Математика в историческом развитии (методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 10 классе)

Математика в историческом развитии
(методические рекомендации по организации и проведении факультативного курса по истории математики в 10 классе)
№ п/п
Тема занятия
Кол-во часов

10 класс

Алгебра и начала математического анализа (8 ч.)

1.
Тригонометрические выражения и их преобразования
2 ч.

2.
Функция
1 ч.

3.
Тригонометрические функции
1 ч.

4.
Предел
2 ч.

5.
Производная и дифференциал
1 ч.

6.
Наибольшее и наименьшее значения функции
1 ч.

Геометрия (4-5 ч.)

1.
Пятый постулат Евклида
1 ч.

2.
Параллельность в пространстве
1 ч.

3.
Перпендикулярность в пространстве
1 ч.

4.
Преобразования пространства. Векторы
1-2 ч.

11 класс

Алгебра (8 часов)

1.
Площадь криволинейной трапеции
1 ч.

2.
Исчисление бесконечно малых
1 ч.

3.
Дифференциальное и интегральное исчисление в трудах ученых XVIII-XIX вв.
1 ч.

4.
Дифференциальные уравнения
1 ч.

5.
Показательная и логарифмическая функции
1 ч.

6.
Ряды
1 ч.

7.
Применение определителей к решению систем уравнений
1 ч.

8.
Метод Крамера и метод Гаусса
1 ч.

Геометрия (4 часа)

1.
Многогранники
1 ч.

2.
Объемы многогранников
1 ч.

3.
Тела вращения
1 ч.

4.
Объемы тел вращения
1 ч.






10 класс
Алгебра и начала математического анализа
Тема 1. Тригонометрические выражения и их преобразования
Занятие № 1
I
На данном занятии – семинаре целесообразно рассмотреть следующие вопросы (I часть занятия):
О происхождении тригонометрии.
О тригонометрических таблицах.
О тригонометрических функциях, о графиках тригонометрических функций.
По каждому вопросу выступает отдельный учащийся.
Во II части данного семинарского занятия следует рассмотреть вопрос «Вклад Леонарда Эйлера в тригонометрию».
В конце занятия подвести итог, сделать вывод.
II
На первом занятии по данной теме следует обратить внимание на развитие тригонометрии и тригонометрических функций. Рекомендуется выступить учащимся с сообщениями:
1. «О происхождении тригонометрии».
2. «О тригонометрических таблицах».
Здесь учащихся следует познакомить с задачей решения прямоугольного треугольника; рассказать о составлении таблиц, выражающих длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса греческим астрономом и математиком Гиппархом (середина II в. до н.э.); рассказать о таблице хорд древнегреческого астронома Птолемея; о введении индийскими астрономами таблицы синусов, раскрыть роль в этом Бхаскары. Ученикам интересно будет узнать и о введении учеными стран ислама линии тангенса, и об использовании Абу-л-Вафа (X век) величины, обратной косинусу и синусу, и о таблицах европейских ученых XV-XVIII вв. Более подробно следует рассказать о развитии тригонометрических таблиц в России.
3. «О тригонометрических функциях, о графиках тригонометрических функций». В этом сообщении ребятам следует рассказать о названиях тригонометрических функций, о развитии тригонометрических функций в Индии; раскрыть моменты зарождения тангенса.
Говоря о графиках тригонометрических функций, следует отметить, что синусоида – первый график тригонометрической функции, дать небольшую информацию о Д. Валлисе, И. Барроу (учитель Ньютона), Ф. Майере, Т. де Ланье, Р. Котесе и их графиках тригонометрических функций.
Рассмотрев развитие тригонометрии и тригонометрических функций, необходимо рассмотреть вопрос «Вклад Леонардо Эйлера в тригонометрию».
Вначале привести общую характеристику творчества Эйлера, познакомить учащихся с его важнейшими трудами. По возможности труды Эйлера использовать на занятии.
На занятии учащиеся должны уяснить: каковы заслуги Эйлера в тригонометрии:
1. Эйлер впервые доступно изложил вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте, установил формулы приведения, подробно исследовав области определения этих функций и обозначив их символами: sin x, cos x, tang x, cot x и т.д.; он ввел употребляемые поныне обозначения a, b, c для сторон и A, B, C для соответствующих противолежащих углов, придерживаясь единой символики в тригонометрии.
2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R – целый синус, принимая R = 1 и упрощая таким образом записи и вычисления.
3. Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г.) Эйлер впервые трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические линии, которые он рассматривал как отношение сторон прямоугольного треугольника, как числовые величины.
4. Понимая аргумент тригонометрической функции не только как угол или дугу, а как любую числовую величину, Эйлер впервые стал систематически излагать тригонометрию аналитическим путем. До него каждая тригонометрическая теорема доказывалась отдельно на основании соответствующего каждому случаю геометрического чертежа. Эйлер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.
5. До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические функции дуг, превышающих. Лишь в его трудах разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента.
Сделать вывод, подвести итог занятия можно словами Лагранжа: «Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера» или словами Лапласа: «Читайте, читайте Эйлера – он наш общий учитель!»













