Гениальные математики Бернулли

	Загрузить архив:
	Файл: ref-7845.zip (143kb [zip], Скачиваний: 179) скачать

В то время как большинство западноевропейских стран были заняты внутренними феодальными междоусобицами и внешними войнами, Нидерланды уже прошли немалый путь капиталистического развития. Иностранцев поражало в Нидерландах цветущее состояние городов, отсутствие феодальных форм отношений между различными слоями населения, высокий уровень жизни, расцвет науки и культуры. Эта сравнительно небольшая страна давала казне львиную долю доходов. Годовой сбор налогов, например,достигал двух миллионов флоринов, в то время как вся Испания давала один миллион. Карл V называл Нидерланды жемчужиной своей короны.

Протестантство появилось в Нидерландах вскоре после известного выступления Лютера 1517 г., направленною против продажи индульгенций. Борьба против испанско­го ига переплелась с борьбой за свободу вероисповедания. Народное движение приняло религиозную окраску и разливалось шире и шире по стране.

В 1550 г. Карл V издал указ против еретиков, поставивший фактически всех протестантов вне закона и объявивший неограниченный террор на всей территории Нидерландов.

Пришел конец элементарной законности. С безгранич­ным цинизмом без суда уничтожались целые семьи, и даже роды. Вместе с казнями состоятельных граждан отторгалось принадлежавшее им имущество, изымались деньги и ценности. Началась эмиграция. Она достигла таких размеров, что многие местечки обезлюдели, а в го­родах численность населения заметно уменьшилась.    

Купеческая протестантская семья Бернулли жила в Антверпене. Свой род она вела из Фландрии, где Бернулли, в XV в. носившие еще фамилию Бернуйла (Bernuilla), не избегали и военных дел. Семья держалась насиженного места, пока можно было рассчитывать на то, что все как-то устроится. Надежды связывались с успе­хами освободительного движения: несмотря на зверства Альбы, северные провинции Нидерландов, объединенные вокруг Вильгельма Оранского, вынудили Филиппа при­знать их право на самоопределение. По договору 1579 г. семь северных провинций, образовавших ядро будущей Голландии, освобождались от испанского владычества. Однако остальные провинции—и город Антверпен, в том числе — оставались под испанской короной.

Тем самым все надежды рушились. Под угрозой фи­зического уничтожения приходилось покидать родной го­род. Большинство эмигрантов направлялось в прирейнские провинции Германии, потому что еще при жизни Карла V Германия добилась свободы вероисповедания (Аугсбургский мир 1555 г.). Казалось, волнения там улеглись и можно будет отдохнуть от десятилетий террора. Семья Бернулли решает ехать во Франкфурт-на-Майне. Рефор­мация в этом городе прошла еще в 1533 г., господствую­щая религия—протестантская. Выбор кажется удачным. В 1582 г. семья трогается в путь. Нелегко было порывать с родными местами. Глава семьи, Якоб Бернулли, скончался во Франкфурте в следующем же году.

Расчеты эмигрантов на то, что удастся обосноваться на новом месте, не оправдались: и в Германии вражда между католиками и протестантами не угасала. С начала XVII в. атмосфера непрерывно сгущалась; в 1618 г. началась Тридцатилетняя война, принесшая с собой неслыханные бедствия и расстройство хозяйственных связей. Решено было искать спокойного пристанища. Выбор остановился на Швейцарии, а именно на Базеле. Поло­жение в Швейцарии казалось относительно спокойным: реформация там утвердилась в 20-е годы XVI столетия, религиозные волнения за протекшие сто лет улеглись. В 1622 г. другой Якоб, внук первого Якоба, переехал в Базель и принял гражданство Базельской республики. На этот раз эмиграция завершается удачно. Сын Якоба Николай уже видное лицо в городе, пользующийся уважением купец, глава семьи, состоящей из одиннадцати детей. Среди его детей и находятся те, с кого начинается династия выдающихся математиков.

Чем вызвано переселение Бернулли именно в Базель, трудно сказать. Единственно, что можно утверждать с полной уверенностью, это то, что наличие в городе уни­верситета не играло в выборе никакой роли: семья Бер­нулли из поколения в поколение старалась отвлечь свою молодежь от науки и обратить ее дарования на коммер­ческую деятельность или адвокатуру. К счастью, моло­дежь сама выбирала свои пути, не очень считаясь с же­ланиями старших.

Среди Бернулли некоторые имена повторяются из по­коления в поколение, поэтому их различают, как королей, присоединив к имени соответствующую цифру. Вот родо­словная Бернулли:

Якоб (1598-1634). Уроженец Франкфурта-на-Майно. В 1622 г. переехал на постоянное жительство в Базель.

Николай (1623-1708). Сын Якоба. Уроженец Базеля. Торговец аптекарскими товарами и лекарственными тра­вами. Член Большого совета Базеля и член суда. Имел 11 детей.

Якоб I (1654-1705). Сын Николая. По образованию богослов. С 1687 г. профессор математики Базельского университета. Учениками Якоба I были: его младший брат Иоганн I, племянник Николай I, член Петербургской академии наук, механик и математик Я. Герман, отец великого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.

Николай (1662-1716). Брат Якоба I. Живописец. Член суда.

Иоганн I (1667-1748). Брат Якоба I. Десятый ре­бенок в семье Николая. По образованию врач. С 1695 г. профессор математики Гронингенского университета (Гол­ландия). С 1705 г. профессор математики Базельского университета. Почетный член Петербургской акаде­мии наук.

Жером (1669-1760). Брат Иоганна I. Торговец апте­карскими товарами.

Николай. Единственный сын Якоба I, имевшего еще дочь. Вопреки желанию отца, уклонился от научной карьеры и стал живописцем. По словам современников, весьма посредственным.

Николай I (1687-1759). Сын Николая. По образова­нию юрист. Профессор математики в Падуе, профессор логики и права в Базеле.

