Роль математических методов в экономическом исследовании


Примечание	для сдачи кандидатского минимума
	Загрузить архив:
	Файл: pda-0598.zip (24kb [zip], Скачиваний: 51) скачать

Курганская Государственная сельскохозяйственная

академия им. Т.С. Мальцева

Р Е Ф Е Р А Т

для сдачи кандидатского экзамена по философии

Роль математических методов в экономическом исследовании

Выполнил:соискатель ученой степени

кандидата экономических наук

Исламутдинов Вадим Фаруарович

Курган-1997

3. Особенности математических методов, применяемыхк решению экономических задач......................................................................................................................................................................................................................................... PAGEREF _Toc453920888 h 12

Заключение......................................................................................................................................................................................................... PAGEREF _Toc453920889 h 17

Использованная литература.............................................................................................................................................................. PAGEREF _Toc453920890 h 18

Введение

Есть различные точки зрения на процессы,происходящие в нашем обществе в настоящий момент.Но независимо от того какразличные политические силы воспринимают эти процессы (какоткат назад или как прогресс, движение вперед ),ни одна их них не может отрицать того,что экономические условия жизни стали намного

сложнее. Стало намного труднее принять решение, каккасающееся частных интересов, так и общественных.Эти трудности не могли не вызвать волны нового интереса к математическим методам, применяемым в экономике;т.е.к тем методам,которые позволили бы выбрать наилучшую стратегию как на ближайшеебудущее, так ина

дальнюю перспективу.В то же время многие люди втаких случаях предпочитают обращаться к собственной интуиции,опыту, или же к чему-то сверхественному. Следовательно,необходимо оценить роль математических методов в экономических исследованиях - насколькополно ониописывают все возможные решения и предсказывают наилучшее, илидаже так: стоит ли их использовать вообще?

По отношению к этому вопросу следуетизбегать двухкрайних мнений: полное отрицание применимостиматематическихметодов в экономике и фетишизация, преувеличение той роли, которую математика могут или могли бы сыграть.Оба этих подхода основаны на незнании реального положения вещей, поскольку человек,хотя бы частично знакомый с этим вопросом,никогда не поставит егоребром: да или нет;а будет говорить лишь об удельном весематематических методов во всей системе исследования экономических проблем.

В этом вопросе есть значительный философский аспект, связанный с проблемой истины. Т.е. насколько математические модели экономических систем отражают реальные законы, по которым живет экономика. Полнота этого отражения зависит в некоторой степени иот цели исследования. Для одних целей достаточно минимальногоуровня соответствия, для другихжеможет потребоватьсяболеедетальное описание.

Кроме того математические методы немогут неразвиваться, также как и сами экономические системы. Это происходит как вследствие изменений в экономике, так и по внутренней логике развития. При этом необязательно, что новые методы с неизбежностью отбрасывают старые,может происходить взаимопроникновение, включение старых теорий в новые ( в качестве частного случая ).

На развитие иприменениематематическихметодов огромное влияние оказало и еще окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных ранее лишь теоретически или на простейших примерах.Кроме всего прочегоразвитие систем компьютерной обработки, накопления и хранения информации создает новую, весьма обширную информационную базу, котораявозможно послужит толчком к созданию новых, ранее неизвестных математических методов поиска и принятия решений.

1.Проблема универсальной применимости математики

1.1. Причины универсальности математики

Математику можно определить как науку, оперирующуючистыми абстракциями, т.е. объектами,отделёнными от реального мира.Hо еще в древности математика и науки о природе не разделялись.Люди воспринимали числа и операции над ними какзаконыреального мира. Лишь в Древней Греции впервые возникла идея о том, что числа можно изучать отдельно ( школа Пифагорейцев ). Правдавзгляды их на число были почти суеверными. Hо как раз они и открылипервые закономерности, не имеющие аналога в мире вещей, хотя и утаили их от всего мира. Таким образом в Древней Греции были положено начала развития математики как самостоятельной науки.

В Средние Века развитие математики как таковой происходило в основном в Средней Азии.В Европе же шел процессразвития формальной логики внутри церковной схоластики.Это также было позитивным моментом, поскольку применение математики предполагает определённую формализацию знания.

Hачиная с 17 векавозможностиматематики начинаютрасти. Первоначально развитие математики определялось потребностями изучения и выражения объективных законов. Впоследствииматематика стала развиваться подчиняясь также внутренней логикеразвитияи исходя из собственных потребностей. Hо роль математики, как аппарата для выражения объективных законов, нисколько не уменьшилась.

При этом новые закономерности,выведенныечисто математически, позволяют предсказывать свойства,присущие объектамфизической природы.

Математика стала широко проникать во все сферы науки, и тут выяснилось, уравнения и выражения, созданные для целей одной науки, зачастую применимы, после определённой подработки, в другой.

