Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при "хÎ [a,b] "уÎ[A,B]и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=j(y) также непрерывна {Д} Пусть y0Î[A,B] Þx0=j(y0), f(x0)=y0 x0Î(a,b) ; возьмём e>0 столь малое, что [x0-e,x0+e]Ì[a,b] Пусть y1=f(x0-e) y2=f(x0+e) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f"yÎ(y1,y2)Þx=j(y)Î(x0-e,x0+e) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] Þ мы получили на нём e>0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | "уÎ(у1,у2) соответсвует j(y)Î(x0-e;x0+e) Если это утверждение справедливо для мал e то оно справедливо для +e Þ ф-ция j - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В Þ х0=j(y0)=b Возьмём e

#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. Df(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; lim_h®0Df(x)=0; 2) f(x)=x; Df(x)=x+h-x=h Þlim_h®0h=0; 3)f(x)=xⁿ, nÎN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций Þ по индукции xⁿ=x^n-1×x; 4)f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xⁿ+a1x^n-1+…+an)/(b0x^m+b1x^m-1+..+b^m)-непрерывна на всей числовой прямой за исключениемтех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма "xÎR, |sinx|<=|x|Рассмотрим еденичную окружность.Ð(OB,ox)=Ðx; Ð(OB’,ox)=Ðx 0<=x<=p/2 т.к. длинаотрезкасоеддветочкинепревосходитдлиныдугиокружностисоединяющейтежеточкиÞ |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx Þ 2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -p/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=p/2 Если |x|>p/2 Þ |sinx|<=1

h_®0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывнанавсейчисловойпрямой |Df(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2||h|®0; 8)f(x)=a^{x –}непрнавсейчислпр,a>=0 Df=(a^x+h-a^x)=a^x(a^h-1) lim_h®0a^x(a^h-1)=0; 9)f(x)=log_axa>0 a¹1 непрерывнана (0,+¥) 10)arcsinx, arccosx – навсейчисл. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an}составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп å сумма n1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд åаn сход то lim_(n®¥)an=0док-во если ряд åan сх то $ lim_(n®¥)S_n=S=lim_(n®¥)S_(n-1) тогда lim_(n®¥)an = lim_(n®¥)(Sn-S_(n-1)) = lim_(n®¥)Sn-lim_(n®¥)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда å(n=1,¥)anó"e >0 $neтакое что при n>neи "рÎZp>=0вып неравенство /аn+a_n+1+a_n+2+a_n+p/1 сход  a<1 расход; n^a<=n Пусть a<=1 Þ 1/n^a+1/(n+1)^a+…+1/(2n-1)^a>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 Þ для e=1/2 при "n$p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+a_n+p|>eÞ ряд расх. Пусть a>1, s=2-1>0 расходится частичная сумма рядаS_2k=1+1/2^a+(1/3^a+1/4^a)+(1/5^a+1/6^a+1/7^a+1/8^a)+…+(1/(2^k-1+1)^a+,,,+1/(2^k)^a); 1/(n+1)^a+1/(n+2)^a+…+1/(2n)^a>1/n^a+1/n^a+1/n^a=n/n^a=1/n^a-1=1/n^s<1+1/2^a+1/2^s/(1-1/2^s) Þ {S_2k} –ограничена сверху т.к. "n $k |n<2^k Þ Sn2kÞрядсход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если å^+¥_n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть å_k=m+1^+¥ak-остаток ряда. Обозначим А_n=a1+…+an – n-ая частная сумма рядаå(1,+¥)anA’_s=a_m+1+…+a_m+s –s-ая частная сумма å_k=m+1^+¥ak, тогда A’_s=A_m+s-A_m т.к. $lim_n®aAnÞ$ lim_S®+¥Am+SÞ$lim_S®+¥A’_S=lim_s®+¥A_m+S-A_m Þå_k=m+1^+¥ak cx-cя; Пустьå_k=m+1^+¥ak сх-ся ; A_m+S=A_S’+A_m; n=m+s Þ An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lim_s®+¥A’_SÞ$lim_n®+¥A’n=m Þ$lim_n®+¥A=lim_n®+¥A_n-n+A_m Þå_n=1^+¥an рядсх. {Следствие} Еслирядå(1,+¥)an сх-сяиan=å(k=n+1,+¥)ak Þlim_n®+¥a_n=0 {Док} Пусть An=å(1,n)ak, A=lim_n®+¥An Þ A=An+a_nÞa_n=A-A1 Þ lim_n®+¥a_n=A-lim_n®+¥A_n=0 {Т} Еслирядыå(n=1,+¥)an иå(n=1,+¥)bn сх-сяиl-число, тоå(n=1,+¥)(an+bn) сх-сяиå(n=1,+¥)lan сх-ся {Д} ПустьАn=å(k=1,n)ak, Bn=å_k=1ⁿbk; A=lim_n®+¥An, B=lim_n®+¥Bn; $lim_n®+¥(An+Bn)=A+B, $lim_n®+¥lAn=lA Т.к. A_n+B_n=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-аячастичнаясуммарядаå(n=1,+¥)(an+bn) иlAn=la1+…+lan- n-аячастичнаясуммарядатоданныерядысходятся.

#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда å(n=1..¥)anиå(n=1..¥)bn   аn>=0bn>=0(n=1,2,3…) и $ no такое что при n>noаn $M>0такое что  Bn å(k=no+1..¥)akсх-ся =>å(k=1..¥)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®¥) an/bn =kто; 1).0<=k<+¥   из сход  åbn следует сходимость åan; 2).0 e=1 $no такое что при n>noan/bn an<(n+1)bn"n>no => из сх åbn следует сходимость åan => åaксходится 0<к<=+¥e=к/2(к<+¥)и e=1 к=+¥$no такое что при n>noan/bn>k/2(k<+¥)an/bn>1; k=+¥ => при n>noаn>(k/2)bn  (k<+¥) => из расход åbn =>åаn расх =>åак   а>bn (k=+¥) Þ Утв.

#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} åanan>0n=1,2,3…Если а(n+1)/an <=q<1(n=1,2,3…) => рядсходеслиq>=1 рядрасх {Док-во}аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1q^n-1 q<1 т.к. å(n=1,+¥)q^n-1cх-ся как бесконечная => å(n=1,+¥)аncх-ся    Пусть а(n+1)/an >=1=> а(n+1)>=an>=…>=a1>=0   lim(n®¥)an¹0=>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: $lim_n®+¥a_n+1/a_n=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 e>0 |k+e<1Þ$n0 | n>n0 a_n+1/a_nn₌₁^+¥an сх-ся. Пусть k>1; k<+¥e>0 | k-e>1 Þ$n0 | при n>n0an+1/an>k-e>1 Þå_n=1^+¥an расход { Радик Признак Коши}пусть дан ряд åan>0   кор n-ой степ(аn)<=q<1ряд сх-ся  если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть $lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд схк>1 – ряд расход

#18 {O} Знакопеременными рядами называют å_n=1^+¥(-1)^n-1an,   an>0{Т Лейбница}пусть дан знакоперем рядå(-1)^n-1 сncn>0; 1)C(n+1)<=C(n)n=1,2,3; 2)Lim(n®¥)(Cn)=0то ряд сход {Док-во}рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S_2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная суммаобразует возрастающую последовательностьпо усл теоремыS2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n$lim(k®¥)S2k+1=lim(k®¥)S2k=S; Из вышесказанного следует $lim(n®¥)Sn=lim(n®¥)S2k = lim(k®¥)S2k+1=S{Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю          

#19 Ряд å_n=1^¥an –наз абс сход если сход ряд å|an|. Если åan – cх а å|an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд å_n=1^+¥an-абс сх Þå_n=1^+¥|аn| -сх-ся Þ по критерию Коши "e>0 $n_e| при n>n_e и "pÎZp>=0 вып-ся нер-во: |an+a_n+1+…+a_n+p|<=|an|+…+|a_n+p|n₌₁^+¥an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если å_n=1^+¥an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды å_n=1^+¥an и å_n=1^+¥bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов anи bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда å_n=1^+¥anна абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; lim_n®+¥|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд å_n=1^+¥an- сход при k<1 ряд å_n=1^+¥an-сх при k>1 ряд å_n=1^+¥an- расх {Т2} Если для посл-ности åⁿÖ|an|; k=lim_n®+¥ⁿÖ|an|; при k<1 ряд å_n=1^+¥an-сх при k>1 ряд å_n=1^+¥an- расх.

