Статистический анализ и оптимизация САР. Привод сопла ракеты носителя
| Примечание | Прислал: "Dmitry Korn" dima_korn@hotmail.com прилагающиеся программы на C++ Курсовая работа |
| Загрузить архив: | |
| Файл: vdv-0948.zip (92kb [zip], Скачиваний: 94) скачать |
Московский Государственный Авиационный Институт
(Технический университет)
Кафедра 704
Информационно-управляющие комплексы
Êóðñîâàÿ ðàáîòà
Òåìà:“Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ÑÀД
Âûïîëíèë: ñò. ãð. 07-403
Êîðíèëîâ Ä.Ì.
Ðóêîâîäèòåëü:Êóäðÿøîâ Ñ. Â.
Ìîñêâà 1998ã.
1.
Ïðèâîä ãèáêîãî ñîïëà ðàêåòû-íîñèòåëÿ:
|
Äàííûå:
Ïàðàìåòðû âîçäåéñòâèé íà âõîäàõ ñèñòåìûçàäàíû â âèäå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé:
ãäå:
 |
|
|
Óñèëèòåëüíîå çâåíî:
Kp=13 1/c
Ïàðàìåòðû ïåðâîé íåëèíåéíîñòè:
S=0.5;
K1=2.5
K2=1.9
Ïàðàìåòðû âòîðîé íåëèíåéíîñòè:
S=27 °/c
Ïàðàìåòðû òðåòüåé íåëèíåéíîñòè:
S=3 °
1.
2.
3.
TOC o "1-3" 1. Задание............................................................................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673334PAGEREF _Toc409673334 1
2. Теоретическая часть............................................................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673335PAGEREF _Toc409673335 1
2.1 Случайные процессы и их математическое описание........................................................ GOTOBUTTON _Toc409673336PAGEREF _Toc409673336 1
2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему GOTOBUTTON _Toc409673337PAGEREF _Toc409673337 1
2.3 Формирующий фильтр............................................................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673338PAGEREF _Toc409673338 1
2.4 Априорный статистический анализ.............................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673339PAGEREF _Toc409673339 1
2.5 Статистическая линеаризация......................................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673340PAGEREF _Toc409673340 1
3. Реализация.................................................................................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673341PAGEREF _Toc409673341 1
3.1 Система дифференциальных уравнений...................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673342PAGEREF _Toc409673342 1
3.2 Расчет системы в нелинейной форме............................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673343PAGEREF _Toc409673343 1
3.3 Расчет линеаризованной системы................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673344PAGEREF _Toc409673344 1
4. Заключение.................................................................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673346PAGEREF _Toc409673346 1
5. Список литературы................................................................................................................................
GOTOBUTTON _Toc409673347PAGEREF _Toc409673347 1
2.Теоретическая часть
1
Ïóñòü t ïðèíàäëåæèò T (äîïóñòèìîìó ìíîæåñòâó). Åñëè t ïðîáåãàåò íåïðåðûâíûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå T, òî x(t) ïðèíÿòî íàçûâàòü ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì.
Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t=t* âîçíèêàåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x(t*) êîòîðóþ ïðèíÿòî íàçûâàòü çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.
Ñëó÷àéíûé
ïðîöåññ
õàðàêòåðèçóåòñÿ
ñîâîêóïíîñòüþ
ïëîòíîñòåé
ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé
k=1,2,...,n.
Äåéñòâèòåëüíî
âåëè÷èíà
ðàâíà
âåðîÿòíîñòè
òîãî, ÷òî
Ïîýòîìó ÷åì áîëüøå n, òåì áîëåå ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïîâåäåíèè x(t) â èíòåðåñóþùåì íàñ èíòåðâàëå âðåìåíè ìû ðàñïîëàãàåì. Ïðàêòè÷åñêè îãðàíè÷èâàþòñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ëèáî èíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (ãëàâíûì îáðàçîì ìîìåíòîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ äàííûìè ïëîòíîñòÿìè.