Занятие № 2
I
Данное занятие – комбинированное тематическое занятие, на котором целесообразно использовать следующие методы работы:
- сообщения учащихся «Тригонометрические функции суммы и разности аргументов», Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента»;
- работа с книгой Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечных» (том I, глава VIII «О трансцендентных количествах, получающихся из круга»);
- доказательство формул Эйлера.
II
На втором занятии по данной теме следует познакомиться с историей основных формул тригонометрии. Для этого I часть занятия посвятить сообщениям учащихся, их анализу и комментариям к ним.
1. «Тригонометрические функции суммы и разности аргументов». Здесь необходимо рассказать о трактате Птолемея «Альмагест» (о геометрическом выводе формулы для хорды разности и суммы двух углов с помощью теоремы Птолемея);
о формуле (в современной символике) индийского ученого Бхаскары (XII в.)
sin (13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415, где R – радиус окружности;
о геометрическом выводе (1706 г.) общего правила для tg (13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415) и для seс (13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415) петербургским математиком Л. Германом;
о выводе формул приведения как частных случаев теорем сложения Эйлером («Введение в анализ бесконечных») - во II части занятия следует познакомиться с выводом формул приведения, используя первоисточник. В этом сообщении необходимо коснуться и вывода теоремы о синусе суммы Г. Клюгелем (1770 г.): sin C = sin A cos B+cos A sin B (из треугольника АBC).
2. «Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента». В этом сообщении необходимо рассказать о соотношении Птолемея, эквивалентном нашей формуле:
(*) sin2 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415; об отношении, эквивалентном формуле (*), содержащемся в индийских сиддхантах:
sin2 13 EMBED Equation.3 1415 + sin vers2 13 EMBED Equation.3 1415 = (2 sin 13 EMBED Equation.3 1415)2 ;
О формуле Абу-л-Вафа:
sin13 EMBED Equation.3 1415 = 2sin13 EMBED Equation.3 1415/2 cos13 EMBED Equation.3 1415/2;
О вычислении синусов и косинусов Виетом (в «Исчислении треугольников»), а также формул:
cos13 EMBED Equation.3 1415 – cos13 EMBED Equation.3 1415 = 2sin 13 EMBED Equation.3 1415* sin 13 EMBED Equation.3 1415
sin 13 EMBED Equation.3 1415 – sin 13 EMBED Equation.3 1415 = 2 sin 13 EMBED Equation.3 1415 * cos 13 EMBED Equation.3 1415
Необходимо обратить внимание на доказательство формулы
tg 213 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 математиками XVII в. (англичанин Джон Пелль, француз Г. Роберваль и др.).
В этом сообщении необходимо рассказать и о формуле:
(**) ctg 213 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 (ctg 13 EMBED Equation.3 1415 – tg 13 EMBED Equation.3 1415), впервые появившейся во «Введение в анализ» Л.Эйлера, а также о применении формулы:
cos 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 cos 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 ((cos (13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415) + cos (13 EMBED Equation.3 1415)) датским ученым Тихо Браге и другими учеными XVI в.
III
Работа с книгой Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечных» (том I, глава VIII «О трансцендентных количествах, получающихся из круга»).
Учащимся предлагается разобрать вывод формулы Эйлера. Это можно сделать по-разному, например, у доски отвечает предварительно подготовленный ученик.
Весьма желательно разобрать формулу (**), впервые появившуюся во «Введении в анализ бесконечных» Эйлера.
После разбора доказательств Эйлера обязательно сделать вывод.
Учащимся предлагается доказать формулы Эйлера (в качестве самостоятельной работы с последующей проверкой):
1) sin (300 +z) = cos z – sin (300 – z)
2) cos (300 + z) = cos (300 – z) – sin z
3) tg (300 + 2b ) = (ctg (300 – b) – tg (300 – b))/2

(Из «Введения в анализ бесконечных», т. I , стр. 117 – 118).











Тема 2. Функция
Занятие № 3
I
На данном занятии – семинаре целесообразно использовать следующие методы работы: вступительная часть учителя «Что такое функция?»;
сообщения учащихся «Определение функции в XVIII в.», «Общее определение функции в XIX в.»;
выпуск математической газеты «Краткие сведения о крупнейших математиках XVIII-XIV веков, которые внесли наиболее весомый вклад в развитие понятия «функция»;
групповое изучение первоисточника – «Введение в анализ бесконечных» Л. Эйлера.
II
На занятии по данной теме необходимо обратить внимание на то, что явное определение функции впервые было дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком И. Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Л. Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким – либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».
Учащимся следует рассказать о возникновении знаменитого спора, связанного с исследованием колебаний струны.
Привести общее определение функции, данное Эйлером в «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 г.: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».
В сообщении «Общее определение функции в XIX в.» пояснить, как был раскрыт нерешённый вопрос XVIII в., связанный с понятием функции: «Можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?»; рассказать о функции Дирихле:
1, для всех рациональных значений х
13 EMBED Equation.3 1415 0, для всех иррациональных значений х;
об идее соответствия и идее множества в новом общем определении понятия функции. Раскрыть роль ученых 30-40-х годов, принявших участие в дальнейшей расширении понятия функции.
На занятии необходимо учащихся познакомить с крупнейшими математиками XVIII-XIV веков, которые внесли наиболее весомый вклад в развитие понятия «функция»: Иоганн Бернулли, Леонард Эйлер, Жан Лерон Даламбер, Жозеф Луи Лагранж.
Целесообразно выпустить математическую газету.
По возможности на занятии использовать первоисточники – произведения великих ученых, что, несомненно, повышает интерес к математике.
На занятии – семинаре необходимо изучить главу I «О функциях вообще из работы Эйлера «Введение в анализ бесконечных». Данная глава начинается с определения постоянной величины, которая сохраняет свое значение в ходе вычисления, и величины переменной, которая все значения охватывает. Функция – это произвольно составленное аналитическое выражение. Функции разделяются на алгебраические и трансцендентные, а алгебраические – на рациональные и иррациональные. Иррациональные функции содержат знаки корней. Таким образом, Эйлер принимает, что все алгебраические уравнения могут быть сведены к «чистым» уравнениям, что, как известно, не имеет места.
Рациональные функции разделяются на целые и дробные. Вслед за этим определяются многозначные функции, причем неявно предполагается справедливость основной теоремы алгебры, далее – функции – обратные, четные и нечетные, подобные.
По возможности учащихся можно познакомить и со следующими двумя главами из «Введения в анализ », которые содержат преобразования функций, а именно, гл. II – тождественные преобразования, гл. III – введение новых переменных. Следует пояснить учащимся, что сначала Эйлер показывает, что комплексные линейные множители действительной целой рациональной функции появляются обязательно сопряженными парами. Функция нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень, уравнение вида
n
Z2 + +А = 0 имеет не менее двух таких корней. Затем рассматривается разложение рациональной функции на частные дроби, что иллюстрируется несколькими примерами, и при этом принимаются во внимание лишь действительные корни знаменателю.
Глава III содержит рационализацию алгебраических функций. В качестве комментария здесь следует отметить, что этой проблемой Эйлер особенно занимался в арифметической теории диофантовых уравнений.
III
На занятии желательно разобрать один из примеров из работы Эйлера или предложить его учащимся в качестве самостоятельной или домашней работы. Целесообразно провести групповой разбор, с неясными вопросами обращаться к учителю или специально подготовленному ученику.
Данное занятие по усмотрению учителя можно разделить на 2 занятия.


Тема 3. Тригонометрические функции
Занятие № 4
I
На данном занятии рекомендуется рассмотреть вопрос «Из истории тригонометрии», разделенный на несколько частей, каждую из которых готовит отдельный учащийся.
Затем – работа с книгой Эйлера «Введение в анализ бесконечных» (глава VIII «О трансцендентных количествах, получающихся из круга»).
II
На занятии по данной теме следует обратить внимание на происхождение слова «тригонометрия», познакомиться с открытиями Птолемея:
1. Птолемей делил окружность на 36013 EMBED Equation.3 1415, а диаметр на 120 частей. Он считал, что радиус равен 60 частям (60ч). Каждую из частей он делил на 6013 EMBED Equation.3 1415минут, а каждую минуту на 60 секунд, секунду – на 60 терций и т.д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления. Уместно отметить, что, применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60 градусов в виде 60 частей радиуса (60 ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 9013 EMBED Equation.3 1415 приравнивал числу 84ч 51/ 10//. Хорду в 12013 EMBED Equation.3 1415 - сторону вписанного равностороннего треугольника он выражал числом 103ч 55/ 23// и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора:
(хорда 13 EMBED Equation.3 1415)2 + (хорда (180 - 13 EMBED Equation.3 1415))2 = (диаметру)2, что соответствует современной формуле
sin213 EMBED Equation.3 1415 + cos213 EMBED Equation.3 1415 = 1.
Следует отметить и тот факт, что применив известные из геометрии теоремы, ученый нашел зависимость, которая равнозначна следующим современным формулам при условии:
013 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 14
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·2. Таблица Птолемея, содержащая хорды от 0 до 18013 EMBED Equation.3 1415, вычисленные с точностью до 1//13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 радиуса
(1// – это 13 EMBED Equation.3 1415часть радиуса, т.е.13 EMBED Equation.3 1415)

равнозначна таблице синусов от 0 до 9013 EMBED Equation.3 1415 с шагом 0, 2513 EMBED Equation.3 1415 с пятью верными десятичными знаками.
На занятии необходимо познакомиться с развитием учения о тригонометрических величинах индийскими и арабскими учеными, а также с европейским учением о тригонометрических функциях.
В качестве комментария следует сообщить, что обозначение синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербуржскому математику Л. Эйлеру, который придал всей тригонометрии современный вид.
Учащимся предлагается с помощью учителя изучить материал главы VIII работы Л. Эйлера «Введение а анализ бесконечных».
Перед началом работы учителю следует сделать вступление, сообщив историю появления данной работы Эйлера: «Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, её результаты нашли своё отражение, точнее, отчётливое выражение в трудах Л. Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8-й главе 1 го тома своей книги «Введение в анализ бесконечных (1748 г., на русском языке издана в 1961 г.). Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников».
Учителю следует заметить, что Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».
После изучения этой главы учащиеся должны прийти к выводу, который может быть примерно таким:
1. С помощью формул приведения для sin (k 13 EMBED Equation.3 1415 + z) и cos (k 13 EMBED Equation.3 1415 + z) при целых k выясняется вопрос о знаках тригонометрических функций любых дуг.
2. На основе теорем о синусах и косинусах суммы и разности аргументов выводится формула Муавра для натурального показателя степени
(cos z 13 EMBED Equation.3 1415 i sin z )n = cos n z 13 EMBED Equation.3 1415 i sin z.
3. Из этой формулы выводятся следующие:
cos n z = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
sin n z = 13 EMBED Equation.3 1415 (( cos z+ i sin z)n – (cos z – i sin z)n), а далее формулы
cos n z = cosn z - 13 EMBED Equation.3 1415 cosn-2z sin2 z + 13 EMBED Equation.3 1415 cosn-4z * sin4z - ,
sin n z=13 EMBED Equation.3 1415cosn-1 z sin z - 13 EMBED Equation.3 1415cosn-3z * sin3 z + 13 EMBED Equation.3 1415cosn-5 z * sin5 z- .
4. Полагая в полученных таким образом формулах n бесконечно большим, z бесконечно малым, налагая условие, что nz =13 EMBED Equation.3 1415, т.е. конечное, а также что в этих предположениях cos z = 1, sin z = z = 13 EMBED Equation.3 1415, Эйлер получает разложения:
cos 13 EMBED Equation.3 1415 = 1 - 13 EMBED Equation.3 1415+ v4/4! - , sin 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415– 13 EMBED Equation.3 14153/3! + 13 EMBED Equation.3 14155 /5! - .
Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимание тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.





























Тема 4. Предел
Занятие № 5
I
В начале занятия учащимся предлагается вспомнить о последовательностях, назвав виды последовательностей и приведя примеры. Затем учитель лекционно излагает тему «Предел последовательности», знакомя учащихся с определением предела, с правилами предельных переходов и разбирая примеры на закрепление предельных переходов. На этом занятии следует познакомиться с идеей предела в древности (сообщение учителя или специально подготовленного ученика).
II
На первом занятии по данной теме при изложении учителем темы «Предел последовательности» следует обратить внимание на следующие вопросы:
1. Определение предела (предел функции, предел последовательности).
2. Правила предельных переходов (теоремы Коши о пределах). В качестве комментария следует коснуться биографии Коши.
а) Предел суммы (разности) двух последовательностей.
б) Предел произведения (частного) двух последовательностей.
Учителю необходимо разобрать несколько примеров на закрепление предельных переходов.
В сообщении «Идея предела в древности» обратить внимание на следующие моменты:
1. Происхождение понятия «предел».
2. Метод Евдокса (метод исчерпывания) – первый этап в появлении понятия предела.
а) В чем состоит этот метод и почему он был так назван?
б) Значение метода Евдокса.
3. Метод неделимых.
а) Рассказать о величинах, названных позже «актуально бесконечно малыми».
б) Выяснить, почему итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647) стал основоположником метода неделимых как метода «актуально бесконечно малых».
в) Раскрыть принцип Кавальери.
г) Рассказать об отождествлении последователями Кавальери (XVII-XVIII вв.) неделимых с актуально бесконечно малыми.
4. Санкт – Винцента и его «метод исчерпывания».
5. Роль фламандского математика А. Такке (1612-1660) и английского математика Д. Валлиса (1616-1703) в переходе к пределу.
III
В качестве домашнего задания учащимся предложить несколько упражнений на закрепление предельных переходов.
Занятие № 6
I
Данное семинарское занятие предлагается посвятить в основном сообщениям учащихся, их анализу и комментариям к ним. Целесообразно пригласить учащихся 11 класса.
II
На втором занятии по теме «Предел» необходимо рассмотреть следующие вопросы:
1. Понятие предела в XVII-XVIII вв. Здесь уместно рассказать о крупных математических школах, об исследованиях, происходивших в этих школах. Первую математическую школу возглавлял Лейбниц. Лейбниц исходил из учения о бесконечно малых разностях конечных величин.
В качестве комментария здесь следует отметить, что Лейбниц, его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли и его последователи, в том числе Эйлер, жили и творили в основном на континенте.
Вторая математическая школа, возглавляемая Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых, их членом был и Маклорен. Валлис и Барроу – предшественники этой школы. Здесь уместно рассказать о методе флюксий и Ньютонове методе пределов.
2. Что такое бесконечно малая? На этот вопрос можно разобрать несколько ответов: современный, ответ на вопрос в эпоху Лейбница и ответ на вопрос английской математической школы, сделав потом вывод.
3. Оценка метода пределов Ньютона.
4. О значении разработанных математическими школами основ исчисления бесконечно малых.
Вопрос «Понятие предела – фундамент математического анализа XIX в.» следует разделить на несколько частей и каждую часть поручить отдельному учащемуся.
1). Рассказать о развитии теории пределов как надежного действенного средства для строгого построения математического анализа французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789-1857гг.)
2). Больцано и другие ученые первой половины XIX в. о бесконечно малой величине. Коснуться пробела в определении понятия предела (первая половина XIX в.).
3). Введение так называемого аппарата «13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415». Дать современное определение предела на «языке 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415», используя определение К. Вейерштрасса (1880 г.)
Учащимся интересно будет узнать новые сведения о символе бесконечности, это можно сделать по такому плану:
1. Происхождение символа 13 EMBED Equation.3 1415. Роль в этом Валлиса (1665 г.)
2. Символы + 13 EMBED Equation.3 1415 и - 13 EMBED Equation.3 1415.
3. «Дифференциальное исчисление» академика Н.Н. Лузина.
4. Привести пример трактовки бесконечности как числа, но не собственного (профессор А.И. Маркушевич).
Учащимся следует рассказать на данном занятии и о понятии непрерывности, используя такой план:
1. Воззрения древнегреческих философов и математиков.
2. Раскрыть общий принцип непрерывности, который впервые встречается у Кеплера и получивший расплывчатую формулировку у Лейбница.
3. Непрерывности функций по определению у Ньютона.
4. Раскрыть аналитический принцип непрерывности Эйлера, рассказать о его применении.
5. Дать определение непрерывности функции чешского математика Б. Больцано.
6. Дать современное определение непрерывности функции.
В качестве комментария следует отметить, что это определение было дано в 1823 г. Коши. Рассказать о Коши.
III
Выполнение упражнений на закрепление предельных переходов.

























