Методичний посібник ВИВЧЕННЯ ОСНОВ КОМБІНАТОРИКИ, ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ, МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ В РАМКАХ ПРОФІЛЬНОЇ ШКОЛИ

Яблунівська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів
Прилуцької районної ради
Чернігівської області



ВИВЧЕННЯ
ОСНОВ КОМБІНАТОРИКИ,
ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ,
МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
В РАМКАХ ПРОФІЛЬНОЇ ШКОЛИ


Учитель математики
Філоненко Н.В.






Філоненко Ніна Василівна – вчитель вищої категорії , старший учитель математики Яблунівської ЗОШ І-ІІІ ступенів
Прилуцької районної ради Чернігівської області













Схвалено на засіданні методичної ради відділу освіти
Прилуцької районної адміністрації Чернігівської області , протокол №____ від ___________ 2011 року


Рекомендовано до друку методичною радою відділу освіти Прилуцької районної адміністрації Чернігівської області


































Для заміток






























Вступ
Вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу продиктоване самим життям. Сучасному суспільству|товариству| потрібні люди, здатні|здібні| ухвалювати нестандартні рішення, які уміють творчо мислити, добре орієнтуватися в звичайних|звичних| життєвих ситуаціях і виробничій діяльності. Імовірнісний характер|вдача| багатьох явищ дійсності багато в чому визначає поведінку людини, і курс повинен формувати відповідні практичні орієнтири, озброювати учнів, як загальною|спільною| імовірнісною інтуїцією, так і конкретними видами оцінки даних. Діти повинні навчитися вибирати, аналізувати і обробляти різноманітну|всіляку|, інколи|почасти| суперечливу|суперечну| інформацію, ухвалювати обгрунтовані рішення в ситуаціях з|із| випадковими подіями|виходами|, оцінювати ступінь|міру| ризику і шанси на успіх. Необхідність формування імовірнісного мислення обумовлена і тим, що імовірнісні закономірності універсальні: сучасна фізика, хімія, біологія, демографія, соціологія, лінгвістика, весь комплекс соціально-економічних наук
1
розвивається на базі ймовірносно-статистичної математики.
Ймовірносно-статистичний матеріал володіє величезним виховним потенціалом, його вивчення впливає на розвиток інтелектуальних здібностей, підсилює|посилює| прикладний аспект курсу математики, сприяє розвитку інтересу до предмету.
Введення|вступ| елементів статистики і теорії ймовірності|ймовірності| в зміст|вміст,утримання| математичної освіти|утворення| є|з'являється,являється| одним з найважливіших аспектів модернізації змісту|вмісту,утримання| освіти|утворення|, оскільки|тому що| роль цих знань в сучасному світі підвищується.
Основною метою вивчення курсу є|з'являються,являються| :
Сприяти формуванню і розвитку умінь вирішення комбінаторних завдань|задач|, що дозволяють учням розумно організувати перебір обмеженого числа даних, підрахувати|підсумовувати| всілякі комбінації елементів, складених за певним правилом.
Сприяти формуванню і розвитку імовірнісного мислення, імовірнісній інтуїції.
2
Література

1. Я.С.Бродський «Комбінаторика без форми» - 2001 рік

2.В.С.Лютикас «Факультативный курс по математике. Теория вероятности» 9-11 класс – 1990 год

3.Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи – 2005 рік

4.М.І.Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук «Алгебра і початки аналізу» 11 клас – 2002 рік

5С.П.Цуренко «Дидактичні матеріали» Математика в школі - 2002 рік №2.

6.Е.А.Бунимович «Вероятносно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики» Математика в школе – 2002 год №2

7.І.Соколовська «Ознайомлення з теорією ймовірності» Математика в школі – 2000 рік №26







99
Додаток 1


Варіант №1
1.Скількома способами можна вибрати
4 яблука із10? [210]
2. Скількома способами можна розподілити 3 різних
путівки між 25 учнями? [138800]
3. Скількома способами можна сформувати потяг із 8
вагонів? [40320]
4. Із 20 робітників треба виділити 6 робітників для
роботи на елеваторі. Скількома способами можна це
зробити? [38760]



Варіант №2
1.Скількома способами можна розподілити
3 однакових путівки між 25 учнями? [2300]
2. У класі навчається 10 юнаків. Скількома способами можна їх вишикувати в шеренгу? [3628800]
3. Скількома способами із 20 учнів можна обрати
старосту та його заступника і секретаря? [6480]
4.На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибрати дві із них? [595]





98
Сприяти розвитку творчих здібностей і дарувань.
Створити умови для розвитку умінь самостійно набувати|придбавати| і застосовувати знання.
Створити умови для всебічного розвитку особи|особистості| школяра з урахуванням|з врахуванням| його вікових особливостей.
Навчання|вчення| школярів основам комбінаторики, теорії імовірності|ймовірності| і математичної статистики в рамках|у рамках| профільної школи

Організація в формуванні просторового уявлення образу|зображення|, з використанням комп'ютерної анімації, доцільно виділити наступні|слідуючі| кроки, на кожному з яких використовуються свої моделі реального об'єкту:
Комбінаторні завдання|задачі|. Перебір всіх можливих варіантів.
На початку заняття необхідно дати поняття про такий розділ математики, як комбінаторика, і привести приклади|зразки| декількох комбінаторних завдань|задач| для вихо
3
вання| інтересу до даного розділу.
У науці і практиці часто зустрічаються завдання|задачі|, вирішуючи|рішати,розв'язати| які доводиться складати різні комбінації з|із| кінцевого|скінченного| числа елементів і підраховувати|підсумовувати| число комбінацій. Такі завдання|задачі| отримали|одержували| назву комбінаторних завдань|задач|, а розділ математики, в якому розглядаються|розглядують| подібні завдання|задачі|, називають комбінаторикою. Слово «комбінаторика» походить від латинського слова combinare|, яке означає «сполучати|з'єднувати|, поєднувати|сполучати|». Методи комбінаторики знаходять|находять| широке застосування|вживання| у фізиці, хімії, біології, економіці, теорії ймовірності|ймовірності| і інших областях знань.
Приведемо приклади|зразки| деяких комбінаторних завдань|задач|.
Скільки способів можна мати в своєму розпорядженні, щоб скласти в електричному колі7 різних приладів?
Скільки словників треба видати, щоб|аби| можна було безпосередньо виконувати переклади|переведення,перекази| з будь-якої з 5 мов|язиків|: російської, англійської, французької, німецької,
4
Додаток 2
Види статистичних спостережень


























97
частота появи події «2 завдання|задачі|» – 4, відносна частота 4/50=8% і так далі.
Складемо таблицю:
Подія
0
1
2
3
4
5
6

Частота
2
4
4
6
3
1
1

%
10
8
8
14
6
2
2


Таким чином, математична статистика, яка виникла спочатку для цілей демографії і страхування перетворюється на один із методів кількісного дослідження явищ природи, технічних процесів,економіки і лінгвістики.