В чём же причина такой универсальной применимости математических методов?

По мнению Вигнерауниверсальностьприменимости математики следует считать чем-то сверхестественным.Ученые должныпросто пользоваться ею, не пытаясь понять причины этого.А саму математику он рассматривает как науку о хитроумных операциях,производимых по специально разработанным правилам над специальнопридуманными понятиями. Причем новые понятия выводятся для того и так, чтобы над ними можно было произвести какие-нибудь хитроумные операции,которые импонируют человеческому чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их помощьюрезультатам, обладающим большой простотой и общностью.

Hо такой подход ненаучен.Причина такой универсальности математики кроется в высоком уровне абстрагированности математического языка. Уже введение понятия числа былопереходомна более высокий уровень абстрагирования. Числа не имеют вкуса, запаха, веса и других эмпирических характеристик, являясь лишь субъективным суждением о количестве какого-либо предмета, явления. В то же время они позволяют определитьколичественныехарактеристикии отношения практически любого объекта. Единственная сложность состоит только в выборе единицы измерения. Т.е. измерив объект,выразив его количественно,можно затем отвлечься от его содержания

и оперировать полученными данными по всем правилам математического языка. Полученные таким образом результаты можно и нужно проверять эмпирически.

Вообще, язык математики имеет определенные преимущества перед естественными языками. Он минимально избыточен, моносемантичен и содержит в себе правила преобразования. Все это позволяет сравнительно легко оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки,применять алгоритмы к блокам,а затем развертывать результат через систему подстановок и т.д.

Применение математического языка, в свою очередь требует определённого уровня формализации.Введение единиц измерения – уже частичная формализация. Hо единицы измерения формализуют лишь количественную сторону явлений и процессов, не позволяя создать новые методы для решения новых задач.

Формализация же качественных характеристик объектов происходит двумя путями:

Аксиоматическая система - это одиниз способовпостроения теории на основе базовых положений ( аксиом ),из которыхзатем выводится основное содержание теории.Аксиоматические системыв ходе эволюции прошли три этапа,которым соответствуюттри типа аксиоматических систем:

а) Содержательные аксиоматические системы - когда наоснове основных представлений с помощьюинтуицииописываются содержательно ясные объекты. Т.е. и объекты и аксиомы имеют свои аналоги в мире вещей. Hа начальных этапах развития наукивсе теории представляли из себя такие аксиоматические системы.Такие системы не представляют ценности в смысле универсальности ихприменения.

б) Полуформализованная аксиоматическая системапредполагает задание абстрактных объектов, длякоторыхописываются содержательно ясные аксиомы. Такие системы уже в достаточно большой мере универсальны,поскольку зачастую бывает, что сходствоначальных условий позволяет применять старуютеориюдля изучения новых объектов (конечно же с известной долей скептицизма).

в) Полностью формализованные системы.В этом случаеизначально задаются и алфавит системы и аксиомы и правила преобразования знаков алфавита, сохраняющие истинность аксиом.Такие системы могут развиваться по своим внутренним законам.Но теориии методы созданные в рамках таких формализованных систем могут найти неожиданное применение в различных отраслях научного знания.

Но главным критерием применимости того или иного методаявляется проверка результатов исследования на опыте, на практике.

Алгоритмизация,второй вид полной формализации, предполагает создание алгоритмов - единых методов для решения целогоряда задач. При этом метод решения заключается в совершении какой-то последовательности заранее определённых действий. Приэтом создание алгоритма уже предполагает универсальность.Одновремя даже пытались создать единый алгоритм для решения любых задач.

Универсальность алгоритмов имеетопределённые ограничения. Во-первых, это их дискретность,т.е. разбивка на шаги,которые нельзя пропускать;во-вторых для ряда задач вообще нет алгоритма решения.

То есть следует заметить, что математика универсальна не абсолютно. При применении математических методов вразличных науках наблюдается определенная специфика.

1.2. Специфика применения математики в разных науках

Специфика применения математики в различных отраслях науки в значительной мере определяется особенностями процесса познанияв этих науках,которые в свою очередь зависят отсвойств объекта исследования.

А свойства объекта исследования в свою очередьопределяются запретами, которые накладывает на возможные движения этого объекта законы объективной реальности. Отсюда одной из задач науки является сужение множества "мыслимых",иливиртуальных движений, выяснение принципов отбора реальных движений из числавозможных. Исходя из этого проблема математическогоописанияматериального мира сводится прежде всего к поиску описанийразличныхмеханизмов отбора, лежащих в основе причинности всехреальныхдвижений материи [6 (55)].

