Финансовая математика (19 задач с решениями)


Сдавался/использовался	2004г., Новосибирск, Сибирский институт финансов и банковского дела, преп. Волынская О.А.
	Загрузить архив:
	Файл: ref-25565.zip (87kb [zip], Скачиваний: 900) скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский институт финансов и банковского дела

Кафедра: NNN

Контрольная работа

по дисциплине: Финансовая математика

Вариант: 2

Выполнил: Руководитель:

Студент группы NNN-NNN ст. преп.

NnnnnnnnN.N. Волынская О.А

Новосибирск

2004

Задача 1

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10000 руб. достигнет через 180 дней суммы 19000 руб.

Дано: Решение:

PV= 10000 руб. Вывод формулы для простой ставки процентов:

FV= 19000 руб.

t= 180 дней

T= 360 дней

_________________

i- ?

Ответ: простая ставка процентов равна 180%.

Задача 2

Кредит в размере 15000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.

Дано: Решение:

PV= 15000 руб. Размер долга:

i= 24% = 0,24

__________________ 1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.

FV– ? (дней)

I– ? (руб.)

2) «французская практика»: T=360 дней.

(дней)

(руб.)

3) «германская практика»: T=360 дней.

(дня)

(руб.)

Ответ: размер долга составляет:

- согласно «английской практике»: 17031,781 руб.;

- согласно «французской практике»: 17060 руб.;

- согласно «английской практике»: 17020 руб.

Задача 3

Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15000 руб.(простые проценты)

Дано: Решение:

Сумма начисленных процентов:

T = 1 год = 360 дней

PV = 15000 руб. Сумма к возврату:

= 30×3 = 90 дней

__________________

FV - ? = 19275 (руб.)

Ответ: сумма к возврату в банк составит 19275 руб.

Задача 4

Договор вклада заключён сроком на 2 года и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада 15000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента к концу срока.

Дано: Решение:

PV= 15000 руб. Сумма на счёте клиента к концу срока:

n = 2 года

j = 16% = 0,16

m = 2 = 20407,334 (руб.)

________________

FV-?

Ответ: сумма на счёте клиента к концу срока составит 20407,334 руб.

Задача 5

Владелец векселя номинальной стоимости 19000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.

Дано: Решение:

FV = 19000 руб. Величина дисконта:

T= 1 год = 360 дней

t= 60 дней (руб.)

n = 1 год Сумма, полученная владельцем векселя:

d= 60% = 0,6 PV= FV– D ;

________________ PV= 19000 – 1900 = 17100(руб.)

D- ? PV - ?

Ответ: - величина дисконта равна 1900 руб.;

- сумма, полученная владельцем векселя, равна 17100 руб.

Задача 6

Определить значение годовой учётной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n= 1 год).

Дано: Решение:

i= 24% = 0,24 Эквивалентная годовая учётная ставка:

n= 1 год ;

______________

- ?

Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.

Задача 7

На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы 19000 руб.

Дано: Решение:

FV= 19000 руб. Сумма вклада:

j= 16% = 0,16

m= 4

n= 1,5 года = = 15015,976(руб.)

_________________

PV- ?

Ответ: сумма вклада равна 15015,976 руб.

Задача 8

Банк предлагает долгосрочные кредиты под 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов, 26% годовых с полугодовым начислением процентов и 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Дано: Решение:

n = 1 год Эффективная процентная ставка:

1) m= 4

j =24% = 0,24 при n=1 год:;

2) m= 2

j =26% = 0,26

3) m = 12

j= 20% = 0,2

_________________

- ?- ? - ?

Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее, т.к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).

Задача 9

Банк выдаёт кредит под 24% годовых. Полугодовой уровень инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.

Дано: Решение:

n= 1 год Индекс цен:

i= 24% = 0,24

N= 2 Реальная годовая процентная ставка:

______________

- ?

Ответ: реальная годовая ставка процентов равна 16,9%.

Задача 10

Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальная доходность вклада с учётом инфляции 3% была 10% годовых?

Дано: Решение:

= 3% = 0,03 Вывод формулы для процентной ставки:

n= 1

________________

i- ?

Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.

Задача 11

Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.

Дано: Решение:

Индекс цен:

N = 12 месяцев

________________

- ? Уровень инфляции:

- ?

Ответ: уровень инфляции за год равен 42,6%.

Задача 12

Вклад 15000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 72% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 3%.

Дано: Решение:

PV= 15000 руб. Реальная покупательная способность вклада через

j= 72% = 0,72 определённое время:

m= 12 месяцев

n= 6/12 года

p = 3% = 0,03 (руб.)

