Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Загрузить архив:
Файл: ref-26435.zip (219kb [zip], Скачиваний: 120) скачать

Особые точки и особые решения

дифференциальных уравнений первого порядка.

Выполнил:

Курсант 315 учебной группы Кривоногов А.Н.

Проверил:

Старший преподаватель кафедры математики Доброва В.Л.

Содержание:

1.Теорема существования и единственности решения……………………………………….3

2.Графическое представление теоремы о существовании единственности решений……...4

3.Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка…………………………..5

4.Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка……………………….7

5.Примеры………………………………………………………………………………………,7

6.Задачи для решения…………………………………………………………………………..10

7.Ответы…………………………………………………………………………………………11

8.Список литературы……………….…………………………………………………………..12

Теорема существования и единственности решения

Уравнение

   или                                                                    (*)

Где понимать какую-либо одну первообразную. Тогда любое решение уравнения (*) запишите в виде

Гораздо чаще приходитсяиметь дело с уравнениями более сложного вида.

             и

Заменяя через уравнения можно переписать в дифференциальной форме:

        

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде:

    (1)

Простевшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесчисленное множество решений. Мы наблюдали это уже на примере уравнения (*). Простой проверкой легко убедиться также, что уравнение имеет решениями функции - функции - любое число.

Как мы видим, в решения приведенных дифференциальных уравнений входит произвольная постоянная

Придавая произвольнойпостоянной определенные числовые значения, мы будем получать частные решения.

Выше мы видели, что уравнение имеет обще решение и удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, существует, а также что оно будет единственным, выясняется теоремой.

Теорема существования и единственности решения. Если функциянепрерывна в области, содержащей точку имеет решение такое, что

Если, кроме того, непрерывна и частная производная

Интересно отметить, что в условии теоремы не требуется существования производной

Теорема эта впервые была сформировано и доказана Коши. Поэтому часто задачу отыскания частного решения по начальным условиям называют задачей Коши.

Графическое представление теорема существования и единственности решения.

SHAPE  * MERGEFORMAT

0

у

х
               

                         (рис. 1)                                                          (рис. 2)

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Так как мы уже проверили, что уравнение имеет общее решение имеет общее решение

Задание начального условия геометрически означает, что из семейства интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку и непрерывны, проходит одна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точу либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение    видно, что через начало координат проходит бесчисленноемножество его интегральных кривых. Это противоречит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.

Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются, называются особыми точками.

Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.

Прежде всего условимся переменные и считать разнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать как функцию от или часть разрывна при функцией, а - независимой переменной и переписывать уравнение в виде Интегральной кривой является парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом, через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считать эту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и о любой другой точке оси абсцисс.

              Поэтому в дальнейшем будем считать особой только такую точку , в которой разрывные правые части обоих уравнений  

             и                 

Именно такой случай имеет место для уравнений

                и                                  (2)

в начале координат. Функции в правых частях не имеют предела x и y к нулю.

Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).

                                   

Примеры.

1) и (рис. 2) такая особая точка называется узлом.

  

2)y=0 и x=0 (рис. 3)такая особая точканазывается седлом.

Аналогичная картина будет для

               решений и   при

3)   

                                                    
интегральные кривые – окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этом случае особая точка называется центром; через нее не проходит ни одна интегральная кривая.

4) Замена приводит после

                  

с разделенными переменными или

         В системе полярных координат                 уравнение имеет гораздо простой вид

                                                        

  Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5).   Особая точка такого типа называется фокусом.  

      Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значениях коэффициентов(если только

                                                                        

                             

        (рис. 5)

       

Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача Коши для уравнения (*) ставится следующим образом: задана точка начальным условиям

                                                    

Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает

Теорема существования и единственности решения

Особым решением уравнения (*) на множестве I назы­вается его решениечерез точку его графика

Для существования особого решения необходимо, чтобы в области G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т.е. для непрерывно диффе­ренцируемой функции необходимо

                                                                (3)

Множество точек называется p-дис­кри­ми­нант­ным множеством уравнения (*).

График особого решения уравнения (1) лежит в p-дис­криминантном множестве.

Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:

а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,

б) p-дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (*).

Для нахождения особых решений требуется:

1. найти решение (*);

2. найти p-дискриминантное множество, исключив пара­метр p из системы

3. отобрать те из решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантном множестве;

4. для отобранных решений проверить выполнение опре­деления особого решения, т.е. проверить выполнение при условий касания - семей­ство решений (*), не совпадающих с

Примеры решения задач.

Пример 1. Решить уравнение, найти особые реше­ния, начертить интегральные кривые

1. Вводим параметр

                                                      (4)

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через

Возможны два случая:

1)

2) в (4), определяем y:

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па­раметр p из уравнений

                                          

и

                                    

Из второго уравнения системы следует, что

Так как - решение, то это кандидат в особые ре­шения.

Рис. 6

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение:

Через точку проходит решение при в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при

Интегральные кривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.

Пример 2. Решить уравнение, найти особые реше­ния, начертить интегральные кривые (5)

1. Вводим параметр

                                                               

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через

Возможны два случая:

1)

2) в (5), определяем x:

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па­раметр p из уравнений

                                                    

и

                                             Из второго уравнения системы сле­дует, что

Так как - решение, то это кандидат в особые реше­ния.

Рис. 7

SHAPE  * MERGEFORMAT

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение:

Через точку проходит решение при в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окре­стности этой точки при

Интегральные кривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.

Задачи для решения

Решить уравнения, найти особые решения, начертить инте­гральные кривые:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Ответы:

1. - особое решение;

2. - особое решение;

3. - особое решение;

4. - особое решение;

5. - особое решение;

6. - особое решение;

7. - особое решение;

8. - особое решение;

9. - особое решение;

10.- особое решение;

11.- особое решение;

12.- особое решение;

13.- особое решение,

14.- особое решение,

15.- особое решение,

16.- особое решение,

17.- особые решения,

18.- особое решение,

19.- особое решение,

20.- особые решения,

                    

   

                       

Список литературы

Краткий курс математического анализа для ВТУЗОВА.Ф.Бермант, И.Г. Араманович