Критерий омега-квадрат фон-Мизеса
| Загрузить архив: | |
| Файл: ref-29701.zip (25kb [zip], Скачиваний: 100) скачать |
Министерство образования и науки Украины
Запорожский национальный университет
Индивидуальная работа по математической статистике
Тема: «Критерий w2 фон Мизеса»
Выполнил:студент гр. 8216-2Безбородов Вячеслав
Проверила:Лысенко Елена Анатольевна
Запорожье
2009
Критерий w2 Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе
Порядок проверки простой гипотезы о согласии
Простая проверяемая гипотеза имеет вид H0: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q – известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w 2 не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.
При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:
1.Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.
2.Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений
x1£ x2 £ … £ xn.
3.В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия w2 Мизеса.
4.В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение
где G(S|H0) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0 отвергается.
Можно вычисленное значение статистики S* сравнить с критическим значением Sa , определяемым из условия
Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S*> Sa.
Нулевая гипотеза
В критериях типа w2расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривают в квадратичной метрике.
Проверяемая гипотеза H0имеет вид
при альтернативной гипотезе
,
где E[.]- оператор математического ожидания, y(t)- заданная на отрезке 0£t£1неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t2y(t)интегрируемы на отрезке 0£t£1. Статистику критериявыражают соотношением
,
где
, 
.
Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова
При выборе y(t) º1для критерия w2Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)
,
которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией распределения a1(S), имеющей вид
,
Алгоритм
1.Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S* вычисляется по формуле
.
2.Значение вероятности P{S>S*}=1-a1(S*) вычисляется по функции распределения a1(S)
,
или берется из приложения.
3.Критические значения критерия Saпри заданном a могут быть взяты из .
4.Гипотеза H0 не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S*
P{S>S*}=1-a1(S*)>a .
Пример 1.
Гипотеза Н0: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.
1.Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).
Рост, см
F(x;Θ)
S*
114
0,09375
1,596169
120
0,098684
125
0,102796
133
0,109375
139
0,114309
139
0,114309
145
0,119243
150
0,123355
151
0,124178
2.a1(S*)≈ 0,999 (из таблицы 1)
3.На уровне значимости α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.
4.Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.
Гипотезу Но опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.
Пример 2.
Гипотеза Н0: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.
1.Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «SewardFisheries» на Аляске:
1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.
Вес, млн кг
F(x;Θ)
Сумма
S*
0,6
0,117647
0,000311
0,71288
0,8
0,156863
0,020488
1
0,196078
0,092368
1,2
0,235294
0,215952
1,5
0,294118
0,367093
2.a1(S*)= 0, 99036 (из таблицы 1)
3.На уровне значимости α=0,01 a1(S)= 0,7434.
4.Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<0,71288}=1-0, 99036 0,00964<0,01.
Гипотезу Но опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.
Пример 3.
Гипотеза Н0: Средний балл студента Иванова И.И.за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.
1.Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:
4; 4,2; 4; 4,3; 4.
Оценка
F(x;Θ)
Сумма
S*
4
0,195122
0,012497
0,594398
4,2
0,204878
0,002036
4
0,195122
0,049082
4,3
0,209756
0,13956
4
0,195122
0,30789
2.a1(S*)= 0, 98314 (из таблицы 1)
3.На уровне значимости α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)= 0,3473.
4.Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<0,594398}=1-0, 98314 0,01686<0,1.
Гипотезу Но, оценки студента теоретически не согласованы.
Таблица 1
Функция распределения статистики w 2 Мизеса a1(S) при проверке простой гипотезы
S
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,00000
00001
00300
02568
06685
12372
18602
24844
30815
36386
0,1
0,41513
46196
50457
54329
57846
61042
63951
66600
69019
71229
0,2
0,73253
75109
76814
78383
79829
81163
82396
83536
84593
85573
0,3
0,86483
87329
88115
88848
89531
90167
90762
91317
91836
92321
0,4
0,92775
93201
93599
93972
94323
94651
94960
95249
95521
95777
0,5
0,96017
96242
96455
96655
96843
97020
97186
97343
97491
97630
0,6
0,97762
97886
98002
98112
98216
98314
98406
98493
98575
98653
0,7
0,98726
98795
98861
98922
98981
99036
99088
99137
99183
99227
0,8
0,99268
99308
99345
99380
99413
99444
99474
99502
99528
99553
0,9
0,99577
99599
99621
99641
99660
99678
99695
99711
99726
99740
1,0
0,99754
99764
99776
99787
99799
99812
99820
99828
99837
99847
1,1
0,99856
99862
99869
99876
99883
99890
99895
99900
99905
99910
1,2
0,99916
99919
99923
99927
99931
99935
99938
99941
99944
99947
1,3
0,99950
99953
99955
99957
99959
99962
99964
99965
99967
99969
1,4
0,99971
99972
99973
99975
99976
99978
99978
99979
99980
99980
Таблица 2
Процентные точки распределения статистики w 2 Мизеса при проверке простой гипотезы
Функция распределения
Верхние процентные точки
0,15
0,1
0,05
0,025
0,01
a1(S)
0,2841
0,3473
0,4614
0,5806
0,7434