к действию сравнения.

2.3 Диагностика уровня сформированности математических понятий (метод ключевых понятий)

В данном пункте описан метод ключевых понятий, который, как представляется, хо­рошо отвечает задаче оценки сформированности понятийного ап­парата. Содержание метода подробно об­суждается в статье Н.О. Вербицкой, В.Ю. Бодрякова [4]. Он основывается на ис­следовании остаточных знании учащихся по проверяемой теме, разделу, курсу.

Остаточными знаниями мы называем тот объем понятий, которым «отложился», ос­тался в памяти учащихся после изучения темы спустя некоторое время, в течение которого эти понятия с детьми не повторя­лись.

Важно подчеркнуть, что объем и структу­ра остаточных знаний напрямую связаны с интеллектуальным уровнем развития учени­ка.

Ученик с низким интеллектом менее восприимчив к теоретическим понятиям, т. е. от него нельзя ожидать качественных и полных определений, которые вполне естественны для учащихся более высокого интеллекта [15]. Поэтому применению метода ключевых понятий должны предшествовать пси­хологические исследования интеллектуаль­ного развития каждого ученика. В литературе по психологии принято выделять семь уров­ней интеллекта: высокий, очень хороший, хороший, умеренный, средний, удовлетво­рительный, низкий. На методах установле­ния такой классификации мы останавли­ваться не будем, поскольку он хорошо из­вестен специалистам. Методической осно­вой такой классификации может стать стандартный тест ШТУР (школьный тест умственного развития), который часто встре­чается в психологической литературе [12].

Суть самого метода ключевых понятий довольно проста. Учащимся предлагается письменно наиболее полно раскрыть от 5 до 10 основных понятий, составляющих суть диагностируемой темы. При этом предла­гаемые понятия должны отвечать требованиям ключевого значения и достаточной общности [5].

В зависимости от объема проверяемого материала и сложности понятий на пись­менную работу может быть затрачено от 20 до 40 мин. Собрав работы, учитель указыва­ет на каждой из них индивидуальный ин­теллектуальный балл ее исполнителя, а за­тем оценивает по 5-балльной системе каче­ство выполнения задания. На основе прове­денной проверки вычисляются следующие показатели:

ИУ – индивидуальный общий уровень знаний, показывающий, сколько процентов задания выполнил учащийся:

СУ – средний общий уровень знании, демонстрирующий, какая часть задания вы­полнена в среднем в данной группе учащих­ся:

На основе полученных данных вычисля­ется главный показатель — индивидуальное расхождение (ИР). Это тот процент выпол­ненного задания, который соответствует уровню интеллекта каждого учащегося. По­казатель ИР определяет, с одной стороны, индивидуальную «недогруженность» каждо­го ученика и, с другой стороны, наиболь­ший возможный процент выполнения зада­ния (т. е. усвоенных понятий) на нынешнем этапе умственного развития ученика. Если ученик имеет высокий уровень интеллекта и при этом сумел разъяснить всего 30% клю­чевых понятий, то, значит, качество его знаний нуждается в срочном восполнении. Но если школьник имеет удовлетворитель­ный уровень интеллекта, но сумел разъяс­нить 80% заданных понятий, то он заслужи­вает отличной оценки, а не те три балла, которые он обычно получает на контроль­ной работе. Именно индивидуальное рас­хождение должно определить оценку ребен­ка при проверке качества знаний.

Коэффициент СР – среднее расхождение – показывает среднее по классу (группе) соответствие уровня знаний уровню интел­лекта. Из формулы видно, что чем меньше СР, тем выше качество знаний всех учащих­ся:

В приведенной ниже таблице (таблица 2.1) показана схема оценки знаний ученика в соответст­вии с установленным уровнем его интеллек­туального развития и объемом выполненной работы.

Можно обратить внимание на то, что чем ниже интеллектуальный уровень ученика, тем меньший объем работы от него требует­ся для получения нулевого балла индивиду­ального расхождения. Так, ученикам с вы­соким интеллектом требуется сделать от 90% до 100% всей работы. Но если интеллект оценен как умеренный, то уже 70% выпол­ненной работы (то же от 70% до 100%) обеспечивают нулевой балл ИР. А для ребят с низким уровнем интеллекта достаточно 50—70% выполнения для получения нуле­вого балла ИР, а значит, и отличной оценки [5].