#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для "e>0 $ n_e | при n>n_eвып |zn-z0|n_®¥znÞ"e>0 $n_e| при n>n_e =|z_n-z₀|n-z0|=Ö((xn-x0)²+(yn-y0)²)Þ |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| Þ при n>n_e вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|n_®¥Xn=x0 а lim_n®¥yn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=s+ix Необх. и достаточно чтобы сход ряды å(n=1,+¥)xn и å(n=1,+¥)уn и имели своими суммами числа s и x - соответственно Sn=å(k=1,n)xk+iå(k=1,n)yk и если ряд å(n=1,+¥)zn –сх то lim_n®+¥zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iynÞ т.к. å(n=1,+¥)zn –сх Þå(n=1,+¥)xn сх и å(n=1,+¥)уn –сх Þlim_n®+¥xn=lim_n®+¥yn=0 Þlim_n®+¥zn=lim_n®+¥xn+ilim_n®+¥yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть å(n=1,+¥)zn –абс сходÞå(n=1,+¥)|zn| -сх Þ Т.к. |xn|<=Ö(x²n+yn²)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn) Þ по признаку сравнения å(n=1,+¥)|xn| -cх и å(n=1,+¥)|yn| -сх Þå(n=1,+¥)xn –сх и å(n=1,+¥)уn-сх Þå(n=1,+¥)zn –cх{Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть å(n=1,+¥)|xn| и å(n=1,+¥)|уn| сх |zn=Ö(xn²+yn²)<= Ö(yn²+2|xn||yn|+yn²) <= Ö(|xn|+|yn|)²=|xn|+|yn| топо признаку сравнения å(n=1,+¥)|zn| - cх-ся.

#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние ®0; f'(x0)=lim_Dx®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx {O} A=const Вырожение АDх –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение Dх обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть Dy=f(x0+Dx)-f(x0) т.к. $ lim_Dx®0Dy/Dx=f’(x0)ÞDy/Dx=f’(x0)+a(Dx), где a(Dx) ®0 при Dх®0 ÞDy=f’(x0)×Dx+a(Dx), где a(Dх)®0 при Dх®0 ÞDy=f’(x0)Dx+a(Dx)DxÞlim_Dx®0Dy=0 Þ в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0), x0+DxÎU(x0) можно представить в виде Dу=АDх+о(Dх), Dх®0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-мав х0 ÞDy =f(x0+Dx)-f(x0)= ADx+o(Dx), Dx®0; lim_Dx®0Dy/Dx= lim_Dx®0(A+o(Dx)/Dx)=A; т.о. в т. х0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/DxÞDy/Dx=f’(x0)+e(Dx), lim_Dx®0e(Dx)=0 ÞDy=f’(x0)Dx +e(Dx)DxÞDy=f’(x0)Dx+o(Dx), Dx®0 Þ ф-ция f- дифференцируема в т. х0

№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+DxÎ(a,b), y0=f(x0), y0+Dy=f(x0+Dx) M0(x0,y0) M(x0+Dx,y0+Dy){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(Dx)(x-x0), k(Dx)=Dy/Dx; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) Dу®0 при Dх®0 Þ|M0M|=Ö(Dx²+Dy²)®0 при Dх®0 В этом случае говорят что M®M0 {О} Если $ lim_Dx®0k(Dx)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(Dx)(x-x0) получается из ур-ния k(Dx)=Dy/Dx при Dх®0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(Dx)=Dy/Dx, то k0=lim_Dx®0k(Dx)= lim_Dx®0Dy/Dx=f’(x0) Þ уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tga; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(Dx)(x-x0) Þ касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициентk=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1×(x-x0)/f’(x0)xи y – точки на нормали

#23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогдаd(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V²

№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть:z=f(y) - дифф. в точке y₀ ; y=j(x)дифф. в точке х₀ .y0=j(x0) тогда сложная ф-ия z=f(j(x))- дифф. в точке х₀ и справедлива формула: z’_x=z’_y×y’_x=f’(y)×j’(x) ;dz/dx=dz/dy×dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y₀ ÞDz=f’(y0)Dy+a(Dy); Т.к. y=j(x)- дифф. в точке х₀ ÞDy=j’(x0)Dx+b(Dx); Dz=f’(y0)j’(x0)Dx+f’(y0)b(Dx)+a(Dy); Т.к y=j(x) - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке Þ (Dx®0ÞDy®0). t(Dx)=f’(x0)b(Dx)+a(Dy); lim_Dx®0t×Dt/Dx; lim_Dx®0t(Dx)/Dx= lim_Dx®0[f’(x0)×b(Dx)/Dx+a(Dy)/Dx]= lim_Dx®0a(Dy)/Dx= lim_Dx®0a(Dy)/Dy× lim_Dx®0Dy/Dx=j’(x0); D(f(j(x)))=(f’(y0)j’(x0))Dx+t(Dx), где lim_Dx®0t(Dx)/Dx=0Þ (f(j(x)))’_x=z’_x=f’(y0)j’(x0)

#25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)¹0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f^-1(x)=j(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’(j)¹0, равная j'(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=j(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. x¹x0®y¹y0ÞDx¹0®Dy¹0ÞDy/Dx=1/Dy/Dx ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда lim_Dx®0Dy=0ÞDx®0ÞDy®0 $f’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx= lim_Dy®01/Dy/Dx=1/lim_Dy®0Dx/Dy=1/j’(y0) ; f’(x0)¹0Þj’(y0)=1/f’(x0)

