Многочлен и его стандартный вид. Сумма и разность многочленов

Глава VI. Многочлены. Арифметические операции над многочленами Тема 17: Многочлен и его стандартный вид.Сумма и разность многочленов Опр.: многочленом называется алгебраическая сумма (т. е. сумма или разность) одночленов. Пример: Замечание: многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трёх − трёхчленом. − двучлен В многочленах принято суммы и разности подобных одночленов заменять одним одночленом. Такая операция называется приведением подобных членов. Замечание: многочлены также называют полиномами и обозначают буквой P. 3a2- ab 5 6 p(x; y) = 2x2-xy+3y3 − трёхчлен 4m2- +3mn2 m+2 n − не многочлен Пример: привести многочлен к стандартному виду Опр.: стандартным видом многочлена называется такая его форма, когда каждый входящий в него одночлен записан в стандартном виде и приведены подобные члены. 3s2t∙2t-4s2t+2s∙(-t2s)+3sts = = 6s2t2-4s2t-2s2t2+3s2t = = 4s2t2-s2t Опр.: степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов. 2+2 = 4 − степень многочлена. Чтобы найти сумму или разность многочленов, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При этом, если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых, стоящих в скобках, не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Пример: даны многочлены p1(x; y)=x2-2xy, p1+p2-p3=(x2-2xy)+(3xy-4y2)-(x2-7y2)= Арифметические операции над многочленами 1. Сложение и вычитание p2(x; y)=3xy-4y2, p3(x; y)=x2-7y2 Найти p1(x; y) + p2(x; y) - p3(x; y) =x2-2xy+3xy-4y2-x2+7y2= xy+3y2 Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить. Пример: (-2ab)∙(3a2-2ab+b2) = 2. Умножение одночлена на многочлен = (-2ab)∙3a2 + (-2ab)∙(-2ab) + (-2ab)∙b2= =-6a3b + 4a2b2 -2ab3 правило «фонтанчика» Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член 1-ого многочлена на каждый член 2-ого многочлена и полученные произведения алгебраически сложить. Пример: (a+3)∙(a2-2a+6) = 3. Умножение многочлена на многочлен = a∙a2+a∙(-2a)+a∙6 + 3∙a2+3∙(-2a)+3∙6= = a3 - 2a2 + 6a + 3a2 - 6a + 18 = = a3 + a2 + 18 Замечание: в результате сложения, вычитания, умножения многочлена на одночлен и многочлен всегда получается многочлен. Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты алгебраически сложить. Пример: (2ab+6a2b2-4b2):(-2b) = 4. Деление многочлена на одночлен = - a - 3a2b + 2b Замечание: в результате деления многочлена на одночлен не всегда получается многочлен. = 2ab:(-2b) +6a2b2:(-2b) + (-4b2):(-2b) = Пример: (2ab-4a):(-2b) = = - a + 2a b алгебраическая дробь Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом Анатоль Франс