Матриці та системи лінійних рівнянь (матрица системных линейных уравнений)

Разделы	Математика
Тип	Работа
Формат	Microsoft Word
Язык	Украинский
Примечание	Матриці та системи лінійних рівнянь: Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. – Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2018. – 50 с.
	Загрузить архив:
	Файл: ref-26254.zip (668kb [zip], Скачиваний: 149) скачать

ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

О.Л.ГОРБАЧУК, Л.І.КОМАРНИЦЬКА, Ю.П.МАТУРІН

МАТРИЦІ ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Дрогобич - 2018

УДК 512.64(09)

К 63

Матриці та системи лінійних рівнянь: Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. – Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2018. – 50 с.

Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальностей “Математика”, “Математика та основи економіки”, “Математика та фізика”, затвердженої Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Посібник містить виклад теоретичного матеріалу з даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи.

Розрахований на студентів-математиків, які вивчають курс алгебри в педагогічних та класичних університетах, на вчителів математики та старшокласників, які цікавляться математикою.

Бібліографія5 назв.

Рекомендовано до друку Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

(протокол№ 8 від29 червня 2018 р.)

Відповідальний за випуск:доцент Галь Ю.М.

Редактор:Невмержицька Ірина Михайлівна

Рецензенти:

Пташник Б.Й., доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, завідувач відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С.Підстригача НАН України;

Зарічний М.М., доктор фізико-математичних наук, професор, декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

Комарницька Л.І.,

Матурін Ю.П.

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….4

1. Матриці та дії над ними .........................................................................5

Означення матриць ………………………………………………5

Види матриць ……………………………………………………..5

Означення дій над матрицями …………………………………..8

1.4. Властивості додавання матриць

та множення матриць на числа …………………………………10

1.5. Символ суми……………………………………………………...11

1.6. Властивості множення матриць ………………………………..12

1.7. Властивості транспонування …………………………………...14

1.8. Обернена матриця у випадку квадратних матриць

другого порядку…………………………………………………. 15

1.9. Приклади матриць, елементами яких є вектори……………….18

1.10. Числовий n-вимірний простір………………………………….. 20

1.11. Подібні матриці…………………………………………………. 21

1.12. Вправи…………………………………………………………… 21

2. Системи лінійних рівнянь……………………………………………23

2.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими………… 23

2.2. Системи лінійних рівнянь: основні означення……………… 25

2.3. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь……….. 27

2.4. Східчасті системи………………………………………………30

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду

(Метод Гаусса)………………………………………………….. 33

2.6. Вправи ………………………………………………………….. 36

3. Жорданова форма матриць та матричні рівняння…………37

3.1. Слід квадратної матриці……………………………………….. 37

3.2. Жорданова форма квадратних матриць. Основна теорема…. 38

3.3. Зведення до жорданової форми нижніх трикутних матриць другого порядку…………………………………………………39

3.4. Власні значення і власні вектори квадратної матриці другого порядку…………………………………………………………41

3.5. Зведення квадратної матриці другого порядку до нижньої трикутної форми…………………………………………………42

3.6. Загальний випадок………………………………………………43

3.7. Однозначність визначення жорданової форми з точністю до порядку слідування діагональних блоків………………………44

3.8. Спектр квадратної матриці другого порядку………………….47

3.9. Рівняння

3.10. Вправи……………………………………………………………49

Список літератури……………………………………………………. 50

Вступ

Метою даного навчального посібника є ознайомлення читачаз елементами теорії матриць та систем лінійних рівнянь. Цей матеріал є доступним не лише для студентів-першокурсників, але й для старшокласників.

Серед розглядуваних питань найважливішими є властивості дій над матрицями, рівносильні перетворення систем лінійних рівнянь,жорданова форма матриць та матричні рівняння. Останні питання мають поглибити знання студентів в галузі теорії матриць, користуючись при цьому тільки елементарними засобами.

Кожний із розділів закінчується вправами, які ілюструють й доповнюють теоретичний матеріал.

Теорія матриць відіграє важливу роль не тільки у всіх галузях математики, але й у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дуже ретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел і широко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так, наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певних квадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволити елементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отримати приклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданими властивостями.

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса фактично зводиться до певних перетворень над їх розширеними матрицями, а тому ця тема є органічним продовженням першого розділу даного посібника.

Вивчення теми про жорданову форму матриць дозволить досить просто розв’язувати деякі типи матричних рівнянь.

Джерела із списку літератури допоможуть зацікавленим студентам продовжити вивчення тем , викладених у посібнику.

Розділ 1. Матриці та дії над ними

1.1. Означення матриць

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичними об’єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такі матриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однією буквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці, а другий – номер його стовпця.

Таким чином, матриця записується у формі:

або

Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k × n.

Якщо кількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків (стовпців) називається її порядком.

Матрицю також позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповідних малих літер з двома індексами:

А = = В = =

Дві матриці однакових розмірів називають рівними, якщо їх відповідні елементи рівні.

