Методический материал для подготовки к экзаменам ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ-Электростатика1

примеры решения задач по Электростатике
Четыре одинаковых положительных точечных заряда 310-9 Кл находятся в вершинах квадрата. Найдите величину заряда, помещенного в центр квадрата, при котором система находится в равновесии. Ответ представьте в нанокулонах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
q = 310-9 Кл Так как по условию задачи система находится в равновесии, то должно выполняться условие равновесия.
 = 0.
q0 = ? Так как заряды в вершинах квадрата одинаковы, расстояние между ними одинаковы, то и силы, действующие на эти заряды, будут одинаковы. Поэтому на рисунке для простоты расставим силы только на один заряд. Чтобы вся система находилась в равновесии, в центр квадрата необходимо поместить отрицательный заряд.
Сила, действующая на заряд, называется кулоновской силой и определяется она по закону Кулона.
Fк = k,
где k – const, - диэлектрическая проницаемость среды. Так как среда в задаче не указана, считаем, что  = 1, r – расстояние между зарядами.
k = ,
 = 3,14, 0 - электрическая постоянная.
0 = 8,7510-12.
Тогда, подставив численные значения, получим значение k. 
k =  = 9109(м/Ф).
Пусть сторона квадрата будет а.
Из рисунка видно, что
F1 = F2 = k. F3 = k = 0,5 k . F4 = 2k.
Сначала просуммируем силы F1 и F2.
.
В скалярном виде результирующая сила находится по теореме Пифагора.
F = = F1 = 1,4 .
Теперь удобно сложить силы F3 и F. Они направлены по одной прямой в одну сторону. следовательно, их результирующая F будет равна их скалярной сумме.
F = F + F3 = 1,4  +  0,5 = 1,9 .
Осталось сложить две силы F4 и F. Эти силы в сумме должны давать ноль (условие равновесия). Согласно рисунку они направлены по одной прямой в противоположные стороны. Значит, модули этих сил должны быть равны.
2 = 1,9 .
2 = 1,9 q.
Тогда величина заряда, помещенного в центр квадрата
 = 0,95 q.
 = 0,95 q.
q0 = - 0,95 q = - 0,95 310-9  = - 2,8510-9(Кл)  - 2,9 (нКл).
Ответ: q0 = - 2,9 нКлТочечный заряд q создает на расстоянии R от него электрическое поле с потенциалом 1 = 10 В. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R имеют равномерно распределенные по их поверхностям заряды q1 = + 2q, q2 = – q, q3 = + q соответственно (см. рисунок). Каков потенциал поля в точке А, отстоящей от центра сфер на расстоянии 2,5 R? Ответ представьте в единицах СИ и округлите до десятых.
Дано: Решение:
q0 = q
R1 = R
0 = 10 В
q1 = 2q
q2 = - q
q3 = + q
RA = 2,5R Потенциал рассчитывается по формуле:
0 =  = ,(1)
где (см. предыдущую задачу)
k = 9109(м/Ф).
Из формулы (1) выражаем величину заряда q:
A = ? q =  .(2)
Выразим все заряды через заданный потенциал 0.
q0 = q = ; q1 = 2q = 2; q2 = - q = - ; q3 = + q = .(3)
Потенциал в точке А равен сумме потенциалов, создаваемых всеми зарядами.
А = 1 + 2 + 3.(4)
Распишем потенциал для каждой точки с учетом 0.
1 =  =  = = 0,80 = 8 (В).
2 =  =  = - 0,40 = - 4 (В).
3 =  =  = 0 =  (В).
Подставим полученные значения в уравнение (4) и определим потенциал поля в точке А:
А = 8 - 4 + = 7,3 (В).
Ответ: А = 7,3 В
Одинаковые шарики, подвешенные на нитях равной длины, закрепленных в одной точке, зарядили одинаковыми одноименными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен 60. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до 50. Найдите диэлектрическую проницаемость среды. Выталкивающей силой пренебречь. Ответ округлите до десятых.
Дано: Решение:
1 = 1
l1 = l2 = l
q1 = q2 = q
1 = 60
1 = 50
2 = ? 1. Оттолкнувшись, шарики разошлись на расстояние r1 и остались в этом положении (положение равновесия), следовательно, векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю.