Таблица 2.1 –Оценка знаний ученика с установленным уровнем его ИР и объемом выполненной работы

Интеллектуальный балл (в %)	Уровень интеллекта	Объем выполнен- ного     задания      (в %)	Индивидуаль- ное расхождение	Оценка за работу (баллы)
61-69	высокий	90…100 80…90 60…80 40…60 10…40	0 1 2 3 4	5 (отлично) 4 (хорошо) 3 (удовл.) 3 (удовл.) 2 (неудовл.)
51-60	очень хороший	80…100 70…80 50…70 30…50 10…30	0 1 2 3 4	5 4 3 3 2
41-50	хороший	80…100 60…80 40…60 20…40 1…20	0 1 2 3 4	5 4 3 3 2
31-40	умеренный	70…100 60…70 40…60 20…40 1…20	0 1 2 3 4	5 4 3 3 2
21-30	средний	70…90 60…70 40…60 20…40 1…20	0 1 2 3 4	5 4 3 3 2
11-20	удовлетво- рительный	60…80 40…60 20…40 1…20	0 1 2 3	5 4 3 2
1-10	низкий	50…70 30…50 1…30	0 1 2	5 4 3

Результаты экспертизы качества знаний в классе могут быть представлены на коорди­натной плоскости в координатах СР—СУ (рисунок 2.7), где точка на плоскости, имеющая координаты СР и СУ, определяет уровень качества знании на данном временном эта­пе.

Необычное направление координатной оси (справа налево) продиктовано стремле­нием к наглядности: повышение качества знаний соответствует уменьшению среднего расхождения.

Экспертизу качества знаний целесообраз­но проводить внесколько этапов, напри­мер, при завершении крупной темы или раздела, или в конце каждой учебной чет­верти. Каждому этапу исследования должна соответствовать точка на координатной плос­кости СР—СУ. Ломаная линия, соединяю­щая эти точки, позволит проанализировать динамику роста качества знаний учащихся. Так, на рисунок 2.7 цифрами I, II, III, IV обозначены точки, характеризующие резуль­таты проверок, проведенных, соответственно, в первой, второй, третьей и четвертой четверти. При этом, очевидно, повышение качества знаний соответствует уменьшению среднего расхождения СР и увеличению среднего общего уровня знании СУ.

Рисунок 2.7 –  Результаты экспертизы качества знаний

Аналогично может быть построен график соответствия ИР—ИУ для оценки индиви­дуального уровня знаний. Закономерности при этом остаются теми же самыми (рисунок 2.8): чем выше «интеллектуальный уровень» уче­ника, тем ниже балл «индивидуального рас­хождения» (ИР).

Рисунок 2.8 – Оценка индиви­дуального уровня знаний

Следует подчеркнуть, что для методики ключевых понятий необходимо использовать не стандартные определения, данные в учебнике для обязательного заучивания наизусть, а именно ключевые понятия, требующие самостоятельной мыслительной деятельности учащихся. Проверка стандартных, заученных наизусть определений не дает адекватного представления о качестве остаточных знаний учащихся, а является, скорее, проверкой оперативной памяти учащихся[5].

Можно предложить следующее примерное содержание понятий, подходящих для экспертной оценки остаточных теоретических знаний учащихся VIII класса.

                                       Алгебра

Тема «Алгебраические выражения»

Объясните, что такое формула, числовое равенство? Запишите формулу четного числа и формулу нечетного числа. Разъясните, что такое алгебраическое выражение? Что называется степенью числа, основанием степени, показателем степени?

Тема «Уравнение первой степени с одним неизвестным»

Что называется уравнением, корнем уравнения, что значит решить уравнение? Перечислите основные свойства уравнений.

Тема «Алгебраические дроби»

Объясните термин «алгебраическая дробь». Перечислите основные свойства дроби. Сформулируйте правила умножения и деле­ния алгебраических дробей, правило возве­дения алгебраической дроби встепень.