Тема 5. Производная и дифференциал
Занятие № 7
I
Данное занятие рекомендуется провести в форме семинара, где с сообщениями выступают учащиеся. Вступительную часть делает учитель. В конце занятия – решение исторических задач.
II
Вступительное слово «Понятие о производной» делает учитель. Затем с сообщениями выступают учащиеся.
1. Происхождение понятия производной. Здесь необходимо отметить, что понятие производной возникло в связи с необходимостью решения задач, в первую очередь следующих двух:
а) определение скорости прямолинейного неравномерного движения;
б) построение касательной к произвольной плоской кривой. Уместно будет разобрать указанные задачи, отметив роль Ньютона в решении первой задачи, в решении второй – древнегреческих ученых (Евклид, Архимед, Аполлоний) и учёных XVII в. (Торричелли, Вивиани, Роберваль, Барроу, Декарт, Ферма, Лейбниц).
Необходимо отметить и роль учёных в совершенствовании символики и терминологии (Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Коши и др.).
2. История формул дифференцирования. Здесь необходимо проанализировать «Анализ бесконечно малых» Лопиталя, познакомить с выводом дифференциала произведения двух величин x y (по Лопиталю):
d (xy) = y dx + x dy.
Установить связь с Лейбницем. Рассказать о «Дифференциальном исчислении» Эйлера, его формуле
(xy)/ = yx/+ xy/13 EMBED Equation.3 1415
Раскрыть дефекты в логическом обосновании формул дифференцирования.
3. Производная и дифференциал.
Здесь важно заметить, что дифференциал и производная – это не тождественные понятия. Дифференциал – это произведение производной на приращение аргумента.
При рассмотрении данного вопроса следует раскрыть смысл дифференциала у Лопиталя и у Лейбница, понятие производной у Коши, а также геометрическое истолкование дифференциала.
Сделать вывод.
III
Учащимся предлагается решить несколько исторических задач по данной теме.



Тема 6. Наибольшее и наименьшее значения функции
Занятие № 8
I
Данное занятие предлагается посвятить защите рефератов учащихся, их анализу и комментариям к ним.
II
На занятии по данной теме следует провести защиту рефератов учащихся.
1. «Максимумы и минимумы». Здесь следует обратить внимание на происхождение слов «максимум» и «минимум», разобрать пример из «Начал» Евклида (27 предложение VI книги): «Из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника».
а) Пусть ABC - треугольник, в который вписан параллелограмм BLMN, основание которого BN = x.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
б) Обозначив через h высоту параллелограмма, площадь S последнего выразится формулой S = h * x
в) h = BL * sin B.
г) Пусть BC = a. Из подобных треугольников CMN и ABC имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
д) BL = 13 EMBED Equation.3 1415 * (13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415)
е) h = 13 EMBED Equation.3 1415 * sin 13 EMBED Equation.3 1415 * (a – x) (из в) и д))
ж) S = 13 EMBED Equation.3 1415 * sin 13 EMBED Equation.3 1415 * x * (a – x) (из а) и е)).
Необходимо сделать вывод, что сформулированная выше геометрическая задача сводится к определению максимума функции y = x * (a – x), где a – постоянная.
2. «Методы для нахождения наибольших и наименьших значений величин» (реферат разделен на 2 части.)
Здесь следует пояснить идею Кеплера (1615 г.) – приравнивание нулю производной при отыскании максимума. Интересно отметить, что аналогичная мысль была у ал-Беруни (XI в.) и Н. Орема (XIV в.).
В этом реферате необходимо раскрыть вопрос «Максимумы и минимумы у Ферма», коснувшись работы Ферма «Метод исследования максимумов и минимумов», где изложен первый систематический прием для отыскания экстремумов, а также разобрать пример одной геометрической задачи, решенной Ферма: «Рассечь данный отрезок LM в точке N так, чтобы параллелепипед, построенный на квадрате LN с высотой NM, имел наибольший объем».
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1. Пусть неизвестная величина отрезка LN будет A. В качестве комментария следует сказать, что этой буквой пользовался Ферма вместо нашего x.
2. Обозначая через В длину всего отрезка ZM, получаем для наибольшего объема выражение A2(B-A)
3. Буквой E Ферма обозначает приращение независимой переменной A (вместо нашего x+h он пишет A + E) и согласно вышеизложенному пишет равенство (A + E)2 (B – A – E) = A2 (B-A)
Уместно заметить, что это равенство Ферма называет вымышленным или приближенным.
4. После приведения подобных членов Ферма получает «истинное равенство»: 2AB = 3A2, откуда
A = 13 EMBED Equation.3 1415B.
Можно сделать такой вывод: хотя у Ферма явно не фигурируют понятия предела и производной, его метод отыскания экстремумов совпадает по существу с методом Лейбница и Ньютона, в основе которого лежит приравнивание нулю производной.
В этом же реферате можно рассказать (кратко) о «методе флюксий» (1671 г.) Ньютона, касаясь вклада Лейбница в проблему максимумов и минимумов; о применении Лейбницем второй производной для исследования вогнутости и выпуклости кривой, поясняя, что такое «Новый метод» (1684 г.)
«Максимумы и минимумы у Эйлера» - вторая часть реферата «Методы для нахождения наибольших и наименьших значений величин». Здесь целесообразно проанализировать «Дифференциальное исчисление» (1755 г.) Эйлера, рассказать об использовании не только первой и второй производной, но и производных более высоких степеней для исследования функций на максимум и минимум, а также разобрать пример Эйлера: «Найти случаи, в которых выражение x3 – a x2 + b x - c получает максимальное или минимальное значение».
1). Положив y = x3 – a x2 + b x - c, будем иметь
13 EMBED Equation.3 1415 = 3 x2 – 2 a x + b и
13 EMBED Equation.3 1415 = 3x-a , 13 EMBED Equation.3 1415 = 1
2). Положив 13 EMBED Equation.3 1415 = 3x2 – 2 ax + b = 0, будем иметь:
x = 13 EMBED Equation.3 1415 (*)
3). Ясно, что формула (*) не будет иметь ни max, ни min, если только не будет a2 > 3 b.
Если же a2 > 3 b, то в одном из случаев будет max , а в другом - min.
4). Действительно, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, откуда видно, что если не имеет места a2 = 3b, то значение
x = 13 EMBED Equation.3 1415 делает выражение
y = x3 – a x2 + bx – c min, а значение
x = 13 EMBED Equation.3 1415 - max.
5). Найдем теперь, каковы будут эти значения количества y. Так как
3 x2 – 2 ax + b = 0, т.е.
x2 – 2/3 ax2 + 1/3 bx = 0, то будем иметь:
y = - 13 EMBED Equation.3 1415ax2 + 13 EMBED Equation.3 1415bx – c.
6). Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 ax2 - 13 EMBED Equation.3 1415 x + 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, то y = 13 EMBED Equation.3 1415(3b – a2) x + 13 EMBED Equation.3 1415 - c =
= -13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 - c или
y = - 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415- c 13 EMBED Equation.3 1415 (a2 – 3b)13 EMBED Equation.3 1415, где нижний знак нужно взять для минимума, а верхний – для максимума.
7). Остается еще случай a2 = 3b.
Т.к. в этом случае 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, а следующий член 13 EMBED Equation.3 1415 = 113 EMBED Equation.3 1415 0 , то, следовательно, в этом случае предложенная формула не будет принимать ни максимального, ни минимального значения.
Весьма желательно сделать вывод по всему занятию.
III
В качестве домашнего задания предложить учащимся разобранные на занятии задачи решить другими методами.