 = 0, .
Перепишем это уравнение в проекциях на оси х и у.
Fк1 = T1sin,(1)
mg = T1cos.(2)
Поделив первое уравнение на второе, получим:
, , kq2 = 1mgtg30.(3)
2. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до 50.
Сделав аналогичные преобразования для второго случая, получим выражение, схожее с выражением (3).
kq2 = 2mgtg25.(4)
Решая совместно уравнения (3) и (4), найдем 2.
1mgtg30= 2mgtg25, 1tg30= 2tg25.
Выразим r1 и r2 через длину нити l.
r1 = 2lsin30, r2 = 2lsin25,
14l2sin230tg30= 24l2sin225tg25.
1sin230tg30= 2sin225tg25.
Из этого выражения найдем диэлектрическую проницаемость среды 2.
2 = 1 = 1 = 1,7.
Ответ: 2 = 1,7
Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо подвести к нему снизу одноименный и равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое? Принять 14o = 9109 Нм2/Кл2, g = 10 м/с2. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
m = 100 мг = 10-4 кгq = 16,7 нКл = 16,710-9 Кл
T1 = 2 T2
k = 14o = 9109 Нм2/Кл2
g = 10 м/с2
rmin = ? 1. В первом случае сила тяжести шарика уравновешивается силой натяжения нити.
T1 = mg.
2. Во втором случае с появлением одноименного заряда первый шарик приподнимается вверх за счет кулоновской силы отталкивания. Сила натяжения нити при этом уменьшается (в 2 раза – по условию задачи). И шарик вновь достигает положения равновесия.
T2 = mg – Fк.
Но по условию T1 = 2 T2.
mg = 2 mg – 2Fк,
mg = 2 mg – 2,
2 = mg.
Выразим отсюда расстояние rmin, на которое надо подвести снизу одноименный и равный заряд.
= 2,
rmin = q = 16,710-9 = 70,910-3(м) = 0,07 (м) = 7 (см).
Ответ: rmin = 7 см
Шар, диаметр которого 1 см и заряд 1 мкКл, погружен в масло плотностью 800 кг/м3. Плотность материала шара 8600 кг/м3. Определите направленную вертикально вверх напряженность электрического поля, в которое надо поместить шар, чтобы он находился в равновесии. Принять g = 10 м/с2. Ответ представьте в киловольтах на метр и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
d = 10-2м
q = 10-6 Кл
м = 800 кг/м3
ш = 8600 кг/м3
g = 10 м/с2 Шар плавает в масле. Значит все силы, действующие на него, скомпенсированы.
 = 0 –
первое условие равновесия.
FA + Fэл = mg,
Е = ? мgV + qE = шVg.
Из полученного выражения найдем напряженность электрического поля.
E = gV,
где V – объем шара.
V = r3 =  =  .
Тогда 
E = =  = 40820 (В/м) = 41 (кВ/м).
Ответ: E = 41 кВ/м
Ртутный шарик, потенциал которого 1,2 кВ, разбивается на 27 одинаковых капелек. Определите потенциал каждой капельки. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
 = 1,2103 В
N = 27 Решение:
Потенциал большой капли равен: . (1)
И потенциал маленькой капли: . (2)
к = ? Для решения задачи нужно найти соотношение между зарядами и радиусами большой и маленькой капли. Совершенно очевидно, что если большая капля делится на равные части, то и заряд делится поровну.
Q = Nq.(3)
Кроме того, на 27 частей делится масса капли.
М = Nm.
Массу распишем через плотность и объем.
V = NVк,
где объем капли:
Vк = .
 = N,
R3 = N  r3,
R =  r.(4)
Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), найдем потенциал маленькой капли.

(В)
Ответ: к = 133 В
Электроны, ускоренные разностью потенциалов 1 кВ, влетают в электрическое поле отклоняющих пластин параллельно им, а затем попадают на экран, расположенный на расстоянии 0,1 м от конца пластин. На какое расстояние сместится электронный луч на экране, если на пластины, имеющие длину 0,05 м и расположенные на расстоянии 0,01 м одна от другой, подать напряжение 100 В? Поле в пространстве между пластинами считать однородным. Влиянием гравитационного поля пренебречь. Ответ представьте в миллиметрах и округлите до сотых.
