Оптимальный раскрой плитных материалов на заготовки

<

1. Размеры древесностружечных плит 3500*1750 мм.

2. Спецификация заготовок для производства одного шкафа (одного комплекта) представлена в таблице 2.

3. Количество комплектов - 1000 шт.

Таблица 2 - Спецификация заготовок

Расчет

1.1 Начальные карты раскроя.

Начальные карты раскроя можно составлять как для индивидуального, так и для группового раскроя. Для уменьшения ручной работы рекомендуется предусматривать индивидуальный раскрой, при котором из плиты вырабатываются заготовки одного типоразмера (рисунок 1.1).

1.2 Начальный план выхода заготовок

Карта раскроя №1 Карта раскроя №2

<

ПВ₁=70,04% ПВ₂=74,94%

Карта раскроя №3 Карта раскроя №4

<

ПВ₃=83,66% ПВ₄=76,19%

<

<

ПВ₅=87,43%

ПВ₁, ПВ₂,…, ПВ₅ - полезный выход заготовок (показывает долю площади плиты, которую занимают заготовки),

Рисунок 1,1 - Начальные карты раскроя

1.3 Математическая модель задачи.

Для составления математической модели задачи введем обозначения:

x_j - количество плит раскраиваемых по j-q карте раскроя, шт. ;

K_ij - количество заготовок i-uj вида получаемых по j-й начальной карте раскроя, шт.;

<

Тогда математическая модель задачи будет иметь следующий общий вид:

<
>

<
i=1,m x_j0>

где n - количество начальных карт, шт;

m - число типоразмеров заготовок.

С учетом исходных данных, приведенных в таблице 1.2, математическая модель задачи будет иметь вид:

F=X₁+ X₂+ X₃+ X₄+ X₅min

<
(1.2)>

Отсюда X₁=1000/6=166,66; X₂=4000/12=333,33; X₃=1000/35=28.57;

X₄=2000/30=66.67; X₅=2000/21=95,24; F=690.47;

X₁=167; X₂=334; X₃=29; X₄=67; X₅=96; F=693

Результаты решения нельзя считать оптимальными, поскольку они не предусматривают многовариантность получения заготовок. Для нахождения конкурирующих карт раскроя перейдем к двойственной задаче.

3.4. Постановка двойственной задачи

Используя математическую модель задачи (формула 1.2) и правила перехода от прямой задачи к двойственной (1.3) получим следующую двойственную задачу:

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

где Y₁, Y₂, Y₃, Y₄, Y₅ - двойственные оценки, показывающие долю площади плиты, которую занимает соответствующая заготовка без учета отходов.

<

Y₁=1/6=0.166; Y₂=1/12=0.083;

Y₃=1/35=0.029; Y₄=1/30=1/30=0.033; F_min=f_max=690.47;

Y₅=1/21=0.048;

Полученные двойственные оценки заготовок используются далее в качестве схем раскроя: чем больше суммарная двойственная оценка, тем лучше карта раскроя.

1.4 Генерирование карты раскроя №6

Для генерирования карты раскроя №6 составляем таблицу возможных ширин прямоугольных полос, получаемых из плиты продольными сквозными резами на первом этапе раскроя.

Таблица 1.2 - ширина полос

Для определения оптимальной схемы раскроя полос на заготовки решаем задачу следующего вида:

<
>

<
>

<
(целые),>

где R_i - оценка полосы i-го вида,

Y_i - оценка i-й заготовки;

<
- количество i-х заготовок в данной полосе, шт.;>

l_i - длина i-й заготовки, мм;

l₀ - длина плиты, мм;

Расчет схем раскроя полос на заготовки ведем методом ветвей и границ с помощью ЭВМ по стандартной процедуре "ODNRAS". Результаты расчета сводим в таблицу 1.4 (графы 6,7,8).

<

<
>

<
>

<
0 (целые),>

где _i оценка карты i-г вида;

<
- количество i-х полос в карте раскроя, шт.;>

h_i - ширина i-й полосы, мм;

h₀ - ширина плиты, мм;

k - количество типоразмеров полос, шт.

Расчет схем раскроя плиты на полосы ведем методом ветвей и границ с помощью ЭВМ по стандартной программе "ODNRAS". Результаты расчета сводим в таблицу 1.4 (графы 9,10,11).