#26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]^v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)×u’(x)/u(x); y’=u^v×(v’lnu+v×u’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции{Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=ConstDy=c-c=0Þlim_Dx®0Dy/DxÞ(C)’=0 ; 2) y=sinxDy’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (a^x)’=a^xlna 5)(arcsinx)’=1/Ö1-x² 6)(arccosx)’=-1/Ö(1-x²) 7) (arctgx)’=1/(1+x²) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x²) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x^a)’=a×x^a-1

#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение  n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f^(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx²; dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ   ) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹u^(n-1)v' +C_n²u^(n-2)v'' + … +C¹_nu^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =å_k=0ⁿC^k_nu^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где C_n^k=n!/k!×(n-k)! ,0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = å_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k) - биномНьютона.формула Лейбница доказывается по индукции.

#28 {Параметрическое дифференцирование}Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’_t(t0)×t’_x(x0); t’_x(x0)=1/x’_t(t0)Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0) x’(t0)¹0Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’ _x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0×t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)×x’_t(t0)-y’_t(t0)×x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))

#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, тоf’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеемf’(c)=lim_Dx®0(f(c+Dx)-f(c))/Dx ;Так как у нас f(c)>=f (x) "xÎU(с), то для достаточно малых Dx> 0 ;(f(c+Dx)-f(c))/Dxоткуда в пределе при Dx®0 получим, что f’(с)<=0. Если же Dx<0, то (f(c+Dx)-f(c))/Dx>=0 поэтому, переходя к пределу при Dx®0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношенийвытекает, что f'(c)=0.

#30 Теорема(Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка cÎ0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех cÎ(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так какf непрерывна на [а, b], то существует точка x1Î [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2Î[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех хÎ(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.

#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)(а<с’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

      Теорема   Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (a

#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)¹0 в (а, b), то существует точкаcÎ(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)¹0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))×(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a))В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cÎ(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))×g’(x)/(g(b)-g(a))поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы.

#33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_x®a+0f(x)=lim_x®a+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) andg’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_x®a+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, ав остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где ax_®a+0f(x)/g(x)= lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+¥) c>0 ; 2) lim_x®+¥f(x)=lim_x®a+¥g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) andg’(x) на [c,+¥)g’(x)¹0 ;4)$ lim_x®a+¥f’(x)/g’(x)=k Тогда lim_x®a+¥f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x®+¥Þt®0 по условию 2) lim_t®0f(1/x)= lim_t®0g(1/x)=0 ;По усл 4) lim_t®0f’(1/t)/g’(1/t)=k Þпо т1 lim_x®a+¥f(x)/g(x)= lim_x®a+¥f’(x)/g’(x)=k   {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) lim_x®a+0f(x)=+¥; lim_x®a+0g(x)=+¥; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) andg’(x) на (a,b] y’¹0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) lim_x®a+0f’(x)/g’(x)=k тогда lim_x®a+0f(x)/g(x)=k

#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.хÎ(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f⁽ⁿ⁾(x);f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+o((x-x0)ⁿ)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)²/2!+…+ f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)⁽ⁿ⁾/n!+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа.Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-цияrn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)ⁿ ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0)(1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)ⁿ;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(xn)=f⁽ⁿ⁾(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)^n-1 ; P’’n(x)=2×A2+3×2×A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)^n-2 ;Pn⁽ⁿ⁾=n×(n-1)×(n-2)×…×An; P(x0)=A0=f^(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fⁿ(x0)(x-x0)²/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x0)(x-x0)ⁿ/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn⁽ⁿ⁾(x0)=f⁽ⁿ⁾(x0) ; r_n(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир r_n^(n-1)(x) диф-фма в (×) x0 то lim_x®x0r_n^(n-1)(x)/(x-x0)= lim_x®x0 (r_n^(n-1)(x))-r_n^n-1(x0)/(x-x0)=r_nⁿ(x0)Раскрывая по правилу Лапиталя получим lim_x®x0r_n(x)/(x-x0)ⁿ= lim_x®x0r_n’(x)/n(x-x0)^n-1=…= lim_x®x0r_n^(n-1)(x)/n!(x-x0)=r_n⁽ⁿ⁾(x)/n!=0 Þr_n(x)=o((x-x0)ⁿ),x®x0