Тема «Формулы сокращенного умножения»

Запишите, чему равен квадрат суммы двух чисел, квадрат разности двух чисел. Запи­шите формулу разности квадратов двух чи­сел.

Геометрия

Тема «Основные понятия геометрии»

Опишите понятия «точка», «прямая». Оп­ределите, что такое «отрезок», «луч», «угол». Объясните, откуда берутся единицы измере­ния отрезков.

Тема   «Треугольник и его элементы»

Объясните, что такое градус», что такое «треугольник». Опишите, какие два угла называются вертикальными, какие прямые называются параллельными. Назовите при­знаки равенства треугольников. Дайте опре­деления понятий: «медиана», «биссектриса», «высота треугольника».

Тема   «Параллельные прямые»

Объясните, что такое параллельные пря­мые. Каковы признаки параллельности двух прямых? Сформулируйте аксиому параллель­ности прямых.

Тема   «Виды треугольников»

Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Объясните, что такое остро­угольный, прямоугольный, тупоугольный треугольник, приведите примеры таких тре­угольников. В чем состоит теорема о соот­ношении между сторонами и углами тре­угольника? Сформулируйте неравенство тре­угольника.

При ответах на данные вопросы учащиеся не должны вспоминать дословно соответст­вующие материалы из учебника. Все описа­ния, определения, формулировки они могут давать своими словами.

Результаты проверки остаточных знаний по математике, полученные на основе опи­санного метода, наглядно представлены гра­фиками и гистограммами на рисунке 2.9. Данные получены для двух восьмых классов средней школы №3 п. Комсомольского.

Каждый кру­жок на графиках означает точку соответст­вия индивидуального уровня и индивиду­ального расхождения для какого-то учаще­гося данного класса. На гистограммах пока­зано распределение учащихся по баллам ИР в каждом классе.

Рисунок 2.9 – Гистограммы распределения учащихся по баллам ИР в VIII “A” и VIII «Б» соответственно

  

Рисунок 2.10 – Графики соответст­вия индивидуального уровня и индивидуального расхождения для учащихся VIII “A” и VIII«Б»

Например, на гистограмме VIII«А» (рисунок 2.9) мы видим, что достигнуть нулевого уровня рас­хождения в этом классе сумели 4 человека. Значит, если судить по таблице 2.1, эти учени­ки обеспечили себе за работу оценку «5» пне зависимости от того, к какому уровню отне­сен их интеллект. В VIIIклассе «Б» с отличниками хуже: там достиг нулевого бал­ла ИР только один человек (см. гистограм­му). Но зато более 6 учащихся показали свое ИР на уровне 4 баллов. Это очень большое расхождение. Таким учащимся уг­рожает оценка «2». Но, судя по графику VIII«Б», в соответствии с рисунком 2.10, реально получат двойку только 4 человека, чей процент раскрытия материала близок к 20 % или превышает их. Эти учащиеся явно недогружены интеллектуально, по-видимому, просто ленятся. Но еще 3 человека (см. три кружочка у цифры 4 на графике VIII «Б», в соответствии с рисунком 2.10) имеют низкий уровень интеллекта. Ставить им за данную работу дополнительную двойку к множеству плохих оценок уже заработанных ими, не имеет смысла. Эти дети нуждаются в занятиях по общему развитию.

Полученные результаты могут дать учите­лю следующую информацию.

1 Существует очевидная корреляция (поч­ти линейная) между индивидуальным уров­нем и индивидуальным расхождением в це­лом по классу. Это свидетельствует о ста­тистическойобъективности   (валлидности) метода.

2 Структурный анализ гистограмм позво­ляет сделатьвыводы  и датьконкретные рекомендации учителю по дальнейшей ме­тодике работы с исследованными учащими­ся.

Так, согласно гистограмме VIII «Б» клас­са, у половины учащихся практически нет самостоятельной мыслительной деятельнос­ти по формированию собственного поня­тийного аппарата (высокий балл расхожде­ния), т. е. работа идет на уровне оператив­ного запоминания. Работа с этим классом требует акцента на развитие мыслительной деятельности. В VIII «А» классе картина более благополучная.