Николай II (1695-1726), сын Иоганна I. По образова­нию юрист. Профессор права в Берне, профессор матема­тики в Петербурге.

Даниил I (1700-1782). Уроженец Гронингена. Сын Иоганна I. По образованию врач. В 1725-1733 гг. рабо­тал на кафедрах физиологии и механики в Петербургской академии наук. С 1733 г. профессор по кафедре физиоло­гии, с 1750 г. профессор по кафедре механики в Базеле. Почетный член Петербургской академии наук.

Иоганн II (1710-1790), Сын Иоганна I. По образо­ванию юрист. Профессор элоквенции (красноречия), про­фессор математики в Базеле.

Иоганн III (1744-1807). Старший сын Иоганна II. По образованию юрист. Астроном Берлинской академии наук, там же директор математического класса.

Даниил II (1751-1834). Второй сын Иоганна II. По образованию врач, профессор красноречия в Базеле.

Якоб II (1759-1789). Третий сын Иоганна II. По об­разованию юрист. Математик Петербургской академии наук. Утонул в Неве.

Кристоф (1782-1863). Сын Даниила II. Профессор технологии в Базеле.

Иоганн-Густав (1811-1863). Сын Кристофа. Профес­сор технологии в Базеле.

Представители рода Бернулли живут в Базеле и в на­стоящее время.

                                                                        Якоб (1598-1634)

                                                                    Николай (1623-1708)

Якоб I (1654-1705)                                                                                                    Жером(1669-1760)

                                       Николай(1662-1716)                 Иоганн I (1667-1748)

Николай

                                    Николай I (1687-1759)

                                                            Николай II (1695-1726)                                Даниил I (1700-1782)

                                                                                                Иоганн II (1710-1790)

Якоб II (1759-1789)                           Иоганн III (1744-1807)Даниил II(1751-1834)

                                                Кристоф(1782-1863)

                                                                                                            Иоганн-Густав(1811-1863)

                                                                                    I

Якоб I. Родился 27 декабря 1654 г. По желанию отца готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Владел немецким, французским, анг­лийским, итальянским, латинским и греческим языками. Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671 г. получил степень магистра философии. С большим успехом читал проповеди на не­мецком и французском языках. В то же время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учебников.

В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики в Базельском университете. Ус­пехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат уни­верситета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г. Вряд ли присутствовавшие при этом скромном акте представляли, что они являются свидете­лями начала беспримерного в истории математики собы­тия: отныне кафедру будут занимать Бернулли на протяжении ста лет. Члены же этой семьи будут профес­сорами родного университета в течение четверти тысяче­летия, вплоть до второй половины XX в.

В том же году Якоб Бернулли прочитал в «Асtа Eruditirum» за 1684 г. «Новый метод» Лейбница и, обнару­жив трудные места, письменно обратился к Лейбницу за разъяснением. Лейбниц, находившийся в длительной слу­жебной поездке, получил письмо только через три года, когда надобность в консультации отпала: Якоб совместно Иоганном овладели дифференциальным и интегральным исчислениями настолько, что вскоре смогли приступить систематическому развитию метода. Образовавшийся триумвират — Лейбниц, Якоб и Иоганн Бернулли — менее чем за двадцать лет чрезвычайно обогатил анализ бесконечно малых.

С 1677 г. Я. Бернулли стал вести записные книжки, куда вносил различного рода заметки научного содержа­ния. Первые записи посвящены теологии, сделаны под влиянием распространенного в то время в Базеле сбор­ника спорных теологических вопросов.

Основное место в записных книжках занимает реше­ние задач. Уже по ранним записям можно судить о про­явленном Я. Бернулли интересе к прикладной матема­тике. Математические заметки показывают, как постепен­но Я. Бернулли овладевал методами Валлиса, Декарта, инфинитезимальными методами, как развивал и совер­шенствовал их. Решенные им задачи служили отправными пунктами для дальнейших более глубоких исследова­ний.

В январе 1684 г. Я. Бернулли провел в Базельском университете открытый диспут, на котором защищал 100 тезисов, из них 34 логических, 18 диалектических и 48 смешанных. Некоторые тезисы крайне любопытны. Вот примеры:

«78. Иногда существует несколько кратчайших путей из точки в точку.

83. .Среди изопериметрических фигур одна может быть в бесконечное число раз больше другой.

85. Не в каждом треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым.

89. Квадратура круга еще не найдена, но не потому, что между искривленным и прямолинейным нет никакой связи; в действительности кривую можно спрямить, а кри­волинейную фигуру квадрировать»

В мае 1690 г. Я. Бернулли опубликовал в «Асtа Eruditirum» первую работу, связанную с исчислением беско­нечно малых. В ней он дал решение поставленной Лейбницем в 1687 г. задачи о парацентрической изохроне. Необходимо было найти кривую, по которой материаль­ная точка опускалась бы в равные промежутки времени на равные высоты. Я. Бернулли вывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом он впервые употребил в печати термин «интеграл», указав, что из равенства двух выражений, связывающих дифференциалы, следует равенство интегралов.

В лекциях, читанных Лопиталю, И. Бернулли ход ре­шения излагает так. Пусть искомой кривой будет АDС. Материальная точка за время ∆t перемещается из точки D в точку d и из точки С в точку с. По условию задачи проекции дуг Dd Сс на вертикаль одинаковы. Проведем через D и С касательные к кривой до пересе­чения с продолжением АF. Отрезки касательных будут DK и CL. Напишем тождество

Dd/Сс=Dd/Hc • Hc/Cc.

Дуги Dd и Сс малы, поэтому фигуры GDdи НСс можно считать треугольниками.

Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и СFL получим

Dd/DG=DK/DE,Сс/Нс=CL/СF.

С помощью этих пропорций найдем

Dd/Сс=DG1Нс • DК/DЕ • СF/СL.

По условиям задачи dG/Нс=1, поэтому

Dd1Сс=DК/DЕ • СF/СL.

Проведем через точку С прямую СМ, параллельную DК. Тогда

DК/DЕ=СМ/СF,Dd/Сс=СМ/СL.

Но отношение Dd/Сс равно отношению скоростей (интер­вал ∆t один и тот же), квадраты же скоростей, по на­йденному Галилеем закону, относятся как пройденные вы­соты; это дает

Dd²/Сс²=СМ²/СL²=DЕ/CF,        СМ²/СL² =DЕ/СF.

Последнее равенство означает, что если через две про­извольные точки кривой провести касательные СL и DК и через точку С провести СМ параллельно DК, то должна выполняться указанная пропорция. Таким свойством обла­дает искомая кривая.

Задача оказалась сведенной к классу обратных задач на касательные: найти кривую, касательные к которой удовлетворяют некоторому требованию. Подобную задачу впервые предложил Декарту Дебон, и Декарт с ней не справился. Разработанный Лейбницем метод позволяет решать и обратные задачи на касательные.

Выберем начало координат в точке А. Обозначим АЕ=х, ЕD=у. Тогда GD=dх, Gd=dу. Обозначим также СF=а, СL=b. Треугольники FСМ и СdD подобны, отсюда

Gd/Dd=FС/СМ.

Но Dd = √dx²+dy², поэтому

dy/√ dx²+dy²= а/СМ, откуда

CM²= (a²dx²+a²dy²)/dy².

Подставим найденное выражение в пропорцию СL²/СM²=СF/СЕ и получим дифференциальное уравнение

b²dy²/(a²dx²+a²dy²)=a/y,      b²ydy²-a³dy²=a³dx²,     (b²y-а³)dу² = а³dx²,    

√b²y-a³  dy=√a³  dx.

В уравнении переменные разделены, интегрирование его дает искомую кривую

2b²у — 2а³/3b² √b²у - а³ == х√а³.

Парацентрическая изохрона оказалась полукубической параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определили Лейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернулли дал решение средствами анализа бесконечно малых.

В приложении к другой работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.

1. Существуют спирали, которые совершают бесконеч­ное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, зам­кнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, на­пример ay²=х²(b+х).

3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, на­пример ау²=х{а²—х²),

4. Существуют неограниченные поверхности с конеч­ной площадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с беско­нечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.

                Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древней­шая из них—задача легендарной основательницы Кар­фагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Афри­ки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?

Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложе­ний относительно изопериметрических фигур. Он утвер­ждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных тел с одина­ковой поверхностью наибольшим будет шар.

Решение задачи содер­жится в записных книж­ках Я. Бернулли и поме­щено в майском номере «ActaEruditorum»   за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказан­ный ранее принцип: по­скольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна об­ладать и любая ее элементарная часть. Он получил диффе­ренциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.

К. А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, прин­ципиально новый этап в истории вариационного исчисле­ния; оно дало возможность решать более сложные вариа­ционные задачи, им был сделан важный шаг на пути ре­шения вариационных задач».

При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел S_m = å k^m

Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука зал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(п) до S(п¹⁰):

S (n) = n²/2 +n/2

S (n²) = n³/3 + n²/2+ n/6

S (n³) = n⁴/4 + n³/2 + n²/4

S (n⁴) = n⁵/5 + n⁴/2 + n³/3 – n/30

S (n⁵) = n⁶/6 + n⁵/2 + 5n⁴/12 - n²/12

S (n⁶) = n⁷/7 + n⁶/2 + n⁵/2 - n³/6 + n/42

S (n⁷) = n⁸/8 + n⁷/2 + 7n⁶/12 - 7n⁴/24 + n²/12

S (n⁸) = n⁹/9 + n⁸/2 + 2n⁷/3 - 7n⁵/15 + 2n³/9 – n/30

S (n⁹) = n¹⁰/10 + n⁹/2 + 3n⁸/4 - 7n⁶/10 + n⁴/2 - n²/12

S (n¹⁰) = n¹¹/11 + n¹⁰/2 + 5n⁹/9 – n⁷ + n⁵ - n³/2 + 5n/66

     Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(n^c) = n^c+1/c+1 + 1/2*n^c + 1/2*()An^c-1 + 1/4*()Bn^c-3 + 1/6*()Cn^c-5 + 1/8*()Dn^c-7+ …

Здесь (), () … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n². Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n²), S(n⁴), S(n⁶), … Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30, …Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n²), S(n³), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.

Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

                91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

                                                                               

II

Роль И. Бернулли как одного из создателей, распро­странителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа отражает современная термино­логия: название «интегральное исчисление» (от латинско­го integer — целый, откуда и старинное русское «целственный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед­ствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву  S— первую букву латинского сло­ва summa.

И. Бернулли занимался приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд интеграла от функции n(z) по степеням аргумента:

∫ n(z)dz = nz – z²/2 * dn/dz + z³/6 * d²n/dz² – z⁴/24 * d³n/dz³ + …

В “Acta Eruditorium” за 1697 г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское семейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимся по определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможность применения полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о траекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных траекторий назвал полукубические параболы y³ = ax².

Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишь тогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированием рациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмах отрицательных чисел.

В письмах Лейбницу 1702 г. И. Бернулли заметил, что рациональные дроби должны интегрироваться в рациональных, логарифмических и круговых функциях.

Представляет особый интерес работа «Решение одной задачи интегрального исчисления», напечатанная в ”Memoires” Парижской академии наук за 1702 г. (1704) и в “Acta Eruditorium” за 1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различных корней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовые формулы, показал, как получать коэффициенты, вначале полагаемые неопределенными. Здесь же И. Бернулли заметил следующее важное качество. Подобно тому как дифференциал dz/(1-z²) с помощью подстановки z = (t-1)/(t+1) переходит в логарифмический дифференциал dt/2t, так и дифференциал действительного кругового сектора dz/(1 + z²) с помощью мнимой подстановки z = √-1(t-1)/(t+1) переходит в «мнимый дифференциал» -dt/2√-1t. Кроме того, очевидно, что dz/(1+z²) = 0,5dz/1 + z√-1 + 0,5dz/1 - z√-1

т. е. дифференциал действительного кругового сектора равен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. Отсюда И. Бернулли сделал вывод, что мнимые логарифмы заменяют действительные круговые секторы.

Соотношением dz/(1+z²) = -dt/2√-1t по существу была установлена связь между функциями Arctg(z) и Ln t = ln (1 - z√-1)/(1 + z√-1). Но эту связь И. Бернулли не получил, так как не стал интегрировать уравнение, а выполнил еще одну подстановку

t = (√-1 + √1/r – 1)/(√-1 - √1/r – 1), что дало выражение дифференциала арксинуса действительного аргумента через дифференциал мнимого логарифма. 

Работа И. Бернулли, опубликованная в “Acta Eruditorium” за 1712 г., содержала продолжение того же исследования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональную дробь с мнимым аргументом. Он решил дифференциальное уравнение

ndx/(x² + 1) = dy/(y² + 1), предварительно разложив дроби по указанному способу, и получил (x - √-1)ⁿ(y + √-1) = (x + √-1)ⁿ(y - √-1).

Продвижению вперед в применении мнимых чисел к анализу препятствовали неясности, связанные с поняти­ем логарифма. Свидетельство этому — развернувшаяся между Лейбницем и И. Бернулли дискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел.

В 1712 г. Лейбниц выступил со статьей, где, обсуж­дая парадокс Арно 1/-1 = -1/1, сказал, что отрицатель­ным отношениям не соответствуют никакие логарифмы, поскольку положительным логарифмам соответствуют числа больше единицы, а отрицательным — правильные положительные дроби. Поэтому логарифм числа —1 не бу­дет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм был действительным, то его половина стала бы также действительной, т. е. действительным был бы логарифм мнимого числа √-1 а это неверно.

И. Бернулли возражал Лейбницу; он считал, что логарифмы отрицательных чисел действительны, и пола­гал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Он основывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/х следует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg (-x) = lg х. Приводились и другие аргу­менты.

Перечислим некоторые частные результаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n a и cos n a по произведениям степеней sin n a и cos n a. Он первый обнаружил и доказал расходимость гармони­ческого ряда. До сих пор в учебной литературе находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу

1/1*2   1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/2*3 1/3*4 1/4*5...

                     1/3*4 1/4*5...

…………………………….

Просуммируем по строкам; найдем

S₁ = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ - 1/3 + 1/3 – ¼ + … = 1,

S₂ = ½ - 1/3 + 1/3 - ¼ +... = 1/2

S₃ = 1/3 – ¼ + ¼ - 1/5 + … = 1/3

…………………………………….

Обозначим сумму строк буквой S: 

S=S₁+S₂+S₃+…=1 + ½ + 1/3 + ...

Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; по­лучим

s₁=1/2, s₂=1/3, s₃=1/4, …; s₁+s₂+s₃ + … =1/2+1/3+1/4+ ... = S-1

Получается парадокс: S=S—1. Все объясняется просто: мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющим суммы.

Продолжим разговор о достижениях И. Бернулли. Он вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кри­визны в дифференциалах абсциссы и ординаты, которая опубликована в «Анализе бесконечно малых» Лопиталя. И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эволь­вент, каустик, касательных, точек перегиба, огибающих, кривизны. Он открыл точку возврата второго рода, описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие квадратуры, спрямления, кубатуры, в качестве приложе­ния методов анализа решил мною геометрических и ме­ханических задач, в том числе задачу о парацентрической изохроне.

К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего че­рез десять лет после появления основополагающего труда Лейбница, усилиями Лейбница и братьев Бернулли идеи дифференциального и интегрального исчислений достигли такого развития, что появились суждения о завершении анализа в ближайшем будущем. Назрела необходимость собрать воедино и систематизировать разработанные ме­тоды с тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий круг людей. Эту задачу блестяще выполнил И. Бернулли, написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислению дифференциалов» и «Математические лекции о методе ин­тегралов и других вопросах, написанные для маркиза Лопиталя».

Завершение лекций дало возможность писать И. Бер­нулли в автобиографической заметке, что он «был первым, кто подумал об изобретении метода для перехода от бесконечно малых количеств к конечным, элементами которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот метод интегральным исчислением, не найдя более подходящего слова».

Хотя И. Бернулли лекции и не издал, они были до­ступны французским математикам и сыграли важную роль в прогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернул­ли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых».

Лекции И. Бернулли, «Анализ» Лопиталя содержали небольшой набор основных аналитических понятий, ил­люстрируемых чертежами, теорем и правил и множество задач геометрического, механического и физического ха­рактера.

Лекции по дифференциальному исчислению начина­ются следующими постулатами:

«1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бес­конечно меньшую величину, не уменьшается, не увели­чивается.

2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно мно­гих прямых, которые сами бесконечно малы.

3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм».

Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из пре­дыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х² или ½*x² плюс или минус постоян­ная, x²dx — дифференциал 1/3*x³ плюс или минус постоян­ная... также аdх — дифференциал ах и т. д., axdx – дифференциал ½*ax² ах³dx— дифференциал ¼*ax⁴ и т. д.” После этого дается общее правило: «ах^p есть дифференциал ко­личества ax^p+1/(p+1). Иными словами: ∫х^pdx = х^p+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли применяет это правило к случаю P=-1   и получает ∫ dx/x = ∞. Однако впоследствии он исправляет ошибку.

Затем рассматриваются некоторые вариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренного выражения, и т. д.

Вторая лекция посвящена вычислению площадей. И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница и писал: « Площади рассматривают как разложенные на части, каждую из которых можно считать дифференциалом площади. Если имеют интеграл этого дифференциала, т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и искомая квадратура».