#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=e^x, f(0)=1, f^(k)(x)=e^x, f^(k)(0)=1, e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+o(xⁿ), x®0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f^(IV)(x)=sinx,…; f^(k)(x)={(-1)^msinx, k=2m {(-1)^m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f^(2m-1)(0)=(-1)^m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)^n-1x^2m-1/(2m-1)!+o(x)^2m,x®0; cosx=1-x²/2!+x⁴/2!-x⁶/6!+….+(-1)^mx^2m/(2m)!+o(x^2m+1),x®0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x)², f’’’(x)=2/(1+x)³…,f^(k)(x)=(-1)^k-1(k-1)/(1+x)^k;f^(k)(0)=(-1)^k-1×(k-1)! Подставим в формулу Тейлора Þl(1+x)=x-x²/2+x³/3+..+(-1)^n-1xⁿ/n+o(xⁿ),x®0 ; 5)f(x)=(1+x)^bf(0)=1, f’(x)=b(1+x)^b-1, f’’(x)=b(b-1)(1+x)^b-2; f^(k)(x)=b(b-1)…(b-k+1)(1+x)^b-k;f^(k)(0)=b(b-1)…(b-k+1); (1+x)^b=1+b×x+b(b-1)x²/2!+…+b(b-1)…(b-n+1)xⁿ/n!+o(xⁿ), x®0

#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b) {Д} Пусть f-возрастает (убывает) x0Î(a,b), Dx>0, тогда f(x0+Dx)-f(x0)>=0; Dx®0; (Dy<=0) ÞDy/Dx>=0 (Dy/Dx<=0) Þf’(x0)=lim_Dx®0Dy/Dx>=0 (f’(x0)<=0); {}Пусть "xÎ(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)<=0)a0, f’(c)>=0(f’(c)<=0)Þf(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1)<=0)Þf(x2)>=f(x1)(f(x2)<=f(x1)) Þ ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 xÎ(a,b)(f’(x)<0,xÎ(a,b))Þf’(c)>0 (f’(c)<0)Þf(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)<0)

#37{Т}Пусть (×) x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум Þ$U(x0,d) | "xÎU(x0,d) f(x)>=f(x0) или f(x)<=f(x0) т.е. в (.) x0 ф-ция y=f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение в окр.U(x0,d)Þ по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. $d>=0 | "xÎ(x0,x0+d] f’(x)<0 (orf’(x)>0), а "xÎ(x0-d,x0] f’(x)<0 (orf”(x)>0) то х0 является экстремумом при этом для xÎ(d,x0+d); f’(x)>0,a для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0 то x0 –макс , а для xÎ(x0-d,x0) f’(x)<0, а для xÎ(x0,x0+d) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для xÎ(x0-d,x0) f’(x)>0 дляxÎ(x0,x0+d) f”(x)<0. По теореме Лагранжа Df=f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0) x между х0 и х Если х>x0 Þx-x0>0 x00ÞDf>0 Þf(x)

#38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если "x1,x2 ÎX выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2) (f(q1x1+q2x2)>=q1f(x1)+q2f(x2)), где "q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0Þx>x1Þx2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0Þx1=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) Ûf’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1<х<х2 Тогда вып нер-во (1) переходя в этом нер-ве к пределу х®х1 или х®х2 получим f’(x1)<=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) x®x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<=f’(x2)x®x1 Þf’(x)<=f’(x2)Þпроизводная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’(x) Причём т.к. (f’(x1)<=f’(x2) Þ выполнено нер-во 1 Þ ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x)<=0) {Док} f-выпуклая(вогнутая) Ûf’ – возрастает(убывает) Ûf’’<=0 (f’’>=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+a(x)(x-x0)², a(x)®0 при x®x0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2a(x))(x-x0)²/2! ; Если предположить что f’’(x)¹0 то т.к. a(х)®0 при х®х0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) Þ при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию Þf’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,d) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; x лежит между х и х0) =f’(x)(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа h леж ме/ду x и х0)=(x-x0)(f’(x)-f’(x0))=(x-x0)(x-x0)f’’(h); Т.к. т-ка x лежит между х0 их то т-ки х и x лежат по одну сторону от т. х0 Þ(х-х0)(x-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(h); Т.к. т. h лежит между x и х0 то т-ки х и h лежат по одну сторону от т. х0 Þ Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак Þ х0-т. перегиба.

#39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой Lстремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х®+¥Аналогично при х®-¥{}Найдём расстояние до пр Lr(x)=|f(x)-ax-b|/Ö(1+a²) Т.к. прямая L –является асимптотой то lim_x®+¥r(x)=0Þlim_x®+¥(f(x)-ax-b)=0Þlim_x®+¥(f(x)/x-a-b/x)=0Þlim_x®+¥(f(x)/x-a)=0Þa= lim_x®+¥f(x)/x ; b= lim_x®+¥(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить lim_x®+¥f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х®+¥ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств lim_x®х0-0f(x)=¥lim_x®х0+0f(x)=¥ то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.