Геометрия
Тема 1. Пятый постулат Евклида
Занятие № 1
I
На данном семинарском занятии целесообразно использовать следующие методы работы: сообщение учителя «Из истории стереометрии»;
Сообщения учащихся «Основные понятия в геометрии Евклида и в современной геометрии», «Аксиомы», «Н.И. Лобачевский – великий русский ученый – геометр», «Ученые – математики: К. Гаусс и Я. Бояй».
II
На занятии во вступительной части учителю целесообразно остановиться на следующих моментах:
1. Происхождение слова «Стереометрия».
2. Причины возникновения стереометрии.
3. Материал по стереометрии Евклида (III в. до н. э.)
4. Архимед и стереометрия.
5. Решение новых задач стереометрии учеными Кеплером и Кавальери. Затем ученики делают сообщения.
1. «Основные понятия геометрии Евклида и современной геометрии». В этом сообщении необходимо рассказать о недостатках в логическом построении «Начал» Евклида, познакомить с определениями, изложенными в «Началах» Евклида, не удовлетворяющими требованиям современной науки, следует привести некоторые из 23 определений, которыми начинается 1 книга «Начал»:
I. Точка есть то, что не имеет частей (такое атомистическое определение точки, по – видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).
II. Линия есть длина без ширины.
III. Границы линии суть точки.
IV. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
V. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
VI. Границы поверхностей суть линии.
VII. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.
VIII. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.
Разбирая данные определения, необходимо уяснить, почему эти определения нельзя считать корректными.
2. «Аксиомы».
В этом сообщении необходимо рассказать о происхождении слова «аксиома», о постулатах (требованиях), об аксиомах в «Началах» Евклида, обращая внимание на неотождествленность у Евклида постулатов и аксиом. Постулаты Евклида желательно перечислить:
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II. И чтобы, каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Перечислив постулаты Евклида, следует назвать его аксиомы:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Особое внимание в этом сообщении следует уделить пятому постулату Евклида, обязательно обратив внимание на то, что этот постулат может по-разному формулироваться: «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых при продолжении в ту же сторону пересекаются; необходимо познакомить с предложениями, которым равносилен V постулат Евклида:
1. В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
2. Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
В заключение этого сообщения следует отметить роль в великом открытии, связанном с V постулатом, русского ученого Н.И. Лобачевского (1792-1856), венгерского ученого Я. Бояй (1802-1860) и немецкого математика К. Гаусса, которые к великому открытию подошли почти одновременно и независимо друг от друга.
3. «Н.И.Лобачевский – великий русский ученый-геометр».
В этом сообщении необходимо остановиться на биографии Н.И. Лобачевского, обратив внимание на мужество Лобачевского, который, окруженный непроницаемой стеной равнодушия, смог выдержать все эти испытания и не пал духом; рассказать о признании Лобачевским недоказуемости пятого постулата Евклида и замене его новым предположением, которое ведет не к противоречию, а к своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида («Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две»).
В школе, например, в один из дней недели математики, желательно провести математический вечер, посвященный Н.И. Лобачевскому, подготовку которого в основном возложить на учащихся – старшеклассников.
4. «Ученые математики: К. Гаусс и Я. Бояй».
Это сообщение можно разделить на 2 части:
1. Карл Гаусс – ученый, двинувший своими трудами далеко вперед развитие математики.
2. Янош Бояй – один из классиков мировой науки.
Каждую часть поручить отдельному учащемуся.
В конце занятия необходимо сделать вывод о том, что ученые Н.И. Лобачевский, К. Гаусс, Я. Бояй пришли к своим выводам независимо друг от друга.






