Таблица 1.6 - результаты расчета карты раскроя №6

<

<

<

ПВ₆=93,03%

Этой карте соответствует ограничение двойственной задачи

5Y₁+6Y₃+8Y₄1

1.6. Уточнение двойственных оценок в связи с введением дополнительной карты №6

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,147; Y₂=0.083; Y₃=0.001; Y₄=0.033; Y₅=0.048; Y₆=0.120; Y₈=1.000;

f_max=641.905;

Вытесняем карту №1 и №3.

<

Таблица 1.7 - результаты расчета карты раскроя №7

Карта раскроя №7

<

ПВ₇=92,81%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №7

3Y₁+6Y₂+8Y₄1

1.8. Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №7

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №4, №5, №6, №7.

<

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,078; Y₂=0.083; Y₃=0.057; Y₄=0.033; Y₅=0.048; f_max=630.425;

1.9. Генерирование карты раскроя №8

Таблица 1.8 - результаты расчета карты раскроя №8

<

<

ПВ₈=95,61%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №8

40Y₃1

1.10 Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №8

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №4, №5, №6, №7,№8.

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,167; Y₂=0.083; Y₃=0.025; Y₄=0.001; Y₅=0.048; Y₇=1.000; Y₉=0.017;

f_max=620.238;

Вытесняем карту №4 и №6

<

Таблица 1.9 - результаты расчета карты раскроя №9

Карта раскроя №9

<

ПВ₉=93,31%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №9

3Y₁+4Y₂+8Y₅1

1.12 Уточнение двойственных в связи с введением дополнительной карты №8

Для уточнения двойственных оценок составляем и решаем двойственную задачу линейного программирования с учетом карт раскроя №2, №5, №7,№8, №9.

<

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,095; Y₂=0.083; Y₃=0.025; Y₄=0.027; Y₅=0.048;

f_max=602.381;

1.13. Генерирование карты раскроя №10

Таблица 1.10 - результаты расчета карты раскроя №10

<

<

ПВ₁₀=91,28%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №10

10Y₂+11Y₃+Y₄1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,095; Y₂=0.083; Y₃=0.013; Y₄=0.027; Y₅=0.048; Y₉=0.491;

f_max=590.097;

Вытесняем карту №8

<

Таблица 1.11 - результаты расчета карты раскроя №11

Карта раскроя №11

<

ПВ₁₁=82,56%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №11

12Y₂+3Y₄1

<

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,105; Y₂=0.076; Y₃=0.019; Y₄=0.029; Y₅=0.048; Y₆=0.086; f_max=580.952;

Вытесняем карту №2

1.15. Генерирование карты раскроя №12

Таблица 1.12 - результаты расчета карты раскроя №12

<

Карта раскроя №12

<

ПВ₁₂=89,84%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №12

3Y₂+28Y₄1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,107; Y₂=0.076; Y₃=0.019; Y₄=0.028; Y₅=0.047; Y₆=0.021;

f_max=580.067;

Вытесняем карту №5

<

Таблица 1.13 - результаты расчета карты раскроя №13

Карта раскроя №13

<

ПВ₁₃=87,43%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №13

6Y₂+12Y₅1

<

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₀=0.051;

f_max=578.477;

Вытесняем карту №12

1.17. Генерирование карты раскроя №14

Таблица 1.14 - результаты расчета карты раскроя №14

<

<

ПВ₁₄=92,65%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №14

9Y₂+11Y₃+4Y₄1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной программе "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₁=0.000; f_max=578.477;

<

Таблица 1.15 - результаты расчета карты раскроя №15

Карта раскроя №15

<

ПВ₁₅=92,65%

Ограничение двойственной задачи карте раскроя №15

9Y₂+11Y₃+4Y₄1

<

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045; Y₁₁=0.000; f_max=578.477;

1.19. Генерирование карты раскроя №16

Таблица 1.16 - результаты расчета карты раскроя №16

<

<

ПВ₁₄=92,65%

9Y₂+11Y₃+4Y₄1

f=1000Y₁+4000 Y₂+1000 Y₃+2000Y₄+ 2000Y₅max;

<
>

Решаем данную двойственную задачу с помощью ЭВМ по стандартной програ-мме "SIMPL". Результаты решения:

Y₁=0,111; Y₂=0.077; Y₃=0.019; Y₄=0.026; Y₅=0.045;

f_max=578.477;

Карты повторились, прекращаем генерирование

Определение оптимального количества плит, которое следует раскраивать по

каждой оптимальной карте раскроя.

После того как были найдены оптимальные карты раскроя, необходимо определить какое количество плит следует раскраивать по каждой карте, чтобы получить заданное количество заготовок при минимальном расходе плит.