#40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и j(x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) Þ(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)ÞF(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и j(x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию y(х)=F(x)-j(x) для неё y’(x)=F’(x)-j’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2ÎX Þпо теореме Лагранжа y(х2)-y(х1)=y’(c)(x2-x1)=0 т.е y(x2)=y(x1) Þy(x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.

#41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается òf(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то òf(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то òF’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-цияf(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(òf(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 andf2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство ò(f1(x)+f2(x))dx=òf1(x)dx+òf2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то òf(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/a×aF’(ax+b)=f(ax+b);

#42 Метод замены переменой в неопò: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=j(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt+C=òf(j(t))d(j(t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует òU(x)V’(x)dx тогда существует интеграл òV(x)×U’(x)dx=U(x)×V(x)-òU(x)×V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (U×V)’=U’V+UV’ÞU’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл òUV’dxпо условию Если $ ò(UV)’dx=UV+C то $òU’Vdx=ò(UV)’dx-òUV’dx=UV-òUV’dx+CÞ производную постоянную к òU’Vdx=UV-òUV’dx; Пример òe^xsinxdx=e^xsinx-òe^xcosxdx=|U’(x)=exV’(x)=sinx|=exsinx-(e^xcosx-òe^xsinxdx); òe^xsinxdx=e^xsinx-e^xcox-òe^xsinxdx; 2òe^xsinxdx=e^xsinx-e^xcosxÞòe^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2

#43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)^k1×…×(z-zs)^ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)ÞPn(z)=(z-a)^m×Q_n-m(z)Þa-корень кр-ти m многочленаPn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)ºPn(x) xÎR По доказанному: Есликомплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленомÞPn(x)=(x-a1)^a1×…×(x-ar)^ar×(x-z1)^b1×…×(x-zs)^bs×(x-zs)^bs=(x-a1)^a1×…×(x-ar)^ar×(x²+p1x+q1)^b1×…×(x²+psx+qs)^bs;   Pj²/4-qj<0, j=1,…,s; a1,…,arÎR, Pj,qjÎR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причёмстепень degP(x)m×Q1(x), Q1(a)¹0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AÎR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)^m+P1(x)/(x-a)^m-1×Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)m×Q1(x), Q1(z1)¹0, p²/4-q<0; то сущ M и NÎR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^m+P1(x)/(x2+px+q)^m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x²+px+q)^m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x²+px+q)^m=(Mx+N)/(x²+px+q)^m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x²+px+q)^mQ1(x)     {T}Пусть P(x) andQ(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)a¹×…×(x-ar)^ar×(x²+p1x+q)×(x²+psx+qs)^ps, a1,…,arÎR,p1q1..psqsÎR, P²j/4-qj<0, j=1,…,s ;Тогда существуют числа A_i^(j), I=1,..,r; j=1,…,a_IM_i^(j),N_i^(j), I=1,…,s ; j=1,…,b_I; P(x)/Q(x)=A₁⁽¹⁾/(x-a1)^a1+..+A₁^(a1)/(x-a1)+…+A₂⁽¹⁾/(x-a2)^a2+…+A₂^(a2)/(x-a2)^a2+(M₁⁽¹⁾x+N₁⁽¹⁾)/(x²+p1x+q1)^b1+…+(M₁^(b1)x+N₁^(b1))/(x²+p1x+q1)+…+(M_s⁽¹⁾x+N_s⁽¹⁾)/(x²+ps+qs)^bs+…+(Ms^(b)x+N_s^(bs))/(x²+psx+qs). ; {}Из этого следует чтоò от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.òAdx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.òAdx/(x-a)^m=Aò(x-a)^-mdx=A/(1-m)(x-a)^m-1+C 3.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)=(M/2)ln(x²+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.ò(Mx+N)dx/(x²+px+q)^m=M/2(1-m)(x²+px+q)^m-1+(N-MP/2)òdt/(t²+a²)^m

#44 Ф-цию вида R(x,^mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=^mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. t^m=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dt^m)/(ct^m-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)²ÞòR(x,^mÖ(ax+b)/(cx+d))dx=òR((b-dt^m)/(ct^m-a),t) (mt^m-1(ad-bc)dt)/(ct^m-a)²=òR1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадратичная иррациональностьгде а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера)t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рациональная функ-ция от tЧ.Т.Д ;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}

#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация òR(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-p

#46 {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=at(f,x1,…,xit)=å_I=1^ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _aò^bf(x)dx Если "E>0 $d_E=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|E и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | å_I=1^itf(xi)Dx-I | t|t|®0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиениеt отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_j0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек $ {xⁿ_jo}>0 | lim_n®¥f(xⁿ_jo)=¥ Рассмотрим сумму s_t=å_I=1^itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +å_I=1^itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolims_t(f,x1,…,x₀ⁿ,..,xit)=lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | s_t(f,x1,…,x_jo⁽ⁿ⁾,…,x_it)>m Отсюда Þ, что интегральная сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim_|t|®0s_tÞ"E>0 $d_E>0 | "t, |t|E и любой выбор точек xi выполняется нер-во |d_t-I|t|=|d_t-I+I|<|d_t-I|+|I| E можно выбрать точки x1,..,x_it такие, что |s_t|>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.