Ïðèìåðîì
ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà,
ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåìîãî
îäíîìåðíîé
è äâóìåðíîé
ïëîòíîñòÿìè,
ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèé
ñëó÷àéíûé
ïðîöåññ.
Çàâèñèìîñòü
ìåæäó
çíà÷åíèÿì x(ti)
ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòåéøåé,
òàê êàê
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
ëèøü íà
ñîñåäíèå
çíà÷åíèÿ x(ti-1) è x(ti).
Íàëè÷èå
ïîäîáíîé
çàâèñèìîñòè
ïðèâîäèò ê
òîìó, ÷òî
âåðîÿòíîñòü
íàõîæäåíèÿ x(ti) â
èíòåðâàëå [xi, xi+dxi]
â ìîìåíò
âðåìåíè t=ti ÿâëÿåòñÿ
óñëîâíîé è
çàâèñèò îò
çíà÷åíèÿ
ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà â
ïðåäûäóùèé
ìîìåíò
âðåìåíè ti-1.Çàâèñèìîñòü
x(ti)
îò áîëåå
ðàííèõ
ìîìåíòîâ
âðåìåíè t1, t2,
ti-2, (ò. å. îò
áîëåå
ãëóáîêîé
ïðåäûñòîðèè
ïðîöåññà)
îòñóòñòâóåò.
Ýòî
îçíà÷àåò,
÷òî äëÿ ìàðêîâñêîãî
ïðîöåññà
óñëîâíàÿ
(èëè ïåðåõîäíàÿ)
ïëîòíîñòü:
Îòñþäà:
Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíàÿ áåçóñëîâíàÿ îäíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü è ñîâîêóïíîñòü óñëîâíûõ (ïåðåõîäíûõ) ïëîòíîñòåé ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.
Àáñîëþòíî ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ïðèíÿòî íàçûâàòü òàêîé ïðîöåññ, ëþáûå äâà çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè âñå åãî ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé íå çàâèñÿò îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, ò. å. èíâàðèàíòíû ê âðåìåííîìó ñäâèãó t:
Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî îäíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà âîîáùå íå çàâèñèò îò âðåìåíè.
Ãàóññîâñêèé ïðîöåññ -ýòî òàêîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñêîëü óãîäíî ìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè êîòîðîãî ãàóññîâñêàÿ.
n-ðàçìåðíîñòü âåêòîðà X,
Kx-ìàòðèöà êîâàðèàöèè
mx-ìàòåìàòè÷åñêîå îæèëàíèå.
Ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì è ìàðêîâñêèì.
Ê íàèáîëåå âàæíûì ìîìåíòíûì õàðàêòåðèñòèêàì ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îòíîñÿòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
õàðàêòåðèçóåò ñðåäíåå òå÷åíèå ïðîöåññà x(t) ïî âðåìåíè.
Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ
ãäå 
;ýòà
ôóíêöèÿ
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé
ñðåäíåå ïðîèçâåäåíèå
öåíòðèðîâàííûõ
çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà â
ìîìåíòû
âðåìåíè t è t+t.
Êîððåëÿöèîííàÿ
ôóíêöèÿ
õàðàêòåðèçóåò
ñòåïåíü
ëèíåéíîé
ñâÿçè
(êîððåëÿöèè)
ìåæäó
çíà÷åíèÿìè
ïðîöåññà,
îòñòîÿùèìè
äðóã îò äðóãà
íà âðåìÿ t.
Ïðè t=0, êîððåëÿöèîííàÿ
ôóíêöèÿ
ðàâíà
äèñïåðñèè.
Ïîíÿòèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî è äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè ñâÿçè äâóõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ x(t) è y(t).  ýòîì ñëó÷àå îíà íàçûâàåòñÿ âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé:
 òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ îïèñàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ÷àñòîòíîé îáëàñòè èëè, ïî èíîìó, ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.
Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè:
Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ åñòü ÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåìàÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.
Ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå:
Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà n(t) (ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì) òèïà áåëîãî øóìà, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä:
ãäå d(t)-äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, à N -èíòåíñèâíîñòü øóìà.