Наприклад, матриці

A = В =

не є рівними ( А ≠ В ), оскільки

1.2. Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком[матрицею-стовпцем].

Матрицю-рядок також називають рядком, а матрицю-стовпець – стовпцем. Використовуються також наступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з n елементів, називається n-вимірним.

Матриця О довільних розмірів, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:

О =

Рядок [стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.

Одиничною матрицею називається квадратна матриця Е n-го порядку наступного вигляду:

Е = = [_ij],

де_ij = – символ Кронекера.

Квадратна матриця D називається діагональною, якщо вона має наступний вигляд:

D=

тобто d_ij = 0, якщо і ¹ j. Таку матрицю також позначають наступним чином:

D=diag.

Наприклад,

Зрозуміло, що одинична матриця є діагональною.

Квадратна матриця А називається нижньою трикутною, якщо вона має вигляд:

А =,

тобто а_ij = 0, якщо і < j.

Квадратна матриця А називається верхньою трикутною, якщо вона має вигляд:

А = ,

тобто а_ij = 0, якщо і > j .

Матриця, яка є або нуль-матрицею, або матрицею виду

де 0, 0, ..., 0 називають верхньою трапецієподібною матрицею.

Приклади:

1). нуль-матриця;

2). ― вектор-стовпець;

3). ― діагональна матриця;

4). ― одинична матриця;

5). ― нижня трикутна матриця;

6). ― верхні трапецієподібні матриці.

Східчастою називають матрицю А, яка має наступні властивості:

1). Якщо і-ий рядок нульовий, то (ί+1)-ийрядок також нульовий;

2). Якщо перші ненульові елементи ί-го і (ί+1)-го рядків є в стовпцях К_і і К_і₊₁ відповідно, то К_і < К_і₊₁.

Приклад.

― східчаста матриця, де

1.3. Означення дій над матрицями

Сумою двох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто

С=А+В=

(або для всіхi, j).

Добутком матриці А на число λ називають таку матрицю В, кожний елемент якої дорівнює добутку числа λ і відповідного елемента матриці А, тобто:

В = λ А = λ = =

(або для всіх

Матрицю (-1) А позначатимемо через –А і називатимемо її матрицею, протилежною до матриці А.

Під різницею матриць А і В (А – В) будемо розуміти суму А + (-В). Зрозуміло, що А – А = О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.

Транспонованою до матриці А розмірів kn називається така матриця Врозмірів nk, що

для всіх і, j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.

Транспоновану матрицю позначають через А^T, а елементи її через (=а).

Приклад:

А = ^T=

Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка і стовпця однакової довжини (рядок – лівий множник, стовпець – правий множник, бо порядок співмножників тут важливий !):

У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можна ототожнити з її єдиним елементом Добуток АВ матриць А і В визначаємо тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця А має розмір В – n.

Добутком матриць А і В називається матрицяС = АВ, що має розмір kr, а її елемент дорівнює добутку і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В:

c_i_j = =

i =1, ..., k; j =1, ..., r.

Приклади:

1). =

2).

3). =

4).

Нехай А – квадратна матриця n-го порядку, Е – одинична матриця n-го порядку, а О – квадратна нуль-матриця n-го порядку. Тоді легко перевірити, що:

АЕ = ЕА = А,

АО = ОА = О.

Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею (нуль-матрицею).

Справді,

Квадратна матриця В n-го порядку називається оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо

АВ = ВА = Е.

Обернену матрицю до матриці А позначають через

Приклад.

Нехай А = В = – обернена матриця до матриці А.

1.4. Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

2. А + О = О + А = А;

3. А + (-А) = (-А) + А = О;

4. А + В = В + А (комутативність);

5. А;

6. А + В) = А + В;

7. (+ А = А + А;

8. А) = (А

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1. А + (В + С) = +

= =

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел).

1.5. Символи суми

Суму позначають черезі називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1).

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2). (адитивність);

3). (однорідність);

де – будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума Sвсіх елементів даної таблиці дорівнює

S =

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку матриць і розмірів і

1.6. Властивості множення матриць

1. Множення матриць не є комутативним, тобто існують такі матриці А і В, для яких АВ ≠ ВА.

Наприклад,

2. (АВ)С = А(ВС) для довільних матриць А, В, С, для яких існують добутки АВ і ВС (асоціативність).

Справді, нехай А має розмір Покладемо АВ = U і ВС = V. Зрозуміло, що U має розмір а UС = АV. Доведемо це.

Елемент добутку UС дорівнює

але

UС (використана властивість 3 символу суми).

Знайдемо тепер елемент добутку АV.

(використана властивість 3 символу суми).

Використавши властивість 4 подвійних сум, матимемо, що UС = АV.

3.якщо і мають однаковий розмір та існує ;

, якщо А і В мають однаковий розмір та існує АС

(дистрибутивність).

Доведемо першу рівність за вказаних умов. Нехай А має розмір а В і С - А (В + С) дорівнює

Елементи добутків АВ, АС дорівнюють відповідно,

Тому елемент матриці АВ + АС дорівнює

(тут була використана властивість 2 символу суми – адитивність).

