Научно-исследовательская работа Изучение свойств листа Мёбиуса
__ ГОРОДСКАЯ МЕЖШКОЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»
Секция «Математика»
Тема: «Изучение свойств листа Мёбиуса»
Выполнил:
Топчило Максим,
ученик 4 «Б» класса
МБОУ СОШ № 148
г. о. Самара
Научный руководитель:
Давыдова Оксана Павловна
Самара 2012
Содержание
Введение
1-3
Основная часть
4-7
Заключение
8
Список использованной литературы
9
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
ВВЕДЕНИЕ
Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), две стороны. Чем же отличается простое кольцо, склеенное из листа бумаги от листа Мебиуса?
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.
Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуются с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль всё время летящий прямо может вернуться к месту своего старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Из этого следует сделать вывод о реальности теории зеркальных миров – ведь астронавты, совершившие путешествие по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников.
Еще одна гипотеза гласит о том, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника,
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Что же такое – Лента Мёбиуса? Это бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол - оборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом. (слайды 1-2)
Начав свое исследование, я выдвинул гипотезу (научное предположение), что лист Мебиуса – двусторонняя поверхность.
Цели моего исследования:
Подтвердить или опровергнуть выдвинутую мной гипотезу.
Узнать о листе Мёбиуса и о его использовании на практике.
Приобрести некоторые знания в разделе математики – топологии.
Выбранная мною тема исследования очень актуальна в наши дни: Лист Мёбиуса широко применяется на практике в промышленности, на транспорте, в архитектуре и в быту. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены.
Применение листа Мёбиуса:
В промышленности: полоса ленточного конвейера и шлифовальная лента выполнялись в виде ленты Мёбиуса.
В технике: были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами. В матричных принтерах красящая лента также имела вид листa Мёбиуса для увеличения срока годности.
В искусстве: лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.
Методом исследования в моей работе будет проведение экспериментов.
Но для начала – немного поэзии и краткая историческая справка!
Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом
Он полон неосознанной романтики:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В нем бесконечность свернута кольцом.
В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.
Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары (Н.Ю. Иванова)
Данную поверхность открыл Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус. Лист Мебиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой «лист» Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Мебиус (1790-1868), ученик К. Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики. (слайды 3-7)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Для проведения эксперимента и практической демонстрации возможностей листа Мебиуса мне понадобятся: бумага, ножницы, клей и маркер.
Для начала я склею из заранее заготовленных полосок бумаги просто кольцо и лист Мебиуса. (слайд 8)
Для этого вторую полоску бумаги я поверну на 180 градусов и склею концы, как показано на рисунке.
У меня получилась такая поверхность:
Поставив маркер на одну сторону кольца, проведу линию. Посмотрим, что получилось: моя линия проведена только на одной стороне кольца. Вторая сторона осталась чистой, не закрашенной.
Теперь я начну «закрашивать» (проводить линию) лист Мебиуса, не отрывая маркера от поверхности. Закончив чертить, я пришел в ту же точку, с которой начал. Посмотрев на лист, видим, что закрашены оказались все стороны этого кольца! Вспомню начало своего доклада, где я выдвинул
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
гипотезу о том, что лист Мебиуса является двусторонней поверхностью. Проведенный мною опыт опроверг эту гипотезу: лист Мебиуса – односторонняя поверхность!
Что значит односторонняя? Это значит, что мы можем, не отрывая маркера от бумаги, и не переходя через край, закрасить эту фигуру с обеих сторон. (слайд 9)
Это только начало! Лист Мебиуса таит в себе ещё много неожиданностей.
Опыт № 1
Теперь я попробую разрезать посредине вдоль имеющиеся у меня кольцо и лист Мебиуса.
При разрезании кольца получилось 2 кольца, а при разрезании листа Мебиуса получился один лист Мебиуса, только более длинный и закрученный уже 2 раза!
Опыт № 2
Изготовлю еще 1 Лист Мебиуса, который закручен на пол оборота (180 градусов), и начну его разрезать отступая все время одну треть от края.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Что получилось на этот раз?
И таких опытов можно проделать массу, каждый раз по разному закручивая или складывая лист Мебиуса, по разному разрезая его. Дома я все это проделал, но в рамках моего доклада на все это не хватит времени. Да и самое основное я получил – опроверг свою первоначальную гипотезу и убедился в том, что лист Мебиуса – односторонняя поверхность!
Возникает логичный вопрос: Существуют ли ещё подобные объекты?
Да, существуют, и ещё более замысловатые. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. Вот как она выглядит: (слайд 10)
Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.
На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, хотя это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться после того как он куда то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!
А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Ведь Лист Мёбиуса мы резали вдоль и поперёк. Что же будет если разрезать Бутылку Клейна? (слайд 11)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Изучая дома эту тему, я прочитал, что получится Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было бы так, чтобы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Посмотрите, скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса. Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой. (слайды 12-21)
Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Ученые считают, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту.
Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.
В начале своей работы я ставил перед собой цели, которых, считаю, достиг:
Опроверг выдвинутую мной гипотезу о количестве сторон листа Мебиуса. Оказалось, что это односторонняя поверхность. Но в науке даже отрицательный результат – это тоже результат!
Изучил много информации о листе Мёбиуса, узнал о его применении в практической деятельности людей. Расширил свой кругозор.
Познакомился с разделом математики – топологией. Это было очень интересно! Надеюсь, в дальнейшем моем обучении мне это здорово поможет!
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
Энциклопедия "Я познаю мир"
Д.Я. Стройк «Краткий очерк истории математики»
Интернет-ресурсы:
mir-linii2008.narod.ru/
oriart.ru/
1
2
3
4
5
7
8
9
6
\infty \infty Рисунок 1