После обсуждения различных способов разбиения фи­гуры И. Бернулли делает заключение: когда частичные площадки ограничены ординатами и кривой, дифферен­циал каждой из них будет уdх. Если кривая задается, то у выражается через х вполне определенно, и уdх будет «полностью выражаться через х». Он приводит пример: дана парабола у²=ах; дифференциал площади будет √ах dх, его интеграл 2/3х√ах, или 2/3xу. С необычайной простотой И. Бернулли нашел результат, считающийся важнейшим достижением геометрии древних, состоящий в том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади соответствующего прямоугольника ху.

Содержание следующих лекций весьма разнообразно: квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», со­прикасающиеся кривые и эволюты, каустики; завершают книгу пять лекций, посвященных решению физико-меха­нических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первых задач механики нити. Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания, высочайшее методическое мастерство. Все в них все как у опытного лектора, хотя ему было всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых до него не читал никто.

Мало займет места изложение широко известного пра­вила Лопиталя, но следует его выделить среди общего рассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля 1694 г. И. Бернулли ответил Лопиталю на вопрос о том, как следует поступать, когда необходимо найти значение неопределенности вида О/О. И сообщил геометрическое доказательство высказанному правилу. Оно вошло в учебник Лопиталя «Анализ бесконечно малых».

Лопиталь формулирует задачу так: «.Пусть величина ординаты у кривой АМD (АР=х, РМ=у, АВ=а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой об­ращаются в нуль при х=а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при атом величина ординаты ВD».

Решение задачи выглядит так. На общей «оси» стро­ятся кривые АNВ и СОВ, причем ордината РN входит в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ, так что РМ=АМ•РN/РО.

Обе кривые пересекаются в точке В, поскольку, по пред­положению,

величины РN и РО обращаются в нуль, когда точка Р совпадает с В. Затем вводится ордината bd, близкая к ВD и пересекающая кривые в точках f и g. Для нее будет Bd=AB*bf/bg, что не отличается от ВD в силу одного из основ­ных допущений, выдвину­тых автором,  о том, что если имеются две величины,    отличающиеся друг от друга на бесконечно малую, то можно брать одну из них вместо другой. Следо­вательно, необходимо найти отношение bg к bf.

Когда АР обращается в АВ, обе ординаты РN и РО обращаются в нуль, «а когда АР обращается в Аb, ординаты обращаются в bf и bg». Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для на­хождения искомого значения bd иди ВD нужно диффе­ренциал числителя разделить на дифференциал знамена­теля, положив х=а=Аb или АВ, «что и требовалось най­ти»,— заключает Лопиталь.

В следующем параграфе правило применяется к на­хождению предельного значения

y = (√2a³x – x⁴ - a√a²x)/(a - √ax³) при х=а.

Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя раз­делить на дифференциал знаменателя, положив х=а. По­лучим число 16а/9 «для искомой величины ВD».

В августе 1704 г., вскоре после смерти Лопиталя, И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в «Анали­зе» методы. Это была заметка «Усовершенствование мое­го опубликованного в “Analyse des infiniment petits” § 163 метода для определения значения дроби, числитель и зна­менатель которой иногда исчезают». Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример, помещенный в § 164, который французские математики и Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернулли, «движимый любовью к истине», отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.

Одновременно с развитием дифференциального и ин­тегрального исчислений шла разработка методов реше­ния дифференциальных уравнений. В интегрировании уравнений первого порядка были достигнуты значитель­ные успехи. В «Математических лекциях о методе ин­тегралов и о других вопросах, написанных для маркиза Лопиталя» решено однородное уравнение dy/dx=f(y/x) подстановкой у=хt. Там же изложен метод приведения к однородному уравнения dy/dx=f((ax+by+c/(a₁x + b₁y + c₁)) подстановками x = ξ + h, у = η +h; при этом не упомянут случай ab₁-a₁b=0. В «Лекциях» И. Бернулли применил интегри­рующий множитель к уравнению ахdу—уdх=0. Он умно­жил члены уравнения на у^a-1/x² и получил d(y^a/x;)=0, откуда у^a=bх. Непосредственное разделение переменных в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как счи­тал, что в соответствии с формулой ∫хⁿdх=х^п+1/(n+1) будет ∫dx/x=∞. (Как известно, впоследствии он выражал этот интеграл через ln x.)

В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=р(х)у+q(х)уⁿ сводится заменой у^1-n=z к линейному. Из письма Лейб­ницу в том же году следует, что И. Бернулли проинте­грировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель x^k для последова­тельного понижения порядка уравнения Эйлера

а₀хⁿd^пу/dхⁿ+а₁х^п-1d^п-1у/dх^n-1+ … +а_n-1хdу/dх+а_ny=0.

Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны.

Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка» содержит идею метода изо­клин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С) дифференциального уравне­ния первого порядка у'=f(х; у) на плоскости соответ­ствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у', т. е. уг­ловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего решения урав­нения состоит в отыскании кривых, для которых направ­ления касательных совпадают с направлениями поля.

                                                                        III

Третий гениальный представитель рода Бернулли, Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место. Особенность эта объясняется, во-первых, разносторон­ностью его научных интересов и значительностью полу­ченных им результатов практически во всех областях точного естествознания своего времени, во-вторых, при­кладной направленностью исследований. В книгах, в ка­кой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бер­нулли называют по-разному: физиологом, астрономом, физиком, математиком, механиком, гидродинамиком. И не без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бер­нулли, Ж. Д’Аламбером, Ж. Лагранжем и другими вы­дающимися математиками и механиками XVIII в. созда­вал основы классической науки.

В очерке о роде Бернулли говорилось, что в 1723 г. Д. Бернулли отправился в Венецию для занятия медициной под руководством итальянского врача П. А. Микелотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции была опубликована «физико-механико-медицинская» дис­сертация Микелотти «О разделении жидкостей в теле животного», в которой рассматривались вопросы гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном переплете со вторым изданием медицинской диссертации И. Бернулли «О движении мускулов», что свидетель­ствовало о научном авторитете Бернулли среди итальян­ских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бер­нулли в Венеции.