Отже, відповідні елементи матриць А (В + С), АВ + АС рівні. Тому перша рівність доведена. Друга рівність доводиться аналогічно.

4.АЕ = ЕА = А,

де А - квадратна матриця, а Е - одинична матриця того ж порядку n.

Справді, елемент добутку АЕ дорівнює

а елемент добутку ЕА дорівнює

5. Якщо квадратна матриця А має обернену матрицю, то обернена матриця єдина.

Справді, нехай В і С – обернені до А матриці. Тоді

АВ = ВА = Е і АС = СА = Е.

Тоді

С = СЕ = С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В

(тут використані властивості 4, 2 множення матриць).

6. Якщо квадратні матриці А і В мають обернені, то

(перевірити самостійно !)

1.7. Властивості транспонування

для довільної матриці А (ідемпотентність);

де А і В – довільні матриці однакових розмірів (адитивність);

для довільної матриці А і довільного числа λ (однорідність);

для довільних матриць А і В, для яких існує добуток АВ;

Доведемо ці властивості.

1. Очевидно.

2. Справді,

3. Справді,

4. Нехай U = АВ. Тоді

тобто = .

5. Доведемо першу з рівностей. Використаємо попередню і першу властивості:

Матриця А, для якої симетричною.

Таким чином, матриця завжди симетрична.

Приклад:

– симетрична матриця.

1.8. Обернена матриця у випадку квадратнихматриць другого порядку

Приклад.

Розглянемо матрицю

отримаємо дві системи:

ОскількитобтоОчевидно, що така рівність і друга рівність системи виконуватися одночасно неможуть. Отже маємо протиріччя. Таким чином, матриця А оберненоїматриці не має.

Приклад.

Нехай матриця А має обернену матрицю і знайдемо її.

Існування матриці, оберненої до А, рівносильне існуванню спільного розв’язку двох матричних рівнянь і

Припустимо, що такий розв’язок справді існує, тоді з отримаємо системи:

Зрозуміло, що тоді

Отже, з існування розв’язку випливає, що він дорівнює

Легко переконатися, що справді

Таким чином існує і дорівнює

Для кожної квадратної матриці другого порядку існує простий спосіб з’ясування того факту, чи існує для неї обернена матриця. Для цього введемо поняття визначника квадратної матриці другого порядку.

Визначником матриці називається число

Зрозуміло, що

Лема. Якщо А і В – дві квадратні матриці другого порядку, то

Доведення. Справді,

–

Лему доведено.

Твердження. Для того, щоб квадратна матриця А другого порядку мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб

Доведення. Нехай матриця А має обернену матрицю В. Тоді АВ = ВА = Е, де

За лемою

Навпаки, нехай Покажемо, що матриця

є оберненою до А. Справді,

Твердження доведено.

Приклад.

Нехай Тоді

Отже, А має обернену матрицю

Приклад.

Нехай Тоді

Отже, існує і дорівнює матриці

Квадратна матриця А другого порядку називається особливою (або виродженою), якщо і неособливою (невиродженою), якщо

1.9. Приклади матриць, елементами яких є вектори

До цього часу ми розглядали лише такі матриці, елементами яких є числа. Проте в математиці використовуються також і матриці, елементами яких є самі матриці. Неявно ми вже використовували їх, коли визначали добуток двох матриць. Справді, нехай матриця А має розмір а матриця тоді

(1)

де - рядок матриці А, а – стовпець матриці АВ ми визначали, як

(2)

де

Якщо б в (1) ми вважали б звичайними числами і визначали б добуток А і В звичайним способом (за означенням добутку матриць, елементами яких є числа), то ми також одержали б добуток АВ, визначений формулою (2). Ці міркування можна поширити на більш загальний випадок матриць, елементами яких є матриці. Проте тут ми цього робити не будемо, а лише обмежимося конкретними прикладами.

Приклад 1.

Нехай - двовимірні вектори, - числа. Тоді

Справді,

Приклад 2.

Нехай – двовимірні вектори, – матриця з числовими елементами. Тоді

(тут на А можна дивитися як на матрицю з елементом А, при цьому, очевидно, добутки будуть визначені).

Справді,

Приклад 3.

Нехай – матриця з числовими елементами, а – двовимірні вектори. Ми не можемо визначити подібно до того, що було в прикладі 2, оскільки

Справді,

Доведемо тепер одне твердження, яке буде потрібне нам далі.

Твердження. Нехай А – матриця – двовимірні вектори і виконуються рівності:

(3)

де – деякі числа Якщо

де

Доведення. Використаємо попередні приклади. З рівностей (3) отримаємо, що

Тоді з прикладів (2) - (3) маємо, що

тобто

З твердження про необхідну і достатню умову існування оберненої матриці випливає існування

1.10. Числовий n- вимірний простір

Множину усіх n- вимірних векторів

з дійсними [комплексними] елементами позначають черезі називають дійсним [комплексним] n- вимірним простором.