96
італійської, на будь-якій іншій з|із| цих 5 мов|язиків|?
Вова точно пам'ятає, що у формулі азотної кислоти підряд йдуть букви|літери| H, N, O і що є один нижній індекс – чи то двійка, чи то трійка. Скільки є|наявний| варіантів, в яких індекс стоїть не на другому місці?
Перерахувати всі тризначні числа, в записі яких зустрічаються тільки|лише| цифри 1 і 2.
Три друзі – Антон, Борис і Віктор – придбали|набули| два квитки на футбольний матч. Скільки різних варіантів відування футбольного матчу для трьох друзів?
Таким чином, розрізняють наступні|слідуючі| типи|типів| комбінаторних завдань|задач|:
Завдання|задачі|, в яких потрібно перерахувати всі рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| (приклад|зразок| 4).
Завдання|задачі|, що полягають у вимозі виділити зі|із| всіх можливих рішень|розв'язань,вирішень,розв'язувань| таке, яке задовольняє заданій додатковій вимозі (приклад|зразок| 3).
Завдання|задачі|, в яких потрібно підрахувати|підсумовувати| число рішень|розв'язань,вирішень,розв'язувань| (приклад|зразок| 1, 2, 4).
5
Процес навиків|навичок| підрахунку комбінаторних об'єктів можна розчленувати на три етапи залежно від часу навчання|вчення| і методів підрахунку:
підрахунок методом безпосереднього перебору;
підрахунок з використанням комбінаторних принципів;
підрахунок з використанням формул комбінаторики.
Кожен з цих етапів готує основу для формування навиків|навичок| наступних|таких| етапів. Тому на початковому етапі з|із| учнями потрібно обов'язково розглянути|розглядувати| | методи які задаються без формул.
Розглянемо|розглядуватимемо| основні методи, використовувані у вирішенні комбінаторних завдань|задач|.
Перебирання всіх можливих варіантів
Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять, тому на першому місці повинне стояти завдання|задача| по формуванню навиків|навичок| систематичного перебору.
6
метою був складений тест, що містить|утримує| 6 завдань|задавання|. Зробили вибіркове обстеження, вибрали 20 школярів, випадковий відбір забезпечує однакову ймовірність|ймовірність| попадання у вибірку будь-якого об'єкту генеральної сукупності. Отримали наступні|слідуючі| результати такого вибіркового обстеження:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

4
2
0
6
2
3
4
3
3
0
1
5
2
6
4
3
3
2
3
1

На підставі цього ряду|лави,низки| важко зробити які-небудь певні висновки|висновки,виведення| про те, як справилися|впоралися| школярі з|із| роботою. Щоб|аби| зручніше було аналізувати інформацію, в подібних випадках дані ранжирують, розташовуючи їх в порядку зростання. Ряд|лаву,низку| прийме вигляд|вид|:
0011222233333344456
Кожна група представляє|уявляє| певний результат експерименту:
Не вирішено|рішати,розв'язати| жодного завдання|задачі|;
Вирішено|рішати,розв'язати| 1 завдання|задачу|;
Вирішено|рішати,розв'язати| 2 завдання|задачі| і так далі.
У нашому випадку частота появи події «0 завдань|задач|» – 2, відносна частота 2/20=10%. Власна
95
Для узагальнення і систематизації даних, отриманих|одержувати| в результаті|унаслідок,внаслідок| статистичного спостереження, їх за якою-небудь ознакою розбивають на групи, і результати угрупування зводять в таблиці (таблиці частот, таблиці відносних частот). Таким чином, другий етап – угрупування і зведення даних в таблицю.
Дані потрібно представити|уявляти| наочніше|наглядний|: або за допомогою стовпчастої діаграми, або полігону частот, або кругової діаграми, або гістограми. Третій етап – наочне|наглядне| представлення даних.
Далі переходять до аналізу даних, використовуючи для цього різні узагальнюючі показники (статистичні характеристики: середнє значення, мода, медіана, розмах, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення).
На підставі мети|цілі| проведення статистичного дослідження і аналізу даних робиться|чинить| висновок.
Розглянемо|розглядуватимемо| такий приклад|зразок|.
Адміністрація школи вирішила|рішала,розв'язала| перевірити математичну підготовку одинадцятикласників. З цією
94
Приклад|зразок| 1. З|із| групи тенісистів, в яку входять чо
тири чоловіки, – Антонов, Іванов, Сергєєв і Федоров, тренер виділяє пару для участі в змаганнях. Скільки існує варіантів вибору такої пари?
Складемо спочатку всі пари, в які входить Антонов (скорочено писатимемо перші букви|літери| прізвищ). Отримаємо|одержуватимемо| три пари: АІ, АС, АФ.
Випишемо тепер пари, в які входить Іванов, але|та| не входить Антонов. Таких пар дві: ІС, ІФ.
Далі складемо пари, в які входить Сергєєв, але|та| не входить Антонов і Іванов. Така пара тільки|лише| одна: СФ.
Інших варіантів складання пар немає, оскільки|тому що| всі пари, в які входить Федоров, вже складені.
Отже, ми отримали|одержували| 6 пар: АІ, АС, АФ, ІС, ІФ, СФ. Значить, всього існує 6 варіантів вибору тренером пари тенісистів з|із| даної групи.
Спосіб міркувань, яким ми скористалися при розвязуванні задачі, називають перебором можливих варіантів.
Тут же необхідно пояснити учням, що в даному
7
прикладі|зразку| нам не важливий|поважний| порядок|лад| вибору пари: Антонов і Іванов або Іванов і Антонов, і привести приклад|зразок| завдання|задачі|, де враховується порядок|лад| елементів в комбінації.
Приклад|зразок| 2. Три друзі – Антон, Борис і Віктор – придбали|набули| два квитки на футбольний матч на 1-і і 2-і місця першого ряду|лави,низки| стадіону. Скільки у друзів є варіантів зайняти|позичати,посідати| ці два місця на стадіоні?
Якщо на матч підуть Антон і Борис, то вони можуть зайняти|позичати,посідати| місця двома способами: 1-е місце – Антон, 2-і – Борис, або навпаки. Аналогічно Антон і Віктор, Борис і Віктор. Таким чином, ми отримали|одержували| 6 варіантів: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.
Наступна|така| система завдань|задач| направлена|спрямована| на формування умінь учнів систематичному перебору, складанню комбінацій з|із| обліком|урахуванням| і без урахування порядку|ладу|.
Завдання|задачі|:
1. Перерахувати знайомі види чотирикутників.
2. У кафе пропонують два перші блюда: борщ і
8
частотах (W).
Після|потім| групування даних експерименту вийшла така таблиця їх розподілу:
Варіант
-3
0
4
5
9
11
12
15
20