С помощью «одного знатного венецианца» Д. Бернул­ли в 1724 г. издал «Математические упражнения» («Да­ниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые ма­тематические упражнения»), направленные в защи­ту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной дея­тельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые ре­зультаты были опубликованы в «Acta Eruditorium» и ста­ли достоянием более широкого круга ученых.

«Математические упражнения» состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) — приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в «Acta Eruditorium»; это слу­жит свидетельством того, что автор был в курсе новей­ших открытий. Наиболее значима часть книги, посвящен­ная исследованию дифференциального уравнения Риккати.

Развитие математики в первой половине XVIII в. ха­рактеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотре­нием различных классов функций наблюдалось дальней­шее исследование дифференциальных уравнений и при­менение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегри­ровались как в конечном виде, так и с помощью рядов.

Ко времени опубликования «Математических упраж­нений» в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были най­дены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.

y'=f(х; у),в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких урав­нений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид у'+Р(х)у=Q(х).

Метод решения таких уравнений, когда функция у оты­скивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и так­же Лейбницем. Уравнение вида

y'+Р(х)у=Q(х)у^п предложил Я. Бернулли. Оно в 1696—1697 гг. было ре­шено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y^1-n=z

К некоторым уравнениям применялся также интегри­рующий множитель. Я. Бернулли предложил прием пони­жения порядка к уравнению второго порядка, не содер­жащему явно одной из переменных, заменой y'=p. Рабо­та Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.

В 1694 г. в «Асtа Eruditorium» И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: «Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х²dх + у²dх = d²у». После этой публикации уравнением y’=у²+х²

заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 1697—1704 гг. «Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у²dх+х²dх,— писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г.— Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ускользало от меня». «Кстати, я вспоминаю другое уравнение dу=у²dх+х²dх,— писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г.,— в котором мне не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциальным; но я разделил их сведением к следую­щему дифференциальному уравнению: d²у:у=-х²dx²».

Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в ко­нечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к «Асtа Eruditorium» поставил задачу: для уравнения у'=ах^п+bу² (а и b — постоянные) найти значения п, при которых оно допускает разделение переменных. Ею за­нялись Иоганн I, Николай I, Николай II и Даниил Бер­нулли, но, кроме Даниила, существенных результатов никто не получил.

Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении выразил в виде анаграммы.

В том же выпуске «Асta Eruditorum» была помещена заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравне­ние ахⁿdх+ииdх=bdи считается неразрешимым.

Бернулли приступил к исследованию уравнения и вскоре опубликовал свои результаты в «Математических упражнениях». Он установил, что уравнение Риккати до­пускает интегрирование в конечном виде в случаях n= -4k/(2k±1) (k—целое число).

Случай п=—2 рассмотрел Эйлер. В 1841 г. Лиувилль доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бер­нулли и Эйлером, решение уравнения Риккати не сво­дится к квадратурам и не может быть выражено с по­мощью конечного числа элементарных функций. Уравнение

у'+а(х)y²+b(x)y+c(x)=0

теперь называют обобщенным уравнением Риккати. Его исследовал Эйлер и установил, что если известно одно частное решение у₁(х) уравнения, то подстановка y=y₁ (х)+1/и{х) приводит его к линейному. Если же из­вестны два частных решения y₁(x) и у₂(x), то общий интеграл уравнения находится одной квадратурой.

Интерес к уравнению Риккати объясняется тем, что оно встречается при решении некоторых задач механики; кроме того, к нему можно свести любое линейное урав­нение второго порядка.

Интересы Д. Бернулли были разнообразны. И вскоре он заинтересовался древней неразрешимой задачей квадра­туры круга просуществовавшей многие века, будоража умы математиков всех времен. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пы­тался справиться с квадратурой круга при помощи квадрируемых фигур, ограниченных дугами двух окружностей, названных гиппократовыми луночками. Такую лу­ночку можно, например, постро­ить следующим образом: возьмем четверть круга радиуса r и на хор­де АС, соединяющей концы ради­усов ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению к четверти круга полуокружность.

Тогда АС=r√2и площадь четверти большего круга будет такой же, как площадь меньшего полукруга, т. е. πr²/4.

Пусть S—площадь луночки, S₁, S₂, S₃, S₄, —площади соответственно меньшего полукруга, сегмента АС, четвер­ти большего круга, треугольника ОАС. Найдем

S=S₁-S₂,   S₂=S₃—S₄,

поэтому

S= πr²/4- (πr²/4-S₄) =S₄.

Итак, S=r²/2. Это значит — луночка квадрируема.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бернулли в «Математических упражнениях» указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадри­руемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.

Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре кру­га вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновьш доказано, что существует пять видов квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом.

Вторая часть «Математических упражнений», посвященная вопросам механики, по объему составляет почти половину книги.

В 1725 г. Д. Бернулли вместе с И. Бернулли получил первую премию на объявленном Парижской академией наук первом конкурсе на тему «О средствах сохранять равномерность водяных или песочных часов на море». Считается, что этот успех исследования по прикладной механике определил постоянный интерес Д. Бернулли к практическим задачам. И 5 июля 1725 г. был подписан контракт, по которому Д. Бернулли предоставлялось место профес­сора физиологии Петербургской академии наук с жало­ваньем 800 рублей в год; 27 октября 1725 г. он вместе с братом Николаем II Бернулли, получившим профессуру по кафедре математики с окладом 1000 рублей (самым высоким из всех платившихся академикам—составлял 4% от суммы, отпущенной Петром I на организацию акаде­мии), прибыл в Петербург. В духе механистических воз­зрений XVII—XVIII вв. Д. Бернулли на кафедре анато­мии и физиологии намеревался с помощью механикоматиматических методов изучать тайны живой природы. Он хотел открыть «новую эпоху в физиологии» (из письма Гольдбаху от 17 июня 1730 г.). Произошло же совсем иное: открытия Д. Бернулли легли в основу гидродинами­ки, гидравлики, физиологии; они применяются в геоло­гии, при исследовании динамики звёзд, в других областях точного естествознания.