Властивості дій 1 – 9 числового n- вимірного простору (що подані нижче) випливають з відповідних властивостей 1 – 8 додавання і множення матриць на числа:

(для довільних і

Лінійною комбінацією векторів називається вектор – числа.

В числовому n - вимірному просторі кожен вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів

де

Далі всюди ми використовуватимемо позначення тільки для вказаних векторів.

1.11. Подібні матриці

Будемо говорити, що квадратна матриця А порядку n є подібною до квадратної матриці С того ж порядку, якщо існує невироджена квадратна матриця Х порядку nтака, що

В цьому випадку пишуть наступне:

Властивості подібності:

1. ~ (рефлексивність).

Справді,

2. Якщо ~ ~ (симетричність).

Справді, якщо

3. Якщо ~ і ~

Справді, якщо ~ і ~ що

Класом подібних матриць будемо називати всі матриці, що є подібними до даної матриці

1.12. Вправи

1. Матрицю подати, як лінійну комбінацію матриць:

2. Нехай ’язково ?

3. Обчислити

4. Коли справджуються рівності і

5. Довести, що добуток двох симетричних матриць є симетричною

матрицею тоді й тільки тоді, коли ці матриці комутують.

6. Квадратна матриця називається кососиметричною, якщо

Довести, що всяку квадратну матрицю можна представити як суму

симетричної та кососиметричної.

7. Обчислити

8. Довести: якщо

порядку.

9. Довести формулу

10. Довести, що добуток двох верхніх (нижніх) трикутних матриць

однакового розміру є верхньою (нижньої) трикутною матрицею.

Розділ 2. Системи лінійних рівнянь

2.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими

Нехай маємо системудвох лінійних рівнянь з двома невідомими

(1)

В даному пункті розглядатимемо лише такі системи.

Розв’язком такої системи називається вектор – числа, для якого мають місце такі числові рівності:

Система може не мати розв’язків, може мати єдиний розв’язок, або мати більше одного розв’язку.

Приклади:

1).

Дана система розв’язків не має.

2).

Дана система має єдиний розв’язок

3).

Дана система має безліч розв’язків де – довільне число.

Справді, і для довільного числа

Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони мають однакові множини розв’язків. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок.

Система рівнянь називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку, тобто множина розв’язків є порожня множина Ø.

Матриця називається матрицею системи (1). Систему (1) зручно записувати в матричному вигляді

(2)

де

Форму (2) запису системи (1) називають матричною. Крім такої форми запису, зручно використовувати запис у вигляді розширеної матриці:

(3)

а також у векторній формі:

(4)

де

– стовпці матриці

Доведемо ряд важливих тверджень про розв’язки систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Лема 1. Якщо матриця є неособливою, то система (1) має єдиний розв’язок.

Доведення. Оскільки матриця є неособливою, то для неї існує обернена матриця

Зрозуміло, що вектор – розв’язок системи (1). Справді,

Покажемо, що це єдиний розв’язок системи (1). Справді, нехай - якийсь розв’язок системи (1). Тоді

Лему доведено.

Лема 2. Якщо матриця є особливою, то система має ненульові розв’язки.

Доведення.

1). Нехай А – нуль-матриця, тоді

Отже, - ненульовий роз’язок системи

2). Нехай А – не є нуль-матрицею. Тому не всі дорівнюють нулю.

Зрозуміло, що

Оскільки не всі дорівнюють нулю, то з останніх двох рівностей випливає, що система має ненульові розв’язки.

Лему доведено.

Теорема. Система (1) має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли матриця цієї системи неособлива.

Доведення. З леми 1 випливає, що якщо А неособлива, то система (1) має єдиний розв’язок.

Навпаки. Нехай система (1) має єдиний розв’язок Покажемо, що тоді система має теж єдиний розв’язок (нуль-вектор).

Справді, припустимо, що ненульовий вектор розв’язок Тоді – розв’язок системи (1). Справді, Зрозуміло, що

Отже, система (1) має принаймні два різні розв’язки. Суперечність.

Отже, наше припущення хибне. Тому має лише один розв’язок. За лемою 2 А – неособлива матриця.

Теорему доведено.

Наслідок. Система має лише нульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли

2.2. Системи лінійних рівнянь: основні означення

Нехай маємо систему з лінійних рівнянь з невідомими

(1)

де – деякі числа. Зокрема, можливо, що

Розв’язком системи (1) називається будь-яка впорядкована сукупність чисел яка задовольняє систему, що означає наступне: якщо в кожне рівняння системи замість то одержимо k правильних числових рівностей. Отже, розв’язок системи можна вважати вектором з n компонентами.

Систему називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок; у протилежному випадку система називається несумісною (тобто коли не існує жодної впорядкованої системи чисел

Приклади:

1. Система

є сумісною, оскільки – її розв’язок.

Справді, і – сукупність правильних числових рівностей.

2. Система

є несумісною.