Кратність
12
9
1
64
34
56
7
8
9

Визначите об'єм|обсяг| вибірки.
Допишіть до таблиці третю і четвертую рядки з|із| частот і процентних|відсоткових| частот варіант.
Знайдіть суму чисел в третьому і четвертому рядках.
Статистичні дослідження. Етапи статистичного дослідження.
Для вивчення різних суспільних|громадських| і соціально-економічних явищ, а також деяких процесів, що відбуваються|походять| в природі, проводять спеціальні статистичні дослідження.
Будь-яке|усяке| статистичне дослідження починається з цілеспрямованого збору|збирання| інформації про явище, що вивчається, або процес. Цей етап називається етапом статистичного спостереження.
93
Інтервальний ряд|лава,низка|: весь діапазон спостережуваних значень ознаки хmax-xmin| розбивають на невелике число (k=6| 10) часткових інтервалів, і підраховують|підсумовують| кількість варіантів початкового|вихідного| ряду|лави,низки|, що потрапляють|попадають| в кожен частковий інтервал.
Графічна форма: стовпчаста діаграма, полігон частот, гістограма, кругова діаграма.
Завдання|задачі|:
Зріст кожного з 50 одинадцятикласників занесли в таблицю:

165
170
165
165
175
160
170
170
172
170

178
170
178
174
165
165
175
175
172
160

175
172
160
170
170
178
176
176
175
172

170
170
172
170
178
176
180
174
176
181

180
170
170
174
180
175
175
174
174
172

За наявними даними скласти таблицю розподілу значень випадкової величини Х – зросту|зросту| одинадцятикласників: а) по частотах (М); по відносних
92
розсольник – і чотири другі блюда: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть всі обіди з|із| двох блюд, які може замовити відвідувач|візитер|.
3. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 2, 3, за умови, що|при умові , що,при условии | цифра в числі не може повторюватися? (перебір з|із| обмеженням).
4. (Усно) Важливий|поважний| чи ні|або ні| порядок|лад| в наступних|слідуючих| вибірках (комбінаціях):
капітан волейбольної команди і його заступник;
три ноти в акорді;
«шість чоловік залишаться прибирати клас!»;
дві серії для перегляду|проглядати| з|із| нового багатосерійного фільму.
5. Придумайте|вигадуйте| самі чотири різні ситуації, в двох з|із| яких порядок|лад| вибору важливий|поважний|, а в двох – ні.
6. Стадіон має 4 входи: A, B, C, D. Вкажіть всі можливі способи, якими відвідувач|візитер| може увійти через один вхід, а вийти через інший. Скільки таких способів?
9
7. У магазині продають кепки трьох кольорів: білі, червоні і сині. Кіра і Олена купують|купляють,покупав| собі по одній
кепці. Скільки існує різних варіантів покупок|купівель| для цих дівчаток? Перерахуєте їх.
Як домашнє|хатнє| завдання|задавання| можна запропонувати написати роботу (повідомлення|сполучення|, реферат, доповідь) на тему «З|із| історії комбінаторики».
Підрахунок варіантів за допомогою графів. Таблиця варіантів.
Ефективним прийомом, організуючим підрахунок, є|з'являється,являється| складання такими, що вчаться таблиць, побудова|шикування| графів. Графи, таблиці дозволяють в наочній|наглядній| формі представити|уявляти| ідею комбінування і процес підрахунку комбінаторних об'єктів. Тому використання цих методів в навчанні|вченні| комбінаториці в школі виправдовується не тільки|не лише| пізнавальними, але і педагогічними міркуваннями|тямою|.
Для підведення учнів до наступних|таких| комбінаторних методів доцільно розглянути|розглядувати| завдання|задачу|, в якому кількість всіляких комбінацій з|із| даних
10
Недоліки|нестачі|: громіздкість і важкоуявлюваність|.
Варіаційний ряд|лава,низка|, або впорядкований.
1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6.
Недолік|нестача|: громіздкість.
Статистичний розподіл ряду|лави,низки|:

xj|
1
3
4
5
6

nj|
2
1
3
2
4


Величини nj| називаються частотами значень варіанти хj|. Значення варіантів хj| і варіантів хi| – це не

одне і те ж: кожне значення фіксується тільки|лише| один раз, а варіанти з|із| таким значенням можуть зустрічатися у ряді|серед| багатократно|багаторазового|. (j=1|, 2, 3, 4, 5 ; i=1|, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12). j=1|, 2 ., m, а i=1|, 2 ., n, причому завжди mn| (якщо m=n|, то всі варіанти в ряду|лаві,низці| різні|).
Разом з|поряд з,поряд із| частотами використовуються відносні частоти.


91
Статистика використовує методи дослідження, засновані на математичному апараті теорії ймовірності |ймовірності|, і найважливішим серед цих методів є|з'являється,являється| вибірковий метод. Тому математична статистика і теорія ймовірності нерозривно зв'язані між собою, постійно взаємодіють, і між ними не існує чіткої і загальновизначеної|загальнопризнаної| межі|кордону|.
Статистична інформація про результати спостережень або експериментів може бути зареєстрована і представлена|уявляти| в різних формах.
Простий статистичний ряд|лава,низка|, або ряд|лава,низка| даних,
або вибірка: х1|, х2|, х3|,..., хn-1|, хn| – запис результатів в порядку їх появи (або отримання|здобуття|), запису в ряд|лаву,низку|. Окремі значення хi|, що складають цей ряд|лава,низка|, називають варіантами або просто даними, або результатами спостережень. Кількість варіантів у ряді|серед| n називають об'ємом|обсягом| ряду|лави,низки|, або об'ємом|обсягом| вибірки.
Наприклад, гральний кубик кинули 12 разів і записали числа, які випали в порядку їх появи: 3, 4, 5, 6, 6, 6, 5, 1, 4, 6, 1, 4 (п=12|).
90
елементів велика і процес їх підрахунку важкий.
Приклад|зразок| 1. Скільки різних тризначних чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3 за умови, що|при умові , що,при условии | цифри в числі можуть повторюватися?
Перебір варіантів можна організувати таким чином. Виписати всі числа, що починаються з цифри 1 в порядку їх зростання; потім – що починаються з цифри 2; після чого – що починаються з цифри 3. Таких комбінацій отримаємо|одержуватимемо| 27. При переборі легко було упустити яку-небудь|будь-яку| з|із| них.
Нерідко|незрідка| підрахунок варіантів полегшують графи. Так називають геометричні фігури, що складаються з крапок|точок| (їх називають вершинами) і відрізків, що сполу За допомогою дерева проілюструємо проведений перебір варіантів в прикладі|зразку| 1.
чають|з'єднують| їх (званих ребрами графа). При цьому за допомогою вершин зображають|змальовують| елементи деякої множини|безлічі| (предметів, людей, числових і буквених кодів і так далі), а за допомогою ребер – певні зв'язки між цими елементами.
11
Розглянемо|розглядуватимемо| два види графів:
Граф-дерево (називають за зовнішню схожість з|із| деревом).
На першому місці в тризначному числі може стояти одна з цифр 1, 2 або 3; на другому і третьому місцях – (за умови, що|при умові , що,при условии | цифри можуть повторюватися) також будь-яка з трьох цифр.
Таким чином, за допомогою графа-дерева підрахунок варіантів набагато легше робити. Також

12
Після того, як зроблена вибірка, тобто|цебто| отримана|одержувати| вибіркова сукупність об'єктів, всі об'єкти цієї сукупності обстежують по відношенню до певної випадкової величини або в результаті|унаслідок,внаслідок| цього отримують|одержують| спостережувані дані.
Завдання|задача| математичної статистики полягає в обробці результатів спостережень.
Статистична інформація і способи її уявлення|вистави,подання,представлення|.
Статистична інформація – це числові дані про масові явища, значення спостережуваних ознак
об'єктів, що складають статистичну сукупність, яка отримана|одержувати| в результаті|унаслідок,внаслідок| статистичного спостереження. Таким чином, джерелом статистичної інформації є|з'являється,являється| реальний досвід|дослід|, експеримент, спостереження, вимірювання|вимір|, що виконуються над реальними об'єктами і явищами навколишнього світу. Статистика починається з реальних даних реального досвіду|досліду|; цим вона відрізняється від теорії ймовірності|ймовірності|, яка вивчає математичні моделі реальних явищ і має справу|річ| лише з|із| уявними (уявними) експериментами.
89
основним методом статистики є|з'являється,являється| вибірковий метод.
Вибірковою сукупністю або вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.
Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з|із| яких проводиться|виробляє,справляє| вибірка.
Об'ємом|обсягом| сукупності (вибірковою або генеральною) називають число об'єктів цієї сукупності. Наприклад, якщо з|із| 1000 деталей відібрано для обстеження 100 деталей, то об'єм|обсяг| генеральної сукупності N=1000|, а об'єм|обсяг| вибірки n=100|.
Для того, щоб по вибірці можна було достатньо|досить| упевнено судити про випадкову величину, вибірка повинна бути представницькою|показною| (репрезентативною). Репрезентативність вибірки означає, що об'єкти вибірки досить добре представляють|уявляють| генеральну сукупність. Відмітимо|помітимо|, що при відборі об'єктів можуть зіграти роль особисті|особові| мотиви або психологічні чинники|фактори|, про які дослідник, що проводить вибірку, і не підозрює|підозріває|. При цьому, як правило, вибірка не буде репрезентативною.
88
викреслювати дерево варіантів корисно, коли потрібно записати всі існуючі комбінації елементів.
Повний|цілковитий| граф. Використовується для вирішення завдань|задач|, в яких всі елементи множини|безлічі| взаємозв'язані.
Приклад|зразок| 2. При зустрічі кожен з друзів потиснув|знизував| іншому руку (кожен потиснув|знизував| кожному). Скільки рукостискань було зроблено, якщо друзів було четверо?
Чотирьох друзів помістимо у вершини графа і проведемо всі можливі ребра.


В даному випадку відрізки-ребра позначають|значать| рукостискання кожної пари друзів.
З|із| малюнка видно|показний|, що граф має 6 ребер, значить, і рукостискань було зроблено 6.
Ще одним методом підрахунку числа комбінацій є|з'являється,являється| таблиця варіантів. Її можна використовувати, коли комбінації, що утворюються, складаються з двох
13
елементів.
Приклад|зразок| 3. Записати всілякі двозначні числа, використовуючи при цьому цифри 0, 1, 2 і 3. Підрахувати|підсумовувати| їх кількість N.
Для підрахунку утворених чисел складемо таблицю:
1-а
Цифра
2-а цифра


0
1
2
3

1
10
11
12
13

2
20
21
22
23

3
30
31
32
33


N=3|х4=12

Завдання|задачі|:
Після закінчення ділової зустрічі фахівці|спеціалісти| обмінялися візитними картками|карточками| (кожен вручив свою картку|карточку| кожному). Скільки всього візитних карток|карточок| було роздано, якщо в зустрічі брало участь 5 чоловік?
Перерахувати всі можливі колірні поєднання брюк, светрів і черевиків, якщо в гардеробі є|наявний|
14
цілий ряд|лаву,низку| галузевих статистик (статистика промисловості, статистика фінансів, статистика народонаселення та інші).
Предметом математичної статистики є|з'являється,являється| вивчення випадкових величин за наслідками|за результатами| спостережень. Для отримання|здобуття| достовірних|дослідних| даних необхідно провести обстеження відповідних об'єктів. Наприклад, якщо дослідника цікавить ймовірність|ймовірність| того, що діаметр валу певного типорозміру| після|потім| шліфовки|шліфування| опиниться за ме