#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению _аò^af(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред _bò^af(x)dx=-_aò^bf(x)dx{Св-во1} _aò^bdx=b-a действительно ф-ция f(x)º1 на [a,b] по этому при любом разбиении t и любом выборе (.) xif(xi)=1Þs_t=å_i=1^itf(xi)Dxi=å_i=1^itDx1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xit-xt-1)=xit-x0=b-aÞlim_|t|®0s_t=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: _aò^b(f(x)+g(x))dx= _aò^bf(x)dx+ _aò^bg(x)dx {док} Пусть t={xi} i=iti=o xiÎ[xi-1,xi] ,тогда s_E(f+g)=å_i=1^it(f(xi)+g(xi)Dxi=å^it_i=1f(xi)Dxi+å^it_i=1g(xi)Dxi=s_t(f)+s_t(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то $lim_|t|®0s_t(f)=_aò^bf(x)dx; $lim_|t|®0s_t(g)=_aò^bg(x)dx ; $lim_|t|®0s_t(f+g)=_aò^bf(x)dx+_aò^bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство _aò^b(f(x)+g(x))dx=lim_|t|®0s_t(f+g)=_aò^bf(x)dx+_aò^bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа l ф-ция l×f(x) - интегрируема на отр [a,b]и имеет место равенство_aò^blf(x)dx=l_aò^bf(x)dx {Св-во 4} Пусть aaò^bf(x)dx=_aò^сf(x)dx+_сò^bf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] Î[a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ($M>0 | "xÎ[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b]{Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и "хÎ[a,b] f(x)³0 тогдаÞ_aò^bf(x)dx³0

#48 {T о среднем} Пусть 1) fи g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для "хÎ[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x)Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ $m | m£m£M и _aò^bf(x)g(x)dx=m×_aò^bg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] m£f(x)£M то умножив это нер-во на g(x) получимmg(x)£f(x)g(x)£Mg(x) при g(x)³0;mg(x)³f(x)g(x)³Mg(x) при g(x)£0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим m_aò^bg(x)dx£_aò^bf(x)g(x)dx£M_aò^bg(x)dx при g(x)³0; m_aò^bg(x)dx³_aò^bf(x)g(x)dx³M_aò^bg(x)dx при g(x)£0; Если _aò^bg(x)dx=0 тоиз полученного нер-ва находим : _aò^bf(x)g(x)dx=0 Þ рав-во _aò^bf(x)g(x)dx=m_aò^bg(x)dx выполнено при любом m; Пусть _aò^bg(x)dx¹0 Þ при g(x)³0 _aò^bg(x)dx>0, а при g(x)£0 _aò^bg(x)dx<0; Разделим нер-ва на _aò^bg(x)dx в обоих случаях получим : m£_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dx£M; Пологая m=_aò^bf(x)g(x)dx/_aò^bg(x)dxÞ получаем утверждение теоремы _aò^bf(x)g(x)dx=m_aò^bg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует xÎ[a,b] такое, что _aò^bf(x)g(x)dx=f(x)×_aò^bg(x)dx

#49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред òÞF(x)= _aò^xf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= _aò^x+Dxf(t)dt-_aò^xf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$C>0. |f(x)|£С"xÎ[a,b]Þ|DF|=|_xò^x+Dxf(t)dt|£С×| _xò^x+Dxdt|=С|Dx| Þlim_Dx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. хЧ.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] ÞF(x)= _aò^xf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b]и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= _aò^x+Dxf(t)dt- _aò^x0f(t)dt= _aò^x0f(t)dt+ _x0ò^x+Dxf(t)dt- _aò^x0f(t)dt= _xò^x0+Dxf(t)dt|DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, _x0ò^x0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx ×_x0ò^x0+Dx(F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| _x0ò^x0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ d_t>0 |при|x-x0|EÞ|f(x)×f(x0)|EÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)| _x0ò^x0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E×_xò^x0+Dxdt|=EÞ$lim_Dx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница _aò^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= _aò^xf(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; _aò^xf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _aò^аf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ_aò^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