Дано: Решение:
 = 103 В
l = 0,1 м
s = 0,05 м
d = 0,01 м
U = 100 В
0 = 0
h = ? Смещение электронов на экране э:
h = h1 + h2,
где h1 – расстояние, которое проходит электрон при его движении в электрическом поле пластин, направленное вверх,
h2 – расстояние, которое проходит электрон при его движении вне электрического поля.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов , электрон попадает в электрическое поле, где на него действует сила, которая смещает электрон. Электрон движется в двух направлениях х и у. направление вдоль оси х - равномерное, вдоль у – ускоренное под действием силы F.
h1 = 1уt + .
1у = 0,
h1 = . (1)
Пройдя ускоряющую разность потенциалов , электрон совершает работу
A = q,
где q – заряд электрона.
При этом скорость электрона меняется от 0 до 1, следовательно, меняется его кинетическая энергия. Значит, совершается работа.
A = Екин = ,(2)
где m – масса электрона.
Приравняем правые части уравнений (1) и (2) и выразим скорость 1.
q = ,
.(3)
Так как движение в горизонтальном направлении равномерное, расстояние s, равное длине пластин электрон проходит с постоянной скоростью 1.
s = 1t,
t =  = . (4)
Сила, вызывающая ускорение
F = qE = ma,
а = , Е = , а = . (5)
Подставив (3) и (4) в уравнение (1), получим
h1 =  =  = .(6)
Расстояние h2 можно найти из подобия треугольников 1-2-3 и 1-4-5.
,
, (7)
где
2х = 1 = .
2у = 1у + at =  0 +   =  .
h2 =  = l = l = .
Тогда расстояние, на которое сместится электронный луч на экране
h = h1 + h2 =  +  = ,
h =  = 0,03125 (м) = 31,25 (мм).
Ответ: h = 31,25 мм
В плоском конденсаторе, расположенном горизонтально и находящемся в вакууме, взвешена заряженная капелька ртути на равном расстоянии от пластин конденсатора. Расстояние между пластинами конденсатора 2 см. к конденсатору приложена разность потенциалов 500 В. внезапно разность потенциалов падает до 490 В, и равновесие капельки нарушается. Определите время, в течение которого капелька достигнет нижней пластины конденсатора. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано: Решение:
 = 1
d = 2 см = 0,02 м
U1 = 500 В
U2 = 490 В
t = ? 1. заряженная капелька ртути взвешена на равном расстоянии от пластин конденсатора. Сила тяжести капельки скомпенсирована электрической силой.
Fэл1 = mg,
где Fэл1 = qE1, E1 =  q = mg, m =  .(1)
2. Во втором случае равновесие капельки нарушается. Она падает на нижнюю пластину конденсатора с ускорением а в течение времени t. Расставим силы, действующие на капельку, и запишем уравнение динамики. в скалярном виде с учетом направления сил:
ma = mg - Fэл2 = mg – qE2 = mg – q.
Решая это уравнение, найдем ускорение, с которым падает капля.
 = ma – mg  = m(g – a)  = (g – a).(2)
Уравнение (2) с учетом выражения (1) запишется в виде:
U2 =  (g – a), gU2 =  gU1 – a U1, a U1  =  gU1 – gU2 = g(U1 – U2) ,
a = g.(3)
Закон движения капельки:
 = 0t +  = .
С учетом выражения (3).
d = at2 = gt2. t = .
Отсюда определим время, в течение которого капелька достигнет нижней пластины конденсатора.
t  =  = 0,32 (c).
Ответ: t = 0,32 c
Два одинаковых по размерам плоских конденсатора, один из которых воздушный, а второй заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 5, соединены, как показано на рисунке. Конденсаторы зарядили до напряжения 100 В и отключили от источника напряжения. Какую работу надо совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластинку из конденсатора? Емкость воздушного конденсатора С = 1 мкФ. Ответ представьте в миллиджоулях.
Дано: Решение:
1 = 1
2 = 5
U1 = U2 = 100 В
С1 = 1 мкФ = 10-6 Ф Пока конденсатор подключен к источнику напряжения, на его пластинах накапливается заряд. После отключения накопленный заряд остается постоянным: q = const. Если
А = ? теперь из конденсатора вынуть диэлектрическую пластинку, то изменится его энергия, которую можно рассчитать по формуле:
W = . (1)
Тогда работа, которую нужно совершить в данном случае, найдем из выражения
A = W = W2 – W1 =  -  = .(2)
Для этого определим заряд на конденсаторе.
