Шпаргалки по Численным методам
| Загрузить архив: | |
| Файл: ref-28859.zip (1070kb [zip], Скачиваний: 328) скачать |
Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:
5 этапов:
Моделирование - осуществляется постановка задачи и построение математической модели.
Математическая постановка - точная формулировка условий и целей решения.
Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.
Алгоритмизация - осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.
Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.
Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.
Интерпретация - анализ полученных результатов.
Ошибки могут появляться на любой стадии.
Погрешность обуславливается:
Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.
Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными - это погрешность метода.
При выполнении арифметических операций часто производиться округление.
Абсолютная и относительная погрешность:
Приближенное число «x» - число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление.
Пусть «Х» - истинное значение некоторой величины. «х» - ее известное приближение.
Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.
Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х».
Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число х для которого справедливо неравенство:
|Х-х|<=х, х - граница абсолютной погрешности приближения «х».
Неравенство |Х-х|<=х позволяет установить приближение к «Х» по недостатку и избытку. (Х-х)<=x<=(Х+х). Вместо этой формулы часто используют Х=х+х.
По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.
Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.
Границей относительной погрешности х приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности х к модулю значения Х.
х=х/|x|
Относительная погрешность часто выражается в процентах.
Значащие и верные цифры:
Значащие цифры в записи числа - все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).
Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.
Значащая цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.
Сомнительные - не верные цифры.
Правильная запись - если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.
Округление чисел:
Округление - замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.
окр=|Х-хn|
Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. х1=х+окр
Используется 3 метода округления чисел:
Отбрасывание:
Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.
Округление завышением:
Последнюю цифру увеличиваем на 1
Метод симметричного округления
Выполняется по правилам:
Если первая слева из отбрасываемых цифр <5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения
Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)
Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.
Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:
5 этапов:
Моделирование - осуществляется постановка задачи и построение математической модели.
Математическая постановка - точная формулировка условий и целей решения.
Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.
Алгоритмизация - осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.
Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.
Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.
Интерпретация - анализ полученных результатов.
Ошибки могут появляться на любой стадии.
Погрешность обуславливается:
Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.
Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными - это погрешность метода.
При выполнении арифметических операций часто производиться округление.
Абсолютная и относительная погрешность:
Приближенное число «x» - число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление.
Пусть «Х» - истинное значение некоторой величины. «х» - ее известное приближение.
Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.
Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х».
Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число х для которого справедливо неравенство:
|Х-х|<=х, х - граница абсолютной погрешности приближения «х».
Неравенство |Х-х|<=х позволяет установить приближение к «Х» по недостатку и избытку. (Х-х)<=x<=(Х+х). Вместо этой формулы часто используют Х=х+х.
По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.
Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.
Границей относительной погрешности х приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности х к модулю значения Х.
х=х/|x|
Относительная погрешность часто выражается в процентах.
Значащие и верные цифры:
Значащие цифры в записи числа - все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).
Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.
Значащая цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.
Сомнительные - не верные цифры.
Правильная запись - если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.
Округление чисел:
Округление - замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.
окр=|Х-хn|
Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. х1=х+окр
Используется 3 метода округления чисел:
Отбрасывание:
Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.
Округление завышением:
Последнюю цифру увеличиваем на 1
Метод симметричного округления
Выполняется по правилам:
Если первая слева из отбрасываемых цифр <5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения
Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)
Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.