Для решения этой задачи переходим от двойственной задачи линейного программирования к прямой:

F= X₁+ X₂+ X₃+ X₄+ X₅min

<
>

X₁=213,287; X₂=120.047; X₃=90.909; X₄=67.599; X₅=86.636; F=578.477;

<

В результате получаем:

X₁=214; X₂=121; X₃=91; X₄=68; X₅=87; F=581.

Это значит, что для получения заданного количества заготовок (для изготовления 1000 изделий) следует раскроить:

214 плит по карте раскроя №7

121 плиту по карте раскроя №9

91 плиту по карте раскроя №10

68 плит по карте раскроя №11

87 плит по карте раскроя №13

Всего необходимо раскроить 581 плиту.

Таблица 2.1 - Выход заготовок

Анализ результатов расчета

Сравним начальные и оптимальные карты раскроя.

Для получения необходимого количества заготовок с помощью начальных карт, следует раскраивать 693 плиты, а с помощью оптимальных карт 581 плиту. В результате экономится 112 плит.

<
>

<

X_j - количество плит, раскраиваемых по j-й карте раскроя, шт.

В результате получаем:

по начальным картам

<
>

по оптимальным картам

<
>

2. Технологические характеристики оборудования для раскроя плит.

<
>

<

В настоящее время существуют множество программ по оптимальному раскрою листов на заданные заготовки, но тем не менее не редко в Интернете можно встретить вопросы о том, как оптимально раскроить лист на заданные заготовки. При этом в ответах таким людям пишут, что знания по оптимальному раскрою листов на заданные заготовки инженеры хранят в секретах и в принципе делиться этим, они не торопятся. Тем не менее, приведенный выше расчет показал, что раскраивать заданный лист на заготовки с такими размерами не целесообразно, поскольку необходимо, чтобы число полезного выхода из раскраиваемого материала составляло не менее 92%. Тем не менее, если мы получили заказ, состоящей именно из такой спецификации, и исправлять линейные размеры заготовок нам запрещено, то оптимальным раскроем плитных материалов на заготовки, будет являться тот выход, который был получен в результате расчета.

2

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

1

1

1

4

4

14

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

12

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

11

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

4

Лист

Оптимальный раскрой плитных матириалов на заготовки

Утв.

17

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

Проверил Огурцов В.В

Разработал Иванов И. А.

СибГТУ Гр. 44-1

Лит

3

33

Листов

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

Лист

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

20

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

3

3

3

3

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

3

4

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

5

5

5

5

5

5

5

5

5

2

5

2

5

5

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

22

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

21

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

5

5

5

5

5

5

5

1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

3

3

19

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

3

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

13

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

4

4

4

4

3

3

3

3

3

2

2

2

4

4

3

3

3

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

16

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

ТД.КП.01.10.00.095.ПЗ

3

3

Дата

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

3

3

1

1

1

1

1

1

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

10

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

9

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

5

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

3

3

3

3

3

3

3

3

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

8

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

7

Лист

5

5

5

5

5

5

5

5

3

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

6

Лист

3

3

3

3

3

3

3

3

15

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

18

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

23

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

24

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

25

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

26

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

27

Лист

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Дата

Подпись

№ документа

Лист

Изм.

28

Подпись

Лист

Лист

Изм.

Лист

№ документа

Подпись

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Листов

3

33

Лит

СибГТУ Гр. 44-1

Разработал Иванов И. А.

Проверил Огурцов В.В

Утв.

Оптимальный раскрой плитных матириалов на заготовки

Лист

Изм.

Лист

№ документа

Подпись

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Листов

3

33

Лит

СибГТУ Гр. 44-1

Разработал Иванов И. А.

Проверил Огурцов В.В

Утв.

Оптимальный раскрой плитных матириалов на заготовки

Лист

Изм.

Лист

№ документа

Подпись

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Листов

3

33

Лит

СибГТУ Гр. 44-1

Разработал Иванов И. А.

Проверил Огурцов В.В

Утв.

Оптимальный раскрой плитных матириалов на заготовки

Лист

Изм.

Лист

№ документа

Подпись

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ

Листов

3

33

Лит

СибГТУ Гр. 44-1

Разработал Иванов И. А.

Проверил Огурцов В.В

Утв.

Оптимальный раскрой плитных матириалов на заготовки

№ документа

Лист

Изм.

29

Лист

Лист

30

Изм.

Лист

№ документа

Подпись

Дата

ПМ.КП.01.10.00.000.ПЗ