Уже упоминалось, что 4 декабря 1725 г. на собрании академиков Д. Бернулли сделал сообщение «Возражение Питкарну против его теории о выделении соков в теле животного». На эту же тему через две недели он сделал второй доклад. Впоследствии тематика исследований Д. Бернулли изменилась: он стал изучать движение мышц человека и животных.

В связи с этим встали чисто механические задачи, определившие сообщения Д. Бернулли: «О сложении и разложении сил» (1 февраля 1726 г.), «Геометрические доказательства к рассуждению о сложении сил» (14 июня 1726 г.) и первые публикации в первом томе «Коммен­тариев» Петербургской академии наук (1728) — «Иссле­дование принципов механики и геометрические доказа­тельства относительно сложения и разложения сил», «Опыт новой теории движения мускулов». В этих рабо­тах Д. Бернулли развивал идеи, изложенные И. Бернул­ли в диссертации «О движении мускулов».

Смерть Николая Бернулли омрачила первые годы жизни Д. Бернулли в Петербурге. На заседании Акаде­мии наук 1 августа 1726 г. императрица Екатерина I выразила Д. Бернулли свое соболезнование.

Вскоре умерла Екатерина I; пришедший на престол Петр II переехал в Москву, куда отправился и президент академии Блюментрост. Фактическим руководителем ака­демии стал бывший библиотекарь Петра I И. Д. Шумахер, и это не благоприятствовало работе академии.

По инициативе и настоянию Д. Бернулли в 1727 г. в Петербург был приглашен великий Л. Эйлер. Он занял место адъюнкта на кафедре анатомии и физиологии и подготовил трактат «Основы движения крови по арте­риям». Но интересы Эйлера лежали в другом русле: его занимало как развитие самой математики, так и примене­ния ее к механике, физике, астрономии, и в 1731 г. он перешел на кафедру физики, в 1733 г.—на кафедру ма­тематики.

По распоряжению президента Академии наук Блюментроста каждый профессор обязан был написать какой-либо трактат.

                В 1732 г. Бернулли опубликовал работу «Замечания о рекуррентных последовательностях», где изложил метод решения алгебраических уравнений, не нуждающийся в предварительном определении границ, между которыми лежат положительные и отрицательные корни.

Слово рекуррентный означает возвратный. Рекуррентными формулами в математике называются такие, в которых какая-либо последующая величина вычисляется через предыдущие. Таковы же и последовательности. Именно: последовательность называется рекуррентной, если ее n-й член выражается через некоторые предыду­щие линейно: a_n=a₁a_n-1+aa_n-2+…+a_ka_n-k. К рекур­рентным последовательностям относятся, например, из­вестные геометрическая и арифметическая прогрессии, для которых a_n =a_n-1q, a_n=a_n-1q+d, где q — знаменатель геометрической прогрессии, d — разность арифметической. Могут быть и рекуррентные степенные ряды, т. е. ряды, коэффициенты которых образуют рекуррентные последо­вательности. Такие ряды рассматривал до Д. Бернулли А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 г. А. Муавр пришел к ним при решении одной вероятностной задачи.

Д. Бернулли предложил свой метод решения уравне­ний без обоснования, которое дано было впоследствии Л. Эйлером. Рассмотрим уравнение

a₀xⁿ +a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n=0                  (1)

и предположим, что оно имеет действительные различ­ные корни x₁, x₂,…, x_n. Составим конечно-разностное уравнение                                            

a₀y_n+i+a₁y_n+i+…+a_ny_i=0 (i = 0, 1, 2,…),    (2)

в которое войдут коэффициенты а_k (k=0; 1; 2;...) уравнения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррентное соотношение для последовательности

y₀,y₁,y₂,…у_i,….                         (3)

Эта последовательность определяет решение конечноразностного уравнения (2). Для нахождения решения у₁ нужно задать п начальных значенийy₀, y₁,..., y_n-1;

остальные у_n, y_n+1,…можно определить из уравнения (2).

В теории конечных разностей доказывается, что если корни x₁, x₂,…,x_n уравнения (1) различны, то решения, конечно-разностного уравнения (2) имеют вид

y_i=C₁x₁ⁱ+C₂x₂ⁱ+…+C_nx_nⁱ (i=0, 1, 2,…),    (4)

где C₁, С₂,…, С_n — произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий:

y₀=C₁+C₂+...+C_n,                      (5)

y₁=C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n,

y_n-1=C₁x₁^n-1C₂x₂^n-2+…+C_nx_n^n-1.

Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1) имеет единственный наибольший по модулю корень x₁, то отношение двух последовательных членов y_i+1 и y₁, ре­шения конечно-разностного, уравнения (2) стремится при i®¥ к пределу, равному x₁

        y_i+1

lim ——— = x₁.

^i®¥     y_i

Предположим, что |x₁|>|x₂|≥…≥|x_n|. Если корни х_k (k=1, 2,..., n) различны, то из (4) получим

y_i=x₁ⁱ[C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ],

y_i+1=x₁ⁱ⁺¹[C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ⁺¹+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ⁺¹],

Найдем теперь

y_i+1/y_i=x₁ (C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ)/( C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ⁺¹+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ⁺¹)

Пусть С=0. Перейдем в последнем равенстве к пределу при i®¥ и учтем, что(x₂/x₁)ⁱ→0;(х₃ /х₂)ⁱ→0;…;(x₄/x₁)ⁱ→0. Получим то, что и требовалось доказать.

Может быть так, что C₁=0, но С₂≠0. Тогда указанный предел будет равен другому, наибольшему по абсолютной величине, корню уравнения.

В случае, когда отношение y_i+1/y_i, колеблется и не стре­мится к определенному пределу, предполагается, что у уравнения есть наибольшие по модулю комплексные корни.