Справді, якби вектор був її розв’язком, то тоді б

Введемо позначення:

Тоді систему (1) можна записати у матричному вигляді:

(2)

Матриця називається матрицею системи (1). Приєднавши до матриці А стовпець вільних членів

(3)

Зрозуміло, що система лінійних рівнянь однозначно визначається своєю розширеною матрицею.

Дві системи називаються рівносильними (еквівалентними), якщо множини їх розв’язків співпадають. З цього випливає, що несумісні системи рівносильні.

Зауважимо, що іноді систему лінійних рівнянь (1) зручно записувати у векторній формі:

(4)

де – стовпці матриці

2.3. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

Сумою лінійних рівнянь і

Добутком лінійного рівняння на число називається лінійне рівняння

Нехай маємо дві системи з однаковим числом невідомих. Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу А, якщо другу систему можна одержати з першої переставлянням місцями в першій системі її і записують:

cистема 1 ~ cистема 2.

Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу В, якщо другу систему можна одержати з першої заміною і записують:

система 1 ~ система 2.

Зауваження. Легко бачити, що якщо з першої системи можна одержати другу за допомогою перетворення (відповідно (відповідно

Приклад.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему лінійних рівнянь в рівносильну їй систему.

Перед доведенням цієї теореми доведемо допоміжну лему.

Лема. Якщо друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, то кожен розв¢язок першої системи є розв¢язком другої.

Доведення. У випадку елементарного перетворення типу А твердження леми очевидне.

Нехай перша система лінійних рівнянь має вигляд

(1)

де – розв’язок першої системи, тоді є правильними наступні числові рівності:

(2)

Помножимо почастинно і одержимо правильну числову рівність

Додамо почастинно до і-тої рівності з (2) останню рівність, одержимо правильну числову рівність

тобто

(3)

Отже, правильними є наступі числові рівності

(4)

Всі рівності в (4) ті самі, що і в (2), лише і-та рівність замінена рівністю (3). Отже, є також і розв¢язком тої системи, що одержана із системи (1) за допомогою елементарного перетворення

Лему доведено.

Доведення теореми.

Нехай друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, тоді і перша система одержується з другої за допомогою елементарного перетворення (див. зауваження після означення елементарного перетворення типу B). Тоді за лемою кожен розв¢язок першої системи є розв¢язком другої системи, і навпаки, кожен розв¢язок другої системи є розв¢язком першої системи.

Теорему доведено.

2.4. Східчасті системи

Східчастою називається така система лінійних рівнянь, матриця якої є східчастою, тобто це система, яка має наступний вигляд:

(1)

де

або система вигляду

тобто система називається східчастою, якщо у розширеній її матриці матриця А східчаста.

Приклади східчастих систем:

1). – східчастасистема, що складається з одного рівняння (тут ).

2). – східчаста система (тут ).

3). – східчаста система (тут ).

Системи виду мають множину розв¢язків, що складається з усіх векторів де - довільні числа, якщо системи виду є несумісними, якщо хоч одне з чисел відмінне від 0.

Тому розглянемо системи виду (1).

В такій системі невідомі називаються головними невідомими, а всі інші невідомі – вільними невідомими.

Розглянемо два випадки:

І. Нехай серед чисел хоч одне відмінне від 0. Тоді система (1) містить рівняння

де .

Зрозуміло, що жодна сукупність чисел не задовольняє рівняння. Отже, система (1) розв¢язків немає. Тобто (1) – несумісна система.

ІІ. Нехай Для зручності подальших міркувань зробимо перепозначення невідомих буквами , так щоб головні невідомі були позначені відповідно через , а всі інші (тобто вільні невідомі) через інші .

У відповідності до цього елементи матриці А системи (1) будуть перепозначені на елементи матриці С, тобто система (1) матиме наступний вигляд:

(2)

де

(Рівняння системи (1), починаючи з -го мали вигляд і тому ми їх опустили, оскільки при вилученні нуль-рівнянь (рівнянь виду ) система переходить у рівносильну їй систему.)

Надамо вільним невідомим довільним чином конкретні числові значення Тоді з останнього рівняння однозначно визначається , а саме:

(3)

Тоді з попереднього рівняння (-го рівняння) можна однозначно визначити і т. д.

Якщо вже визначені то з і-го рівняння

визначається однозначно

Так, рухаючись вгору по системі, будуть однозначно визначені тобто будуть однозначно визначені усі головні невідомі через числа .

Отже, система (2), а тому і система (1) є сумісними, причому при система має єдиний розв¢язок, а при більше, ніж один розв¢язок. Зрозуміло, що усі розв¢язки системи (2) отримуються вказаним методом. Тобто ми можемо знайти всі розв¢язки системи.

Приклад. Нехай маємо систему

Ця система східчаста і має вигляд (1) (головні невідомі; вільні невідомі). Нехай де довільні числа. Тоді з останнього рівняння системи маємо

а тоді можна визначити з першого рівняння

тобто

Таким чином, – множина усіх розв¢язків даної системи.

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду (метод Гаусса)

В пункті 2.4 було наведено метод розв¢язання східчастих систем(обернений хід методу Гаусса – послідовне знаходження головних невідомих через вільні невідомі). В цьому пункті ми покажемо, що кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень може бути зведена до системи східчастого вигляду (прямий хід методу Гаусса). Враховуючи те, що елементарні перетворення переводять систему в рівносильну їй систему, ми одержимо таким чином загальний метод розв¢язування систем лінійних рівнянь. Він називається методом Гаусса.

Теорема. Кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень зводиться до системи східчастого вигляду.

Доведення теореми для випадку системи з трьох рівнянь з чотирма невідомими.

Спочатку ми доведемо цю теорему для випадку системи, що складається з 3-ох рівнянь і має 4-и невідомі. Справді, нехай маємо систему:

(S1)

Будемо вважати, що матриця даної системи не є нуль-матрицею, бо інакше система вже мала б східчастий вигляд. Тоді серед усіх стовпців матриці А існує ненульовий стовпець з найменшим номером . Тоді наша система може бути записана у такому вигляді:

(S1¢)

Причому можна вважати, що Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець ненульовий. Для того, щоб коефіцієнт при в другому і в третьому рівняннях зробити рівним 0, додамо до другого рівняння перше, помножене на , а до третього додамо перше, помножене на . Таким чином, здійснивши дані елементарні перетворення, ми одержимо систему, в якій входить тільки до першого рівняння:

(S2)

Можливі випадки або . Якщо , то система (S2) має східчастий вигляд. Тому вважатимемо, що

Якщо матриця

нульова, то система (S2) вже має східчастий вигляд. Розглянемо випадок, коли така матриця ненульова. Тоді в матриці хоча б один стовпець ненульовий. Номери стовпців матриці змінюються від до 4. Серед усіх ненульових стовпців матриці виберемо стовпець з найменшим номером . Тоді система (S2) має вигляд

(S2¢)

Причому можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець ненульовий. Для того, щоб у третьому рівнянні системи (S2¢) коефіцієнт при зробити рівним 0, додамо до третього рівняння друге, помножене на . Таким чином, здійснивши елементарне перетворення над системою (S2¢), ми одержимо систему східчастого вигляду.

Теорему для даного випадку доведено.

Доведення теореми для загального випадку.

Доведення проводимо індукцією за числом рівнянь даної системи.

1). Якщо система складається лише з одного рівняння , то вона є східчастою.

2). Припустимо, що система з числом рівнянь шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

3). Покажемо, що тоді і система з числом рівнянь шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

Справді, нехай маємо систему, що має рівнянь

(1)

Якщо матриця даної системи є нуль-матрицею, то система (1) є східчастою. Тому вважатимемо, що матриця системи (1) не є нуль-матрицею. Тоді вона має ненульовий стовпець. Нехай – найменший номер серед номерів ненульових стовпців матриці А. Тоді система (1) має вигляд:

(2)

Можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися шляхом елементарного перетворення перестановки рівнянь системи, оскільки – ий стовпець матриці системи ненульовий.

Зробимо над системою (2) такі елементарні перетворення (типу В), щоб в усіх рівняннях, починаючи з 2-го, коефіцієнти при стали нульовими:

до 2-го рівняння додамо перше, помножене на

до 3-го рівняння додамо перше, помножене наі т. д.,

до го рівняння додамо перше, помножене на

Отримаємо таку систему:

(3)

Використовуючи до системи з останніх го рівняння наше припущення, отримаємо що та система шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастого вигляду:

(4)

де

Тому і вся система (3) зведеться до східчастого вигляду:

(5)

де

Теорему доведено.

2.6. Вправи

1. Дослідити систему рівнянь і знайти її розв’язки в залежності від значень

параметра

2. Переконатися, що елементарні перетворення

одержати, помноживши її злівана одиничну матрицю k-го порядку, над

якою виконано відповідне перетворення.

3. Довести, що будь-яку матрицю, елементами якої є цілі числа, можна звести

елементарними перетвореннями до східчастого вигляду (при цьому рядки

можна множити лише на цілі числа).

4. Якщо кількість невідомихлінійної системи більша від кількості рівнянь,

то система не може мати єдиного розв’язку. Довести.

Розділ 3. Жорданова форма матриць та матричні рівняння

3.1. Слід квадратної матриці

Слідом квадратної матриці називається число

де n - порядок матриці А.

Лема. Нехай А і В – дві квадратні матриці го порядку. Тоді

Доведення. Справді, елемент добутку С = АВ дорівнює а елемент добутку дорівнює Тоді За властивостями знаку суми маємо право перейменувати i на і на i одночасно:

Далі за властивістю подвійних сум

Отже,

Лему доведено.

Очевидними властивостями сліду є наступні:

1. для довільних квадратних матриць однакового порядку.

2. для довільної квадратної матриці А і довільного числа .

3. , якщо А і В подібні матриці.