C =  q = CU.
C1 = 10-6 Ф, q1 = 10-6  102 = 10-4 Кл.
Чтобы найти заряд на втором конденсаторе, запишем его электроемкость через геометрические размеры.
C1 = , C2 =  C2 = 5C1 = 510-6 Ф. Тогда q2 = 510-4 Кл.
После удаления диэлектрической пластинки электроемкость конденсаторов стала одинаковой (оба конденсатора стали воздушными)
C1 = C2 = C1 = 10-6 Ф.
А их суммарная емкость
для первого случая: C0 = C1 + C2 = 610-6 Ф.(3)
для второго случая: C0 = 2C1 = 210-6 Ф.(4)
Заряд на каждом конденсаторе стал равным:
q1 = q2 =  =  = 310-4 (Кл).
суммарный заряд:
q0 = q0 = 610-4 Кл.(5)
В выражение (2) для работы подставим полученные значения C0, C0, q0 (выражения 3, 4, 5) и рассчитаем работу, которую надо совершить, чтобы вытащить диэлектрическую пластинку из конденсатора.
A =  = 0,06 (Дж) = 60 (мДж).
Ответ: А = 60 мДж
Шарик массой 40 мг заряжен положительно. Величина заряда 1 нКл. Шарик движется из бесконечности с начальной скоростью 10 см/с. На какое минимальное расстояние может приблизиться шарик к покоящемуся положительному точечному заряду 1,33 нКл? Принять 14o = 9109 Нм2/Кл2. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
m = 40 мг = 4010-6 кгq1 = 1 нКл = 10-9 Кл
1 = 10-1 м/с
q2 = 1,33 нКл = 1,33 10-9 Кл
На бесконечности полная энергия первого шарика будет равна его максимальной
А = ? кинетической энергии:
Wкин = .
При приближении к одноименному заряду q2 увеличивается кулоновская сила отталкивания, и в некоторый момент времени заряд q1 останавливается. Его скорость становится равной нулю, а, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия. Она переходит в потенциальную энергию взаимодействия зарядов, т.е. закон сохранения механической энергии запишем в виде:
Wкин = Wпот,
.
Из полученного уравнения выразим rmin - минимальное расстояние, на которое может приблизиться шарик с зарядом q1 к покоящемуся положительному точечному заряду q2. 
rmin = .
Подставим численные значения и определим искомую величину.
rmin =  = 0,06 (м) = 6 (см).
Ответ: rmin = 6 см
Две частицы, имеющие массу 1 мг и заряд 10-9 Кл каждая, летят из бесконечности со скоростями υ1 = 1 м/c и υ2 = 2 м/с навстречу друг другу. На какое минимальное расстояние они могут сблизиться? Гравитационное взаимодействие не учитывать. Ответ представьте в миллиметрах.
Дано: Решение:
m = 1 мг = 10-6 кгq = 10-9 Кл
1 = 1 м/c
2 = 2 м/с
Рассматриваем движение частиц в системе отсчета, связанной с Землей.
rmin = ? В момент наибольшего сближения частиц их скорости одинаковы и равны . Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х.
m2 – m1 = m + m
(м/с).
На бесконечности потенциальная энергия равна нулю. Тогда закон сохранения механической энергии запишем в виде:
.
Из полученного выражения определим минимальное расстояние rmin, могут сблизиться шарики.
= 410-3 (м) = 4 (мм).
Ответ: rmin = 4 мм
Отрицательно заряженная пластина, создающая вертикально направленное однородное электрическое поле напряженностью 104 В/м, укреплена на горизонтальной плоскости. На нее с высоты 10 см падает шарик массой 20 г, имеющий положительный заряд 10-5 Кл. Какой импульс шарик передаст пластине при абсолютно упругом ударе? Принять g = 10 м/с2. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано: Решение:
Е = 104 В/м
h = 10 см = 0,1 м
m = 20 г = 0,02 кг
q = 10-5 Кл
g = 10 м/с2
0 = 0 -6667579375





y
h
-Q
+q
00





y
h
-Q
+q
импульс, который шарик передаст пластине при абсолютно упругом ударе:
.