N= 6 месяцев Реальный доход вкладчика:

___________________

- ? (руб.)

Ответ: реальный доход вкладчика равен 2819,811 руб.

Задача 13

Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S₁=19000 руб., S₂=20000 руб., S₃=21000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S₄=22000 руб. в конце 2-го года и S₅ в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S₅.

Дано:

суммы платежей,

S₁=19000 S₄ =22000 S₂=20000 S₅ -? S₃=21000 руб.

|__________|__________|__________|__________|__________|

0 1 2 3 4 5срокиплатежей,

годы

наращение дисконти-

рование

Рис. 1. Исходный и новый графики платежей

На рис.1 отмечены: полужирным шрифтом – исходный график платежей, курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы

Решение:

Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:

Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):

где:n– число лет до момента приведения:

n = n₀ – n_i,

где:n_i- срокi-го платежа.

при - коэффициент наращения;

при - коэффициент дисконтирования;

при

(руб.)

Ответ: сумма второго платежа по новому графику платежей равна 38739,875 руб.

Задача 14

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 5% годовых для создания через 6 лет фонда в размере 19000000 руб.

Дано: Решение:

i= 5% = 0,05 Размер ежегодных платежей:

n= 6 лет

FVA= 19000000 руб. (руб.)

_____________________

R- ?

Ответ: размер ежегодных платежей равен 2793331,894 руб.

Задача 15

Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путём внесения в конце каждого года сумм 19000 руб. Проценты на вклад начисляются по ставке 5%.

Дано: Решение:

R= 19000 руб. Величина будущего фонда:

n= 2 года

i= 5% = 0,05 (руб.)

____________________

FVA- ?

Ответ: величина будущего фонда равна 38950 руб.

Задача 16

Ежемесячная арендная плата за квартиру составляет 1800 руб. Срок платежа – начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа, взимаемого за год вперёд. Ставка банковского депозита 48% годовых.

Дано: Решение:

R= 1 800 руб. Авансовая приведённая сумма аренды:

j= 48% = 0,48

m= 12

n= 1 год

________________ (руб.)

- ?

Ответ: равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17568,858 руб.

Задача 17

Двухлетняя облигация номиналом 1000 руб. имеет 4 полугодовых купона доходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения, приняв ставку сравнения 16%.

Дано:Решение:

n= 2 года Цена первоначального размещения облигации:

N= 1000 руб.

m= 2

j= 16% = 0,16

q= 20%

______________

P- ?

Ответ: цена первоначального размещения облигации равна 1066,243 руб.

Задача 18

Бескупонная облигация куплена на аукционе по курсу 40 и продана по курсу 58 через 90 дней. Рассчитать доходность вложения по схеме сложных и простых процентов.

Дано: Решение:

1) доходность по схеме простых процентов:

дней

Т = 360 дней 2)доходность по схеме сложных процентов:

________________

Y- ? - ?

Ответ: - доходность по схеме простых процентов равна 180%;

- доходность по схеме сложных процентов равна 342,1%.

Задача 19

Представить план амортизации 5-летнего займа в 1 500 000 руб., погашаемого:

Процентная ставка по займу 5%.

Дано:

i = 5% = 0,05

n= 5 лет

PVA= 1500000 руб.

1)амортизация займа, погашаемого равными суммами

Сумма погашения основного долга:

(руб.)

Сумма срочной уплаты:

Остаток долга на начало периода:

Таблица 1

План амортизации займа, погашаемого равными суммами

№ года к	Остаток долга на начало периода , руб.	Сумма погашения основного долга	Сумма процентов	Сумма срочной уплаты
1	1500000	300000	75000	375000
2	1200000	300000	60000	360000
3	900000	300000	45000	345000
4	600000	300000	30000	330000
5	300000	300000	15000	315000
Итого:	Х	1500000	225000	1725000

2) амортизация займа, погашаемого равными срочными уплатами

Срочный платёж:

(руб.);

Сумма процентов:

Погасительный платёж:

Остаток долга на начало периода:

Таблица 2

План амортизации займа, погашаемого равными срочными уплатами

№ года к	Остаток долга на начало периода , руб.	Остаток долга на конец периода, , руб.	Срочный платёж R, руб.	Сумма процентов , руб.	Погаситель-ный платёж , руб.
1	1500000,00	1228537,80	346462,20	75000,00	271462,20
2	1228537,80	943502,49	346462,20	61426,89	285035,31
3	943502,49	644215,42	346462,20	47175,13	299287,07
4	644215,42	329963,99	346462,20	32210,77	314251,43
5	329963,99	-0,01	346462,20	16498,20	329964,00
Итого:	Х	Х	1732311,00	232310,99	1500000,01