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýòîãî ïðîöåññà áóäåò:
÷òî ìîæåò áûòü ïðèíÿòî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ áåëîãî øóìà. Âûðàæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìîùíîñòü ïàðöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà n(t) äëÿ ëþáûõ ÷àñòîò îäíà è òà æå. Ïîýòîìó áåëûé øóì ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå èíòåíñèâíûì âèäîì ïîìåõè.
2
Ðàññìîòðèì
ëèíåéíóþ
äèíàìè÷åñêóþ
ñèñòåìó ñ
ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
Íà åå âõîä
ïîñòóïàåò
ñòàöèîíàðíûé
ñëó÷àéíûé
ïðîöåññ x(t), íà
âûõîäå
èìååò ìåñòî
ïðîöåññ y(t).
Òåîðåòè÷åñêè
âûõîäíîé
ñëó÷àéíûé
ïðîöåññ y(t) ÿâëÿåòñÿ
ñòàöèîíàðíûì
òîëüêî ïîñëå
çàòóõàíèÿ
ñâîáîäíûõ
êîëåáàíèé â
ñèñòåìå, òî åñòü
ïðè
t®¥.
Îäíàêî, â
èíæåíåðíûõ
ïðèëîæåíèÿõ
ìû áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî
ïåðåõîäíûé
ïðîöåññ â
ñèñòåìå
çàêàí÷èâàåòñÿ
çà âðåìÿ,
îïðåäåëÿåìîå
â
ñîîòâåòñòâèå
ñ ïðàâèëàìè
òåîðèè óïðàâëåíèÿ.
Èíûìè ñëîâàìè ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïðîöåññ y(t) ñòàöèîíàðíûì ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè çàòóõàíèÿ.
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ïðîöåññà èìååò âèä:
Äèñïåðñèÿ âûõîäíîãî ïðîöåññà:
Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ âûõîäíîãî ïðîöåññà:
3
Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå áåëûé øóì èìååò ïîñòîÿííóþ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü âî âñåì äèàïàçîíå ÷àñòîò.
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âñåõ ôèçè÷åñêè ñóùåñòâóþùèõ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ ÷àñòîòû:
Ïðè÷åì ñòåïåíü ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå âûøå ñòåïåíè ïîëèíîìà â ÷èñëèòåëå. Òàêèå ôóíêöèè äîïóñêàþò ôàêòîðèçàöèþ:
,
ãäå 
ôîðìèðóþùåì
ôèëüòðîì ñîîòâåòñòâóþùèì
ñïåêòðàëüíîé
ïëîòíîñòè 
íåêîåãî
ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà.
4
Ïîä àïðèîðíûì ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëèçîì (èëè àíàëèçîì òî÷íîñòè) ïîíèìàåòñÿ îïðåäåëåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê (ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, äèñïåðñèé, ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé, ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è ò. ï.) êîîðäèíàò óïðàâëÿåìîãî äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà ïî èçâåñòíîìó åãî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ è ñòàòèñòè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.
Ïóñòü ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà èìåþò âèä:
|
ãäå x(t)-âåêòîð ñîñòîÿíèÿ (ôàçîâûé âåêòîð), ðàçìåðíîñòè nx1,
A(t)-ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, ðàçìåðíîñòè nxn.
B(t)- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ,áåëûõ øóìîâ, ðàçìåðíîñòè nxm.
n-âåêòîð áåëûõ øóìîâ, ðàçìåðíîñòè mx1.
Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è ìàòðèöû êîâàðèàöèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
|
|
Ðàçìåðíîñòü ìàòðèöû êîâàðèàöèè nxn.
