Двойной интеграл в полярных координатах

Разделы Математика
Тип

Рефераты

Формат Microsoft Word
Язык Русский
ПримечаниеПрислал: Павел Лукашевич (2:5020/971.3@FIDOnet)
Загрузить архив:
Файл: 240-1165.zip (85kb [zip], Скачиваний: 157) скачать

Двойной интеграл в полярных координатах


Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j,       y = r sin j.(2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности)и j = ji (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

Drj = rj+1 - rj,

Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSiс точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj                 (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rjи ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji,         yij = rj sin ji.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji)         (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:

                             (4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины jiи rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,


соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri.Следовательно

                             (5)


Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

                             (6)

Выражение

dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах.Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

                            


Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем


                             (8)

Где

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Пример 1.


Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как


то применяя формулу (6),


получим

Область S определена

Неравенствами


Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.


В интеграле

                             (9)

перейти к полярным координатам.

Область  интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j=0,

j=p/4, r cosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами


Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что


имеем