Тема 2. Параллельность в пространстве
Занятие № 2
I
Данное занятие рекомендуется провести в форме семинара, где учащиеся защищают рефераты. Вступительную часть «О V постулате Евклида» готовит учитель.
II
На занятии по данной теме учителю во вступительной части следует вспомнить основные моменты занятия № 1 о пятом постулате Евклида.
Затем – защита рефератов учащихся.
1. «Учение о параллельных математиками средневекового Востока».
Вначале необходимо выяснить, каковы заслуги ученых стран Ближнего и Среднего Востока в развитии геометрической науки, указав на следующие:
а) перевели на арабский язык важнейшие труды геометров древности (Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея и др.);
б) их работы в области геометрических построений послужили началом интереснейших геометрических исследований;
в) разработкой геометрической теории кубических уравнений и исследованиями в области конических сечений они в известной мере предвосхитили идеи аналитической геометрии;
г) их вклад в учение о параллельных и попытки доказательства V постулата, несомненно, подготовили почву для последующих в этой области исследований европейских.
В этом реферате необходимо дать краткий общий краткий обзор некоторых работ, посвященных проблеме V постулата:
- Видный астроном и математик Аббас ал-Джаухари, работавший в Багдаде одновременно и совместно с ал-Хорезми и часть его труда «Усовершенствование книги «Начал», посвященная изложению доказательства V постулата.
- «О предложении Плейфера» (аксиоме параллельных прямых, изучаемой в школе) по имени английского ученого, сформулировавшего его XVIII в.
Здесь необходимо обратить внимание на то, что эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида (подразумевается относительно системы I, II, III и V групп, аксиом «абсолютной геометрии», желательно доказать «предложение Плейфера».
1). Пусть дан V постулат. Докажем, что имеет место «предложение Плейфера».
2). Действительно, пусть 13 EMBED Equation.3 1415а +13 EMBED Equation.3 1415b 13 EMBED Equation.3 14152d, где 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415 DCA (см. рис.)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415B
3). Если провести прямую CD/, образующую с продолжением AC 13 EMBED Equation.3 1415a/=13 EMBED Equation.3 1415a, то на основании теоремы о признаках параллельности двух прямых, называемой прямой теоремой параллельных CD/ ||АВ
4). При этом 13 EMBED Equation.3 1415a/ + 13 EMBED Equation.3 1415 D/CA = 2d (как сумма дополнительных углов вокруг точки С).
5). Всякая другая прямая, проходящая через С и отличная от CD/ образует с АС с той или другой ее стороны 13 EMBED Equation.3 1415b, так что сумма 13 EMBED Equation.3 1415а +13 EMBED Equation.3 1415b будет меньше двух прямых и поэтому прямые АВ и СD пересекаются (согласно V постулату).
3. Астроном и математик X в. Ф. ал-Найризи, работавший в Багдаде и его комментарий к «Началам» Евклида (около 900 г.), в котором имелось доказательство V постулата, взятое у византийского математика VI в. Аганиса и основанное (как у других ученых) на допущении существования в плоскости «равноотстоящих прямых».
4. «Книга о доказательстве известного постулата Евклида» выдающегося багдадского математика Сабита ибн Корры.
5. Ибн ал-Хайсам и его сочинение по анализу «Начал».
6. «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» Хайяма.
7. Вклад в развитие учения о параллельных уроженца Хорасана (Иран), крупнейшего математика XIII в. Насирэддин ат-Туси (1201-1274).
8. Работа «Основные предложения» самаркандского математика и астронома Шамс ад-Дина ас-Самарканди (вторая половина XIII в.), в которой речь идет о первых 35 предложениях I книги «Начал» Евклида.
В качестве комментария следует заметить, что изложенное здесь доказательство V постулата принадлежит ал-Абхари.
На основании выше сказанного следует сделать вывод, что на протяжении пяти веков математику средневекового Востока не только проявляли большой интерес к теории параллельных линий, изучая соответствующую литературу древнегреческих ученых, но и сами внесли свой вклад в ее развитие. Их работы в этой области послужили исходным пунктом или основой дальнейших исследований европейских ученых.
2. «Об открытии неевклидовой геометрии».
В начале реферата следует коснуться первой известной попытки доказательства V постулата в средневековой Европе (французский философ, математик и астроном Леви бен Гершону (1288-1344), известный также под именами Лев Герсонид, Ралбаг, мэтр Леон де Баньоль); первой попытки доказательства V постулата в Западной Европе (Кристофор Клавиус (1537-1612). Рекомендуется разобрать доказательство Евклидова постулата профессором Оксфордского университета Джоном Валлисом (на основе его положения (аксиомы): для каждой фигуры всегда существует другая ей подобная фигура произвольной величины)
а) Пусть прямые a и b образуют с секущей MN внутренние односторонние углы 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, в сумме меньшие 2d (см. рис.).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
б) Непрерывно передвигая прямую по направлению к точке M так, чтобы величина угла 13 EMBED Equation.3 1415 сохранялась, дойдем до такого ее положения AZ, при котором она пересекает AM в точке A.
в) Получим треугольник AMZ.
г) Согласно аксиоме Валлиса можно построить на отрезке MN треугольник, подобный треугольнику AMZ.
д) Вершина построенного треугольника и будет точкой пересечения прямых a и b.
Делая вывод, следует отметить, что значение «доказательства» Валлиса состоит в том, что благодаря ему была четко выявлена эквивалентность аксиомы о существовании подобных фигур с V постулатом.
В этом реферате желательно рассказать об итальянском математике Джироламо Саккери (1667-1733), предвосхитившим неевклидову геометрию, который рассматривая четырехугольник, носящий его имя, стремится доказать, что гипотезы тупого и острого угла приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов V постулат; познакомить с рассуждениями члена Берлинской академии наук – астронома, математика и философа Иоганна Генриха Ламберта, который в отличие от Саккери нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат.
В этом реферате значительное место следует уделить А.М. Лежандру (1752-1833) – знаменитому французскому математику, значительно способствовавшему своими многочисленными попытками доказать евклидову аксиому параллельности, привлечению внимания математиков первой половины XIV в. к проблеме V постулата, а также пояснить, что Ф. Швейкарт - любитель математики, юрист и профессор Харьковского университета и его племянник Тауринуса – предшественники Лобачевского.
Учащимся следует предложить рассказать о решении проблемы V постулата гениальным русским математиком, профессором Казанского университета Николаем Ивановичем Лобачевским, открывшим в 1826 г. первую неевклидову геометрию, а также о роли в решении проблемы V постулата венгерског математика Яноша Бояй и немецкого математика Карла Гаусса.
Здесь в качестве комментария следует заметить, что фамилия венгерского математика в разных учебниках пишется по-разному: Бояй или Больяй.
3. «О значении попыток доказательства V постулата Евклида».
Прежде всего, необходимо уяснить значение попыток доказательства V постулата в том отношении, что выяснено, какие теоремы геометрии опираются на этот постулат и какие от него не зависят. Уместно подчеркнуть, что совокупность теорем геометрии, не зависящая от евклидовой аксиомы параллельности Янош Бояй назвал абсолютной геометрией.
Необходимо привести примеры абсолютной геометрии и собственно евклидовой геометрии из школьного курса геометрии.
Важнейшие теоремы абсолютной геометрии:
теорема о смежных и вертикальных углах;
о равенстве треугольников;
о внешнем угле треугольника;
о прямой и ломаной;
о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных;
прямая теорема параллельных;
все теоремы о форме и положении окружности (за исключением теоремы о том, что через всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и следствий этой теоремы);
теоремы о зависимости между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра;
о взаимном расположении прямой и окружности;
теорема о том, что во всякий треугольник (и в любой правильный многоугольник) можно вписать окружность;
теорема о том, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность;
разделы об определении положения плоскости (в том числе основные свойства плоскости);
о перпендикуляре и наклонных к плоскости;
о двугранных и многогранных углах;
об угле прямой с плоскостью;
построение треугольника по трем его сторонам или по двум сторонам и углу между ними;
проведение перпендикуляра из точки на прямой к этой прямой и из точки вне прямой к данной прямой;
не опираясь на V постулат, можно решить задачу о проведении касательной к данной окружности из внешней точки.
Важнейшие теоремы собственно евклидовой геометрии.
Обратная теорема о параллельных линиях (т.е. теорема о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны и т.д.
Теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной к одной и той же прямой.
Теорема о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника) и др.
На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел, включающий параллелограммы и трапеции.
Теоремы, которые основываются на предложении о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных углов, а это предложение в свою очередь вытекает из теоремы о сумме углов треугольника – теоремы, непосредственно связанной с евклидовой аксиомой параллельных.
На аксиоме параллельных построен раздел «Подобие фигур», так как с самого начала лемма, доказывающая существование подобных треугольников, опирается на евклидову теорию параллельных, на аксиому параллельности («Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному»).
Все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге, в том числе и теорема Пифагора.
Теорема о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой.
С аксиомой параллельности связаны и теоремы о площадях фигур, так как единицей измерения площадей избирается квадрат – понятие евклидовой геометрии.
Предложения, заключающие понятие параллельности.
Все утверждения, содержащие понятие площади поверхности и объема.
В целях упрощения задача о проведении касательной к данной окружности из внешней точки в учебниках решается при помощи аксиомы параллельных Евклида.
На постулат Евклида опираются почти все задачи, содержащие в условии понятие площади или параллельности.
Учащимся предложить привести примеры абсолютной и собственно евклидовой геометрии по школьному курсу, предварительно разбив их на 2 группы.








