Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи "дослідження за допомогою еом коливань системи з одним ступенем вільності"

Разделы	Техника
Тип	Работа
Формат	Microsoft Word
Язык	Украинский
	Загрузить архив:
	Файл: ref-8493.zip (106kb [zip], Скачиваний: 152) скачать

Міністерство транспорту України

Дніпропетровський державний технічний університет

залізничного транспорту

                                             

Кафедра“ Теоретичнамеханіка “

                        

  

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ

РОБОТИ “ДОСЛІДЖЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ

ЕОМ КОЛИВАНЬ СИСТЕМИ З ОДНИМ

СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ ”

Вільні   коливання  тавимушені   коливання   точки

прине гармонічному   збуренні

Частина ІІ

                                                          Укладачі:Л. А. Манашкін

                                                                             Л. Г. Маслєєва

                                                                             Д. Б. Астраханцев

                                                                             А.Ю. Журавльов

                                                    Длястудентівдругих  курсів

                                                    спеціальностей :       7.092107,

                                                    7.100501 , 7.092202 , 7.090603,

                                                    7.092203 , 7.100502

                                                          

                                  Дніпропетровськ   2001

Зміст.

Вступ.......................................................................................................

1. Постановка задачі
2. Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи
3. Визначення амплітудно- та фозово- частотних характеристик системи
4. Розкладання функції в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили
5. Дослідження вимушених коливань механічної системи.

Визначення (за допомогою ЕОМ) “точного” рішення диференціального  рівняння.Аналізрішення.

Підбір (за допомогою ЕОМ) раціональної кількості гармонік врозкладенні  функції

Побудова аналітичного рішення диференціального рівняння. Підбір раціональної кількості гармонік в розкладенні функції

6. Стисла характеристика програми
7. Порядок підготовки вихідних даних для виконання розрахунку на ЕОМ.
8. Схеми  механічнихсистемта  розрахунковіданідо  них.
9. Перелік  літератури.

Вступ.

                Друга частина розрахункової роботи по дослідженню коливань системи з одним ступенем вільності включає задачу про дослідження малих вимушених коливань системи тіл з пружними елементами (пружинами) при дії на одне з тіл системи періодичної збурюючої сили негармонічного типу. Рішення задачі зводиться до визначення закону руху системи (в узагальнених координатах) при нульових початкових умовах. При цьому використовується як аналітичний метод рішення задачі, так і метод численного інтегрування диференціального рівняння руху системи з використанням персональної ЕОМ.

                Методичні вказівки містять приклад виконання розрахункової роботи. Тут приведені також стисла характеристика програми

                Виконання розрахункової роботи складається із слідуючи етапів:

- складання диференціального рівняння руху механічної системи (в узагальнених координатах);

- виконання розрахунку на ЕОМ;

- визначення аналітичного рішення;

- зіставлення результатів розрахунків на ЕОМ і аналітичного рішення.

1. Постановка задачі

Методику дослідження малих коливань системи при дії негармонічної періодичної сили розглянемо на наступному прикладі.

Механічна система, що зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою та

Така механічна система має один ступінь вільності.

Нехай рух системи викликається періодичною збурюючи силою ) з параметрами -амплітуда збурюючой сили, і

Будемо вважати, що рух системи починається із положення статичної рівноваги.

Розрахунки проведемо у наступному порядку:

1.1. Задопомогою  рівнянняЛагранжаІІ-го роду складемо рівняння руху механічної системи. За узагальнену приймемо координату , яка визначає положення тіла 1 відносно його положення статичної рівноваги: в’язкого опору руху підберемо із умови [], щоб вільні коливання системи згасали до 0,1 початкової амплітуди за час

Початкові умови задачі візьмемо нульовими, так як рух системи починається із положення статичної рівноваги:

1.2. Визначимо (за допомогою ЕОМ) амплітудно-частотну (АЧХ) та фазово-частотну (ФЧХ) характеристики системи.

1.3. Розкладемо функцію в ряд Фур’є і визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік в розкладенні.

1.4. Визначимо (за допомогою ЕОМ) рішення диференціального рівняння руху механичної системи для випадку, коли збурююча сила задається кусочно-лінійною функцією(“точне” рішення).

Розглянемо також випадок, коли сила задається сумою гармонік. При цьому встановимо, при якому раціональному значенні функція визначається з 5% точністю (по відношенню до “точного рішення”).

Проаналізуємо характер коливального процесу при різних значеннях <

1.5. Користуючись АЧХ и ФЧХ системи та знайденими параметрами гармонік у розкладенні сили диференціальногорівняння,  рухумеханічної системи.

При цьому встановимо, при якому раціональне значені аналітичне рішеннявизначається з5% точністю по відношеннюдо  “точного”рішення.

Співставлення рішень будемо проводити для контрольного моменту часу

2.Складання диференціального рівняння вимушених коливань механічної системи.

Рівняння вимушених коливань заданої механічної системи (рис.1) складемо за допомогою рівняння Лагранжа ІІ-го роду:

                        (    )

де і - узагальнена координата та швидкість, і - кінетична і потенціальна енергії системи відповідно, - функція розсіювання, - узагальнена непотенціальна сила.

                Складемо вираз кінетичної енергії системи в її довільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2 і 3 – обертальний рух;прицьому  швидкостіусіх тіл виразимо через узагальненушвидкість

                           

                У виразі та - моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі.

                Позначимо коефіцієнт - зведена маса системи. Тоді:

                                               (    )

                Складемо вираз потенціальної енергії системи: - потенціальна енергія сил ваги, а - потенціальна енергія сил пружності, що діють на тіла системи.

