Теория устойчивости

Примечание	Каpтинки выполнены не полностью, поэтому их сpисовать пpидется вpучную, взяв в библиотеке книгу из 2-го пункта списка литеpатуpы, и сpисовать оттуда каpтинки
	Загрузить архив:
	Файл: 240-1146.zip (29kb [zip], Скачиваний: 97) скачать

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t ,x )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          (1)

с начальными условиями         x ( t₀ ) = x₀                                                          (2)

где   x  =( x₁, x₂, ... , x_n ) -    n - мерный вектор; t Π  I = [t₀, +¥  [- независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , ... , f_n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

        Комментарии к задачеКоши  (1),(2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида    x’= f ( t , x ) с начальным условиемx ( t₀ ) = x₀. С целью упрощениявсе рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x         0                                                     t                                Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функциюx ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2)удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t₀ , x₀ ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные (t₀ , x₀ )изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t₀ , x₀ ) приводят к существенному изменению решения    x ( t ; t₀ , x₀ ), приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные( t₀ , x₀ )получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) , вызванное отклонениемDx₀ начального значения x₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t₀ , x₀ + Dx₀ ) - x ( t ) |= | x ( t ; t₀ , x₀ + Dx₀ ) - x ( t ; t₀ , x₀ ) |.

Определение 1.   Решение  x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно поx₀на интервале           I = = [ t₀, +¥   [ , т.е. "   e> 0$   d   > 0 такое, что   "   Dx₀

|Dx₀ |£    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀ + Dx₀ ) - x ( t ) |   £   e        "   t ³   t₀.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ®     +¥    для достаточно малых   Dx₀ , т.е. $   D   > 0"   Dx₀.

|Dx₀ |£   D     Þ     | x ( t ; t₀ , x₀ + Dx₀ ) - x ( t ) |   ®    0 , t ®     +¥    .           (3)

то решениеx ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению1.  1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решениех ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t₀ , x₀ + Dx₀ ) , близкие в начальный момент t₀ к решению x ( t )(т.е. начинающиеся в пределах d- трубки ) , не выходят за пределыe   - трубки при всех значениях t ³t₀ .

x         0                                                     t                                Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x₁ ( t ) , начинающееся в момент t₀ в D   - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t )(рис.2). Трубка радиуса D   называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x₂ ( t ), начинающееся при t = t₀ за пределами области притяжения, но в пределах d- трубки, не покидаетe   - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2.   Решение x ( t )=x ( t ; t₀ , x₀ )  системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределыe   - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a   ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

   

          x

        0                                                     t

                               Рис.3                                                                Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе(1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

                                               y’= F ( t, y ).                                         (4)

гдеF ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) ,F (t, 0)º   0     "   t ³   t₀.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) º   0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0     "   t ³   t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения    x ( t )º   0системы (1).

Определение 3.   Нулевое решение x ( t ) º   0  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если "   e   > 0   $   d   = d   (e)> 0 такое, что"   x₀

         |  Dx₀ |£    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀) |   £   e        "   t ³   t₀.

Если кроме того,

$    D   > 0        "   x₀        |  Dx₀ |£   D     Þ     | x ( t ; t₀ , x₀)  |   ®    0 , t ®     +¥    ,

то решениеx ( t )  º   0  системы (1)называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4.     Нулевое решение   x ( t )  º   0  системы(1)называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$    e   > 0     $   t₁ > t₀    "   d> 0    x₀¹   0     |x₀ |£    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀) |   >   e.

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решенияx ( t )º   0 системы (1)дана соответственно на рис.5-7.

x                          t      0 Рис.5

x                                                           t      0 Рис.6

x                                                           t      0 Рис.7

2.Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

                            dx / dt = f ( x ).                                                      (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная криваяg   , которую можно параметрически задать в виде x_i = x_i ( t )      ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rⁿ с координатами ( x₁ , ... , x_n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в видеt = t , x₁ = x₁ ( t ), ... , x_n = x_n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rⁿ⁺¹ с координатами ( t , x₁ , x₂ , ... , x_n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n= 2 , т.е. когда Rⁿ⁺¹- трехмерное пространство, а фазовое пространство Rⁿ- двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ), на рис.8,б -ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂ ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x2                                                                                                                 x2                                                               0                                                         t                        0                     x1 x1                                         а)                                   Рис.8                   б)

Определение 5.Точка ( a₁, a₂ , ... , a_n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f₁ , f₂ , ... , f_nсистемы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, гдеa = ( a₁ , a₂ , ... , a_n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a₁ , ... , a_n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )º   0 , т.е. f ( 0 )= 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rⁿ. В пространстве Rⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R², причем проекциями e   - трубки и  d   -  трубки являются окружности с радиусами  e   иd. Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах   d   - окружности, не покидают   e   - окружность    "   t ³   t₀ (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяженияD   , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой   e   - окружности и всехd   > 0существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

                                      dx / dt = A x,                                               (6)

гдеA - постоянная матрица размера n´n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x2                            0                        x1                          Рис.9

x2                            0                        x1                         Рис.10

x2                            0                        x1                          Рис.11

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

   ædx / dt = P ( x , y ),

   í                                                                                                   (A)

   îdy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x₀ , y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

   ædx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

   í                                                                                                   (7)

   îdy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.

гдеa_ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

                            x =a₁  e ^{k t}   ,    y =   a₂ e ^{k t}.                                              (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

                                      a₁₁ - k          a₁₂

                                                                           =   0.                             (9)

                                      a₂₁               a₂₂ - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁>0, k₂> 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁> 0, k₂<  0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁= 0,k₂  >0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁= 0,k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k₁ = p + q i, k₂ = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q¹   0.  Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q¹   0.  Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q¹   0.  Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁= k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

                   dx_{i                 n}

                            =       å     a_{i j} x_j                      ( i = 1 , 2 , ... , n )                   (10)

                   dt                ⁱ⁼¹

характеристическим уравнением будет

                   a₁₁ - k          a₁₂               a₁₃         ...      a_1n

                   a₂₁               a₂₂ - k          a₂₃     ...      a_2n               =  0.            (11)

                  .        .        .        .        .        .        .        .                          

                   a_n1               a_n2               a_n3     ...      a_nn - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x_i ( t )º   0   ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i = p _i > 0, то точка покоя x_i ( t )º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x_i ( t )º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами  

      .

   æx= a₁₁ x + a₁₂ y,

   í   .                                                                                               (12)

   îy= a₂₁ x + a₂₂ y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k² + a₁ k + a₂= 0.

1) Если a₁ > 0 , a₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а₁ > 0 , a₂ = 0, или a₁ = 0 , a₂> 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a₁ = a₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.