Тема 3. Перпендикулярность в пространстве
Занятие № 3
I
Данное занятие предлагается посвятить в основном сообщениям учащихся и решению задач на применение теоремы о трех перпендикулярах.
II
На занятии по данной теме целесообразно рассмотреть следующие вопросы:
1. Перпендикулярность прямой к плоскости.
Рассматривая перпендикулярность прямой к плоскости у Евклида, следует отметить, XI книга «Начал» Евклида – это изложение общих основ стереометрии, вопросы взаимного расположения, включая параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, как и учение о примах и параллелепипедах; познакомиться с теоремой, доказанной Евклидом в 4 предложении XI книги:
«Если прямая образует с двумя непересекающимися прямыми в точке их пересечения прямые углы, то она перпендикулярна ко всякой прямой, которая проходит в плоскости, содержащей эти две прямые, через точку их пересечения».
Можно познакомиться с доказательством, принадлежащим абсолютной геометрии вышеприведенной теоремы Евклида О. Коши (XIX в.) в современных учебниках.
Переформулировка теоремы на современный лад: «Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости (т.е. прямая перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения».
Весьма желательно разобрать на занятии доказательство А. Лежандра теоремы Евклида.







1) Проведем из середины K отрезка CB прямую KE || BD и соединим точку E пересечения BE с KE с точкой C.
2) Имеем: CE = ED.
3) Учитываем соотношение между медианой и сторонами, используя теорему Стюарта:
Пусть D – любая точка, лежащая на основании BC треугольника ABC. BD = m, CD = n, AD = d, тогда имеет место соотношение:
d2 a = b2 m + c2n – a m n , где a, b, c – длины сторон треугольника,
получаем следующее равенство (для 13 EMBED Equation.3 1415ACD)
AC2 + AD2 = 2 AE2 + 2 ED2
4) BC2 + BD2 = 2 BE2 + 2 ED2 (для 13 EMBED Equation.3 1415 BCD)
5) Почленное вычитание дает:
AC2 - BC2 + AD2 - BD2 = 2 AE2 - 2 BE2
6) для треугольников ABC и ABD по теореме Пифагора имеем:
AC2 - BC2 = AB2,
AD2 - BD2 = AB2.
7) Из 5) и 6) получаем:
2 AB2 = 2 AE2 - 2 BE2 13 EMBED Equation.3 1415 AE2 = AB2 + BE2
8) Последнее равенство согласно обратной теореме Пифагора означает, что угол ABE – прямой, т.е. AB 13 EMBED Equation.3 1415BE.
Следует сделать вывод, что доказательство Лежандра, опирающееся на теорему Пифагора, тем самым основывается и на аксиоме параллельности Евклида.
В качестве комментария к теореме Стюарта, применяемой в доказательстве теоремы Евклида Лежандром, следует коснуться того, что данная теорема была сообщена шотландскому математику М. Стюарту (1717-1785) его учителем Р. Симсоном, однако ученик сумел опубликовать ее в 1746 году, на три года раньше своего учителя.
2. Теорема о трех перпендикулярах.