жами технічного допуску|допущення|, то треба знати закон розподілу цього діаметру, а для цього перш за все|передусім| потрібно мати в своєму розпорядженні набір можливих значень діаметру. Проте|однак| обстежувати всі вали часто|частенько| важко, оскільки їх кількість може бути великою. Тому доводиться зі|із| всієї сукупності об'єктів для обстеження відбирати тільки|лише| частину|частку|, тобто|цебто| проводити вибіркове обстеження. В деяких випадках обстеження об'єктів всієї сукупності практично не має сенсу, оскільки вони руйнуються в результаті|унаслідок,внаслідок| обстеження. Таким чином,
87
життєвих ситуацій і в різних областях науки.
Розділ 3. Елементи математичної статистики.
В рамках|у рамках| даного | курсу передбачається|припускається| познайомити учнів з |іелементами статистики як наукового напряму|направлення|. Перш за все|передусім| мова|промова| йде про елементи так званої «описової» статистики, яка займається питаннями збору|збирання| і представлення первинної статистичної інформації
в табличній і графічній формах, обчислення|підрахунку| числових характеристик для сукупності числових даних.
Включення|приєднання| в курс початкових відомостей із|із| статистики направлене|спрямоване| на формування в|біля,в| учнів таких важливих|поважних| в сучасному суспільстві|товаристві| умінь, як розуміння і інтерпретація результатів статистичних досліджень, широко представлених|уявляти| в засобах масової інформації.
Вибірковий метод.
Статистика – це науковий напрям|направлення|, який об'єднує принципи і методи роботи з|із| числовими даними, що характеризують масові явища. Він включає математичну статистику, загальну|спільну| теорію статистики і
86
брюки трьох кольорів: сірі, чорні і зелені; светри двох забарвлень: пісочний і малиновий; черевики двох кольорів: чорні і коричневі.
Одночасно відбуваються|походять| вибори мера міста і губернатора округу. На посаду мера виставили свої кандидатури Приходько, Потапенко, Овчаренко, а на посаду губернатора – Мельник, Горбач, Кравчук.
Намалюйте дерево можливих варіантів голосування і визначте з|із| його допомогою число різних результатів|виходів|.
У скількох варіантах буде кандидатура Кравчук?
У скількох варіантах прізвища кандидатів на посаду мера і на посаду губернатора складаються з різного числа букв|літер|?
Як зміняться відповіді в пунктах а) і б), якщо врахувати ще кандидата «проти|супроти| всіх»?
Група туристів планує|планерує| здійснити похід по маршруту Батурин – Качанівка – Тростянець - Сокиринці. З|із| Батурина до Качанівки можна доїхати ав
15
тобусом. З|із| Качанівки до Тростянця можна дійти пішки або доїхати на велосипедах. Із Тростянця до Сокиринців можна доїхати на велосипедах або дійти пішки.
Намалюйте дерево можливих варіантів походу.
Скільки всього варіантів походу можуть вибрати туристи?
Скільки є повністю|цілком| не піших варіантів?
Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи за умови, що|при умові , що,при условии | хоч би|хоча би| на одну з ділянок маршруту вони повинні використовувати велосипеди?
За допомогою таблиці варіантів перерахувати всі можливі двохбуквені коди (букви|літери| в коді можуть повторюватися), в яких використовуються букви|літери| а, б, в.
Складаючи розклад уроків на понеділок для 10| класу, завуч хоче першим уроком поставити або фізику, або алгебру, а другим – або російську мову, або літературу, або історію. Скільки існує варіантів скла
16
Кому потрібна теорія ймовірності|ймовірності|?
Форма організації даного заняття – круглий стіл – уявлення|вистава,подання,представлення| захисту індивідуальних творчих робіт по вибору:
невелика підбірка цікавих імовірнісних завдань|задач| з|із| різних областей професійної діяльності;

дослідницька робота в області теорії ймовірності|ймовірнос
індивідуальний проект, що відображає|відбиває| можливість|спроможність| застосування|вживання| знань по теорії ймовірності|ймовірності| в якій-небудь діяльності людини або для якої-небудь професії;
написання програм для обчислення|підрахунку| ймовірності|ймовірності| на якій-небудь мові|язиці| програмування.
Загальна|спільна| тема творчих робіт: «Кому потрібна теорія ймовірності|ймовірності|?».
Як джерела літератури можна порекомендувати наступні|слідуючі| книги: Китайгородський, А.І.– присвячена застосуванню|вживанню| законів теорії ймовірності|ймовірності| до різних
85
Серед облігацій позики|позички| 25% виграшних. Знайдіть ймовірність того, що з|із| трьох узятих облігацій хоч би|хоча би| одна виграшна.
Знайти ймовірність13 EMBED Equation.3 1415 по даній вірогідності|ймовірності|: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.
Чи можуть несумісні|спільні| події бути в той же час незалежними і навпаки? Навести приклади|зразки|.
Варіант 2
При включенні|приєднанні| запалення|запалювання| двигун починає|розпочинає,зачинає| працювати з|із| вірогідністю|ймовірністю| р. Знайти ймовірність того, що для введення двигуна в роботу доведеться|припаде| включити запалення|запалювання| не більше двох разів.
Знайти ймовірність 13 EMBED Equation.3 1415 по даній ймовірності: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.
Чому формула Бернуллі застосовується при незалежності подій?
Способи вирішення перших завдань|задач| детально викладені в теоретичному матеріалі.

