Презентация по математике Статистика и теория вероятности

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей на итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов.Русанова Ольга Михайловна учитель математики МБОУ СОШ №72 г. Воронеж ЕГЭ и ГИААттестация за курс основной и средней школы проходит не по алгебре, а по математике. В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия, стереометрия) и вероятности. В КИМ ГИА включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия), статистике и теории вероятностей.В 2013-2014 учебном году варианты КИМ ЕГЭ и ГИА по математике будут составляться с использованием Федерального банка тестовых заданий, опубликованного на сайтах: www.mathege.ru и www.mathgia.ru Задания по теории вероятностейЗадача по данной теме относится к списку заданий, чтобы преодолеть минимальный порог, т.е. минимальный тестовый балл для получения школьного аттестата. Задания направлены на математические ситуации в повседневной жизни. Такие задачи приходится решать на вокзалах, в банках, в магазинах, при вызове такси и во время ремонта квартиры. Задание является несложным, так как основано на использовании жизненных наблюдений и здравого смысла.Правильное выполнение такого задания оценивается одним баллом. Примерное время выполнения учащимся задания изменяется от 3 до 10 минут, с учетом уровня изучения математики в данном учебном заведении, знаний и умений самого выпускника и его психологической готовности к сдаче экзамена. Учебно-методичиские пособияВероятность и статистика. 5-9 кл.:Пособие для обшеобразоват. учеб.заведений./ Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002-2010.Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2011.Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. обшеобразоват. Учреждений /М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М.: Просвещение, 2011.ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Задания В10. /А.Л. Семенов и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. / А.В. Семенов и др.; под ред. И.В. Ященко; МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2012. –с. 38-41. Учебно-методичиские пособияМатематика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7-В14). Пособие для «чайников». / Е.Г. Коннова и др.; под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008-2010.Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: МИОО, 2011.Теория вероятностей и статистика. Контрольные работы и тренировочные задачи. 7-8 классы. /В.В. Бородкина, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7- 9 классы. /авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006-2010. Список тем по теории вероятностей:Понятие о случайном опыте и случайном событии.Частота случайного события.Вероятности противоположных событий.Независимые события.Умножение вероятностей.Достоверные и невозможные события.Равновозможные события и подсчет их вероятности.Классическое определение вероятности. Выпускник должен знать:Находить частоту события, используя собственный жизненный опыт и готовые статистические данные.Находить вероятности случайных событий в простейших случаях.Решать практико-ориентированные задачи, требующих перебора вариантов.Уметь сравнивать шансы наступления случайных событий и оценивать вероятности их наступления в практических ситуациях. СтатистикаСреднее арифметическое, размах, мода – статистические характеристики. Статистические характеристики:Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.Модой обычно называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто (Мо). Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Статистические характеристики:Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Задача:Проведя учёт числа животноводческих ферм в 15 хозяйствах района, получили следующий ряд данных: 1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 2.Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах, моду и медиану.Среднее арифметическое Мода Размах Упорядочим данные: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5Медиана Ме=2 Элементы комбинаторики:Правило суммы.Правило произведения.Перебор возможных вариантов.Схема- дерево возможных вариантов.Формулы комбинаторики. Правило суммы:Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B- n способами, причём выборы А и B являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо B» может быть осуществлён m+n способами. ЗадачаСколько существует способов выбрать кратное 2 или 3 число из множества чисел: 2,3,4,15,16,20,21,75,28?Решениеm=5 – кратное 2 (2,4,16,20,28),n=4 –кратное 3 (3,15,21,75).По правилу суммы находим : m + n= 5+4=9 способов.Ответ: 9 способов. Правило произведения(правило умножения)Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B – n способами, то выбор «A и B» может быть осуществлён m*n способами. ЗадачаНа почте продаётся 40 разных конвертов и 25 различных марок. Сколько вариантов покупки конвертов с маркой можно осуществить?РешениеКонверт можно выбрать 40 способами, марку – 25 способами. По правилу произведения покупку можно осуществить 40*25= 1000 способами.Ответ: 1000 способов. Перебор возможных вариантов Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?Ответ: 24 числа135137153157173175315317351357371375513517531537571573713715731735751753
Схема– дерево возможных вариантов
ФакториалПроизведение натуральных чисел от 1 до n в математике называют факториалом числа n и обозначают n!n! =1* 2* 3* 4*… *nНапример : 5! = 1* 2* 3* 4* 5=120 ПерестановкиПерестановкой из n элементов называется комбинация, в которой все эти n элементов расположены в определенном порядке.Перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. n = 3P=3!=1*2*3=6 P = n!123456



РазмещенияРазмещением из n элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих n элементов расположены в определенном порядке.Размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию. Задача на размещенияn = 3k = 2A = nkn ! (n-k)! 1234566A = 323 ! (3-2)! =1 =6




СочетанияСочетанием из n элементов по k называется комбинация, в которой из этих n элементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации.Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок. С = nkn ! (n-k)! k!
Задача на сочетанияn = 3k = 21236C = 323 ! (3-2)!2! =2 =3