В скалярной форме:
p = ? p = m - (-m) = 2 m. (1)
.
В проекции на ось 0y:  ma = mg + Fэл,
Fэл = qE.
Тогда,  ma = mg + qE. Из этого уравнения выразим ускорение.
.
Скорость найдем из уравнения равноускоренного движения с ускорением g и начальной нулевой скоростью.
.(2)
Полученное выражение для скорости (2) подставим в уравнение (1) и рассчитаем импульс, который шарик передаст пластине при абсолютно упругом ударе.
p = 2 m = 2 =
= 2  0,07. 
Ответ: р = 0,07 кгм/с
Конденсатор зарядили до 100 В и подключили к нему резистор. Сразу после этого за некоторый интервал времени в цепи выделилось в виде тепла энергия 1 Дж, а за следующий такой же интервал – энергия 0,3 Дж. Определите емкость конденсатора. Принять, что за одинаковый интервал времени энергия конденсатора уменьшается в одинаковое число раз. Ответ представьте в микрофарадах и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
U = 100 В
W1 = 1 Дж
W2 = 0,3 Дж -2349599695R
C
I
q
Рис.1
00R
C
I
q
Рис.1
Сила тока по определению:
,(1)
C = ? 27305153035t
t
t



Рис.2
00t
t
t



Рис.2
где q – заряд на конденсаторе, который можно определить из соотношения
q = CU. (2)
По закону Ома:
. (3)
Решая совместно (1), (2) и (3), получим:
или .
Проинтегрировав полученное выражение, имеем
. . (4)
1) Из рисунка 2 видно, что за первый интервал времени t1 = t.
.
Прологарифмировав это выражение, получим:
.
Тогда энергию, которая выделится за этот интервал времени, запишем в виде:
.(5)
2) Энергия W2, которая выделится за следующий интервал времени (рис.2), рассчитывается аналогично:
t2 = t2. . .
..
С учетом того, что согласно выражению (5): , то
. .(6)
Подставим полученное выражение (6) в выражение (5) для энергии W1.
.
Отсюда и определим емкость конденсатора.
(Ф) = 286 (мкФ).
Ответ: C = 286 мкФ
14. Заряженная положительным зарядом пылинка массой 10-8 г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов 6 кВ. На сколько необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка оставалась в равновесии, если ее заряд уменьшился на 103 элементарных зарядов? Расстояние между пластинами 5 см, элементарный заряд равен 1,610-19 Кл. Принять g = 10 м/c2. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано: Решение:
m = 10-8 г = 10-11 кг 
U1 = 6 кВ = 6103 В
q = 103 e
d = 5 см = 510-2 мe = 1,610-19 Кл
g = 10 м/c2 Выполним рисунок. Так как пылинка находится в равновесии, то все силы, действующие на нее, скомпенсированы. Т.е.
Fэл = mg,(1)
где
U = ? Fэл1 = q1E1 = q1. (2)
Тогда выражение (1) с учетом (2) перепишется в виде.
mg = q1.(3)
Отсюда заряд  
q1 = = = 8,310-16 (Кл).
Тогда согласно условию задачи
q2 = q1 – 103е = 8,310-16 - 1031,610-19 = 6,7310-16 (Кл).
 После изменения разности потенциалов, ее заряд уменьшился, но пылинка осталась в равновесии. Следовательно, аналогично выражению (3) для нее также выполняется условие равновесия.
mg = q2.(4)
Найдем отсюда разность потенциалов U2.
U2 =  =  = 7,4103 (В).
Теперь можно определить, на сколько необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка оставалась в равновесии, если ее заряд уменьшился на 103 элементарных зарядов.
U = U2 – U1 = 7,4103 - 6103 = 1426 (В).
Ответ: U = 1426 В
15. В однородном электрическом поле с вектором напряженности (Е = 50 кВм), направленным вертикально вниз, равномерно вращается шарик массой 10 г с положительным зарядом 2,5106 Кл. Шарик подвешен на нити длиной l. Угол отклонения нити от вертикали равен 60. Найдите силу натяжения нити. Принять g = 10 мс2. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано: Решение:
Е = 50 кВм = 5104 кВм m = 10 г = 10-2 кг 
q = 2,5106 Кл
 = 60
g = 10 м/c2 Выполним рисунок. Расставим силы, которые действуют на шарик.
Уравнение динамики:
T = ? (1)
Выберем направление осей координат и перепишем уравнение (1) в проекциях на оси.
ох:ma = Tsin
оy:Fэл + mg = Tcos. (2)
Из уравнения (2) выразим силу натяжения.
.
Подставим численные значения и рассчитаем искомую величину.
= 0,45 (Н).
Ответ: T = 0,45 Н
16. Плоский конденсатор имеет площадь пластин 2000 см2, расстояние между которыми 0,5 мм. В конденсаторе находится пластинка слюды ( = 7) толщиной 0,3 мм, в остальной части – воздух. Определите емкость конденсатора. Электрическая постоянная равна 8,8510-12 Ф/м. Ответ представьте в нанофарадах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
s = 2000 см2= 0,2 м2
l = 0,5 мм = 510-4 м 
= 7
d = 0,3 мм = 310-4 м 
0 = 8,8510-12 Ф/м Емкость такого конденсатора можно рассчитать как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов.
C (нФ) = ? ,
где
.
Тогда получим:
,
где
d2 = l - d1 = 0,5 – 0,3 = 0,2 (мм).
Окончательно:
 = 7,310-9 (Ф) = 7,3 (нФ). 
Ответ: C = 7,3 нФ17. Энергия плоского воздушного конденсатора, отключенного от источника тока, равна 20 мкДж. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами такого конденсатора в 3 раза? Ответ представьте в микроджоулях.
Дано: Решение:
W = 20 мкДж = 210-5 Дж
d2 = 3d1 Так как конденсатор отключен от источника тока, то величина заряда на его пластинах постоянна
A (мкДж) = ? q = const.
Тогда энергию конденсатора удобнее рассчитывать по формуле
W = ,(1)
где С – электроемкость конденсатора.
С =.(2)
Так как расстояние d между пластинами конденсатора увеличили в три раза, то его емкость уменьшится в три раза (см. уравнение 3). А энергия конденсатора увеличится (уравнение 1). Следовательно, чтобы увеличить расстояние между пластинами конденсатора нужно совершить работу, равную
А = W = W2 – W1.
С учетом (1) и (2) найдем работу, которую нужно совершить.
А =  -  =  =  = 
= (d2 – d1) = (3d1 – d1) =  = 2W = 40 (мкДж).
Ответ: A = 40 мкДж18. Два шара, радиусы которых 50 мм и 80 мм, а потенциалы, соответственно, 120 В и 50 В, соединяют проводом. Найдите заряд, перешедший с одного шара на другой после их соединения. Принять 1/40 = 9109 м/Ф. Ответ представьте в нанокулонах и округлите до сотых.
Дано: Решение:
R1 = 50 мм = 510-4 м
R2 = 80 мм = 810-4 м
1 = 120 В
2 = 50 В
1/40 = 9109 м/Ф запишем заряд q , перешедший с одного шара на другой после их соединения.
q = q1 - q1 = q2 – q2,(1)
где
q1 = .(2)
Заряд будет переходить до тех пор, пока
q (нКл) = ? потенциалы шаров не выровняются:
1 = 2.(3)
Уравнение (1) с учетом формулы (2) примет вид:
 -  = - .
1R1 - 1R1 = 2R2 - 2R2 .
Так как 1 = 2 = , то
(R1 + R2) = 1R1 + 2R2.
Потенциал шаров после соединения:
 = .
Заряд, который останется на первом шаре, равен
q1 = .
Тогда перешедший заряд q  равен:
q = - = (1 - ).
Подставим численные значения и определим перешедший заряд.
q = (120 - ) = 0,2410-9 (Кл) = 0,24 (нКл).
Ответ: q = 0,24 нКл
19. Найдите потенциальную электростатическую энергию системы четырех положительных зарядов, равных 1 нКл, расположенных в вакууме на расстоянии a = 1 м друг от друга. Принять 14o = 9109 Нм2/Кл2. Ответ представьте в наноджоулях.