Сделаем в уравнении замену x=1/z. После этого по методу Бернулли найдется наименьший по модулю от­личный от нуля корень.

Реализация метода Бернулли производится так. Сна­чала задаются произвольные числа y₀; y₁,...,y_n-1, затем по формуле

y_n+1=-(a_ny_i+a_n-1y_i-1+…+a₁y_n+i-1)/a₀   (i=0, 1, 2, …)

находятся числа у_n, y_n+1, y_n+2,... и отношения y_n/y_n-1, y_n+1/y_n,… Если отношение y_n+1/ y_n+i-1 при возрастании i стремится к некоторому числу, то его принимают за наи­больший по модулю корень уравнения (1). Если же отно­шение с ростом i к пределу не стремится, то уравнение может иметь несколько наибольших по модулю корней или же это будет свидетельством того, что для выбранных y₀, y₁,… значение C₁=0.

Начальные значения y₀, y₁,…, y_n-1 выбираются про­извольно; обычно полагают y₀=y₁=…=y_n-2=0,

y_n-1=1. Метод Бернулли применяют также для нахождения комплексных корней уравнения (1).

В публикации 1738 г. Д. Бернулли распространил метод рекуррентных последовательностей на случай рядов.

Как вдруг появились ряды? Дифференциальное и инте­гральное исчисления возникли в связи с необходимостью решать конкретные механические и геометрические за­дачи, не поддававшиеся средневековой и античной мате­матике. А ряды? Они на первый взгляд кажутся крайне искусственными. Но это глубокое заблуждение. Ряды возникли одновременно с дифференциальным и интеграль­ным исчислениями, и теория их строилась Ньютоном, Лейбницем, представителями семьи Бернулли и последую­щими математиками. И при изучении их деятельности рельефно выступают ее проблематика и методология.

С рядами дело обстояло так же естественно, как и с другими важнейшими разделами математики, получивши­ми бурное развитие в XVIII в.: они применялись там, где другие средства исследования отказывали. Степенные ряды давали возможность приближенно решать уравне­ния, вычислять значения функций, вычислять интегралы, не выражающиеся через конечное число элементарных функций, решать дифференциальные уравнения, не ин­тегрируемые в конечном виде.

В 1732 г. Парижской академией был объявлен конкурс с удвоенной премией на тему «О взаимном наклонении планет». Премию получили Д. и И. Бернулли. Премированы также сочинения Д. Бернулли:«О лучшем способе устройства якорей» (1738), «О морском приливе и отливе» (1740), «О наилучшем способе устройства магнитных стрелок наклонения» (1743), «О лучшем способе определения времени в море» (1745-1746), «Теория магнита» (1742, 1744, 1746), «О теории течений и о лучшем способе их наблюдать» (1751 удвоенная премия), «О наиболее выгодном способе замены действия ветра на больших судах» (1753), «О наилучшем способе уменьшения боковой и килевой качки судна» (1757).

У семьи Бернулли есть также много других открытий в области высшей математики и физики. Вот несколько примеров таких открытий:

БЕРНУЛЛИ СХЕМА (назв. по имени Я. Бернулли), одна из основных математических моделей для описания независи­мых повторений опытов, используемых в теории вероятностей. Бернулли схема предполагает, что имеется некоторый опыт Х и связанное с ним случайное событие А (типичный пример:S— бросание монеты, А – выпадение герба). Производят n независимых повторений S. При каждом осуществлении S событие А может наступить с вероятностью р (здесь р=1/2), или наступить неудача с вероятностью g=1-p. Таким образом схема Бернулли определяется двумя параметрами: п и р.

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одна из важ­нейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел. Бернулли теорема была впервые опублико­вана в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713. Пер­вые ее доказательства требовали сложных математических средств, лишь в сер. 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычай­но изящное и краткое её доказатель­ство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого собы­тия равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлет­воряет неравенству |т/п—р|<ε (ε—произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе п испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

Р {|т/п—р|<ε}>1—р(1—р)/пε².                           В. И. Битюцков.

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:

dy/dx + Py = Qy^a, где Р, Q — заданные непрерывные функции от х, а — постоянное число. Введе­нием новой функции z=y^1-a. Уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному

уравнению относительно z. Уравнение Бернулли было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, методрешения опубликован И. Бернулли в 1697 г.

БЕРНУЛЛИ  УРАВНЕНИЕ, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Уравнение Бернулли было выведено Д. Бернулли в 1738 г. для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности ρ, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

v²/2+p/ρ + gh = const, где g – ускорение силы тяжести.Если это уравнение умножить на ρ, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объема жидкости, а другие два члена – его потенциальную энергию. Уравнение Бернулли в такой форме выражает закон сохранения энергии.

Фамилия Бернулли мне встречалась очень часто, но до некоторого времени я не знал, что она принадлежит ряду ученых - родственников. Я думаю, многие даже и не слышали этой фамилии или не догадываются, что Бернулли были теми людьми, о которых говорят, что они посвятили себя полностью науке.

Примечательно не то, что это семейство сделало ряд значимых открытий в разных областях науки, а то, что они, за исключением только некоторых членов семьи, были как-либо связаны с наукой, в частности с математикой. Нельзя сравнивать «умных» представителей этой фамилии с другими великими учеными, но они, пожалуй, были самыми гениальными учеными своего времени. Многие их открытия даже сейчас кажутся нам нереальными, недоказуемыми, но и как все гениальное – простыми.

Я не знаю, что мне в будущем пригодится из того, что я здесь изложил, но я точно знаю, что не встречу и не услышу о другой такой семье, подарившей миру столько гениев.

Список использованной литературы:

1.Н. Я. Виленкин «Великие математики Бернулли»

2.«Большая Советская Энциклопедия» (в 30 томах). Гл. редактор А. М. Прохоров. 3-е издание М.. «Советская Энциклопедия» 1970 г.

3.« Энциклопедический словарь юного математика»

4.«Справочник по элементарной математике» М. Я. Выгодский