#51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) j(a)=a ,j(b)=b ;4)"tÎ[a;b] j(t)Î[a,b]; Тогда _aò^bf(x)dx = _aò^bf(j(t))×j’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[a,b] определена сложная ф-ция f(j(t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F(j(t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f(j(t))×j’(t) на [a,b]По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве _aò^bj(x)dx = _aò^bj(j(t))×j’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках Þ оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : _aò^bf(x)dx =F(b)-F(a); _aò^bf(j(t))×j’(t)dt =F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)= _aò^bf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда _aò^bu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведениеu(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбницаu(x)v(x)|_a^b= _aò^b(u(x)×v’(x)+u’(x)×v(x))dx= _aò^bu(x)×v’(x)dx+ _aò^bu’(x)×v(x)dx откуда Þ_aò^bu’(x)×v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu(x)v’(x)dx

#52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оупрямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-ò_AB-ò_B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d®0ò_A и ò_B® к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ò;Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)³0 "xÎ[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть t={xi}_i=0^i=it-произвольное разбиение отр [a,b]; g_it={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£mi=inff(x)} G_it={(x,y), xÎ[xi-1,xi], 0£y£Mi=supf(x)}; S_gt=å_i=1^itmiDxi; S_Gt=å_i=1^itMiDxi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim_|t|®0(S_gt-S_Gt)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b]то она интегрируема на этом отр. Þ по критерию итегрируемости lim_|t|®0S_Gt= lim_|t|®0S_gt=S= _aò^bf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(j), где f(j) – непрерывна на [a,b] и f(j)³0 "jÎ[a,b] {} Пусь t-произвольное разбиение g_it={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£mi=inff(j)} G_it={(j,r), jÎ[ji-1,ji], 0£r£Mi=supf(j)} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отрезкеÞ Площадь сектора g_it=m²iDj/2 и G_it=M²iDj/2; S_gt=1/2×å_i=1^itm²iDjS_Gt=1/2×å_i=1^itM²iDjпо критерии итегрируемости Þlim_|t|®0S_Gt= lim_|t|®0S_gt=S=1/2×_aò^tf²(j)djÞP-квадрируема и S_p=1/2×_aò^bf²(j)dj.

#53 Пусть y=f(x) определна на [a,+¥)и интегрмруем на " [a;b] Þ несобственный интеграл по промежутку [a,+¥) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел _aò^+¥f(x)dx=lim_b®+¥aò^bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл _aò^+¥f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть сÎ[a,+¥) Þ_aò^bf(x)dx= _aò^cf(x)dx+ _cò^bf(x)dx {Т} По св-ву пределов _aò^+¥f(x)dxcущ Û когда сущ lim_b®+¥aò^bf(x)dx{Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющихнеравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=_b’ò^b’’f(x)dxÞ теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел_aò^bf(x)dx= lim_{x®a+0 a}ò^bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ò называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} _aò^сf(x)dx и _сò^bf(x)dx при aaò^bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. aaò^bf(x)dx= lim_h®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|^b_a$_aò^bf(x)dxÛ$lim_h®b-0 F(h) {Д} Пусть aaò^bf(x)dx=F(h)-F(a) Þ по св-ву пределов _aò^bf(x)dx= lim_h®b-0 F(h)-F(A){2} _aò^bf1(x)dx и _aò^bf2(x)dx-сходятся,  то _aò^b (mf1(x)+l_aò^bf2(x))dx=m_aò^bf1(x)dx+l_aò^bf2(x)dx{До} Пусть aaò^h(mf1(x+lf2(x))dx= m_aò^hf1(x)dx+l_aò^hf2(x)dxт.к. по усл. теор $lim_h®b-0aò^hf1(x)dx и $lim_h®b-0aò^hf2(x)dx то сущ левой части полученного равенства Þ переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), xÎ[a,b] b_aò^bf(x)dx, _aò^bg(x)dx – сход , то _aò^bf(x)dx<= _aò^bg(x)dx {Д} a_aò^hf(x)dx<= _aò^hg(x)dx переходя в данном нер-ве к lim_h®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) Þ_aò^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aò^bu’(x)v(x)dx {Д} Пусть aaò^hu(x)×v’(x)dx = y(x)v(x)|_a^h- _aò^hu’(x)×v(x)dxÞ по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол.утв.; {5} f(x) непрерывно на[a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной  на [a,b)и возрастает на этом промежутке, причём для a<=tt_®b-0j(t) тогда имеет место : _aò^bf(x)dx= _aò^bf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть xÎ[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] Þ по теореме о замене переменной в опред ò получ утв.