84
дання розкладу на перші два уроки?
Визначитися в успішності засвоєння даної теми допоможе самостійне складання завдань|задач|. Можна запропонувати їм придумати|вигадувати| так зване «завдання|задавання| для друга» з використанням кожного з трьох методів.
Кортежі. Правило добутку|добутку|.
Другий етап формування обчислювальних навиків|навичок| у вирішенні комбінаторних завдань|задач| пов'язаний з формуванням правил суми і добутку |добутку|. Пропонована методика формування правил суми і добутку|добутку| і подальших|наступних| основних комбінаторних понять базується на таких теоретико-множин|них поняттях, як множина|безліч|, елемент множини|безлічі|, підмножина, впорядкована множина|безліч|. Тому з|із| учнями необхідно повторити ці поняття.
Розглянемо|розглядуватимемо| завдання|задачу| про «Марновірного|забобонного| голову».
«Знову вісімка!» - сумно вигукнув голова клубу велосипедистів, поглянувши на прогнуте колесо свого велосипеда. «А все чому? Та тому, що у мене членський квиток № 888 – цілих три вісімки. І тепер не
17
проходить|минає,спливає| і місяця, щоб|аби| то на одному, то на іншому колесі не з'явилася|появлялася| вісімка. Треба міняти|змінювати,замінювати| номер квитка! А щоб|аби| мене не звинуватили в марновірстві|забобоні|, проведу я перереєстрацію всіх членів клубу і видаватиму тільки|лише| квитки з|із| номерами, в які не входить жодна вісімка. Не знаю тільки|лише|, чи вистачить| на всіх номерів – адже у нас в клубі майже 600 членів. Невже доведеться|припаде| спочатку виписати всі номери від 000 999, а потім викреслювати з|із| них всі номери з|із| вісімками?» Щоб|аби| допомогти голові, нам потрібно вирішити таку комбінаторну задачу:
Скільки існує тризначних номерів, що не містять|утримують| цифри 8?
Далі учні повинні відповісти на питання (Як би ви вирішили таку задачу? За допомогою якого методу? Які ще методи розв’язку|розв'язання,вирішення,розв'язування| застосовні до даного завдання|задачі|?) і разом з вчителем|учителем| розібрати рішення даної задачі.
Спочатку знайдемо кількість однозначних номерів, відмінних від 8. Ясно, що таких номерів дев'ять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А зараз знайдемо всі двозначні
18
Яка ймовірність того, що всі чотири постріли - промахи?
5.Ви граєте в шахи з|із| рівним по силі партнером. Чого слід більше чекати: трьох перемог в 4 партіях або п'яти перемог в 8 партіях?
6.Скільки разів доведеться|припаде| кидати гральну кісточку|кість|, щоб|аби| вірогідніше| число появи шестірки|шістки| було б 32?
7.Яка ймовірність рівності з точністю до|із точністю до| 0,1 при 100 дослідах?
Самостійна робота.
Вивчення випадкових подій бажано завершити самостійною роботою, в якій одне-двоє| завданнь|задачі| треба вирішити|рішати,розв'язати| як можна великим числом способів. Непогано включити в роботу і теоретичне питання (щоб|аби| перевірити, з одного боку, розуміння теоретичної частині|частці| пройденого|минати,спливати| матеріалу і, з іншого боку, уміння учнів формулювати і висловлювати|викладати| свої думки|гадки|).
Завдання самостійної роботи:
Варіант 1
83
відбувалася|походила| подія А. Тоді для будь-якого додатного числа ( виконується нерівність
13 EMBED Equation.3 1415.
Цю теорему краще давати без доведення|.
Завдання|задачі|:
1. Підкидаємо монету 10 разів. Яка ймовірність двократної появи герба?
2.Ймовірність того, що виріб не пройде|минатиме,спливатиме| контролю, рівна 0,125. яка ймовірність того, що серед 12 виробів не буде жодного забракованого контролером?
3.Ймовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої|установленої| норми, рівна р=0,75|. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
4.З різних позицій по мішені випускають 4 постріли. Ймовірність попадання першого пострілу наближено 0,1, другого – 0,2, третього – 0,3 і четвертого – 0,4.

82
номери, що не містять|утримують| вісімок. Їх можна скласти так: узяти будь-який із знайдених однозначних номерів і написати після|потім| нього будь-яку з дев'яти допустимих цифр. В результаті з|із| кожного однозначного номера вийдуть 9 двозначних. А оскільки|тому що| двозначних номерів було 9, то вийде 9х9 = 81 двозначних номерів.
Отже, існує 81 двозначний номер без цифри 8. Але|та| до кожного з цих номерів можна приписати справа будь-яку з цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 і отримати|одержувати| тризначний номер, що не містить|утримує| цифру 8. При цьому виходять всі тризначні номери з|із| необхідною властивістю. В результаті ми знайшли 81х9 = 729 тризначних номерів без вісімок.
Якби|аби| голова клубу був ще суєвірним| і відмовився і від цифри 0, оскільки вона схожа на витягнуте колесо, то він зміг би скласти лише
8х8х8= 512 тризначних номерів і їх вже не вистачило б на всіх членів клубу.
За допомогою цього прикладу|зразка| вводяться|запроваджують| поняття кортежу і правило добутку|
19
Кортежі. Номери, складені з|із| трьох цифр, не можна розглядати|розглядувати| як множину елементів. По-перше, в номерах цифри можуть повторюватися (наприклад, 775), а в множинах|безлічі| елементи не повторюються, по-друге, в номерах важливий|поважний| порядок|лад| цифр (175 і 571 – зовсім різні номери), а в множинах|безлічі| порядок|лад| елементів ролі не грає. Тому, якщо ми хочемо вивчати такі об'єкти, як номери, або слова (у них теж|також| можуть букви|літери| повторюватися, від перестановки букв|літер| слово міняється), потрібно ввести|запроваджувати| нове математичне поняття, відмінне від поняття множина|безліч|.
Це нове поняття математики назвали|накликали| кортежем (разом і|поряд з,поряд із|з словом «кортеж» застосовують назви «слово», «набір», «вектор», «кінцева|скінченна| послідовність» і так далі). Кортеж – французьке слово, що означає урочистий хід. І у нас іноді|інколи| говорять «кортеж автомашин», «весільний кортеж» і так далі При цьому кортеж автомашин може складатися з декількох «Волг», декілька «БМВ» і декілька «Ауді». Якщо вважати|лічити| машини однієї і тієї ж марки
20
наближені формули, що дозволяють знаходити|находити| наближені значення для Рn(m) і, що ще важливіше|поважний| для практики, суми значень Рn(m), таких, що дріб
(відносна частота появи події А) лежить в даних межах|кордонах|.
За формулою Бернуллі ймовірність|ймовірність| того, що в серії з|із| 100 підкидань монети всі 100 разів випаде герб, рівна, тобто|цебто| близько 10-30. Не така|настільки| мала, але|та| все, ж ймовірність того, що цифра випаде не більше 10 разів. Найймовірніше|певно,мабуть|, що число випадань герба мало відрізнятиметься від 50.
Взагалі при великому числі випробувань відносна частота появи події, як правило, мало відрізняється від ймовірності|ймовірності| цієї події. Математичне формулювання цього якісного твердження|затвердження| дає належний Я. Бернуллі закон великих чисел, який в уточненій П.Л. Чебишевим свідчить:
Теорема. Нехай|нехай| ймовірність|ймовірність| події А у випробуванні s рівна р, і нехай|нехай| проводяться серії, що складаються з n незалежних подій цього випробування. Через m позначимо число випробувань, в яких
81
добре, двоє – задовільно, а один зовсім не готувався – понадіявся на те, що все пам'ятає. У білетах 20 питань. Учні, що відмінно|чудово| підготувалися, можуть відповісти на
всі 20 питань, добре – на 16 питань, задовільно – на 10, і що не підготувалися – на 5 питань. Кожен учень отримує|одержує| навмання|наздогад,навдогад| 3 питання з|із| 20. Запрошений першим учень відповів на всі три питання. Яка ймовірність того, що він відмінник?
Формула Бернуллі. Закон великих чисел.
Формула Бернуллі набагато спрощує шлях|колію,дорогу| вирішення завдань|задач| у тому випадку, коли досліди повторюються незалежно один від одного і ймовірність|ймовірність| події, що цікавить нас, не змінюється.
Ймовірність|ймовірність| того, що при повторних випробуваннях подія А наступить|настане| m разів і не наступить|настане| n-m| разів знаходиться|перебуває| за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислення|підрахунки| за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m громіздкі. У математиці встановлені|установлені|
80

