Статистическая проверка гипотез


Примечание	от автора: вариант № 13
	Загрузить архив:
	Файл: ref-31620.zip (83kb [zip], Скачиваний: 48) скачать

Министерство образования и науки РоссийскойФедерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский Государственный Технический Университет

Институт Развития Бизнеса и Стратегий

Кафедра ММЛ

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Статистика»

На тему: «Статистическая проверка гипотез»

Вариант 13

Выполнил: ст. гр.МНЖ-31

Проверил: Землянухин А.И.

Саратов 2010

Введение

Под статистической гипотезой понимается всякое высказывание о виде неизвестного распределения, или параметрах генеральной совокупности известных распределений, или о независимости выборок, которое можно проверить статистически, то есть опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Использование гипотез необходимо для развития любой отрасли науки: биологии, медицины, техники и др. В экономике сфера применения статистических гипотез ограничена. Это объясняется тем, что в естественных науках можно организовать эксперимент в виде случайной бесповторной выборки, в которойотдельные наблюдения стохастически независимы. В экономике строгое выполнение этого условия порой невозможно.

В результате выполнения курсовой работы получаютсяпрактические навыки определения характеристик случайной выборки и установления нормальности распределения случайной величины при заданном уровне значимости.

Нормальное распределение наиболее часто встречается в задачах управленческой и маркетинговой деятельности. Таким образом, предлагаемая курсовая работа содержит часть инструментария, необходимого современному экономисту и руководителю.

Условие задачи

Дано статистическое распределение выборки:

х_i

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

x₆

x₇

n_i

20+(m+n)

30-(m+n)

Гдеx_i– результаты измерений, n_i- частоты, с которыми встречаются значения x_i . x_i=0,2*m+0,3*(i-1)*n.

1.Методом произведений найти выборочные: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

2.Построить нормальную кривую.

3.Проверить гипотезу о нормальности Х при уровне значимости α=0,05.

Решение задачи

1 Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Воспользуемся методом произведений, для чего составляем таб.1

m=3; n=4.

х_i

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

x₆

x₇

n_i

x_i=0,2*m+0,3*(i-1)*n.

x₁=0,2*3+0,3*(1-1)*4=0,6

x₂=0,2*3+0,3*(2-1)*4=1,8

x₃=0,2*3+0,3*(3-1)*4=3

x₄=0,2*3+0,3*(4-1)*4=4,2

x₅=0,2*3+0,3*(5-1)*4=5,4

x₆=0,2*3+0,3*(6-1)*4=6,6

x₇=0,2*3+0,3*(7-1)*4=7,8

х_i

n_i

u_i

n_iu_i

n_iu_i²

n_i(u_i+1)²

0,6

-2

-10

1,8

-1

-13

4,2

5,4

171

6,6

160

7,8

n=∑n_i=100

∑n_iu_i=80

∑ n_iu_i²=280

∑ n_i(u_i+1)²=530

В качестве ложного нуля принимаем С=3 – вариантас наибольшей частотой 27. Шаг выборки h=x₂-x₁=1,8-0,6=1,2.Тогда условные варианты определяем по формуле:

Подсчитываем условные варианты u_i и заполняем все столбцы.

Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству:

∑ n_i(u_i+1)²=∑ n_iu_i²+2∑ n_iu_i+n.

Контроль: 530=270+2*80+100.

Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты.

M₁^*===0,8;M₂^*===2,8.

Вычисляем выборочную среднюю:

=M₁^** h + C= 0,8*1,2+3=3,96

Находим выборочную дисперсию:

d_B= [ M₂^*- (M₁^*)²]* h²= [2,8 - (0,8)²]*1,2²=3,1

Определим выборочное среднее квадратическое отклонение:

σ_B===1,76

2 Строим нормальную кривую.

Для облегчения вычислений все расчеты сводим в таб.2

x_i

n_i

x_i=x_i−3,96

u_i==

n_i'=68,18*φ(u_i)

0,6

-3,36

-1,90

0,0656

1,8

-2,16

-1,22

0,1895

-0,96

-0,54

0,3448

4,2

0,24

0,13

0,3918

5,4

1,44

0,81

0,2637

6,6

2,64

1,50

0,1295

7,8

3,84

2,18

0,0371

100

n==100

Заполняем первые три столбца.

В четвертом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значения функции:

Функции φ(u_i) четная, т.е. φ(u_i)= φ(-u_i).

Значения функции φ(u_i) в зависимости от аргумента u_i (берутся положительные u_i, т.к. функцияφ(u_i) четная) находим из таблицы.

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле:

=φ(u_i)=68,18*φ(u_i)

И заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем столбце частоты округляются до целого числа и .

В системе координат строим нормальную (теоретическую) кривую по выравнивающим частотам (они отмечены кружками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены крестиками). Полигон наблюдаемых частот построен в системе координат .

3 Проверимгипотезу о нормальности Х при уровне значимости α=0,05.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 3.

n_i

0,25

6,25

169

0,38

729

30,38

-5

0,89

529

18,89

-1

0,05

361

18,05

0,11

100

11,11

0,5

4,5

100

X²_наиб=2,18

102,18

Суммируя числа пятого столбца, получаемX²_наиб=2,18

Суммируя числа последнего столбца, получаем 102,18.

Контроль: X²_наиб=2,18

∑−∑n_i=102,18−100= 2,18

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 7. , где s- число различных значений x_i. , т.е r=2._{υ =}_{s−2=>υ = 7−2−1=4}

По таблице критических точек распределения х², по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы ν=4 находим 9,5.

Так както нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного МО М(Х), пологая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение σ=σ_x=σ_B=1,76 и доверительная вероятность γ=0,95.

Известен объем выборки: n=100, выборочная средняя

3,96.

Из соотношения 2Ф(t)= γ получим Ф(t)=0,475. По таблице находим параметр t=1,96.

Найдем точность оценки

δ == =0,34

Доверительный интервал таков:

Или 3,96-0,343,62

Надежность γ=0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определят такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен