Элементарные конформные отображения
| Загрузить архив: | |
| Файл: 240-0943.zip (61kb [zip], Скачиваний: 132) скачать |
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая
справка.
Пусть имеются два множества комплексных точек 
точку (или точки) 
со значениями в множестве 
Задание функции 
эквивалентно заданию
двух действительных функций 
и тогда 
, где 
1. 
- линейная функция.
Определена при всех 
. Функция 
сжимает)
ее в 
раз и после этого
осуществляет параллельный сдвиг на величину 
2.
3.
- показательная
функция. По определению 
; 
Определена
на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
, 
4.
натуральный логарифм). По определению: 
называется
главным значением 
- бесконечно-значная
функция, обратная к 
5.
6. Тригонометрические функции 
По определению, 
; 
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
, 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1)
Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: 
Решение. По определению,
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение. Пусть: 
;
Преобразуя, получим:
3. Доказать, что:
1) 
2)
3)
4)
Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3) 
; 
Выразить
через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента
действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) 
Решение: 
и, учитывая результаты
предыдущего примера, получим:
Напомним,
что 
2) 
3) 
, 
,
, 
.
Найти действительные и мнимые части следующих
значений функций: 
; 
; 
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
;
;
; 
; 
Вычислить:
1) 
3) 
; 5) 
2) 
4) 
; 6) 
;
Решение. По определению, 
1)
2) 
3) 
4)
5)
6)
Найти все значения следующих степеней:
1) 
2) 
; 3)
; 4)
Решение. Выражение
для любых комплексных 
и 
1) 
2)
3)
4) 
8. Доказать следующие равенства:
1) 
2)
3) 
Доказательство: 1) 
, откуда
Решив
это уравнение, получим 
и 
2) 
3) 
Отсюда