В дополнение к вышесказанному, опи­санные гистограммы могут стать объектив­ной основой для дифференцированного под­хода к содержанию учебного материала. Группа с нулевым баллом расхождения мо­жет и должна учиться по более продвинутой программе.

3 Общий анализ результатов проведен­ных измерений объективно свидетельствует о недостаточной сформированности у уча­щихся теоретических знаний, слабой спо­собности к самостоятельной мыслительной деятельности: только небольшой процент учащихся в исследованных классах показал нулевой балл расхождения, т. е. работает в полную силу.

2.4 Исследование процесса сравнения понятий учащимися 11 класса

Цель эксперимента – выявить как изменяется определение понятий в процессе их усвоения [2].

Необходимый материал. Письменные определения десятью учениками 11 класса понятия производной, данные в начале изучения темы и после ее изучения.                           

Ход выполнения задания. После того как я провела эксперимент, я весь анализ материала ввела в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 –Изменение определения понятий в процессе их усвоения

Фамилия, имя ученика	Определение понятий	Характер изменения определения понятия
В начале изучения	После изучения
правильное	ошибочное	правильное	ошибочное
Галов М.	+		+		Не изменено
Григорьева М.		+	+		Переосмыслено
Иошин А.		+	+		Переосмыслено
Колова А.	+		+		Не изменено
Куршев А.	+		+		Не изменено
Лакутина С.	+		+		Не изменено
Махаева М.		+		+	Не изменено
Пелагейкина Е.	+			+	Искажено
Рябкина Н.		+		+	Не изменено
Цуран Н.	+			+	Искажено

Обработка данных выполненного задания.Для того чтобы определить результат данного эксперимента я составила таблицу 2.3. С ее помощью я смогу определить коэффициент изменения определения понятия.

Таблица 2.3 – Показатель

Количество определений понятий
правильных	подвергалось изменению (переосмыс- ливанию)	стало более точным	оставалось правильным	стало ошибочным
в начале изучения	после изучения
6	6	2	2	4	2

На основании полученных данных установим коэффициенты правильности определения понятий:

а) в начале изучения

б) после изучения:

Коэффициент изменения определения понятия:

По результатам данного эксперимента можно сделать вывод, что определение производной в школе является нерабочим. Время, затраченное учителем на разучивание алгоритма его применения к выводу некоторых формул дифференцирования, проходит для большинства учащихся впустую, такая работа не способствует даже запоминанию формул. На мой взгляд, в школе упомянутые выше понятия мате­матического анализа можно ввести без строгих определений. А высвободившееся время лучше уделить формированию общего представления о новых математических понятиях, основываясь на знании их геометрического и физического смысла или на наглядных представлениях учащихся. Это будет честнее, чем требовать от учеников запоминания недоступных их пониманию определений, которые в дальнейшем все равно не применяются.

Заключение

Основополагающим принципом диагностики в педагогической психологии является соответствие критериев, способов оценки программе и методу формирования знаний. Правильное вве­дение математических понятий, формирование каждого из них как системы взаимосвязанных упорядоченных суждений, разумное сочетание логического и содержательного аспектов в процессе изучения понятий, — все это способствует их успеш­ному усвоению и применению в практической де­ятельности.

В подходе развивающего обучения, организованного в соответствии с теорией учебной деятельности, при разработке диагностических методов по оценке сформированности математических понятий важно учитывать специфику учебного содержания. Содержанием учебной деятельности является освоение учебного предмета как системы теоретических понятий о некоторой области действительности.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

10) проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература, посвящённая проблеме диагностики математических понятий у учащихся и найдены методы диагностики сформированности понятийного аппарата;

11) рассмотрены основные подходы к введению математических понятий;

12) раскрыта роль определений в математической деятельности учащихся;

13) показано, как конструи­руется собственно методическая концепция формиро­вания математических понятий;

14) показано значение вопросов при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики;

15) выявлены уровени сформированности понятия "величина" у учащихся IIIкласса

16) рассмотрен метод ключевых понятий, который хо­рошо отвечает задаче оценки сформированности понятийного ап­парата;

17) выявлено, как изменяется определение понятий в процессе их усвоения на примере учеников XI класса;

18) проанализированы результаты экспериментальных исследований.

В процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные выводы:

· необходимо осуществлять целенаправленный процесс формирования понятийв школе

· необходимо развивать мышление учащихся, в частности, в умение логически мыслить  и вводить новое понятие из ранее известного

· необходимо своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания, основанные на долговременном запоминании

Сделанные выводы дают основание полагать, что решены поставленные задачи исследования. Общий анализ результатов проведен­ных исследований объективно свидетельствует о недостаточной сформированности у уча­щихся теоретических знаний, слабой спо­собности к самостоятельной мыслительной деятельности

Итак, подчеркнем, что правильное вве­дение математических понятий, формирование каждого из них как системы взаимосвязанных упорядоченных суждений, разумное сочетание логического и содержательного аспектов в процессе изучения понятий, — все это способствует их успеш­ному усвоению и применению в практической деятельности.

Список используемых источников

1Бадмаев, Б. Ц. Психология в работе учителя : в 2 кн. / Б.Ц.Бадмаев. – Кн. 2: Психологичекий практикум для учителя: развитие, обучение, воспитание. – М. : ВЛАДОС. – 2004. – 158 с.

2Берхин, Н. Б., Спичак, С. Ф. Практические занятия по психологии : учебное пособие для студентов пед. ин-тов / Н.Б.Берхин, С.Ф.Спичак ; под ред. А.В. Петровского. – М. : Просвещение, 1972. – 167 с.

3Бескин, Н. М. Методика геометрии / Н.М.Бескин ; с приложением главы : «Методика преподавания наглядной геометрии» А. М. Астряба ; допущущен М-вом высш. образования СССР в качестве учебника для пед. ин-тов. – М. : Учпедгиз, 1947. – 276 с.

4Вербицкая, Н. О. Методика ключевых определений / Н. О. Вербицкая, В.Ю.Бодряков // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1996. – № 6. – С. 70–73.

5Вербицкая, Н. О., Кожевникова, Л. А., Бодряков, В. Ю. Метод контроля остаточных знаний по математике / Н.О.Вербицкая, Л. А. Кожевникова, В.Ю. Бодряков // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1998. – №2. – С. 58–61.

6Владимирцева, С. А. О разных подходах к введению математических понятий / С. А. Владимирцева // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 2005. – №7. – С. 46–52.

7Войшвилло, Е. К. Понятие как форма мышления : логико-гносеологический анализ / Е.К.Войшвилло. – М. : Изд-во МГУ, 1989. – 239 с.

8Геометрия: учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Анатясян [и др.] ; М-во образования Рос. Федерации. – 13-е изд.. – М. : Просвещение, 2003. – 384 с.

9Геометрия : учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк./ Л. С. Анатасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.] ; М-во образования Рос. Федерации.  – 12-е изд., перераб. и доп. / при участии А. Н. Тихонова. – М. : Просвещение, 2003. – 206 с.

10Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения : опыт теоретического и экспериментального психологического исследования : учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по напр. и спец. психологии / В.В.Давыдов ; М-во образования Рос. Федерации. – М. : Академия, 2004. – 283 с.

11Демидов, В. П., Саранцев, Г. И. Методика преподавания математики : учебное пособие для студентов / В. П. Демидов, Г. И. Саранцев ; МГУ им. Н. П. Огарева. – Саранск : Изд-во мордовского ун-та, 1976. – 190 с.

12Елисеев, О. П. Конструктивная типология и психодиагностика личности / О.П. Елисеев. – Псков : ПГУ, 1994. – 157 с.

13Колягин, Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса математики : пособие для учителей / Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин ; под ред. А. . Маркушевича. – М. : Просвещение, 1974. – 382 с.                                                                                                                                                                                                              

14Крыговская, С. Роль определения в математической деятельности учащихся / С. Крыговская // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 2005. – № 4. – С. 66–70.