невпорядкованими, то отримаємо|одержуватимемо|, що в кортежі автомашин один і той же елемент може повторюватися кілька разів.
У математиці кортеж визначають так. Нехай|нехай| є|наявний| декілька множин X1| ..., Xk|. Уявимо собі, що їх елементи складені в мішки, а мішки перенумеровані. Витягнемо з|із| першого мішка який-небудь|будь-який| елемент (тобто|цебто| візьмемо який-небудь|будь-який| елемент а1| множини Х1), потім витягнемо елемент а2| з|із| мішка Х2 і продовжуватимемо цей процес до тік|теча| пір, поки|доки| з|із| мішка Хk не буде витягнутий елемент а|. Після|потім| цього розставимо отримані|одержувати| елементи в тому порядку|ладі|, в якому вони з'явилися|появлялися| з|із| мішків (а1|, а2| ..., аk|). Це і буде кортежем довжини д, складеним з|із| елементів множини X1| ..., Xk|. Елементи а1|, а2| ..., аk| називають компонентами кортежу.
Два кортежі називають рівними в тому і лише у тому випадку, коли вони мають однакову довжину, а на відповідних місцях розміщені одні і ті ж елементи.
Тут можна дати індивідуальне завдання|задавання|: узяти
21
будь-яку множину|безліч| і скласти з|із| його елементів кортеж, при цьому запитати|спитати| , чому він є|з'являється,являється| кортежем, і скільки
кортежів можна скласти з|із| цієї множини|безлічі|?
При великих значеннях n (n – це кількість елементів в множині|безлічі|, з|із| якої складається кортеж) і (д – це кількість елементів в кортежі) перебір варіантів стає дуже громіздким, тому обмежуються тільки|лише| підрахунком загального|спільного| числа можливих варіантів побудови|шикування| кортежів. Для простих комбінаторних завдань|задач| формули для підрахунку числа можливих кортежів виводять за допомогою двох основних правил комбінаторики.
Правило суми. Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b можна вибрати n способами, причому будь-який вибір елементу а відмінний від будь-якого вибору елементу b, то вибір «а або b» можна зробити m + n способами. (Наприклад, якщо на блюді лежать 7 яблук і 4 груші, то вибрати один плід можна 7+4=11 способами).
На мові|язиці| теорії множин|безлічі| це правило формулюється
22
залпі з|із| обох гармат хоча б одним із
снарядів.
3.Відділ технічного контролю перевіряє на стандартність по двох параметрах серію виробів. Було встановлено|установлений|, що у|біля,в| 8 з|із| 25 виробів не витриманий тільки|лише| перший параметр, у|біля,в| 6 виробів – тільки|лише| другий, а у|біля,в| 3 виробів не витримано обидва параметри. Навмання береться один з виробів. Яка ймовірність того, що воно не задовольняє стандарту?
У лотереї випущено n квитків, m з|із| яких виграють. Громадянин купив n квитків. Яка ймовірність того, що один з куплених квитків виграшний?
У урну, що містить|утримує| 2 кулі, опущена біла куля, після чого з|із| неї наугад витягують одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля, що витягнута, виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення|гадки| про первинний склад куль (за кольором).
З|із| 10 учнів, які прийшли на екзамен з математики, троє|три| підготувалися відмінно|чудово|, четверо –
79
13 EMBED Equation.3 1415.
Цю формулу називають «формулою повної|цілковитої| ймовірності|ймовірності|». За допомогою цієї формули виводиться|находимо| так звана формула Бейеса:
13 EMBED Equation.3 1415 при i=1|, 2 ., n.
Особливо широко вона застосовується при вирішенні завдань|задач|, пов'язаних з імовірнісною оцінкою гіпотез. Гіпотези – це події, про яких заздалегідь|наперед| не відомо, яке з|із| них наступить|настане|.
Довести формулу Бейеса учні можуть самостійно.
Завдання|задачі|:
1.Підкидаємо дві монети. Яка ймовірність випадання хоч би|хоча би| одного герба?
2.Ймовірність попадання в ціль при стрілянині|стрільбі| першого і другого снарядів відповідно рівна: р1=0,7|; р2=0,8|. Знайти ймовірність попадання при одному
78
таким чином: Якщо перетин кінцевої|скінченної| множини A і B порожня множина|пустий|, A-B=O|, то число елементів в їх об'
єднанні рівне сумі чисел елементів множини A і B: A-B=O|.
Тут доцільно задати питання: А як буде сформульовано правило суми для пересічної множини A і B? у загальному|спільному| випадку для кінцевого|скінченного| числа множин|безлічі|?
Правило суми застосовується для вирішення комбінаторних завдань|задач|. Саме, часто доводиться розбивати всю множину перелічуваних комбінацій, підраховувати|підсумовувати| число елементів в кожній групі і потім складати відповіді, що вийшли.
Правило добутку|добутку|. Візьмемо декілька елементів кінцевої|скінченної| множини X1| ., Xk|, що складаються відповідно з n1| ., nk| елементів, і знайдемо, скільки кортежів довжини д можна скласти з|із| елементів цих множин|безлічі|. Спосіб, яким ми вирішимо цю задачу по суті справи буде тим же самим, яким було знайдено число тризначних номерів без вісімок. Спочатку знайдемо
23