По Моисееву,описание механизмов отбора - этопо существу один из способов изложения естественных наук. Основными принципами отбора в естественных науках являются:

- закон сохранения, отражающий вариационные принципы (принципы экономного достижения цели);

- второй закон термодинамики (о неубываемости энтропии);

- принцип минимума диссипации энергии (принцип,по которому из нескольких разрушительных процессов реализуется наименее разрушающий);

- принцип устойчивости (сохранениелишь устойчивыхформ движения).

На основе этих и многих других принципов отбора в естественных науках строятся математические модели феноменологической природы. Но феноменологическая база естествознания постояннорасширяется, что приводит к усложнению и обобщение моделей.Основной путь развития таких моделей - индуктивный,т.е.движение от более простых к более сложным.Но дедуктивный путь не менее важен.

Одним из методов,который позволяет получатьклассы упрощенных моделей, является так называемый асимптотический метод, или асимптотический анализ [6 (68)].

Таким образом, можно сделать вывод,что система естественнонаучных методов имеет важную особенность.Она состоит в стремлении использовать феноменологию только на микроуровне, охватить по возможности более широкий класс явлений, а затем методамиасимптотического анализа получить более простые моделимакроуровня, как частные случаи [7 (23)].

При переходе к более сложным уровняморганизации возникают новые понятия, математические модели приобретают иной характер, усложняется аппарат исследования. Так,при переходе к уровню живой материи неизменно становится сложнее организация, изменяются старые и появляются новые принципы отбора.

В отличие от неживой природы,процессы живой природы не могут быть описаны без применения термина "обратная связь".

Т.е. характер взаимодействий здесьопределяется ещеодной свободной (независимой) функцией,обычноназываемой управлением,выбор которой в той или иной мере произволен, вовсяком случае,не следует из законов сохранения (хотя,конечно им не противоречит). При этом выбор этот производится исходя из стремления достичь определенную цель.Для того,чтобысделать правильный выбор, живому организму нужна соответствующая информация. При этом информация нужна не любая, а только такая, котораяпозволит либо достичь цели как минимум, либодостичьее наилучшим образом, как максимум. В этом смысле понятие информации отличается от понятия информации как знания о состоянии системы (наоснове понятия энтропии).

Соответственно, для описания биотических процессов необходимо иметь представление о структуре обратныхсвязей, реализуемых функциями поведения. Но аргумент функции поведения - это расстояние до гомеостатической границы существования организма.Значит, первый необходимый шаг любых системных исследований,исследующих математические модели - определение границыгомеостазиса,т.е. критических значений параметров окружающей среды. Второй этап исследования - это определение реакции на отклонения от гомеостатической границы, т.е. определение функций поведения [6 (87)].

Здесь также возможно применениеасимптотическихметодов и агрегирования, но пока еще мало сделано дляэтого. Этовызвано тем что биотические системы намного более сложные.Напримерпри описании иерархической структуры "стадо - индивид" ученые сталкиваются с проявлением противоречий целого и частей. Интересы цело-

го здесь далеко не сумма интересов отдельныхегочастей. Таким образом , чтобы понять природу этого уровня организацииматерии, необходимо принять во внимание диалектическое единство противоположенностей, порождаемых наличием гомеостазисов ирефлексностью, т.е. действием той системы обратных связей , которая возникает на

этом уровне. Через систему конфликтов этипротиворечиястимулируют развитие и усложнение (усовершенствование) организации.

Эта внутренняяпротиворечивостьопределяет специфическую структуру соответствующей системы моделей ипорождает трудности согласования моделей разных уровней, без преодоления которых, однако, невозможно говорить об организации (системности)множества моделей.

При переходе к следующему, общественному уровнюорганизации материи следует отметить, что методы изучения этого уровня несомненно включают все предыдущие методы, поскольку зарамкиобъективных законов природы выйти нельзя. Но говоря о специфике применения математических методов следует указать на два коренныхотличияобщественных взаимодействий от биологических.

Во-первых, по мере развития трудовойдеятельности человека как социального животного происходит непрерывноеусложнение общественной организации, появляется большое разнообразие гомеостатических общностей, усложняются цели, стремления и потомупротиворечия. Вместес усложнениеминфраструктурыорганизации все большее число ее отдельных частей приобретает черты организмов и,

следовательно, структура обратных связей усложняется.

Во-вторых, при построении модели нельзя не учитыватьпостепенное развитиеинтеллекта и,следовательно,способности все большего понимания индивидом последствий его действий, степени их влияния на характер гомеостатической стабильности. Именноблагодаря этому реакции теряют свою рефлексность, и при анализе обратных связей становится необходимым учитывать процессыпереработки

информации и принятия решений.

Люди обладают различным уровнем интеллекта, поэтому их реакции на одинаковые ситуации могут различаться.Кроме этогонадо учитывать характер информированности субъекта,особенностипроцессов принятия решений; т.е. всю логическую цепочку, которая может привести к тем или иным выводам. Всеэто предъявляетновые требования к применяемым математическим методам.

Схематично специфику применения математических методов в зависимости от отрасли науки можно представитьследующим образом: метод математических моделей на уровне организации неживой природы требует главным образомиспользованиязаконов сохраненияи простейших механизмов отбора. На биотическомуровнеорганизации возникает необходимость описание структуры обратной связи рефлексного типа. На уровне общества качественно новой особенностью является необходимость описывать противоречивое единствоинтересов и целей отдельных организмов, участвующих в том или ином процессе, противоречивое единство связанных междусобой,иерархически организованных цепочек организмов [6 (129)].

В экономике такими организмами можно считатьотдельных людей, группу людей, организацию, предприятие.Даже экономическую систему отдельной страны можно рассматривать как организм сприсущими ему реакциями на различные факторы внешней среды. Тоесть в зависимости от целей исследования следует выделятьэкономическую систему какого-либо уровня и рассматривать еекакорганизм.

При этом в зависимости от выбранногоуровнядетализации возникают свои особенности применения математических методов,которые и определяют степень применимости того или иного метода, егоэффективность.

2. Особенности экономических задач, решаемых математическими методами

Экономическая наука, как и любая другая имеет свою специфику. Специфика ее определяется общей спецификой наук очеловеке. Все общественные науки изучают самую сложнуюи высокоорганизованную форму движения - социальную. Как ужупоминалось выше,наэтом уровне организации материи приходитсяучитыватьобратную связь между субъектом и внешней средой. При этомсвязь этапредставляет противоречивое единство интересов и целей отдельных организмов, участвующих в том или иномпроцессе.Экономическая наука изучает большой пласт процессов, как прямоимеющих местомежду субъектами при обмене различными продуктами, так и имеющих к этому какое-либо отношение. До того,каклюди сталиобмениваться продуктами своего труда, отношения между ними никак нельзябыло назвать экономическими. Возникновение экономических отношений положило начало специализации трудаисоответственно,всему социально-экономическому прогрессу.

На современномэтапе экономические взаимоотношениямежду субъектами образуют экономические системы со сложной структурой, большим количеством элементов исвязей междуними,которые и являются причиной почти всех особенностей экономических задач.

По Гатаулину основой экономической системыявляетсяпроизводство, следовательно экономическую систему можнорассматривать как совокупность управляемой (производство) и управляющейсистем. Из этого вытекают следующие особенности:

1) несравненно больше чем любой технической управляемой системы;

2) и управление им включает управление процессами совершенствования;

3) в связиснаучно-техническимпрогрессом иразвитием производительных сил изменяются параметры системы, что обуславливает необходимость исследованияновых закономерностейразвития производства и их использования в управлении;

4) с усложнением производства повышаются требования кметодам сбора, накопления, переработки информации; ее дифференциации по уровням иерархии с учетом существенности с точки зрения принятия управленческих решений;

5) участие человека в производствекак неотъемлемойчасти производительных сил общества обуславливает необходимостьучета комплекса социальных, биотических, экологических и других факторов;

6) участие в сельскохозяйственномпроизводстве биологических систем как средств производства, их существеннаязависимость от случайных природных факторов обуславливаютвероятностныйхарактер многих производственных процессов, чтонеобходимоучитывать в управлении производством [3 (21)].

Но кроме производственных систем в состав экономических систем входит также сфера обращения и непроизводственная сфера,которые также имеют свою специфику.Оназаключается втом,что участие в процессах обращения множества покупателейипродавцов предполагает необходимость учета таких факторов как конкуренция, законы спроса и предложения, а также то, что большинствоусловий здесь также имеет вероятностный характер.

Из сказанного следует, что экономические задачи, этозадачи с большим числом неизвестных, имеющих различные динамические связи и взаимоотношения. То есть экономические задачи многомерны,и даже будучи представлены в форме системы неравенств иуравнений, не могут быть решены обычными математическими методами.

Еще одной характерной чертой планово-экономических идругих экономических задач является множественность возможныхрешений; определенную продукцию можно получитьразличнымиспособами, по разному выбирая сырье, применяемое оборудование, технологию и организацию производственного процесса [4 (7)]. В то жевремя для управления требуется по возможности минимальноеколичествовариантов и желательно наилучшие. Поэтому второй особенностьюэкономических задач является то, что это задачи экстремальные, что в свою очередь предполагает наличие целевой функции.

Говоря о критериях оптимальности, следует упомянуть,чтов ряде случаев может возникнуть ситуация, когдаприходитсяпринимать во внимание одновременноряд показателейэффективности(например, максимум рентабельности и прибыли, товарнойпродукции, конечной продукции и т.д.). Это связано не только с формальными трудностями выбора и обоснованияединственного критерия,нои многоцелевым характером развития систем. В этом случае потребуется несколько целевых функций и соответственно какой-токомпромисс между ними.

Близко к многоцелевым задачам лежат задачи сдробно-линейной функцией, когда целевая функция выражается относительными показателями эффективностипроизводства (рентабельность,себестоимость продукции, производительность труда и т.д.)[3 (139)].

Кроме всего вышеизложенного, надоучитывать, чтовходными величинами производственных систем служат материальные ресурсы (природные, средства производства), трудовые ресурсы,капиталовложения, информационные ресурсы (сведения о ценах, технологиии др.). Из этого следует еще одна особенность экономическихзадач: наличие ограничений на ресурсы. Т.е. этопредполагаетвыражение экономической задачи в виде системы неравенств.

Случайный характер факторов, влияющих на экономическуюсистему, предполагает вероятностный (стохастический) характер технико-экономических коэффициентов,коэффициентовцелевой функции, что также является особенностью экономических задач.

В то же время нередко встречаются условия, когдазависимости между различными факторами или вцелевойфункции нелинейны. Например, это имеет место в зависимостях междузатратами ресурсов и выходом конечного продукта. Но основная частьтаких задач встречается при моделировании рыночного поведения, когдаследует

учитывать факторы эластичности спроса и предложения,т.е.нелинейный характер изменений этих величин от уровня цен.

При моделировании рыночного поведения кроме нелинейности зависимостей, встречается такая особенность, как требованиеучитывать поведение конкурентов. Даже советские экономисты признавали, что действие объективных экономических законов осуществляется через деятельность множества хозяйственных подразделений. Втоже

время, осуществление решения, принятого в одном из этих подразделений, может оказать значительное влияние на те или иные характеристики экономической ситуации, в которой принимаютрешения остальные подразделения (меняются количество сырья, цены наизделия и др.). Возникает, следовательно,комплексоптимизационных задач, в каждой из которых какие-то переменныевеличинызависят от выбранных управлений в других задачах[4 (124)].

Еще одной общей особенностьюэкономических задачявляется дискретность (либо объектов планирования, либоцелевойфункции). Эта целочисленность вытекает из самой природывещей,предметов, которыми оперирует экономическая наука. Т.е. неможетбыть дробным число предприятий, число рабочих и т.д. При этом дискретный характер имеют не только объекты планирования, ноивременные промежутки, внутри которых осуществляется планирование.Это означает, что при планировании какого-либодействиявсегда следует определить, на какой срок оно осуществляется, в какиесроки может быть осуществлено, и когда будут результаты. Таким образом, вводится еще одна дискретная переменная - временная.

Дискретность многих экономических показателей не отделима от неотрицательности значений (реальных предметов или отрезков времени не может быть меньше нуля).

Не следует забывать и о том, что экономическая система -не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действие внешних и внутренних факторов механизм. При это возникает ситуация, когда решения, принятые раньше,детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

Таким образом, легко заметить, что экономические задачи, решаемые математическими методами,имеют специфику,определяемую особенностями экономических систем, как более высоких форм движения по сравнению с техническими или биологическими системами.Эти особенности экономических систем сделали недостаточными тематематические методы, которые выросли из потребностей другихнаук. Т.е. потребовался новый математический аппарат, причем не столько более сложный, сколько просто учитывающий особенности экономических систем на базе уже существующих математических методов.

Кроме того, экономические системы развиваются иусложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки.В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление иусовершенствованиеэлектронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, илиприменявшихся лишь для небольших прикладных задач.

3. Особенности математических методов, применяемых крешению экономических задач

В экономических исследованиях издавнаприменялись простейшие математические методы.Вхозяйственной жизниширокоиспользуются геометрические формулы. Так, площадь участка поляопределяется путем перемножения длины на ширину или объем силосной траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.[5 (52)].

Не стоит и говорить о применении арифметики, алгебры вэкономических исследованиях, это уже вопрос о культуре исследования, каждый уважающий себя экономист владеет такими навыками. Особняком здесь стоят так называемые методы оптимизации, чащеназываемые как экономико-математические методы.

В 60-е годы нашего столетия развернулась дискуссия о математических методах в экономике. Например,академик Немчинов выделял пять базовых методов исследования при планировании:

1) балансовый метод;

2) метод математического моделирования;

3) векторно-матричный метод;

4) метод экономико-математических множителей(оптимальных общественных оценок);

5) метод последовательного приближения.[9 (153)].

В то же время академик Канторович выделял математические методы в четыре группы:

- макроэкономические модели, куда относил балансовый метод имодели спроса;

- модели взаимодействия экономических подразделений (на основе теории игр);

- линейное моделирование,включая ряд задач,немного отличающихся от классического линейного программирования;

- модели оптимизации, выходящие за пределы линейного моделирования (динамическое, нелинейное, целочисленное,и стохастическое программирование).

И с той, и с другой классификацией можно спорить,поскольку, например модели спроса можно по ряду особенностей отнести к нелинейному программированию,а стохастическое моделированиеуходит корнями в теорию игр. Но все это проблемы классификации,которые имеют определенное методологическое значение, но в данном случае не столь важны.

С точки же зрения роли математическихметодов стоитговорить лишь о широте применения различных методоввреальных процессах планирования.

С этой точки зрения несомненным лидером являетсяметодлинейной оптимизации,который был разработан академиком Канторовичем в 30-е годы ХХ-го века. Чаще всего задача линейного программирования применяется при моделировании организации производства. Вот как по Канторовичу выглядит математическаямодельорганизации производства:

В производстве участвуют M различных производственных факторов (ингредиентов) - рабочая сила, сырье, материалы, оборудование,конечные и промежуточные продукты и др.Производство использует S технологических способов производства, причем для каждого из них заданы объемы производимых ингредиентов, рассчитанные на реализацию этого способа с единичной эффективностью, т.е.задан векторa_k = (a_1k, a_2k,..., a_mk ),k = 1,2...,S,в котором каждая из компонент a_i_k указывает объем производства соответствующего ( i-го ) ингредиента,если онаположительна;и объем его расходования, если она отрицательна ( в способе k ).

Выбор плана означает указаниеинтенсивностейиспользования различных технологических способов, т.е. план определяется вектором x =(x₁, x₂,..., x_S) c неотрицательными компонентами [4 (32)].

Обычно на количества выпускаемых и затрачиваемых ингредиентов накладываются ограничения: произвести нужно неменее, чем требуется, а затрачивать не больше, чем имеется.Такие ограничения записываются в виде

Sa_ikx_k > b_i ; i=1,2,...,m. (1)

k=1

Если i > 0, то неравенствоозначает, чтоимеетсяпотребность в ингредиенте в размере i, если i < 0,то неравенство означает, что имеется ресурс данного ингредиентов размере - i =¦i¦. Далее предполагается,что использованиекаждогоспособа, связанного с расходом одного изперечисленных ингредиентовили особо выделенного ингредиента в количестве Ck при единичнойинтенсивности способа k. Вкачествецелевой функциипринимается суммарный расход этого ингредиента в плане.

f(x) = Sc_kx_k. (2)

k=1

Теперь общая задача линейногопрограммированияможет быть представлена в математической форме.

Для заданных чисел a_ik,c_k,и b_i найти

min S c_kx_k

k=1

при условиях

k > 0, k = 1,2,...,s [1]

Sa_ikx_k > b_i, i = 1,2,...,m [2]

k=1

План, удовлетворяющий условиям [1] и [2], является допустимым, а если в нем , кроме того, достигается минимум целевойфункции, то этот план оптимальный.[K33]

Задача линейного программирования двойственна, то есть, еслипрямая задача имеет решение,(вектор x =(x₁, x₂,..., x_k)), тосуществует и имеет решение обратная задача основанная на транспонировании матрицы прямой задачи. Решением обратной задачиявляется векторy = (y₁,y₂... ,y_m)компоненты которого можно рассматривать как объективно обусловленные оценки ресурсов, т.е. оценки, показывающие ценность ресурса и насколько полно он используется.

На основе объективно обусловленных оценок американским математиком Дж. Данцигом - был разработан симплекс-метод решения задач оптимального программирования. Этот метод весьма широко применяется. Алгоритм его весьма детально проработан, идажесоставлены прикладные пакеты программ, которые применяются во многихотраслях планирования.

Метод линейной оптимизации с того момента, как он был разработан Канторовичем, не оставался без изменений, онразвивался и продолжает развиваться. Например, формула (2) всовременной интерпретации выглядит следующим образом.

S a_ij x_j i (i Î I) (3)

j ÎA1

В чем же отличие?

Во-первых ограничение записывается не больше, либо равно , а меньше, либо равно, что больше соответствует экономическому смыслу правой стороны ограничения (bi - количество ресурсов). УКанторовича же ресурс записывается - bi = ¦bi¦ -т.е. отрицательным числом, что для экономического склада ума неестественно ( как может быть ресурса меньше нуля).

Во-вторых, суммирование производитсяне повсемспособам производства, а лишь по определенному их подмножеству (j Î A1),что также соответствует экономическим реалиям, когда по технологическим, или другим причинам не все способы производства участвуютв каком-либо конкретном ограничении.

Аналогично и с ресурсами, в ограничении участвуют не все ресурсы сразу , а какое-то их подмножество (i Î I).

Введением подмножеств не ограничилось совершенствованиеметода линейной оптимизации. Нужды практики заставилиразработать еще целый ряд приемов и методов дляразличныхслучаев описания реалий хозяйственной практики в виде ограничений. Это такие приемы,как запись ограничений по использованию производственныхресурсов, запись ограничений по гарантированному объему работили производства продукции, приемымоделированияпри неизвестных значениях показателей и многие другие, на которых здесь нестоит останавливаться.