15Леонтьев, А. Н. О диагностических методах психологического исследования школьников / А. Н. Леонтьев, А. Р. Лурия, А. А. Смирнов // Советская педагогика : ежемес. науч.-теоретический журнал. – 1968. – С.65–71.

16Матыщук, К. В. Определения в преподавании математики / К. В. Матыщук // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1947. – № 3. – С. 34–37.

17Методика преподавания математики в средней школе : частная методика : учеб. пособие для студентов пед. ин-ов физ.-мат. спец. / А. Я. Блох, В.А.Гусев, Г. В. Дорофеев и [др.] ; cост. В. И. Мишин. – М. : Просвещение, 1987. – 416 с.

18Мищенко, А. С. О некоторых проблемах школьного математического образования / А. С. Мищенко // Методологические проблемы преподавания математики. – Л., 1987. – С. 101–106.

19Немов, Р. С. Психология : учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений : в 3 кн. –Кн. 3: Психодиагностика. Введение в научное психологическое исследование с элементами математической статистики / Р. С. Немов.  – Изд. 3-е. – М. :ВЛАДОС, 1998. – 632 с.

20Никитин, В. В., Рупасов, К. А. Определения математических понятий в курсе средней школы : пособие для учителей / В. В. Никитин, К. А. Рупасов. – Изд. 2-е. – М. : Учпедгиз, 1963. – 150 с.

21Психолого-педагогические основы построения нового учебного предмета "Математика" для начальных классов / под ред. В.В.Давыдова. – М. : Изд-во МГУ, 1989. – 167 с.

22Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии / С. Л. Рубинштейн; сост. К. А. Абульханова-Славская, А. В. Брушлинский. – СПб. : Питер, 1999. – 720 с.

23Рупасов, К. А. Определения в школьном курсе математики : пособие для учителей / К. А. Рупасов ; под ред. проф. П. К. Рашевского. – М. : Учпедгиз, 1958. – 52 с.

24Савельева, О. В. Психологические критерии качества знаний младших школьников: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук: 08.00.13 : защищена 12.02.98 : утв. 24.06.98 / О. В. Савельева. – М., 1998. – 211 с.

25Саранцев, Г. И. Использование методов научного познания для упорядочения геометрических задач / Г. И. Саранцев // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1994. – № 6. – С. 2–4.

26Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и унив-тов / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2002. – 344 с.

27Саранцев, Г. И. Составление геометрических задач на заданных чертежах / Г. И. Саранцев // Математика в школе:  двухмес. науч. - методический

      журнал. – 1993. – № 6. – С. 14–16.

28Саранцев, Г. И. Формирование математических понятий в средней школе    /Г. И. Саранцев // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1998. – № 6. –С. 27–30.

29Светлов, В. А. Современная логика : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. 540400 (050400) «Социально - экон. образование» / В.А. Светлов; доп. УМО по напр. пед. образования. – СПб. : Питер, 1995. – 400 с.

30Скобелев, Г. Н. Проверка знаний учащихся на уроках математики в средней школе / Г. Н. Скобелев. – М. : Государственное учебно – педагогическое изд-во Мин-ва Просвещения РСФСР, 1962. – 96 с.

31Софронова,  Н. В. Значение вопроса на уроках математики / Н.В.Софронова // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1992. – № 6. – С. 12–13.

32Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н.Ф. Талызиной. – М. : Вентана Граф, 1995. – 21 с.

33Фрейденталь, Л. М. Математика как педагогическая задача. Пособие для учителя / Л. М.Фрейденталь. – Ч. II. – М., 1983. – 126 с.

34Хинчин, А. Я. О математических определениях в средней школе / А. Я. Хинчин // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1941. – № 1. – С. 5–9.

35Хинчин, А. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе / А. Я. Хинчин. – М. : Учпедгиз НКП РСФСР, 1940. – 51 с.

36Эльконин, Б. Д. Психологическое строение понятия величины / Б.Д.Эльконин // Вопросы психологии : двухмес. науч. журнал. – 1986. – № 1. – С. 5–8.

37Якиманская, И. С. Психологические основы математического образования: учебное пособие для студентов пед. вузов / И. С. Якиманская. – М.: Академия, 2004. – 320 с.