                Обчислемо потенціальну енергію системи в її довільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи із довільного положення в положення статичної рівноваги:

де

тут - статичні подовження пружин; - зміна довжини відповідної пружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; - подовження пружини в довільному положенні системи.

                Врахуємо, що

                Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд:

При рівновазі системи (

                Тоді вираз потенціальної енергії системи приймає вигляд:

(    )

                де

                Функцію розсіювання будемо вважати залежною від узагальненої швидкості

де - коефіцієнт в’язкості (дисипативний коефіцієнт).

                До непотенціальних сил, що діють на систему, відноситься тільки збурююча сила

                Візьмемо відповідні похідні і складемо рівняння Лагранжа для заданої системи:

                                           (   )

                де і

                Диференціальне рівняння (   ) представляє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати

                Рішення задачі про дослідження вимушених коливань системи зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданих початкових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системи починається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:

                при                                                                           (     )

                Як відомо, аналітичне рішення рівняння (   ) складається із суми двох рішень

                Слід зауважити, що рішення в даному випадку (при відповідному підборі коефіцієнта

                Визначимо чисельні значення параметрів системи та коефіцієнтів в рівнянні (   ):

^.м ^–1;

^–1;

^.с^.м ^–1;

с ^–1.

                Для перевірки вірності визначення коефіцієнту рекомендується підрахувати значення співмножника в рішенні при ^.0,861 = 4,31с:

                              

                Таке значення співмножника (наближене до нуля) в рішенні знайдено вірно.

3.Визначення амплітудних- та фазово-частотних характеристик системи.

Шляхом виведення, за допомогоюЕОМ,для заданої механічноїсистеми  зпараметрами ^.м ^–1; 0,456кН^.с^.м^–1 получимо (шляхом введення на друкарський пристрій – принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристики системи та приведемо їх на рис.2 і рис.3 (відповідно).

4. Розкладання функції F(t) в ряд Фур’є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.

Розкладемо функцію в ряд Фур’є:

                                   (    )

де

                Визначимо (за допомогою ЕОМ) параметри гармонік: амплітуди , частоти та початкової фази

                Для заданої сили “прямокутного” типу з параметрами значення параметрів гармонік наведені у табл.1.

Таблиця 1.

Номер гармоніки,	кН		рад.
1	0,764	2	0
2	0,255	6	0
3	0,153	10	0
4	0,109	14	0
5	0,085	18	0

5. Дослідження вимушених коливань механічної системи.

5.1. Визначення (за допомогою ЕОМ) “точного” рішення диференціального рівняння. Аналіз рішення.

Визначимо за допомогою ЕОМ “точне” рішення диференціального рівняння для випадку, коли сила представлена однією гармонікою (для відповідних випадків виводяться на екран ЕОМ. Перед виводом графіків на друкарський пристрій їх треба “промасштабувати”, тобто получити рішення на заданому відрізку інтегрування0рекомендується задавати рівним 8для заданої механічної системи. Лінія 1 відображає “точне” рішення, а лінія 2 – рішення у випадку

Із графіків видно, що функції получаються періодичними, тобто рух механічної системи получається періодичним-коливальним. І в першому, і в другому випадку при явно виражені дві частоти – одна дорівнює (див. лінію 2 для випадку ) значення

5.2. Підбір (за допомогою ЕОМ) раціональної кількості гармонік в розкладанні функції

Визначимо (за допомогою ЕОМ) функції для випадків для “точного” рішення, а лініями 2 – графіки тих же функцій для випадків практично не відрізняється від “точного” рішення.

                Значення відповідних функції при D = 5,7%, а при D = 3,7%.

                За одержаним результатам можна зробити висновок, що для отримання рішення з 5% точністю достатньо взяти кількість гармонік = 3в  розкладеннізбурюючоїсили вряд  Фур’є.

5.3. Побудова аналітичного рішення диференціального рівняння. Підбірраціональної кількості гармонік в розкладанні функції

Побудуємо аналітичне рішення диференціального рівняння (   ), представивши збурюючу силу розкладенням в ряд Фур’є:

                Врахуемо, що при рішення практично згасає. Тоді для цих моментів часу:

              (   ).

                Відмітимо, що рішення змінюється з частотою

Користуючись даними табл. 1 та графіками АЧХ і ФЧХ системи, визначимо значення коефіцієнта динамічності та зсуву фаз для

гармонік (, що відповідають цим гармонікам.

                Значення знайдених величин зведемо у табл. 2.

Таблиця 2.

Номер гармоніки,	-1
1	2	0,274	1,08	0,0562	0,0607	0,088
2	6	0,823	2,63	0,0188	0,0497	0,076
3	10	1,37	1,06	0,0113	0,012	3,09
4	14	1,92	0,366	0,008	0,0029	3,09
5	18	2,47	0,195	0,006	0,0012	3,09

                Із табл. 2 випливає, що визначальними є амплітуди коливань першої ( та другої ( гармоніки в рішенні , значення цих амплітуд одного порядку; амплітуди третьої гармоніки (в рішенні

                Обмежимося значенням для випадку усталених вимушених коливань (має вигляд:

=(м).

                Знайдемо значення узагальненої координати в момент часу

D = 4,2%.

                Із розрахунків випливає, що визначальними є значення рішення для перших двох гармонік. При = 3 аналітичне рішення добре збігається з “точним” рішенням на ЕОМ (відхилення рішення не перевищує D = 5%).

6.Стисла характеристика програми

Если надо – gardemarin@rambler.ru