N-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåéáåëûõ øóìîâ.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1)-(3) ðåøàþòñÿ îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëÿåì âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïåðåä íà÷àëîì èíòåãðèðîâàíèÿ, äîëæíû áûòü èçâåñòíû àïðèîðíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è ìàòðèöû êîâàðèàöèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
5
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé èç ïóíêòà 2.4 íåîáõîäèìû ëèíåéíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ìîãóò ñîäåðæàòü (è ÷àùå âñåãî ñîäåðæàò) íåëèíåéíûå ýëåìåíòû, è óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé ïðèíèìàåò âèä:
|
 ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè, êîãäà íåëèíåéíûé ýëåìåíò çàìåíÿåòñÿ ëèíåéíûì â íåêîòîðîì ñìûñëå ýêâèâàëåíòíûì.
Ïóñòü íåëèíåéíûé ýëåìåíò èìååò ñëåäóþùèé âèä:
Ââåäåì
|
ëèíåéíûé ýëåìåíò ñëåäóþùåãî âèäà:
|
,
|
Íåîáõîäèìî ÷òîáû âåëè÷èíà íà âûõîäå ëèíåéíîãî ýëåìåíòà áûëà ýêâèâàëåíòíà, â íåêîòîðîì ñìûñëå, âåëè÷èíå íà âûõîäå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà.
Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà:
1. :
M{z}=M{h}
D{z}=D{h}
|
|
2. :
M{z}=M{h}
D{h-z}®min
Êîýôôèöèåíò b âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
|
3.Реализация
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è áûëî íàïèñàíî ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå ñ ïîìîùüþ ñðåäû Microsoft Visual C++ 4.0 äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé, ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ â äâóõ ïðîãðàììàõ, äëÿ ðàñ÷åòà íåëèíåéíîé ñèñòåìû è ëèíåàðèçîâàííîé.
1
Äëÿ òîãî ÷òîáû ââåñòè â ñèñòåìó ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ ñ òðåáóåìûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè âîñïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèåì ôîðìèðóþùåãî ôèëüòðà, äèíàìè÷åñêîãî çâåíà íà âõîä êîòîðîãî ïîñòóïàåò áåëûé øóì, à íà âûõîäå ïðîöåññ ñ òðåáóåìûìè ïàðàìåòðàìè.
Èòàê, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òðåáóåìîãî ïðîöåññà èìååò âèä:
|
Ñîãëàñíî ôîðìóëå ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôîðìèðóþùåãî ôèëüòðà èìååò âèä:
|
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàõîâàíèé ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ôîðìèðóþùèõ ôèëüòðîâ äâóõ âõîäîâ.
 |
Òðåòüåé ôàçîâîé êîîðäèíàòîé áóäåò x, çíà÷åíèå íà âõîäå â òðåòüþ íåëèíåéíîñòü. Åãî óðàâíåíèå èìååò âèä:
|
Ýòè óðàâíåíèÿ è ñîñòàâÿò ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
 |
2
Äëÿ ðàñ÷åòà äàííîé ñèñòåìû â íåëèíåéíîì âèäå áûëà ðàçðàáîòàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà êîòîðàÿ èíòåãðèðîâàëà ñèñòåìó óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Äëÿ ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, òî åñòü çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, â äàííîì ñëó÷àå îíè íóëåâûå.
Ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòû áûëè çàïèñàíû â ôàéë, è çàòåì ïîñòðîåíû. Ãðàôèêè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
Ðèñóíîê
1.
3
Äëÿ ðàñ÷åòà ñèñòåìû â ëèíåàðèçîâàííûì âèäå ïî ôîðìóëàì, íåîáõîäèìî ëèíåàðèçîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò. å. çàìåíèòü òðè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòà ëèíåéíûìè êàê ýòî ïîêàçàíî â 2.5. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè íàì íåîáõîäèìî çíàòü ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå â íåëèíåéíîñòü (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ). Ïàðàìåòð âõîäà â òðåòüþ íåëèíåéíîñòü èìååòñÿ â âåêòîðå ñîñòîÿíèé. Ïîýòîìó åãî äèñïåðñèÿ ïðèñóòñòâóåò â ìàòðèöå êîâàðèàöèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñïåðñèé íà âõîäå â ïåðâóþ è âòîðóþ íåëèíåéíîñòè ïðîèçâåäåì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ. Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì ÷òîáû âõîäîì ñèñòåìû îñòàâàëñÿ îäèí èç âõîäîâ â íàøó ñèñòåìó, à âûõîäîì âõîä â íåëèíåéíîñòü (äâà âõîäà ðàññìàòðèâàþòñÿ îòäåëüíî, à çàòåì èõ äèñïåðñèè ñêëàäûâàþòñÿ).