Цель всех этих приемов - дать более развернутую моделькакого-либо явления из хозяйственной практики, сэкономивприэтом на количестве переменных и ограничений.

Несмотря нашироту применения метода линейного программирования, он учитывает лишь три особенностиэкономических задач - большое количество переменных, ограниченность ресурсов инеобходимость целевой функции. Конечно, многие задачи с другими особенностями можно свести к линейной оптимизации, но это недаетнам

права упустить из виду другой хорошо разработанный методматематического моделирования - динамическое программирование. По сути,задачадинамического программированияявляется описанием многошаговых процессов принятие решений. Задача динамического программирования можно сформулировать следующим образом :

имеется некоторое количество ресурса х, котороеможноиспользовать N различными способами. Если обозначить через х_i количество ресурса, используемое i-m способом, то каждому способусопоставляется функция полезности (х_i), выражающая доход от этогоспособа. Предполагается, что все доходы измеряются в одинаковых единицах и общий доход равен сумме доходов, полученных отиспользования каждого способа.

Теперь можно поставить задачу в математической форме. Найти

max y₁(x₁)+ y₂(x₂)+ ... + y_n(x_n) (4)

(общий доход от использования ресурсов всеми способами) приусловиях:

- выделяемые количества ресурсов неотрицательны;

[1] x₁ > 0,..., x_N > 0

- общее количество ресурсов равноx .

[2] x₁ + x₂ + ... + x_N = x

Для этого общейзадачи могутбытьпостроены рекуррентные

соотношения

¦₁(x) = max {j₁(x₁)}, (5)

0<=X₁<= X

¦_k(x) = max {j_k(x_k)+ ¦_k-1(x - x_k)}. (6)

к = 2,3,..., N,

с помощью которых находится ее решение.

При выводе этих рекуррентных соотношений,посути, использовался следующий принцип, оптимальная стратегия обладает тем свойством, что по отношению к любому первоначальному состояниюпосле некоторого этапа решения совокупность последующих решенийдолжна составлять оптимальную стратегию. Этот принцип оптимальностилежит в основе всей концепции динамического программирования. Именно благодаря ему удается при последующих переходах испытыватьне все возможные варианты, а лишь оптимальныевыходы.Рекуррентные соотношения позволяют заменить чрезвычайно-трудоемкиевычисления максимума по N переменным в исходной задаче решением Nзадач, в каждой из которых максимум находится лишь по одной переменной.

Таким образом, методдинамического программированияпозволяет учесть такую важную особенность экономических задач, как детерминированность более поздних решений от более ранних.

Кроме этих двух, достаточно детально разработанныхметодов, в экономических исследованияхвпоследнее времясталиприменяться множество других методов.

Одним из подходов крешению экономическихзадачявляется подход, основанный на применении новой математическойдисциплины - теории игр.

Суть этой теории заключается в том,что игрок(участник экономических взаимоотношений) должен выбрать оптимальную стратегию в зависимости от того, какими он представляет действия противников (конкурентов, факторов внешней среды и т.д.). В зависимости от того, насколько игрок осведомлен о возможныхдействиях противников, игры (а подигройздесь понимаетсясовокупность правил, тогда сам процесс игры это партия) бываютоткрытыеи закрытые. При открытой игре оптимальнойстратегиейбудет выбор максимального минимума выигрыша (в терминах Моргерштерна - "максимина") из всей совокупности решений, представленных вматричной форме. Соответственно противник будет стремится проиграть лишь минимальный максимум ("минимаск") который в случае игр снулевой суммой будет равен "максимину". В экономике жечаще встречаются игры с ненулевой суммой, когда выигрывают оба игрока.

Кроме этого в реальной жизни число игроков редко бывает равно всего двум. При большем же числе игроков появляются возможности для кооперативной игры, когда игроки до начала игры могутобразовывать коалиции и соответственно влиять на ход игры.

Стратегии игроков не обязательно должны содержать одно решение, может быть так, что для достижениямаксимальноговыигрыша потребуется применять смешанную стратегию (когдадвеили несколько стратегий применяются с какой-то вероятностью). Кроме того в закрытых играх тоже требуется учитывать вероятность того или иного решения противника. Таким образом, в теории игр стало необходимым применение аппарата теории вероятности, которыйвпоследствии нашел свое применение в экономических исследованиях ввиде отдельного метода - стохастического моделирования.

Содержание метода стохастическогопрограммированиясостоит во введении в матрицу задачи или в целевую функцию элементов теории вероятности. В этом случае обычно берется просто среднее значение случайной величины, взятое относительно всех возможных состояний .