Справді, нехай існує квадратна матриця X того ж порядку, як і А, що Тоді за лемою

Приклад. Нехай А – квадратна матриця n-го порядку, Е - одинична матрицяn-го порядку, а X - невідома квадратна матриця n-го порядку. Тоді рівняння не має розв¢язків. Справді, нехай розв¢язок рівняння. Тоді

Отже, n = 0. Суперечність.

3.2. Жорданова форма квадратних матриць.

Основна теорема

Тут розглядаються матриці, які, взагалі кажучи, мають комплексні елементи. Жордановим блоком розміру називається матриця

Жордановою матрицею називається матриця, яка складається з

жордановихблоків на головній діагоналі і нулів поза цими блоками, тобто це матриця виду

	О	О
О		О

О	О

Приклад. Жорданова матриця

2	0	0 0	0
0	3	0 0	0
0 0	0 0	0 0 1 0	0 0
0	0	0 0	-1

утворена жордановими блоками:

Основна теорема. Кожна квадратна матриця А є подібною до деякої жорданової матриці J, яка визначається однозначно з точністю до порядку слідування діагональних жорданових блоків. Якщо дві жорданові матриці відрізняються лише порядком слідування діагональних жорданових блоків, то вони подібні.

Доведення цієї теореми ми подаємо лише для квадратних матриць другого порядку.

3.3. Зведення до жорданової форми нижніх

трикутних матриць другого порядку

Будемо використовувати результати пункту 1.9. Нехай маємо матрицю виду

Зведемо її до жорданової форми. Нехай

Тоді

Розглянемо наступні випадки:

Відповідно до твердження п. 1.9 нам потрібно знайти такі і , для яких і матриця має жорданову форму. Для цього необхідно зробити або . Покажемо, що можна зробити рівним 0. Оскільки верхній рядок матриці А в такому разі змінювати не потрібно, то покладемо Нам потрібно знайти такий вектор щоб і

Оскільки то не повинно дорівнювати 0. Далі,

Далі,

Тоді

Оскільки то з останнього рівняння системи маємо, що Тоді з першого рівняння випливає

Отже, Оскільки то можемо покласти тоді Тому Отже, на підставі твердження п. 1.9 де С визначається з рівностей

тобто а .

2. Нехай .

Випадки:

2.1. .

Тоді матриця А вже має жорданову форму.

2.2. . Тоді

Помножимо останнє рівняння на число

Тоді

Якщо ввести перепозначення:

то

На підставі твердження п 1.9 матимемо, що де

3.4. Власні значення та власні вектори квадратної матриці другого порядку

Число (комплексне) називається власним числом квадратної матриці , якщо існує такий ненульовий вектор-рядок , що

. (1)

Ненульовий вектор називається власним вектором матриці А, якщо

для деякого власного значення матриці А.

Рівність (1) еквівалентна рівності де яка еквівалентна такій рівності

де .

Теорема. Для того, щоб число було власним значенням, необхідно і достатньо виконання рівності

Необхідність. Нехай - власне значення, тоді для деякого власного вектора , тобто Оскільки то це означає, що система

має ненульовий розв¢язок. Тому Оскільки визначник при транспонуванні не змінюється, то

Достатність. Доведення достатності проводиться в зворотному порядку.

Проведіть його самостійно! (Див. наслідок п. 2.1).

Теорему доведено.

Рівняння відносно невідомого називається характеристичним рівнянням матриці А. З нього знаходимо власні значення. Зрозуміло, що

Отже, характеристичне рівняння можна записати і так

Для знаходження власних векторів матриці А потрібно розв¢язати систему

тобто

для кожного власного значення , і вибрати ненульові розв¢язки, які існують в силу

Зауваження 1. Оскільки кожне квадратне рівняння має два комплексні розв¢язки, якщо врахувати їх кратність, то матриця А має або два різні, або два однакові власні значення. Тому матриця А завжди має власні вектори (тут враховуємо також для власного значення ).

Зауваження 2. Характеристичні рівняння подібних матриць однакові. Справді, нехай Тоді

Приклад. Нехай Тоді – характеристичне рівняння. Зрозуміло, що – множина усіх власних значень матриці А.

3.5. Зведення квадратної матриці другого порядку до нижньої трикутної форми

Нехай

Згідно з попереднім завжди існує ненульовий вектор (власний вектор для А), для якого при деякому (власне значення).

Нам потрібно звести А до нижньої трикутної форми. На підставі твердження п. 1.9 для цього достатньо підібрати вектори , для яких

Тому за можна взяти власний вектор матриці А. Тоді зрозуміло, що – відповідне власне значення. Тоді для визначення досить так підібрати і , щоб (другий рядок матриці С може бути довільним – це не порушує нижньої трикутної форми матриці С). Для цього розглянемо можливі випадки:

1. , тоді для того, щоб можна взяти тобто Тоді де .