Здесь обратить внимание на то, что данная теорема встречается в трудах математиков Ближнего и Среднего Востока; в Европе эта теорема была впервые сформулирована Луи Бертраном (1731-1812) и доказана в «Элементах геометрии» Лежандра (1794). Рассмотреть формулировку теоремы, данную Лежандром:
«Пусть прямая AP перпендикулярна к плоскости Q, а точка P – ее основание и пусть BC – произвольная прямая этой плоскости.
Проведем из P прямую PD 13 EMBED Equation.3 1415 BC и соединим точки A и D; тогда прямая AD тоже будет перпендикулярна к BC».
Доказательство Лежандра следует разобрать по учебнику Киселева.
III
В конце занятия учащимся можно предложить несколько задач на применение теоремы о трех перпендикулярах.
В качестве домашнего задания учащимся предложить доказать теорему Стюарта.
Тема 4. Преобразование пространства. Векторы
Занятие № 4
I
Это занятие предлагается посвятить в основном сообщениям ребят, их анализу и комментариям к ним.
II
На занятии по данной теме следует рассмотреть следующие вопросы:
1. Геометрическое исчисление. Необходимо выделить следующие положения:
а) Теоретическая и практическая геометрия – один из важнейших источников формирования основных понятий учения о векторах.
б) Геометрическая алгебра – тормоз в развитии алгебры XVI-XVII и. из-за ограниченности своих средств.
Выделенные положения следует раскрыть.
В сообщении по этой теме рассказать о представлении величин отрезками и зачатках геометрического исчисления в Древней Греции.
2. Исчисление отрезков в XVII – XVIII вв.
В этом сообщении следует рассказать об исчислении отрезков Декарта;
о Лейбнице и его идеях создания геометрического исчисления, близкого по смыслу к современному векторному исчислению (1679 г.);
о «геометрическом исчислении», вновь возникшем в начале XIX в.;
об использовании направленных отрезков для наглядного представления сил в физике учеными конца XVI-начала XVII в. (Леонардо да Винчи, Галилео Галилей и др.)
3. Пути развития векторного исчисления.
Здесь следует рассказать о трех путях развития векторного исчисления: геометрическом (исчисление отрезков), физическом (исследовании векторных величин, встречаемых в естествознании) и алгебраическом (расширение понятия операции при создании современной алгебры);
о мемуаре уроженца Норвегии Каспара Веселя – о началах исчисления направленных отрезков;
о предвосхищении некоторых основных идей проективной геометрии и топологии работой Л. Карно «Геометрия положения для тех, кто готовится к измерению земель» (1803 г.), занявшей видное место в истории векторного исчисления;
о продолжении труда Карно и систематизации его идеи немецким математиком А. Мебиусом («Барицентрическое исчисление», 1827 г.);
о швейцарском математике Ж. Аргане (1768-1822) и его «Опыте о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях» (1806 г.);
о других работах (М. Бюэ, Дж. Уоррена и др.), в которых делаются попытки обобщения алгебраических понятий таким образом, что бы «числами» и «величинами» охватить отрицательные и комплексные числа и направленные отрезки;
об исследованиях У. Гамильтона и Г. Грассмана по гиперкомплексным числам и о дальнейшем развитии векторного исчисления;
о развитии учения о векторах в трудах французского ученого-механика Сен-Венана (1797-1886), русского ученого И.И. Сомова, английского физика Джемса Кларка Максвелла (1831-1879);
о современном виде векторного исчисления (конец XIX в.), раскрыть при этом роль американского физика Дж. Гиббса (1839-1903) и английского физика О. Хевисайда (1850-1925).
4. Геометрические преобразования.
В этом сообщении весьма желательно рассказать о развитии в XIX в. аналитической проективной геометрии: о введении немецким математиком А.Ф. Мебиусом системы координат в проективную геометрию, о введении немецким математиком Ю. Плюккером общих однородных координат, об установлении Мебиусом общего понятия проективного преобразования благодаря рассмотрению коллинеаций;
о развитии аффинной геометрии: о частных случаях аффинных преобразований, изучаемых в школе: осевая и центральная симметрия, гомотетия, параллельный перенос и др.; о применении аффинных преобразований в средние века И. Синаном (X в.) – внуком Сабита Ибн Корры;
о применении математиками XVI-XVII вв. С. Стевиным, Г. Санкт-Винцентом и французским математиком П. Николой в своих работах преобразования, переводящего окружность в эллипс и называемого сжатием.
В качестве комментария следует сообщить, что сжатие применялось еще Архимедом.
В этом сообщении уместно будет рассмотреть и такие вопросы:
1) Изучение аффинных преобразований Мебиусом и Грассманом.
2) Использование Ньютоном во «Всеобщей арифметике» (1707 г.) преобразования подобия.
3) Преобразование подобия и родства в 18-й главе 2-го тома «Введения в анализ бесконечных» Эйлера.
При изучении работы Эйлера следует обратить внимание на следующие моменты:
а) Эйлер в своей работе вводит термин «аффинный».
б) Этим термином Эйлер, который вводит аффинное преобразование как обобщение подобного преобразования, желая подчеркнуть, что степень родства между аффинными фигурами меньше, чем та, которая имеется в случае подобных фигур.
в) Частным случаем подобия Эйлер считает подобие и равенство, т.е. конгруэнтность.
г) Работа Эйлера «О центре подобия» (1795 г.), где он вводит понятие центра подобия двух подобных фигур и доказывает ряд основных теорем о подобии, а также рассматривает случай гомотетичного расположения фигур и подобные тела в пространстве.
5) Аффинные кривые французского математика.
6) Предвосхищение Ньютоном и Клеро идеи о том, что множество аффинных преобразований – это частный случай множества проективных преобразований.
В конце сообщения необходимо сделать вывод: «У Эйлера подобие выступает как частный случай аффинного преобразования, а конгруэнтность – как частный случай подобия. Т.о., в XVIII в. трудами Ньютона, Клеро и особенно работами Эйлера был в большой мере подготовлен расцвет учения о геометрических преобразованиях, наступивший в XIX столетии.
5. Конформные преобразования.
В этом сообщении необходимо рассмотреть следующие вопросы:
а) Как и подобие, инверсия относительно окружности – один из видов конформного преобразования, сохраняющего углы между линиями.
б) О положении Эйлером Начала теории общих конформных отображений рассмотрением конформных преобразований на плоскости.
в) Рассмотрение конформных преобразований пространства Ж. Лиувиллем (середина XIX в.), доказавшем теорему, носящую его имя: «Конформные преобразования пространства переводят сферы в сферы или плоскости».
г) Учение о круговых преобразованиях на плоскости (инверсия относительно окружности является круговым преобразованием, переводящим окружность в окружность или прямые) Мебиусом в его «Теории кругового сродства в чисто геометрическом изложении».
Необходимо сделать вывод, что именно от работ Лиувилля и Мебиуса берет свое начало так называемая конформная геометрия, изучающая свойства фигур, инвариантные при любых конформных преобразованиях.
6. Классификация и общая систематизация геометрических преобразований.
а) Немецкий математик Феликс Клейн и его работа «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований».
б) Понятие групп – основа классификации геометрических преобразований Клейна.
в) Первый систематический труд по теории групп (и теории Галуа), написанный французским математиком Камилом Жорданом (1838 – 1922)
г) Аффинная и метрическая геометрия как частные случаи проективной геометрии.
7. Основные черты исторического развития проективной геометрии.
В этом сообщении в качестве комментария необходимо коснуться биографий Дезарга и Паскаля, благодаря трудам которых в XVII в. развивается проективная геометрия, а затем в XIX в. становится автономной ветвью геометрии, независимой от метрической геометрии, чему способствовали исследования Понселе, Штейнера и Штаудта.
Необходимо раскрыть смысл слов А.Кэли «Проективная геометрия – это вся геометрия!» и о вкладе А.Н.Колмогорова в разработку аксиоматики проективной геометрии.
Данное занятие по усмотрению учителя можно разделить на две части.













































Литература
1. Глейзер Г.И. История математики в школе./ Пособие для учите-
лей (в 3-х книгах: IV – VI, VII – VIII, IX – X классы). - М.: Про-
свещение, 1981 – 1983.
2. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике.–
Минск, 1978.
3. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики
в средней школе. – Учпедгиз, 1958.
4. Рыбников К.А. История математики.– Изд. Московского уни -
верситета, 1994.
5. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных/ Перевод с лат. Т.1,2.-
М.: Государств. изд-во физико-математической литературы,1961.
6. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики.- Минск, 1974.
7. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической нау-
ки. – М.: Просвещение, 1987.
8. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в
средней школе. – Минск: Народная асвета, 1969.
9. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. – Моск-
ва: Наука, 1979.
10. Депман И.Л. История арифметики. – М.: Просвещение, 1965.
11. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. – М.:
Наука, 1967.










Чупахин Александр Валентинович – учитель математики МБОУ «Курасовская средняя общеобразовательная школа Ивнянского района Белгородской области

13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115


Чупахин Александр Валентинович – учитель математики МБОУ «Курасовская средняя общеобразовательная школа Ивнянского района Белгородской области

13 PAGE \* MERGEFORMAT 142915














































































A



C

B

MM

N a-x

h

L

h

x

L

N

M

A

a

C

D|

D

a|

M

Z

N

A

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

b

c

a













Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native