В случае не жесткой, или двухэтапнойзадачи стохастического моделирования появляется возможностькорректировкиполученного плана после того, как станет известным состояние случайнойвеличины.

Кроме этих методов применяются методы нелинейного,целочисленного программирования и многие другие. Вкратце, сущность метода нелинейного программирования заключается в нахождении или седловинной точки, или общего максимума или минимума функции. Основная сложность здесь в трудностиопределения, являетсялиэтот максимум общим илилокальным. Дляцелочисленногомоделирования основная трудность как раз и заключается в трудности подборацелого значения функции. Общим для применения этих методов на современном этапе является возможность частичного сведения их кзадаче линейного моделирования. Возможно, в недалекомбудущембудет найдено какое-то оригинальное решение таких задач специфическими методами, более удобными, чем современные методы решения подобных задач (для которых они есть), иболееточные, нежели приближенные решения методами линейного программирования.

Заключение

Как можно было заключить из вышеизложенного, математические методы имеют большую степень универсальности. Основойэтойуниверсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той жепроблемесовершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический языксразу выявляет общие закономерности, и даже может датьужепрактически готовое решение, полученное ранее где-то вдругойотрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой использования математики является формализация количественных и качественных сторон проблемы.

В то же время на применение математикивразличных науках накладывают ограничения объективные законы, присущие той или иной форме движения. Изучение неживой материи стало предпосылкойдля создания концепции континуума - непрерывного пространства-времени. Эта концепция стала базой для множества открытий и нетеряет своей значимости и теперь. Но концепции непрерывностисопутствовали не только успехи.Одновременновозникла традиционность" непрерывного мышления", трудности преодоления которогомы начинаем понимать только теперь, с появлениемисовершенствованием ЭВМ. Хотя еще и раньше детальное исследование неизбежно требовало перехода к дискретному описанию, чем демонстрировалонедостаточность и ограниченность континуального мышления.

Тем более континуальное мышление пробуксовывает припопытке описания биологической формы движения, где почти все объекты различны и дискретны. Что уже тогда говорить об экономических системах, в которых дискретность доходит до максимума; когдадискретными являются не только объекты, но иихвзаимодействияидаже промежутки времени, для которых надо найти оптимальный план.

То есть имеет смысл говорить о таких особенностях экономических систем, которые требуют принципиально новых методовисследования. В то же время нельзя и отмежевываться от старых, проверенных методов описания. В практикеиспользованияформализованного описания огромную рольиграет апроксимацияреальныхи оченьсложных режимов и связей относительно более простыми. Поэтому получать информацию с точностью, необходимой для практики,мыможем, оперируя с относительно простыми пространствами о объектами. Это вовсе не ставит под сомнение необходимость дальнейшего совершенствования языка математики.

Перспективными методами исследования в экономике,несомненно, следует считать теорию игристохастическоемоделирование.Их роль возрастаетс совершенствованием электронно-вычислительных машин. Переработка все больших объемов статистическойинформации позволит выявлятьболееглубокие вероятностныезакономерности экономических явлений. Развитие же такого специфического рода вычислительных систем, как самообучающиеся системы или так называемый "искусственный интеллект" возможно, позволит широко использовать моделирование экономических взаимоотношений спомощью деловых компьютерныхигр.Играя, самообучающиесясистемыбудут приобретать опыт принятия оптимальных решений в самых сложных ситуациях, не теряя при этомпреимущества вычислительнойтехники перед человеком - большой объем памяти, прямой доступ к ней, быстродействие.

Использованная литература

1. Беллман Р. Динамическое программирование. Пер.сангл. И.М. Андреевой [ и др.]. Под ред. Н.Н. Воробьева. М., Изд. Иностр. лит., 1960. 400 с.

2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачидинамическогопрограммирования. Пер. с англ. Н.М. Митрофановой [и др.] Под ред. А.А. Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.

3. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.M. и др. Математическое моделирование экономических процессовв сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.

4. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.,"Наука",1972. 232 c.

5. Кравченко Р.Г., Попов И.В., Толпекин С.З.Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с.

6. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество. Проблемы формализованного описания. - М., "Наука", 1982. 240 с.

7. МоисеевН.Н. Математикзадаетвопросы.( Приглашение к диалогу). М.,"Знание",1975. 191 с.

8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическоеповедение. Пер.с англ.Подред. исдоб. Н.Н. Воробьева. М.,"Наука",1970. 707 с.

9. Немчинов В.С. Избранные произведения. Том 3.Экономика и математические методы. М.,"Наука",1967. 490 с.

Роль математических методов в экономическом исследовании

Оглавление

Введение

1.Проблема универсальной применимости математики

1.1. Причины универсальности математики

1.2. Специфика применения математики в разных науках

2. Особенности экономических задач, решаемых математическими методами

3. Особенности математических методов, применяемых крешению экономических задач

Заключение

Использованная литература