Дано: Решение:
q = 1 нКл = 10-9 Кл
a = 1 м1/40 = 9109 м/Ф
W (нДж) = ? По определению потенциал
 = ,(1)
где Wпот – потенциальная энергия взаимодействия зарядов.
Wпот = q = .(2)
В нашем случае все заряды одинаковы по величине, следовательно, формула потенциальной энергии примет вид:
Wпот = .(3)
Для системы зарядов:
Wпот = W12 + W13 + W14 + W23 + W24 + W34. (4)
С учетом выражения (3) имеем.
Wпот =+ + + + +  = (1 +  + + 1 +  + 1) = .
Подставим численные значения и рассчитаем потенциальную электростатичесую энергию системы четырех положительных зарядов.
Wпот =  = = 3910-9 (Дж) = 39 (нДж). 
Ответ: W = 39 нДж
20. Металлический шар радиусом 1 м, имеющий потенциал 1 В, окружают сферической оболочкой радиуса 2 м. Чему будет равен потенциал первого шара, если заземлить оболочку? Ответ представьте в единицах СИ.
Дано: Решение:
R1 = 1 м
1 = 1 В
R2 = 2 м - заряд металлического шара под влиянием поля, создаваемого шаром. На оболочке появляются индуцированные заряды qинд = –q1 на внутренней и +q1 на внешней поверхности оболочке. Внешняя оболочка заземлена, и заряд стекает по поверхности
 = ? (В)
Ответ:  = 0,5 В
21. Какой заряд (в мкКл) появится на заземленной проводящей сфере радиусом 3 см, если на расстоянии 10 см от ее центра поместить точечный заряд -20 мкКл?
Дано: Решение:
R = 0,03 м
q = -20 мкКлl = 0,1 м если на некотором расстоянии от центра сферы поместить точечный заряд q, то на сфере появится заряд Q, который должен распределиться по сфере таким образом, чтобы потенциал
q = ? всех точек внутри сферы и на ее поверхности стал равен нулю. Ясно, что в этом случае заряд будет распределен неравномерно. Но, если приравнять нулю потенциал центра сферы, то его можно вычислить, используя метод суперпозиции.
0 = 1 + 2 = 0.(1)
Вклад точечного заряда q равен:
1 = .
Тогда вклад зарядов, распределенных по сфере
2 =  = k = k.
Так как потенциал центра сферы равен нулю (1), то
0 = - + .
Отсюда определим заряд на заземленной проводящей сфере.
Q =  =  = 610-6 (Кл) = 6 (мкКл).
Ответ: q = 6 мкКл22. Какая работа А совершается при перенесении точечного заряда q = 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстояния r = 1 см от поверхности шара радиусом R = 1 см с поверхностной плотностью заряда  = 10 мкКл/м2. Ответ представьте в мкДж, округлите до целого числа.
Дано: Решение:
q = 20 нКл
r = 0,01 мR = 0,01 м = 10 мкКл/м2 Заряд движется и останавливается в точке 1. Работа А по перемещению заряда q из т. 1 в т. 2 находится из соотношения:
А = ? А = q(1 - 2),
здесь 1 – потенциал в т. 1, 2 –потенциал в т. 2. Так как заряд q перемещается из бесконечности в т. 1, то потенциал 2 =  = 0, и работа:
A = q 1.
Потенциал, создаваемый заряженной сферой в т. 1, определяется так же, как и для точечного заряда:

здесь Q – заряд на поверхности сферы, r' = R + r – расстояние от центра сферы до точки 1, т.е. как будто бы заряд располагается в центре сферы. Заряд Q на поверхности сферы найдём через поверхностную плотность заряда (это заряд, приходящийся на единицу поверхности):
Q = Sсф; Sсф = 4R2.
Таким образом:

Так как среда, окружающая сферу, не указана, то принимаем  = 1. В результате получим, что работа по перемещению заряда равна:
 =  = 113 (мкДж).
