Статья по математике Метод вспомогательной окружности.

Г.Г.Колянова
учитель математики
МБОУ МПЛ
( г .Димитровград)
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ .ЗАДАЧИ ЕГЭ №16.
Геометрия, как учебный предмет, играет огромную роль в развитии познавательной активности и любознательности, логического мышления и пространственного воображения учащихся. Изучение геометрии формирует не только специальные геометрические знания учащихся, но и играет огромную роль в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность утверждений в любой сфере деятельности.
Соприкосновение с геометрией носят познавательный, воспитательный, развивающий и вдохновляющий характер. При изучении геометрии и обучении геометрии происходит духовное развитие личности.
Причем хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление – необходимые атрибуты не только математика, но и инженера, и экономиста, и дизайнера, и юриста, и программиста, а также специалистов многих других профессий.
Для того, чтобы быстро и успешно справляться с решениями геометрических задач, необходимо владение свойствами ряда опорных геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах, умения проанализировать предлагаемую в задачах фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами.
Все действия, о которых говорилось выше, могут осуществляться только в процессе решения задач. При этом важно уделять внимание геометрическим методам решения задач.
Одним из эффективных методов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Дополнительные построения позволяют свести задачу к другим задачам, решения которых хорошо известны или легко могут быть получены. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтоб догадаться, какие дополнительные лини следует провести. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения.
Одним из дополнительных построений, дающих ключ к решению ряда задач, является проведение вспомогательной окружности. Использование в решении планиметрических задач такого дополнительного построения можно рассматривать как специальный метод решения этих задач – метод вспомогательной окружности.
1. Метод вспомогательной окружности.
Суть метода заключается в том, что при решении планиметрических задач, когда требуется установить связь между данными и искомыми величинами, нередко полезно около треугольника или четырехугольника описать окружность, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.
Анализ решения достаточно большого круга задач показывает, что использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче.
Целесообразность применения метода зависит от этих признаков. А они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8, 9 классов.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
4) Угол, с вершиной внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному.
5) Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла.
6) Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.
7) В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей.
Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.
В процессе изучения метода вспомогательной окружности необходимо научиться выделять и использовать те признаки, наличие которых в задаче приводит к построению вспомогательной окружности и с ее помощью устанавливать связи между необходимыми объектами и величинами, определенными условием задачи. Тем более, что задачи на использование метода вспомогательной окружности, частые гости на ЕГЭ и на экзаменах за курс основной школы.
Вот эти признаки.
1) Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 1200 каждая.
2) Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.
3) Если удается установить, что суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него описывается окружность.
4) Если дан квадрат ,прямоугольник или равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность.
5) Пусть около треугольника АВС описана окружность с центром О. Если точки О и С лежат по одну сторону от прямой АВ, то согласно свойству вписанного и центрального углов ; если же эти точки лежат по разные стороны от АВ, то . Обратно, если: 1) точки О и С лежат по одну сторону от АВ, и или 2) точки О и С лежат по разные стороны от АВ, и , то точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Рис. 1
6) При определенных условиях окружность можно описать и около четырехугольника. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800, а углы ABD и ACD, опирающиеся на одну и туже дугу, равны (рис. 1). Верно и обратное предложение.
Точки A, B, C, D лежат на одной окружности, если: 1) ABCD – выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных углов равна 1800 или 2) точки В и С лежат по одну сторону от прямой AD и (то есть отрезок AD виден из точек В и С под равными углами).
2. Опорные задачи на метод вспомогательной окружности
Рис. 2
Задача 1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, СС1. Пусть Н – точка пересечения высот. Постройте треугольник А1В1С1 и перечислите все образовавшиеся четырехугольники, около которых можно описать окружность (рис. 2).
Ответ. ; ; ; ; ; .Рассмотрим задачи решаемые данным методом.
Задача 2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты и . Доказать, что треугольник подобен данному треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным .
Рис. 3
Решение. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре опишем полуокружность, которая пройдет через основания высот и (рис. 3). Так как четырехугольник вписанный, то . Следовательно, и . Так как стороны и являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках, то их отношение равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике . Итак, и .
Задача 3. Через некоторую точку плоскости проведены три прямые так, что угол между любыми двумя из них равен 600.Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.
Рис. 4
Решение. Пусть три данные прямые пересекаются в точке О; М – произвольная точка плоскости; А, В, и С основания перпендикуляров, опущенных из точки М на данные прямые (рис. 4). Точки О, М, А, В и С лежат на одной окружности с диаметром ОМ (обоснуйте это). Теперь видно, что , поскольку оба они опираются на одну и туже дугу . Значит, . Точно так же , то есть треугольник АВС равносторонний.
Задача 4. Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.
Рис. 5
Решение. Пусть высота СН и медиана СМ треугольника АВС образует со сторонами АС и ВС равные углы (рис. 5). Опишем около треугольника АВС окружность. Достаточно доказать, что АВ – ее диаметр. Продолжим медиану СМ до пересечения с окружностью в точке D и рассмотрим треугольники АСН и DCB. Так как по условию и как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то . Следовательно, диаметр окружности.
Центр окружности лежит на диаметре и на серединном перпендикуляре m к стороне АВ. Так как по условию CD не является высотой, то прямые m и имеют только одну общую точку М, которая является центром описанной окружности. Следовательно, АВ – диаметр окружности и .
3.Задачи ЕГЭ.
1. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Решение.а) По теореме о внешнем угле
треугольника ∠BOC = ∠BAO + ∠АBO = 2 · 30° = 60°.
Поэтому
∟ВОС+∟ВЕС=60⁰+120⁰=180⁰
 Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности.
Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются
на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.
б) По теореме косинусов ВС²=ВЕ²+СЕ²-2ВЕ·СЕ·соs120⁰,ВС=56
 Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:
ЕМ=(2ВЕ·СЕ·cos(∟ВЕС/2))/(ВЕ+СЕ)=15
По свойству биссектрисы треугольника  СМ/ВМ=СЕ/ВЕ=24/40=3/5, значит, 
СМ=3/8·ВС=21,ВМ=35
По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что МО=(ВМ·СМ)/ЕМ=49
 Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.
Ответ: 113.
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°
Решение.а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда BQ/BP=BC/BA  или BQ/BC=BP/BA , но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен  BQ/BP=BC/BA =cosB ,откуда АС=PQ/cosB=8/cos60⁰=16  Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен  R=AC/sin60⁰=16/√3
Ответ: 16/√3
3. ЕГЭ 2016