Различие между перестановками, размещениями, сочетаниямиВ случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга. Теория вероятностиЕсли опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равнаm–число благоприятных исходов, n - число всех возможных исходов.Р(А) = m n
Задачи на теорию вероятностейПо статистике, на каждую 1000 лампочек приходится 3 бракованые. Какова вероятность купить исправную лампочку?Решение или 99,7 %. Алгоритм нахождения вероятности события АОпределить, в чём состоит случайный эксперимент (опыт) и какие у него элементарные события (исход). Найти общее число возможных исходов n.Определить какие события благоприятствуют интересующему нас событию А и найти число m. События можно обозначать любой буквой.Найти вероятность события А по формуле Р(А) = m n
Задачи открытого банка ЕГЭ Задача №1В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. Решение задачи №1Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады.Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех гимнасток. n=50.Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13.  Ответ: 0,26
Задача №2В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение задачи №2Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает.Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех насосов.n=1400.Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386.  Ответ: 0,99
Задача №3Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение задачи №3Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной.Количество всех событий группы: n=? Соответствует количеству всех сумок. n=190+8 .Количество благоприятных событий: m=? Соответствует количеству качественных сумок.m=190.  Ответ:0,96
Задача №4В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение задачи №4Опыт: выпадают три игральные кости.Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков.Количество всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов n=6*6*6=2163-я кость - 6 вариантов Количество благоприятных событий m=?331 223 511 412 142313 232 151 421 214 m=18133 322 115 124 241 Ответ: 0,08
Задача №5 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение задачи №5Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка?Количество всех событий группы n=?1-й раз - 2 варианта2-й раз - 2 варианта n=2*2*2*2=163-й раз - 2 варианта4-й раз - 2 варианта Количество благоприятных событий m=? m=1. Четыре раза выпала решка. Ответ: 0,0625
Задача №6В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых. Решение задачи №6Результат каждого бросания – это пара чисел (a, b), где a и b – числа от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов (п = 36 )123456123456723456783456789456789105678910116789101112Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a + b = 6. Это можно сделать пятью следующими способами: 6 = 1 + 5 6 = 2 + 4 6 = 3 + 3 6= 4 + 2 6 = 5 + 1( т = 5 )Таким образом, вероятность заданного события равна Р = т/п =5/36 = 0,14 Задача №7Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков. Решение задачи №7Первое бросание Второе бросание Сумма очков 3 + 6 = 9 4 + 5 = 9 5 + 4 = 9 6 + 3 = 9Равновозможных исходов – 4Благоприятствующих исходов – 2Вероятность события р = 2/4 = 0,5 Задача №8Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла. Решение задачи №8 Наташа Вика Сумма очков 2 + 6 = 8 3 + 5 = 8 4 + 4 = 8 5 + 3 = 8 6 + 2 = 8 Равновозможных исходов – 5Благоприятствующих исходов – 2Вероятность события р = 2/5 = 0,4 Задача №9Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа? Решение задачи №9У Миши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216 Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3·3 = 27 Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125Ответ:0,125. Задача №10В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых Решение задачи №10Первая Вторая Третья Сумма очков 4 + 6 + 6 = 16 6 + 4 + 6 = 16 6 + 6 + 4 = 16 5 + 5 + 6 = 16 5 + 6 + 5 = 16 6 + 5 + 5 = 16 Равновозможных исходов6 · 6 · 6 = 216 Благоприятствующих исходов – 6Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28 Задачи открытого банка ГИА Задача №1В урне лежат одинаковые шары : 5 белых, 3 красных и 2 зелёных. Саша вынимает один шар. Найдите вероятность того, что он окажется зелёным.РешениеВсего в урне лежит 5+3+2=10 шаров, из них 2 – зелёных. Вероятность того, что вынутый шар окажется зелёным, равна 2:10=0,2.Ответ: 0,2 Задача №2В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?РешениеВсего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2.Ответ: 0,2 Задача №3Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что все монеты упадут орлом вверх? РешениеРассмотрим полную группу событий.♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);♦ обе монеты упали орлом;♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;♦ обе монеты упали решкой.Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.Нас интересуют те исходы опыта, когда обе монеты упали орлом. Такой случай всего один. Стало быть, N = 1.Итак, вероятность выпадения двух орлов: Р = 1/4.Ответ: 0,25 Задача №4Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, что ровно одна монета упадёт орлом вверх? РешениеРассмотрим полную группу событий.♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);♦ обе монеты упали орлом;♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;♦ обе монеты упали решкой.Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.Нас интересуют те исходы опыта, когда одна их монет упала орлом. Вверх. Таких случаев два. Стало быть, N = 2.Итак, вероятность выпадения «орла»: Р = 2/4=1/2Ответ: 0,5 Задача №5Паша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 7.РешениеВсего двузначных чисел – 90.Двузначных чисел, оканчивающихся на 7: 17,27,37,47,57,67,77,87,97 – 9 чисел.Вероятность того, что наугад выбранное двузначное число оканчивается на 7, равна: 9:90=0,1Ответ: 0,1 Задача №6На экзамене 45 билетов, Антон не успел выучить 18 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет, если билет берётся наудачу.РешениеВсего 45 билетов. Антон выучил 45-18=27 билетов. Вероятность того, что ему попадётся выученный билет, 27:45=0,6 равна.Ответ: 0,6 Задача №7На столе лежат 7 синих, 3 красных и 5 зелёных ручек. Найдите вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной.РешениеВсего на столе 7+3+5=15 ручек, из 3 – красных. Вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной, равна 3:15=0,2.Ответ: 0,2 Задача №8В тестовом задании пять вариантов ответа, из которых только один верный. Какова вероятность правильно решить задание, если выбирать вариант наугад?Решение Если в тестовом задании только один из пяти ответов верный, то вероятность правильно решить задание , если выбирать вариант наугад, равна 1:5=0,2.Ответ: 0,2. Задача № 9В мешке находятся 2 чёрных и 3 белых шара. Наугад вытаскивают два шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета?РешениеВсего в мешке 5 шаров. Вероятность того, что вытащенные два шара будут одного цвета, равна 2:5=0,4.Ответ: 0,4. Задача №10Из города А в город В можно добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом? Решение задачи №10По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, что пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6.Ответ: 1/6.АВС






Спасибо за внимание!Удачи на ЕГЭ !!!Удачи на гиа !!!