Èòàê, ïîñ÷èòàåì äèñïåðñèè îò âîçäåéñòâèé a è h, íà âõîäàõ ïåðâîé è âòîðîé íåëèíåéíîñòè:
Íàçîâåì ñèãíàë íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü õ, âî âòîðóþ y òîãäà óðàâíåíèå ñâÿçûâàþùèå x è a áóäóò èìåòü âèä:
Çäåñü 
êîýôôèöèåíòû
ñòàòèñòè÷åñêîé
ëèíåàðèçàöèè
ñîîòâåòñòâåííî
ïåðâîé è âòîðîé
íåëèíåéíîñòåé,äàëåå:
Ñëåäîâàòåëüíî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü âèä:
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå a èìååò âèä:
Òîãäà äèñïåðñèÿ íà âõîäå ïåðâîé íåëèíåéíîñòè áóäåò èìåòü âèä:
 òåîðèè èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàëû âèäà:
ãäå:
 àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå èìåþò âèä:
ãäå
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî çíàìåíàòåëü íàøåãî èíòåãðàëà, ïðèâåäåííûé ê âèäó:
Òîãäà:
Îòñþäà ñëåäóåò:
Îòêóäà:
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì îñòàëüíûå äèñïåðñèè:
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèÿ íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü èìååò âèä:
Íà âõîäå âòîðîé íåëèíåéíîñòè:
Äàëåå íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ñàìèõ êîýôôèöèåíòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè, âîñïîëüçîâàâøèñü âûâåäåííûìè ðàíüøå ñîîòíîøåíèÿìè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå èíòåãðàëû â ýòèõ ôîðìóëàõ áóäóò èìåòü îäèí èç òðåõ, íèæå ïåðå÷èñëåííûõ, âèäîâ:
Ýòè èíòåãðàëû, ñ÷èòàþòñÿ â ÷èñëåííîì âèäå è ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè îøèáîê è ãàóññîâñêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Îíè ðåàëèçîâàíû â ïðîãðàììå â âèäå ôóíêöèé, òîãäà êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè äëÿ ïåðâîãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà áóäóò èìåòü âèä:
K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+
k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);
K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+
k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;
Äëÿ âòîðîãî:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Äëÿ òðåòüåãî:
K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);
K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+
s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;
Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà äîëæíà èìåòü âèä:
Âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèÿìè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ìàòðèöû ìîæíî çàïèñàòü:
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòðèöà A íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ, â çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ ëèíåàðèçàöèè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå. Ñëåäîâàòåëüíî íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ íàøåé ñèñòåìû ìû äîëæíû èíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèé K:
Ðåàëèçóÿ âñå âûøåñêàçàííîå ïîëó÷èì ãðàôèê èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû:
Ðèñóíîê 2.
Ýâîëþöèÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèè ïî âõîäíûì âîçäåéñòâèÿì èìååò âèä:
Ðèñóíîê 3
Äèñïåðñèÿ âûõîäíîé êîîðäèíàòû:
4.
Êàê âèäíî èç ðèñóíêîâ 1 è 2 ñòàòèñòè÷åñêàÿ ëèíåàðèçàöèÿ ïðîâåäåíà ïðàâèëüíî. Ïîâåäåíèå ñèñòåìû â íåëèíåéíîé è ëèíåàðèçîâàííîé ôîðìå ïðèìåðíî îäèíàêîâî. Èç ðèñóíêîâ 3 è 4 ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèè ñõîäÿòñÿ, ò. å. ÷åðåç íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ñèñòåìå çàêàí÷èâàþòñÿ è íà âûõîäå ñèñòåìû èìååòñÿ ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.
5. Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.