2. тоді для того, щоб можна взяти тобто Тоді де

3.6. Загальний випадок

Довільна квадратна матриця є подібною до деякої нижньої трикутної матриці . Матриця ж В подібна до деякої жорданової матриці J.Отже, квадратна матриця А другого порядку подібна до деякої жорданової матриці J.

Приклад. Нехай маємо матрицю Тоді Тому – характеристичне рівняння. Воно має два однакові корені Знайдемо власні вектори з системи

- один з ненульових розв¢язків (тут ).

Оскільки то згідно з попереднім здійснює перехід до трикутної матриці (перевірте обчисленням!). Тепер зведемо трикутну матрицю С до жорданової форми за допомогою матриці Y.

Оскільки і то відповідно до попереднього за Y можна взяти матрицю Тоді знову відповідно до попереднього і Тому де .

Отже,

3.7. Однозначність визначення жорданової форми

з точністю до порядку слідування діагональних блоків

Лема.

(і). Для довільних чисел a₁, а₂, с₁, с₂

або .

(іі). Для довільних чисел а₁, а₂, u

(ііі). Для довільних чисел u і v

Доведення.

і) Нехай

Тоді характеристичні рівняння цих матриць однакові (бо матриці подібні)

Отже, і множини їх коренів співпадають

тобто або

У випадку, коли множина коренів одноелементна останнє твердження очевидне.

Якщо то очевидно, що

Якщо жто

оскільки (перевірити!).

іі). Припустимо, що для деяких а₁, а₂, u

Тоді характеристичні рівняння цих матриць

співпадають, отже, співпадають і множини їх розв’язків , тобто

Оскільки то існує така неособлива матриця Т, що

але .

Але тоді Суперечність.

ііі). Очевидно.

Якщо то характеристичні рівняння цих матриць

однакові, отже співпадають і множини їх коренів тобто .

Лему доведено.

Зауваження. Жорданова матриця може складатися або з двох жорданових блоків , або з одного жорданового блока .

Ми вже показали, що квадратна матриця А другого порядку є подібною до деякої жорданової матриці J.

Доведемо тепер, що справедливе наступне твердження.

Твердження. Жорданова матриця J, що є подібною до матриці А, визначається однозначно з точністю до порядку слідування діагональних жорданових блоків.

Доведення.

Нехай матриця А подібна до жорданової матриці, що складається з двох жорданових блоків, тобто Тоді на підставі леми іі) і зауваження всі жорданові матриці, що є подібними до А, мають вигляд . А на підставі леми і) матимемо, що множиною усіх жорданових матриць подібних до А є Нехай А подібна до жорданової матриці, що складається з одного жорданового блока, тобто Тоді на підставі леми іі) і зауваження всі жорданові матриці, що є подібними до А, мають вигляд

Твердження доведено.

3.8. Спектр квадратної матриці другого порядку

Множина усіх власних значень квадратної матриці другого порядку називається її спектром. Якщо така множина є двоелементною, то кажуть, що матриця має простий спектр.

Теорема. Квадратна матриця А другого порядку з простим спектром подібна до діагональної.

Доведення. Оскільки така матриця А є подібною до жорданової матриці, то вона подібна до матриці виду або до матриці виду Припустимо, що вона подібна до матриці Тоді ці матриці мають однакові характеристичні рівняння, а, отже, і множини їх коренів. Проте множина коренів рівняння є одноелементна. Отже, матриця А має два однакових власних значення.

Суперечність.

Теорему доведено.

3.9. Рівняння

І. Розглянемо спочатку рівняння , в якому а Х - невідома квадратна матриця другого порядку. Нехай Х₀ - якийсь розв’язок цього рівняння. Тоді існує (згідно попередніх пунктів) матриця Т, для якої - жорданова матриця. Y₀ - теж розв’язок цього рівняння. Справді, Оскільки Y₀ - жорданова матриця, то можливі наступні варіанти її вигляду:

1). або 2). де а₁, а₂, а - числа (комплексні).

1). Нехай Тоді Тому

Отже, Тоді .

Отже, .

Перевірка показує, що О і справді є розв’язком рівняння.

2). Нехай Тоді Тому . Отже, . Тоді . Отже,

Нехай Т - довільна неособлива матриця, тоді - розв’язок рівняння.

Справді,

Таким чином, множина всіх розв’язків рівняння складається з усіх матриць де Т – довільна неособлива матриця, і з

Зауваження. Якщо задано деяке матричне рівняння яке має наступну властивість: якщо Х₀ - розв’язок, а Т - довільна неособлива матриця, то – теж розв’язок, то для його розв’язання, зрозуміло, достатньо знайти розв’язок S в кожному з усіх різних класів подібних матриць (якщо такий розв’язок існує). Всі матриці в класі подібних будуть розв’язками рівняння, якщо хоч один розв’язок з цього класу існує. Представники ж класів подібних матриць краще брати у жордановій формі, оскільки над такими матрицями легше виконувати обчислення і, крім того, такі матриці є єдиними в кожному класі подібних матриць з точністю до порядку слідування жорданових блоків. Прикладами рівнянь з такою властивістю є і