Презинтация по математику на тему Криволинейный интеграл (студентов ВУЗа)

презентация На тему:Криволинейный интеграл по длине дуги и его свойства. КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ Криволинейный интеграл первого рода План:Определение криволинейного интеграла.Теорема о условие существования криволинейного интеграла 1 рода.Свойства криволинейного интеграла.Вычисление криволинейного интеграла.Некоторые приложения криволинейного интеграла в математике.Примеры.Список использованной литературы. Вопросы:Что такое криволинейный интеграл по длине дуги?Какие есть свойства криволинейного интеграла по длине дуги?Как вычислять криволинейный интеграл 1 рода?Решение примеров криволинейного интеграла. Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна скалярная функция f (x, y, z).Выполним следующие действия:1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг. Понятно, что при λn → 0 автоматически n→ ∞ ; 2) выберем произвольным образом точки3)составим интегральную сумму видаздесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг. Определение 3.1 Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi)   ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f (x, y, z). по дуге АВ и обозначается Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические. Например: 1) при длина дуги АВ; 2) если функцию f (x, y, z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги АВ, то - масса дуги АВ.Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е. Теорема (условие существования кр.интеграла 1 рода). Если функция f(x; у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них. Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги . 1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то 5) Если в точках кривой АВ   , то 6) Справедливо неравенство: S — длина дуги кривой, l — наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ. 8) Теорема о среднем.Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле Длина всей кривой АВ равна:Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t. Пример. Вычислить интеграл    по одному витку винтовой линии  Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением   то получаем: Вычисление криволинейного интеграла .Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла 1 рода в случаях , если кривая L задана параметрическим, полярным, и явным образом. Криволинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения в математике , рассмотрим следующие: Примеры:Пример 1 Найти интеграл   вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3). Решение. Пример 2 Вычислить интеграл  , где C − дуга окружности . Решение.Запишем дифференциал дуги кривой:              Тогда, применяя формулу в плоскости Oxy, получаем       ПРИМЕР 3Найти криволинейный интеграл  , где кривая C является дугой эллипса  , лежащей в первом квадранте (рисунок ). Решение.Запишем уравнение эллипса в параметрической форме. Диапазон изменений t для первого квадранта равен   . Следовательно, по формуле заданный интеграл преобразуется следующим образом Сделаем замену. Положим  . Тогда Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при    получаем u = a. В результате интеграл становится равным Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной. Если u = 0, то  , и соответственно, если u = a, то  . Таким образом, Список использованной литературы.1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993.2). Д.Т.Письменный.Коспект лекций по высшей математике.Москва 4 издание.2006.3). Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва: Высшая школа, 1992.4)Интернет.