число кортежів довжини 1, складених з|із| елементів множини Х1. Ясно, що їх число рівне n1|. Візьмемо тепер один з цих кортежів (а1|) і припишемо до елементу а1| справа по черзі всі елементи множини х2|. Одержимо n2| кортежів довжини 2, у|біля,в| яких перша координата рівна а1|. Але|та| замість а1| можна було б узяти будь-який інший елемент з|із| Х1. Тому виходить n1| разів по n2| кортежу, а всього n1| n2| кортежів довжини 2 або, як частіше говорять пару. З|із| кожної такої пари отримаємо|одержуватимемо| n3| трійок, приписавши до неї по черзі всі елементи множини Х3, а всього n1| n2| n3| трійок. Продовжуючи цей процес, отримаємо|одержуватимемо|, n1| n2| . nk| кортежів довжини д, складених з|із| елементів наших множин|безлічі|.
Отриманий результат є|з'являється,являється| одним з найважливіших в комбінаториці. На ньому засновано виведення багатьох формул комбінаторики. Його називають «правилом добутку|добутку|». Сформулюємо це правило так. Якщо елемент а1| можна вибрати n1| способами, після|потім| кожного вибору цього елементу наступний|слідуючий| за ним елемент а2| можна
24
Якщо А відбулося разом з однією з подій В1, В2 ..., Вn, значить, відбулася одна з несумісних|спільних| подій В1А, В2А , ВnА.
Таким чином, А= В1А + В2А + + ВnА.
Оскільки події В1, В2 ..., Вn взаємно несумісні|спільні|, то і події В1А, В2А , ВnА володіють тією ж властивістю. Тому
Р(А)= Р(В1А)+ Р(В2А)+ . + Р(ВnА).
За теоремою множення ймовірності залежних подій маємо 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 2. Ймовірність події А, яка може наступити|настати| лише за умови появи однієї з несумісних|спільних| подій В1, В2 , Вn, що утворюють повну|цілковиту| групу, рівна сумі добутків|добутків| ймовірності|ймовірності| кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірністьь|ймовірність| події А:
77
ймовірність того, що на першому кубику випаде парне число очків, а на другому – число, менше 6?
5. Є|наявний| 3 ящики, що містять|утримують| 10 деталей. У першому ящику 8, в другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. З|із| кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що все три вийняті деталі виявляться стандартними.
Наслідки теорем додавання і множення.
Повертаючись до заняття №8, де теорема додавання була розглянута|розглядувати| для несумісних|спільних| подій, доцільно викласти теорему додавання для сумісних|спільних| подій. Доведення приводити|призводити,наводити| не обов'язково, треба тільки|лише| її проілюструвати.
Теорема 1. Ймовірність|ймовірність| появи хоч би|хоча би| однієї з двох сумісних|спільних| подій рівна сумі цих подій без ймовірності|ймовірності| їх сумісної|спільної| появи:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р|(АВ).
Нехай|нехай| потрібно знайти ймовірність|ймовірність| події А, яка може наступити|настати| за умови появи однієї з несумісних|спільних| подій В1, В2,..., Вn, які створюють повну|цілковиту| групу.
76
вибрати n2| способами . після|потім| вибору елементів а1|, а2| ., аk-1| елемент аk| вибирається nk| способами, то кортеж (а1|, а2| ., аk|) можна вибрати n1| n2| . nk|.
Підрахуємо|підсумовуватимемо|, наприклад, скільки слів, що містять|утримують|
6 букв|літери|, можна скласти з|із| 33 букв|літер| російського алфавіту за умови, що|при умові , що,при условии | будь-які дві букви|літери|, що стоять поряд, різні (наприклад, слово «корова» допускається, а слово «колос» немає). При цьому, зрозуміло можна писати безглузді слова. В цьому випадку на перше місце у нас 33 кандидати. Але|та| після того, як перша буква|літера| вибрана, другу можна вибрати лише 32 способами – адже повторювати першу букву|літеру| не можна. На третє місце теж|також| 32 кандидати – першу букву|літеру| вже можна повторити, а другу – не можна. Також переконуємося, що на всі місця, окрім|крім| першого, є|наявний| 32 кандидати. А оскільки|тому що| число цих місць рівне 5, то отримуємо|одержуємо| відповідь 333232323232=1107396236.
Завдання|задачі| на застосування|вживання| комбінаторних правил добутку|добутку| і суми:
У відділі науково-дослідного інституту
25
працюють декілька чоловік, причому кожен з них знає хоча б|хоча би| одну іноземну мову|язик|, 6 чоловік знають англійську, 6 – німецьку, 7 – французьку, 4 знають англійську і німецьку, 3 – німецьку і французьку, 2 –
французьку і англійську, 1 людина знає всі три мови|язики|. Скільки чоловік працює у відділі? Скільки з|із| них знають тільки|лише| англійську мову? Скільки чоловік знають тільки|лише| одну мову|язик|?
Скільки чисел серед перших 100 натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5?
Є|наявний| 5 видів конвертів і 4 види марок. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для відправлення|посилання| листа?
Скількома способами можна вибрати на шахівниці чорний і білий квадрати, які не лежать на одній горизонталі або одній вертикалі?
Є|наявний| 20 зошитів в лінійку і 30 зошитів в клітинку|клітину|. Необхідно вибрати два зошити одного виду|виду|