Ответ: А = 113 мкДж23. Протон с начальной скоростью 100 км/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью 300 В/см. Вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь должен пройти протон для удвоения его скорости? Заряд протона 1,610-19 Кл, масса протона 1,671027 кг. Ответ представьте в миллиметрах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
0 = 105 м/с
Е = 3104В/м
 = 21 
q = 1,610-19 Кл
m = 1,671027 кг На заряженную частицу в электрическом поле действует сила
,(1)
действующая в направлении поля. Она придает этой частице ускорение
s = ? .(2)
путь, который пройдет протон для удвоения его скорости можно найти из формулы равноускоренного движения
s = .(3)
Для нахождения ускорения используем формулы (1) и (2).
ma = qE.
Отсюда
а = .
Подставим полученное выражение для ускорения в формулу пройденного пути (3) и рассчитаем искомую величину.
s =  = = 5,210-3 (м) = 5,2 (мм).
Ответ: s = 5,2 мм
24. Два шарика с зарядами q1 и q2 имели вначале одинаковые по модулю и направлению скорости. После того, как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, направление скорости 1-го шарика повернулось на 60, а модуль скорости уменьшился вдвое. Направление скорости 2-го шарика повернулось на 90. Во сколько раз изменилась скорость второго шарика? Определите модуль отношения заряда к массе 2-го шарика, если для 1-го он равен k1. Электрическим взаимодействием шариков пренебречь.
Дано: Решение:
q1,  q2
0  
1  0  
1 = 60
1 = 0/2  
2  0  
2 = 90
После включения электрического поля под действием силы изменились скорости, а значит и импульсы частиц.
t = ,
где
 = q.
0/2 = ?
q2/m2 = ?
k2 = ? Первая частица.
q1Еt = m1.
Поделим на q1:
Еt = 1 = .(1)
изменение скорости 1 найдем, используя теорему косинусов.
 =  = . (2)
Для второй частицы
q2Еt = m2.
Делим на q2:
Еt = 2 = .(3)
Здесь изменение скорости 2 найдем, используя теорему Пифагора:
2 = .(4)
В уравнениях (1) и (3) приравняем правые части:
 = .
Отсюда выразим k2.
k2 = k1. (5)
Из рисунка
2 = 0tg, то есть = tg.(6)
.
По условию задачи 1 = 0/2 и из выражения (2) 1 = , тогда
.
Отсюда
cos =  =  и  = 30, а tg = .(7)
В выражениях (6) и (7) приравняем тангенсы угла :
 = .
Из полученного выражения найдем, во сколько раз изменилась скорость второго шарика 2. 
2 = ,
то есть скорость второго шарика уменьшилась в раз.
Для определения модуля отношения заряда к массе 2-го шарика k2 найдем 2. 
2 = = 0. (8)
1 из уравнения (2) и 2 из уравнения (8) подставим в выражение (5).  
k2 = k1= k1= k1.
Ответ: k2 = 4k1/3,
25. В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере радиуса r = 1 см имеются два небольших диаметрально противоположных отверстия. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью υ0 = 5000 м/с частица массой m с зарядом q (заряды сферы и частицы одноименные). Найдите время, в течение которого заряд будет находиться внутри сферы. Заряды и массы сферы и частицы принять одинаковыми и равными m = 1 мг и q = 1 мкКл. Ответ представьте в микросекундах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
r = 10-2 м υ0 = 5000 м/с
m = 10-6 кгq = 10-6 Кл Кинетическая энергия частицы при подлете к сфере равна
Ек0 =  =  = 12,5 (Дж).
Потенциальная энергия взаимодействия частицы и заряженной сферы:
k2 = ?
2 = ? Еп = q = q =  = = 0,9 (Дж).
Такую энергию тратит частица на прохождение сферы. Тогда при вылете из сферы она будет обладать энергией Е, равной ее кинетической энергии Ек.
Е = Ек = Ек0 - Еп = 12,5 - 0,9 = 11,6 (Дж).
Из полученного выражения найдем скорость частицы при вылете из сферы.
 = = = 4816,6 (м/с).
Зная начальную и конечную скорость частицы, можем найти ускорение, с которым она двигалась.
 = 0 – at.
a = = .
Пройденный путь (равный диаметру сферы, s = 2r) при равнозамедленном движении рассчитывается по формуле:
s = 0t - ,
2r = 0t -  = t(0 - ).
Отсюда найдем время, в течение которого заряд будет находиться внутри сферы.
t =  = 4,310-6 (c) = 4,3 (мкc).
Ответ: t = 4,3мкс